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专题3.2 排列与排列数
教学目标
1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列（数学抽象）。
2.会用排列数公式进行求值或证明。
教学重难点
1.重点
（1）排列数的概念；
（2）排列数方程与排列数不等式；
（3）全排列问题。
2.难点
（1）有限制的排列问题；
（2）相邻与不相邻的排列问题。
知识点01 排列的概念
从n 个不同元素中，任取m （m
n
）个元素（这里的被取元素各不相同）按照 排成一
列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的
奎屯
王新敞
新疆
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
奎屯
王新敞
新疆
知识点02 排列的定义
从n 个不同元素中，任取m （m
n
）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列
数，用符号
m
n
A 表示
奎屯
王新敞
新疆注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元
素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m
n
）个元素的所
有排列的个数，是一个数
奎屯
王新敞
新疆所以符号
m
n
A 只表示排列数，而不表示具体的排列
奎屯
王新敞
新疆
知识点03 排列数公式及其推导
由
2
n
A 的意义：假定有排好顺序的2 个空位，从n 个元素
1
2,
,
n
a a
a
中 去填空，一个空位
填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所
有不同的填法的种数就是排列数
2
n
A ．由分步计数原理完成上述填空共有(
1)
n n
种填法，∴
2
n
A = (
1)
n n
奎屯
王新敞
新疆
由此，求
3
n
A 可以按依次填3 个空位来考虑，∴
3
n
A = (
1)(
2)
n n
n
，
求
m
n
A 以按依次填m 个空位来考虑
(
1)(
2)
(
1)
m
n
A
n n
n
n
m
，
排列数公式：
(
1)(
2)
(
1)
m
n
A
n n
n
n
m
（
,
,
m n
N
m
n
）
说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是
1
n
m
，
共有m 个因数；
（2）全排列：当n
m
时即n 个不同元素 的一个排列
奎屯
王新敞
新疆
全排列数：
(
1)(
2)
2 1
!
n
n
A
n n
n
n
（叫做n 的阶乘）
奎屯
王新敞
新疆
另外，我们规定 0! = .
知识点04 排列的一些常用结论
1、如图，在圆中，将圆分
等份得到
个区域
，
，
，
，
，现取
种颜色
对这
个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有
种．
...
...
Mn
...
Mn-1
M1
M2
M3
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主
要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优
先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数
时，应分类讨论．
题型01 排列的概念及简单计算
【典例1】．（24-25 高二上·山东东营·阶段练习）
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【变式1】．（24-25 高二下·山西·期末）
（用数字作答）.
【变式2】．（24-25 高二下·吉林·期中）计算
.
【变式3】．（多选题）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 排列数方程与不等式
【典例2】．（24-25 高二下·吉林·期末）若
，则
.
【变式1】．（24-25 高三·上海·课堂例题）若
，则
.
【变式2】．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】．（24-25 高二下·福建莆田·阶段练习）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 全排列问题
【典例3】．（24-25 高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7 这4 个数字，可以组成没有重复数字的四位数
的个数是（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【变式1】．（2025·江苏南通·模拟预测）一个数阵有
行4 列，第一行中的4 个数互不相同，其余行都由
这4 个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么
的值最大可取（ ）
A．6
B．12
C．24
D．48
【变式2】．（24-25 高二下·河南·阶段练习）现将一个7、两个3、三个5 排成一排，不同的排列方法有
种.
【变式3】．（24-25 高二下·浙江绍兴·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利
用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，
则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有 种排法.
题型04 元素（位置）有限制的排列问题
【典例4】．（25-26 高二上·全国·单元测试）学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊5 位同学晋级
到了决赛环节，通过笔试决出了第1 名到第5 名．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决
赛5 人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：
“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的"．从这个回答分析，5 人的名次排
列情况共有 种．
【变式1】．（2025 高二·全国·专题练习）9 人排成3 行，每行3 人，其中甲、乙、丙3 人要排在同一行，
有 种不同的排法.（用数字作答）
【变式2】．（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的
接力比赛，
已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ）
A．种
B．
种
C．
种
D．
种
【变式3】．（25-26 高二上·全国·单元测试）在一次大型运动会的火炬传递中．某路段的传递活动由
共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从
中产生，最后一棒由两名火炬手共同
完成，且
两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（ ）
A．60
B．54
C．120
D．114
题型05 相邻问题的排列问题
【典例5】．（24-25 高一下·广东广州·期中）在华南师大附中社团开放日的展示活动中，辩论社，国学社，
摄影社，魔方社，天文社5 个社团的摊位排成一列，其中辩论社与国学社必须相邻，那么不同的排法有（
）
A．60 种
B．48 种
C．36 种
D．24 种
【变式1】．（24-25 高二下·重庆·期中）2025 年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的
电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5 位同学相约一起去电影院观看，要求5 人坐在同一排相邻的5 个位置，
甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（ ）种.
A．32
B．28
C．24
D．20
【变式2】．（24-25 高二下·安徽蚌埠·阶段练习）某天文兴趣小组开展了月球知识宣传活动，活动结束后
该天文兴趣小组的4 名男生和4 名女生站成一排拍照留念，则4 名女生相邻的站法种数为 ．（用
数字作答）
【变式3】．（24-25 高二下·湖南衡阳·期中）中国北京第24 届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的
方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊
蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”
和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种（要求：用
数字填空，用式子填空不给分）
题型06 不相邻问题的排列问题
【典例6】．（24-25 高二下·北京·期中）现有高中数学人教A 版必修第一册、必修第二册、选择性必修第
一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1 本．若把这5 本教材从左到右放置书架的某一层内
（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有 种；如果必修第一册
与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有 种．（用数字作
答）
【变式1】．（24-25 高二下·天津滨海新·期中）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、
数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下
要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序
共有 种.
【变式2】．（24-25 高二下·贵州贵阳·期中）《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜
第5 名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6 位角色制作
宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（ ）种不同的排版方式．
A．120
B．240
C．480
D．720
【变式3】．（24-25 高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨
水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”
和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
（ ）
A．24
B．48
C．144
D．240
题型07 数字的排列问题
【典例7】．从1、2、3、4、5 中任选3 个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3 整除的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1】．用数字
、、
、、
、组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从
小到大的顺序排成一个数列，则第85 个数字为（ ）
A．2300
B．2301
C．2302
D．2303
【变式2】．从1、2、3、4 中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个
数为 ．
【变式3】．从集合
中分别取2 个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到
个不同的对数值．
一、选择题
1．（25-26 高二上·全国·单元测试）
可表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·河北衡水·期中）（多选题）满足不等式
的
的值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
3．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三
年级分别有2 名、3 名、3 名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8 名同学排成一排合影，要求同年级同学
排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．432 种
B．420 种
C．176 种
D．7 种
5．（24-25 高二下·江西·期末）小华一家4 人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排
有驾驶座和副驾驶座，后排有3 个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的
乘坐方式一共有（ ）
A．18 种
B．27 种
C．36 种
D．54 种
6．（24-25 高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能
站在两端，则不同站法的种数为（ ）
A．12
B．24
C．48
D．120
7．（24-25 高二下·山西·阶段练习）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G 无人配送车，需从上海、
南京、杭州、合肥4 个城市中各选出2 个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的
仓储点
出发，最终返回上海的
仓储点；每辆配送车在另外3 个城市中各选1 个仓储点作为中转站，但中转时南
京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（ ）
A．24
B．16
C．12
D．8
8．在如图所示的表格中填写，
，三个数字，要求每一行、每一列均有这个数字，则不同的填法种
数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅
了5 本古代数学名著：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》和《张丘建算经》，该小
､
､
､
组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是
《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高三上·山东聊城·开学考试）如图，
四个开关控制着五盏灯，其中开关
控制着1，
2，3 号灯，开关
控制着2，3，4 号灯，开关
控制着3，4，5 号灯，开关
控制着1，4，5 号灯.开始时，
五盏灯均是亮的，现先后按动
这四个开关中两个不同的开关，则其中2 号灯亮的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025 高三·全国·专题练习）为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出
百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个
节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（
）
A．120
B．360
C．180
D．90
12．（24-25 高二下·四川遂宁·期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．
可表示为
B．若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59 种
C．若3 个男生与2 个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12
D．不等式
的解集为
13．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）（多选题）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
14．（24-25 高二下·江苏泰州·期中）已知
，则
.
15．（2025·上海·三模）互不相同的正整数
满足
，满足
条件的有序实数对
有 组（结果用数值表示）.
16．（2025 高三·全国·专题练习）三对夫妇去参观上海世博会，在中国馆前拍照留念，六人排成一排，若
每名女士的旁边不能是其他女士的丈夫，则不同的排法有 种.
17．（24-25 高二下·福建厦门·阶段练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控
专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有
种（用数字作答）.
18．（24-25 高二下·上海徐汇·期中）某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2 个节
目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序．
19．（24-25 高二下·北京东城·期中）用
、、
、、
、这六个数字，能组成 个没有重复数
字的五位数.
20．（25-26 高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个
地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1 名志愿者，每人至多在一个地
点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ．
21．（25-26 高三上·陕西西安·阶段练习）现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥
的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种.
