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第03 讲 向量的基本定理
课程标准
学习目标
1．理解两个平面向量共线的含义．
2．理解平面向量基本定理及其意义．
1．理解并掌握两个向量共线的性质及其判定方法，并
能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
2．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基
底的含义．
3．会用基底来表示其他向量．
4．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合
问题．
知识点01 共线向量基本定理
（1）定义：如果a≠0 且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
（2）几点说明
①b＝λa 时，通常称为b 能用a 表示．
②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ．
（3）作用：如果A，B，C 是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得AB＝λAC．
（4）A，B，C 三点共线
存在实数
⇔
λ，μ 对平面内任意一点O(O 不在直线BC 上)满足OA＝λOB＋
μOC(λ＋μ＝1)．
【即学即练1】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ 的
值为________．
知识点02 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
2
如果平面内两个向量a 与b 不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c
＝xa＋yb．
2.基底与向量的分解
平面内不共线的两个向量a 与b 组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果c＝xa＋yb，则
称xa＋yb 为c 在基底{a，b}下的分解式．
【解读】①当a 与b 不共线时，“唯一的实数对”指的是c 用a，b 表示时，表达式唯一，即如果c＝
xa＋yb＝ua＋vb，那么x＝u 且y＝v．
②当x≠0 或y≠0 时，必定有xa＋yb≠0．也就是说，当a 与b 不共线时，xa＋yb≠0 的充要条件是x
与y 中至少有一个不为0．
的差向量⃗a−⃗b，可以简记为“共起点，连终点，指被减”
【即学即练2】已知向量e1，e2 不共线，实数x，y 满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝
________，y＝________．
题型01 共线向量定理的应用
【典例1】（24-25 高二上·重庆九龙坡·期中）若
，
，
且向量
，
不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
【变式1】（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）
是平面内不共线两向量，已知
，
，
，若A，B，D 三点共线，则k 的值是（ ）．
A．3
B．
C．
D．2
【变式2】（23-24 高一下·贵州安顺·期末）已知
是两个不共线的向量，
，若
与
是共线向量，则实数
的值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
【变式3】（23-24 高一下·四川广安·阶段练习）已知向量
不共线，且
，若
与
反共线，则实数λ 的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
题型02 基底的判断
【典例2】（23-24 高一下·黑龙江大庆·期中）若
是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中
能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·山东菏泽·阶段练习）已知
，
是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基
底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式2】（23-24 高一下·江苏淮安·期中）设
，
为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作
为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【变式3】（24-25 高一上·上海·课后作业）设点O 是
两条对角线的交点，下列组合中：①
与
；②
与
；③
与
；④
与
，其中可作为表示平行四边形
所在平面所有向量的
基的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
题型03 用基底表示向量
【典例3】（24-25 高三上·湖北·期中）在
中，点
，
分别为
，
边上的中点，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知在
中，
，
分别为
，
的中点，
，
，则
可以用含
，的式子表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形
中，
，
，若
，
，则
（ ）
4
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·广西柳州·开学考试）如图，在
中，点D 是BC 边的中点，
，
则用向量
，
表示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 根据向量基本定理求参数
【典例4】（24-25 高三上·江苏南通·期中）在
中，
，
，
，
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·福建南平·期中）在
中，点
在边
上，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·江西·期中）已知点P 是
的中线BD 上一点（不包含端点），且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的最小值为1
5
D．
的最小值是9
【变式3】（23-24 高三上·安徽淮南·阶段练习）如图
中，
，
，
，
5
若
，则
.
题型05 平面向量基本定理的综合问题
【典例5】（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）（多选）已知图中
，
，
，
为图中的阴影中（含边界）任意一点，并且
，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在无数个点
，使得
【变式1】（23-24 高一下·河南漯河·期中）（多选）已知P 是边长为1 的正六边形ABCDEF 内一点(含边
界)，且
=
+λ
，λ∈R，则下列正确的是（ ）
A．∃λ 使得|
|>|
|
B．△PCD 的面积为定值
C．∠CPD 的取值范围是[
，
]
D．|
|的取值范围是[
，
]
【变式2】（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765 年提出的一个
几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC 中，O
为三角形的外心，P 为三角形垂心（O 点与P 点不重合），且
，动点M 在直线OP 上，且
，则
的最大值
【变式3】已知
为
所在平面内的一点，且
，若点
在
的内部（不含边
界），则实数
的取值可以是_____
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一、单选题
1．（2024 高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（ ）
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若已知
、
是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一
组是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
3．（22-23 高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形
中，对角线
与
交于点
，若
，则四边形
一定是（ ）
A．矩形
B．梯形
C．平行四边形
D．菱形
4．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量
，
不共线，
，
，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
5．（24-25 高三上·山东·期中）已知向量
，
不共线，
，
，若
，
，
三点共
线，则
（ ）
A．
B．
.
C．1
D．2
6．（23-24 高一下·北京通州·期中）如图，在
中，
是AB的中点，
是
延长线上一点，且
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
7．（23-24 高一下·河北·期中）在
中，
为
边上的中点，
是
上靠近
的四等分点，则
（ ）
A．
B．
7
C．
D．
8．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在
中，
，I 是
的平分线上
一点，且
，若
内（不包含边界）的一点D 满足
，则实数x 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课堂例题）若
，
是平面
内两个不共线的向量，
，
是实数，下列说法正
确的是（ ）
A．若
，
满足
，则
B．对于平面
内任意一个向量
，使得
成立的实数
，
有无数对
C．
可以表示平面
内的所有向量
D．当
，
取不同的值时，向量
可能表示同一向量
10．（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）在
中，
在
边上，
，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高一下·四川达州·期末）如图，已知O 是
内部任意一点，
，
，
的
面积分别为
，
，
，
．根据上述结论，则（ ）．
A．如果
，那么
B．如果
，那么
8
C．如果O 为
的重心，那么
D．如果O 为直角
的内心，且两直角边
，
，那么
三、填空题
12．（23-24 高一下·四川内江·阶段练习）若
，
是两个不共线的向量，且
与
共线，则实
数
的值为 .
13．（23-24 高一下·江苏连云港·期中）设
是平面内两个不共线的向量，
，
，
，
．若
三点共线，则
的最小值是 ．
14．（23-24 高一下·北京·期中）四边形ABCD 中，
，且
，若
，则
．
四、解答题
15．（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习）设
，
是不平行的向量，且
，
．
(1)若向量
与
共线，求实数
的值；
(2)若
，用
，
的线性组合表示
．
16．（24-25 高一上·河北保定·期中）如图，在
中，
，
．设
，
．
(1)用
，
表示
，
；
(2)若
为
内部一点，且
．求证：
，
，
三点共线．
17．（23-24 高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形
中，
、
依次是对角线
上的两
个三等分点，设
.
9
(1)请用
与
表示
;
(2)用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
18．（23-24 高一下·江苏徐州·阶段练习）如图,已知点
是
的重心,过点
作直线分别与边
交
于
两点（点
与点
不重合）,设
.
(1)求
的值；
(2)求
的最小值,并求此时
的值.
19．（23-24 高一下·广东广州·期末）如图，已知
，
，且点
是
的重心.过
点
的直线与线段
、
分别交于点
、
.设
，
（
，
）.
(1)求
的值，并判断
是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；
(2)若
的周长为
，
的周长为
.设
，记
，求
的取值范围.
