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重难点专题14 旋转的基本性质与简单应用
重难点一 辨析旋转的三要素
1.解题时先锁定旋转中心，也就是固定不动的定点，再区分顺时针或逆时针的旋转方向，最后确定旋转
角度；2.做题时对照题干依次找出这三个条件，缺少任意一个都无法确定图形最终位置，以此完成判
断。
1．如图，在6 × 4的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后
得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（ ）
A．点𝑃
B．点𝑁
C．点𝑄
D．点𝑀
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
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【详解】解：如图，连接N 和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N 的距离相等，因此格
点N 就是所求的旋转中心；
故选：B．
2．如图所示的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在边𝐶𝐷上，把△𝐴𝐷𝐸绕点A 顺时针旋转得到△𝐴𝐵𝐹，下列角中，是
旋转角的是（ ）
A．∠𝐷𝐴𝐸
B．∠𝐵𝐴𝐸
C．∠𝐸𝐴𝐹
D．∠𝐵𝐴𝐹
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转角，熟练掌握求一个旋转图形的旋转角是解题的关键．
根据“旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转
中心的连线，这两条线的夹角”，由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：旋转角为∠𝐷𝐴𝐵或∠𝐸𝐴𝐹，
故选：C．
3．如图，在4 × 4的正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶绕某点旋转一定的角度，得到△𝐷𝐸𝐹，则其旋转中心可能是
（ ）
A．𝑀
B．𝑁
C．𝑃
D．𝑄
【答案】B
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【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线
上，则连接𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹，分别作出𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握
旋转图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹，分别作出𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹的垂直平分线，
，
三条垂直平分线交于点N，
∴旋转中心是点N，
故选：B．
4．如图，△𝐴𝐵𝐶绕点P 逆时针旋转一个角度得到△𝐷𝐸𝐹，则下面选项中不能表示旋转角的是（ ）
A．∠𝐶𝑃𝐷
B．∠𝐴𝑃𝐷
C．∠𝐵𝑃𝐸
D．∠𝐶𝑃𝐹
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，关键是掌握旋转角的定义．旋转角是指旋转中心与旋转前后的对应点连线
的夹角，由此即可判断．
【详解】解：由旋转角的定义知∠𝐴𝑃𝐷，∠𝐵𝑃𝐸、∠𝐶𝑃𝐸都是旋转角，
故B、C、D 不符合题意；
∵C 旋转后的对应点是F，
∴∠𝐶𝑃𝐷不是旋转角，
∴A 符合题意．
故选：A．
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5．如图，在正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶绕某点旋转一定的角度得到△𝐴′𝐵′𝐶′，则旋转中心是点（ ）
A．O
B．P
C．Q
D．M
【答案】B
【分析】根据旋转中心的定义即可求解．
【详解】解：连接𝐵𝑃，𝐵′𝑃，𝐶𝑃，𝐶′𝑃，𝐴𝑃，𝐴′𝑃如图所示：
∵𝐵𝑃= 𝐵′𝑃，𝐴𝑃= 𝐴′𝑃，𝐶𝑃= 𝐶′𝑃，且∠𝐵𝑃𝐵′ = ∠𝐴𝑃𝐴′ = ∠𝐶𝑃𝐶′，
∴点P 是旋转中心，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转中心的定义，熟练掌握旋转中心的定义是解题的关键．
6．如图，将线段𝐴𝐵绕一个点顺时针旋转90∘得到线段𝐶𝐷，则这个点是（ ）
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A．𝑀点
B．𝑄点
C．𝑃点
D．𝑁点
【答案】A
【分析】根据旋转中心到对应点的距离相等作图可以得解．
【详解】如图，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷，分别作𝐴𝐶、𝐵𝐷的垂直平分线，发现相交于𝑀点，因此𝑀点是旋转中心.
故选A．
【点睛】本题考查旋转的应用，熟练掌握旋转的性质、线段垂直平分线的性质及作法是解题关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．𝐷𝐸𝐹是由
𝐴𝐵𝐶旋转得到的，则旋转中心的坐标为_____________．
【答案】（3，2）
【分析】设旋转中心为M 点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，可得M 在线段AD 的中垂线
上，所以点M 的纵坐标为2．设M（x，2），又M 在线段BE 的中垂线上，所以ME=MB，依此列出方程，
求解即可．
【详解】解：设旋转中心为M 点．
∵△DEF 是由△ABC 旋转得到的，
∴M 在线段AD 的中垂线上，
∵A（1，0），D（1，4），
∴点M 在直线y=2 上，即点M 的纵坐标为2．
设M（x，2），
∵M 在线段BE 的中垂线上，
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∴ME=MB，
∵E（1，3），B（2，0），
∴（x-1）2+（2-3）2=（x-2）2+（2-0）2，
解得x=3．
∴旋转中心M 的坐标为（3，2）．
故答案为（3，2）．
重难点二 求旋转角的大小
1.选取两组对应的关键点，分别连接关键点与旋转中心，形成两组线段，两条线段的夹角就是旋转角；
2.满足∠AOA′ = ∠BOB′ = θ（θ为旋转角，A、A′，B、B′为对应点，O为旋转中心），同一道题中所有旋
转角大小完全相等，可借助三角形内角、互余互补关系辅助计算。
1．如图，已知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，D 为𝐵𝐶边上的点，∠𝐵𝐴𝐷= 25°，△𝐴𝐵𝐷经旋转后到达△𝐴𝐶𝐸的位
置，那么旋转了（ ）
A．36°
B．42°
C．60°
D．70°
【答案】C
【分析】首先利用等边三角形的性质求出∠𝐵𝐴𝐶= 60°，然后利用旋转的性质求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵△𝐴𝐵𝐷经旋转后到达△𝐴𝐶𝐸的位置，𝐴𝐵旋转到𝐴𝐶，
∴旋转了60°．
2．如图，将△𝐴𝑂𝐵绕点𝑂按逆时针方向旋转55°后得到△𝐴′𝑂𝐵′．若∠𝐴𝑂𝐵= 25°，则∠𝐴𝑂𝐵′的度数是
（ ）
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A．25°
B．30°
C．55°
D．80°
【答案】B
【分析】根据图形旋转的性质即可求得答案．
【详解】解：根据图形旋转的性质可知∠𝐴𝑂𝐴′ = 55°, ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 25°，
∴∠𝐴𝑂𝐵′ = ∠𝐴𝑂𝐴′ −∠𝐴′𝑂𝐵′ = 55° −25° = 30°．
3．如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点A 顺时针旋转一定角度得到△𝐴𝐵′𝐶′，且∠𝐵𝐴𝐶= 30°，点B，A，𝐶′在同一直线
上，则△𝐴𝐵𝐶至少旋转了（ ）
A．130°
B．145°
C．150°
D．85°
【答案】C
【详解】解：由旋转的性质可知△𝐴𝐵𝐶至少旋转了180° −∠𝐵𝐴𝐶= 150°．
4．下列各图中，正确表示将正三角形𝑋绕点𝑂按顺时针方向旋转90°的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据旋转的定义和性质进行判断即可．
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【详解】解：由旋转的定义可知：正确表示将正三角形𝑋绕点𝑂按顺时针方向旋转90°的是选项C．
A、B 是平移，D 中旋转后的位置不准确．
5．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 65°，将△𝐴𝐵𝐶在平面内绕点𝐴逆时针旋转到△𝐴𝐵′𝐶′的位置，使
𝐶𝐶′∥𝐴𝐵，则旋转角的度数为_______________．
【答案】50°/50 度
【分析】先根据平行线的性质得∠𝐴𝐶𝐶′ = ∠𝐶𝐴𝐵，再根据旋转的性质得∠𝐶𝐴𝐶′等于旋转角，𝐴𝐶= 𝐴𝐶′，则
利用等腰三角形的性质得∠𝐴𝐶𝐶′ = ∠𝐴𝐶′𝐶，然后根据三角形内角和定理可计算出∠𝐶𝐴𝐶′的度数，从而得到
旋转角的度数．
【详解】解：∵𝐶𝐶′∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐶′ = ∠𝐶𝐴𝐵= 65°
∵△𝐴𝐵𝐶在平面内绕点𝐴旋转到△𝐴𝐵′𝐶′的位置，
∴∠𝐶𝐴𝐶′为旋转角，𝐴𝐶= 𝐴𝐶′，
∴∠𝐴𝐶𝐶′ = ∠𝐴𝐶′𝐶= 65°，
∴∠𝐶𝐴𝐶′ = 180° −∠𝐴𝐶𝐶′ −∠𝐴𝐶′𝐶= 180° −2 × 65° = 50°，
∴旋转角为50°．
重难点三 旋转中的线段求值问题
1.利用旋转前后对应线段长度相等的性质AB = A′B′，把所求线段转化为已知长度的对应边；
2.结合勾股定理a2 + b2 = c2、特殊三角形边长关系，完成线段长度的计算与推导。
1．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐶= 3，𝐴𝐵= 4，将△𝐴𝐵𝐶绕点B 顺时针旋转得到△𝐴′𝐵𝐶′，点𝐴′
在线段𝐵𝐶上，点A，C 的对应点分别为𝐴′，𝐶′，连接𝐶𝐶′，则𝐶𝐶′的长为（ ）．
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A．√2
B．4
C．2√3
D．√10
【答案】D
【分析】先利用勾股定理求出斜边𝐵𝐶长度，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等，算出𝐶𝐴′、
𝐴′𝐶′的长度与∠𝐶𝐴′𝐶′ = 90°，最后在Rt △𝐶𝐴′𝐶′中用勾股定理求𝐶𝐶′．
【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = √32 + 42 = 5，
由旋转的性质可知：𝐴′𝐵= 𝐴𝐵= 4, 𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶= 3, ∠𝐵𝐴′𝐶′ = ∠𝐴= 90°，
∴∠𝐶𝐴′𝐶′ = 180° −∠𝐵𝐴′𝐶′ = 90°，𝐶𝐴′ = 𝐵𝐶−𝐴′𝐵= 5 −4 = 1，
在Rt △𝐶𝐴′𝐶′中，由勾股定理得：𝐶𝐶′ = √𝐶𝐴′2 + 𝐴′𝐶′2 = √12 + 32 = √10．
2．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 60°；𝐴𝐶= 6，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶按逆时针方向旋转得到△
𝐴′𝐵′𝐶，此时点𝐴′恰好在𝐴𝐵边上，则点𝐵′与点𝐵之间的距离为（ ）
A．12
B．6√6
C．6√2
D．6√3
【答案】D
【分析】连接𝐵𝐵′，由旋转性质得到相关角度与线段关系，再由等边三角形的判定与性质得到∠𝐴𝐶𝐴′ =
60°，进而确定𝐵𝐵′ = 𝐵𝐶，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，由含30°直角三角形性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：连接𝐵𝐵′，如图所示：
由旋转性质可得𝐶𝐴= 𝐶𝐴′, 𝐶𝐵′ = 𝐶𝐵, ∠𝐴′𝐶𝐵′ = ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
在等腰△𝐴𝐶𝐴′中，∠𝐴= 60°，则△𝐴𝐶𝐴′是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐴′ = 60°，
∵∠𝐴′𝐶𝐴+ ∠𝐴′𝐶𝐵= 90° = ∠𝐵𝐶𝐵′ + ∠𝐴′𝐶𝐵，
∴∠𝐵′𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐴′ = 60°，
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∵𝐶𝐵′ = 𝐶𝐵，
∴△𝐵𝐶𝐵′是等边三角形，则𝐵𝐵′ = 𝐵𝐶，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 60°，则∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∵𝐴𝐶= 6，
∴𝐴𝐵= 2𝐴𝐶= 12，则由勾股定理可得𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐴𝐶2 = 6√3，
则𝐵𝐵′ = 𝐵𝐶= 6√3，即点𝐵′与点𝐵之间的距离为6√3．
3．如图，点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷边𝐷𝐶上一点，把△𝐴𝐷𝐸绕点𝐴顺时针旋转90°到△𝐴𝐵𝐹的位置．若四边形
𝐴𝐸𝐶𝐹的面积为18，𝐷𝐸= √2，则𝐴𝐸的长为（ ）
A．4
B．2√5
C．6
D．2√6
【答案】B
【分析】利用旋转的性质得出四边形 𝐴𝐸𝐶𝐹的面积等于正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷的面积，进而可求 出正方形的边
长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：∵△𝐴𝐷𝐸绕点𝐴顺时针旋转90°到△𝐴𝐵𝐹的位置．
∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹的面积等于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积等于18，
∴𝐴𝐷2 = 18，
∵𝐷𝐸= √2，
∴Rt △𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐸= √𝐴𝐷2 + 𝐷𝐸2 = √18 + 2 = 2√5
4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 5，∠𝐵= 60°．将△𝐴𝐵𝐶沿射线𝐵𝐶的方向平移，得到△𝐴′𝐵′𝐶′，点𝐴，𝐵，𝐶
的对应点分别为𝐴′，𝐵′，𝐶′．再将△𝐴′𝐵′𝐶′绕点𝐴′逆时针旋转一定角度后，点𝐵′的对应点𝐵″恰好与点𝐶重
合．若𝐶𝐶′ = 2，则𝐴𝐵的长为（ ）
A．3
B．4
C．2√3
D．2
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【答案】A
【分析】由平移可得𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶= 5，𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵，∠𝐴′𝐵′𝐶′ = ∠𝐵= 60°，可得𝐵′𝐵″ = 3，由旋转可得
𝐴′𝐵″ = 𝐴′𝐵′，可得△𝐴′𝐵′𝐵″是等边三角形，即可求得𝐴𝐵的长．
【详解】解：由平移可得，𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶= 5，𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵，∠𝐴′𝐵′𝐶′ = ∠𝐵= 60°，
∴𝐵′𝐵″ = 𝐵′𝐶′ −𝐵″𝐶′ = 5 −2 = 3，
由旋转可得，𝐴′𝐵″ = 𝐴′𝐵′，
∴△𝐴′𝐵′𝐵″是等边三角形，
∴𝐴′𝐵′ = 𝐵′𝐵″ = 3，
∴𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′ = 3．
5．如图，E 为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内一点，∠𝐶𝐸𝐵= 90°，𝐶𝐸= 8，𝐶𝐵= 17．将Rt △𝐶𝐵𝐸绕点C 按顺时针方向旋
转90°，得到△𝐶𝐷𝐹．延长𝐵𝐸交𝐷𝐹于点H，则𝐷𝐻的长为（ ）
A．7
B．7.5
C．8
D．9
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求得𝐵𝐸= 15，然后根据图形旋转的性质证明四边形𝐶𝐸𝐹𝐻是正方形，即可求得答
案．
【详解】解：在Rt △𝐶𝐵𝐸中，𝐶𝐸= 8，𝐶𝐵= 17，
∴𝐵𝐸= √𝐵𝐶2 −𝐶𝐸2 = √172 −82 = 15，
∵Rt △𝐶𝐵𝐸绕点C 按顺时针方向旋转90°，得到△𝐶𝐷𝐹，
∴∠𝐸𝐶𝐹= 90°，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶𝐸𝐻= ∠𝐶𝐹𝐻= 90°，𝐷𝐹= 𝐵𝐸= 15，
∴四边形𝐶𝐸𝐹𝐻是矩形，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐹，
∴四边形𝐶𝐸𝐹𝐻是正方形，
∴𝐹𝐻= 𝐶𝐸= 8，
∴𝐷𝐻= 𝐷𝐹−𝐹𝐻= 15 −8 = 7．
6．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 3，将△𝐴𝐵𝐶绕点C 顺时针旋转得到△𝐸𝐷𝐶．当点
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A，C，D 在同一条直线上时，𝐴𝐸的长为________．
【答案】4√5
【详解】解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 4, 𝐵𝐶= 3，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √32 + 42 = 5，
由旋转的性质得：𝐶𝐷= 𝐵𝐶= 3，𝐷𝐸= 𝐴𝐵= 4，∠𝐷= ∠𝐵= 90°，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 8，
∴𝐴𝐸= √𝐴𝐷2 + 𝐷𝐸2 = √82 + 42 = 4√5．
7．如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴顺时针旋转60°得到△𝐴𝐸𝐷，若𝐴𝐵= 7，则𝐵𝐸的长为_____．
【答案】7
【详解】解：∵将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴顺时针旋转60°得到△𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 60°，𝐴𝐸= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，
∵𝐴𝐵= 7，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐵= 7．
重难点四 旋转中的面积问题
1.旋转不会改变图形本身面积，即S原图= S旋转后图形；
2.求旋转扫过的面积时，确定旋转半径r和旋转圆心角n∘，套用扇形面积公式S =
nπr2
360 计算，组合图形可
拆分后分别求解再合并。（因为这是圆的知识点，所以本专题不涉及题型）
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 10，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵按逆时针方向旋转30°后得到△𝐴1𝐵𝐶1，则阴影部分的面
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积为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】D
【分析】过点𝐴1作𝐴1𝐷⊥𝐴𝐵于点D，根据含30 度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出𝑆△𝐴𝐴1𝐵=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴1𝐷=
1
2 × 10 × 5 = 25，分割法推出阴影部分的面积即为△𝐴𝐴1𝐵的面积，即可得出结果.
【详解】解：由旋转的性质可得出𝐴𝐵= 𝐴1𝐵= 10，∠𝐴𝐵𝐴1 = 30°，𝑆△𝐴1𝐵𝐶1 = 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
过点𝐴1作𝐴1𝐷⊥𝐴𝐵于点D，如图，
∴𝐴1𝐷=
1
2 𝐴1𝐵= 5，
∴𝑆△𝐴𝐴1𝐵=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴1𝐷=
1
2 × 10 × 5 = 25，
∴𝑆阴影= 𝑆△𝐴𝐴1𝐵+ 𝑆△𝐴1𝐵𝐶1 −𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐴1𝐵= 25．
2．如图，已知点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内的一点，连接𝐸𝐴、𝐸𝐵、𝐸𝐶，且𝐸𝐴= 1，𝐸𝐵= 2，𝐸𝐶= 3，则四边形
𝐴𝐸𝐶𝐷的面积为（ ）
A．2 + √2
B．
5
2 + √2
C．3 + √2
D．5 + √2
2
【答案】C
【分析】如图所示，将△𝐵𝐶𝐸绕点𝐵逆时针旋转90°，得△𝐵𝑃𝐴，连接𝑃𝐸，过点𝐵作𝐵𝐻垂直于𝐴𝐸 延长线于
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点𝐻，可求出𝑃𝐸的值，根据勾股定理的逆定理可求出△𝐴𝐸𝑃是直角三角形，可求出𝐴𝐻的值，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐻
中根据勾股定理可求出𝐴𝐵 的值，可求出正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积，根据𝑆△𝐵𝐸𝐶+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝑃𝐴+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸=
𝑆△𝐵𝐸𝑃+ 𝑆△𝐴𝐸𝑃，𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐷= 𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−(𝑆△𝐴𝐵𝐸+ 𝑆△𝐵𝐸𝐶)，即可求解．
【详解】解：如图所示，将△𝐵𝐶𝐸绕点𝐵逆时针旋转90°，得△𝐵𝑃𝐴，连接𝑃𝐸，过点𝐵作𝐵𝐻垂直于𝐴𝐸 延长
线于点𝐻，
∴𝐸𝐶= 𝐴𝑃= 3，𝐵𝑃= 𝐵𝐸= 2，∠𝑃𝐵𝐸= 90°，
∴△𝐵𝑃𝐸等腰直角三角形，
∴𝑃𝐸= √2𝐵𝐸= 2√2，∠𝐵𝑃𝐸= ∠𝐵𝐸𝑃= 45°，
∵𝐸𝐴= 1，𝐸𝐵= 2，𝑃𝐸= 2√2，𝐸𝐶= 3，则𝐴𝐸2 = 1，𝐸𝐶2 = 𝐴𝑃2 = 32 = 9，𝑃𝐸2 = (2√2)
2 = 8，
∴𝐸𝐶2 = 𝐴𝐸2 + 𝑃𝐸2，即𝐴𝑃2 = 𝐴𝐸2 + 𝑃𝐸2，
∴△𝐴𝑃𝐸是直角三角形，则∠𝐴𝐸𝑃= 90°，
∵点𝐴, 𝐸, 𝐻三点共线，则∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝐵𝐸𝑃+ ∠𝐵𝐸𝐻= 180°，
∴∠𝐵𝐸𝐻= 180° −∠𝐴𝐸𝑃−∠𝐵𝐸𝑃= 180° −90° −45° = 45°，
∵𝐵𝐻⊥𝐸𝐻，
∴∠𝐻𝐵𝐸= ∠𝐻𝐸𝐵= 45°，
∴𝐸𝐻= 𝐵𝐻= √2
2 𝐵𝐸= √2，
∴𝐴𝐻= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐻= 1 + √2，
∴𝐴𝐵2 = 𝐴𝐻2 + 𝐵𝐻2 = (1 + √2)
2 + (√2)
2 = 5 + 2√2，则𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝐴𝐵2 = 5 + 2√2，
根据旋转可得，𝑆△𝐵𝐸𝐶= 𝑆△𝐵𝑃𝐴，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐶+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝑃𝐴+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐸𝑃+ 𝑆△𝐴𝐸𝑃，
∵𝑆△𝐵𝐸𝑃=
1
2 𝐵𝐸· 𝐵𝑃=
1
2 × 2 × 2 = 2，𝑆△𝐴𝐸𝑃=
1
2 𝐴𝐸· 𝑃𝐸=
1
2 × 1 × 2√2 = √2，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐶+ 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐸𝑃+ 𝑆△𝐴𝐸𝑃= 2 + √2，
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∵𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐷= 𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐵𝐸𝐶= 𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−(𝑆△𝐴𝐵𝐸+ 𝑆△𝐵𝐸𝐶)，
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐷= 5 + 2√2 −(2 + √2) = 3 + √2，
∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐷的面积为：3 + √2．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°， 𝐴𝐵= 𝐴𝐶， 𝐴𝐶= √2，点D 在𝐵𝐶上，且 𝐵𝐷∶𝐶𝐷= 1 ∶3．连接
𝐴𝐷，线段𝐴𝐷绕点A 顺时针旋转90°得到线段𝐴𝐸，连接𝐵𝐸，𝐷𝐸．则△𝐵𝐷𝐸的面积是（ ）
A．
1
4
B．
3
8
C．
3
4
D．
3
2
【答案】B
【分析】由𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘得△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐴𝐶= √2可得𝐵𝐶= 2，由 𝐵𝐷: 𝐶𝐷= 1: 3
得𝐵𝐷=
1
4 × 2 =
1
2，𝐶𝐷=
3
2，再证 △𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐶𝐷，得 𝐵𝐸= 𝐶𝐷 且 ∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐷= 90°，再
利用面积公式直接计算△𝐵𝐷𝐸 的面积．
【详解】解：∵ 𝐴𝐵= 𝐴𝐶= √2，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴ △𝐴𝐵𝐶 是等腰直角三角形，
∴ 𝐵𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = √2 + 2 = 2，
∵ 𝐵𝐷∶𝐶𝐷= 1 ∶3，
∴ 𝐵𝐷=
1
4 𝐵𝐶=
1
4 × 2 =
1
2 , 𝐶𝐷=
3
4 𝐵𝐶=
3
2，
∵ 𝐴𝐷 绕点 𝐴 顺时针旋转 90° 得到 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷, ∠𝐷𝐴𝐸= 90°
∵ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
在 △𝐴𝐵𝐸 和 △𝐴𝐶𝐷 中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
，
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∴△𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐶𝐷(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷=
3
2 , ∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 45°，
∴ ∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷= 45° + 45° = 90°，
∴ 𝑆△𝐵𝐷𝐸=
1
2 × 𝐵𝐸× 𝐵𝐷=
1
2 ×
3
2 ×
1
2 =
3
8．
4．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴顺时针旋转得到△𝐴𝐷𝐸，当点𝐸落在边𝐵𝐶上时，
𝐶𝐸= 2，𝐵𝐸= 3，此时四边形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积为________．
【答案】7
【分析】过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，利用旋转性质得𝐴𝐶= 𝐴𝐸，由等腰三角形三线合一求出𝐶𝐻和𝐵𝐻的长
度，设𝐴𝐻= ℎ，分别表示出𝐴𝐶2和𝐴𝐵2，在Rt △𝐴𝐵𝐶中利用勾股定理列方程求出高𝐴𝐻，接着算出△𝐴𝐵𝐶和
△𝐴𝐸𝐶的面积，最后根据旋转前后三角形面积相等得△𝐴𝐷𝐸的面积，用△𝐴𝐷𝐸的面积加上△𝐴𝐸𝐶的面积即
可得到四边形𝐴𝐷𝐸𝐶的面积．
【详解】解：如图，过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，
由旋转得𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴𝐸𝐻= 𝐶𝐻=
1
2 𝐶𝐸= 1，
∴𝐵𝐻= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐻= 4，
∵𝐶𝐸= 2，𝐵𝐸= 3，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐸+ 𝐵𝐸= 5，
设𝐴𝐻= ℎ，
在Rt △𝐴𝐶𝐻中，𝐴𝐶2 = 𝐴𝐻2 + 𝐶𝐻2 = ℎ2 + 12 = ℎ2 + 1，
在Rt △𝐴𝐵𝐻中，𝐴𝐵2 = 𝐴𝐻2 + 𝐵𝐻2 = ℎ2 + 42 = ℎ2 + 16，
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在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶2 = 52 = 25，
∴(ℎ2 + 1) + (ℎ2 + 16) = 25，
解得ℎ= 2，即𝐴𝐻= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶· 𝐴𝐻=
1
2 × 5 × 2 = 5，𝑆△𝐴𝐸𝐶=
1
2 𝐶𝐸· 𝐴𝐻=
1
2 × 2 × 2 = 2，
由旋转得𝑆△𝐴𝐷𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 5，
∴𝑆四边形𝐴𝐷𝐸𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐸𝐶= 5 + 2 = 7．
5．如图，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 5，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷= 2√5，𝑂是𝐴𝐷中点．𝐸在𝐴𝐵上，且∠𝐷𝐴𝐵=
∠𝑂𝐸𝐴，△𝐴𝑂𝐸绕点𝑂旋转180°得△𝐷𝑂𝐹，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点𝐺，则𝑆△𝐴𝐷𝐺=___________．
【答案】
5
2
【分析】根据等边对等角及勾股定理得∠𝐵= ∠𝐶，𝐶𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √5，继而得到𝑆△𝐴𝐷𝐶= 5，
∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶= 90°，根据旋转的性质得△𝐷𝑂𝐹≌△𝐴𝑂𝐸，推出𝐷𝐹∥𝐴𝐸得∠𝐺𝐷𝐶= ∠𝐵= ∠𝐶，结合等角对等
边可推出𝐺𝐴= 𝐺𝐷= 𝐺𝐶，最后根据三角形中线的性质可得答案．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 5，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷= 2√5，
∴∠𝐵= ∠𝐶，𝐶𝐷= √𝐴𝐶2 −𝐴𝐷2 = √52 −(2√5)
2 = √5，∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐴𝐷=
1
2 × √5 × 2√5 = 5，∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶= 90°，
∵△𝐴𝑂𝐸绕点𝑂旋转180°得△𝐷𝑂𝐹，𝑂是𝐴𝐷中点，
∴△𝐷𝑂𝐹≌△𝐴𝑂𝐸，𝐷𝑂= 𝐴𝑂，
∴∠𝐹𝐷𝑂= ∠𝐸𝐴𝐷，
∴𝐷𝐹∥𝐴𝐸，
∴∠𝐺𝐷𝐶= ∠𝐵= ∠𝐶，
∴𝐺𝐷= 𝐺𝐶，∠𝐺𝐷𝐴= 90° −∠𝐺𝐷𝐶= 90° −∠𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，
∴𝐺𝐴= 𝐺𝐷= 𝐺𝐶，
∴𝐺是𝐴𝐶中点，
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∴𝐷𝐺是△𝐴𝐷𝐶的边𝐴𝐶上的中线，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐺=
1
2 𝑆△𝐴𝐷𝐶=
1
2 × 5 =
5
2．
6．如图1，抛物线𝑦1 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐分别交𝑥轴于𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)两点，且与𝑦轴交于点𝐶(0, −3)．
(1)求抛物线的表达式及顶点𝑃的坐标．
(2)如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180°．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为𝑄，且与𝑥轴的右侧交于点𝐷，顺次连接𝐴，𝑃，𝐷，𝑄，求四边形𝐴𝑃𝐷𝑄的面
积．
【答案】(1)𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3，(1, −4)
(2)①𝑦= −(𝑥−7)2 + 4；②40
【分析】（1）根据函数的交点式设二次函数的表达式为𝑦= 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−3)，将点𝐶(0, −3)代入即可求
解，再把二次函数变换成顶点式即可求出点𝑃的坐标；
（2）①根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为(𝑚, 𝑛)，可知(4,0)为顶点𝑃(1, −4)和𝑄(𝑚, 𝑛)的中
点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；②根据题意求出点𝐷的坐标，由
𝐴, 𝑃, 𝐷, 𝑄的坐标，图形结合得𝑆四边形𝐴𝑃𝐷𝑄= 𝑆△𝐴𝑄𝐷+ 𝑆△𝐴𝑃𝐷，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可设二次函数的表达式为𝑦= 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥−3)，将点𝐶(0, −3)代入得𝑎= 1，
∴二次函数表达式为𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 = (𝑥−1)2 −4，
∴顶点𝑃的坐标为(1, −4)．
（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为(𝑚, 𝑛)，
∵(4,0)为顶点𝑃(1, −4)和𝑄(𝑚, 𝑛)的中点，即
𝑚+1
2
= 4，
𝑛−4
2 = 0，
∴点𝑄的坐标为(7,4)，
∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，
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∴𝑎= −1，
故旋转后的抛物线表达式为𝑦= −(𝑥−7)2 + 4；
②由①得𝑄点坐标为(7,4)，
∵𝐴，𝐷点关于点(4,0)对称，
∴𝐷点坐标为(9,0)，
∵𝐴(−1,0)，𝑃(1,−4)，𝐷(9,0)，𝑄(7,4)，
∴𝐴𝐷= 9 −(−1) = 10，点𝑄到𝑥轴的距离为4，点𝑃到𝑥轴的距离为4，
∴𝑆四边形𝐴𝑃𝐷𝑄= 𝑆△𝐴𝑄𝐷+ 𝑆△𝐴𝑃𝐷=
1
2 × 10 × 4 +
1
2 × 10 × 4 = 40．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，函数图像旋转的
性质，中点坐标，几何图形的特点等知识的综合运用是解题的关键．
重难点五 根据旋转性质判断正误
1.牢记核心结论：旋转前后图形全等，对应边AB = A′B′、对应角∠A = ∠A′不变；
2.对应点到旋转中心距离OA = OA′，以此逐条核对选项，位置发生改变不属于错误，边长、角度、面积
改变的描述直接判定错误。
1．经过对称、平移或旋转变换后的图形，所具有的性质是（ ）
A．形状不变，大小改变
B．大小不变，形状改变
C．形状和大小都不变
D．形状和大小都改变
【答案】C
【分析】本题考查对称、平移、旋转变换的基本性质，这三种变换都属于全等变换，仅改变图形的位置，
不改变图形的形状和大小．
【详解】解：∵对称、平移、旋转变换都属于全等变换，变换前后的图形全等，
∴ 变换后图形的形状和大小都不会发生改变．
2．如图，△𝐴𝐵𝐶绕点𝑂逆时针旋转得到△𝐷𝐸𝐹，下列结论正确的是（ ）
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A．𝐴与𝐹是对应点
B．𝐴𝐵= 𝐷𝐹
C．∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝑂𝐹
D．𝐴𝐶∥𝐸𝐹
【答案】C
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶绕点𝑂逆时针旋转得到△𝐷𝐸𝐹，
∴点A 与点D 是对应点，点C 与点F 是对应点，故A 选项错误；
𝐴𝐵与𝐷𝐸，𝐴𝐶与𝐷𝐹是对应线段，则𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，故B 选项错误；
∠𝐴𝑂𝐷与∠𝐶𝑂𝐹是旋转角，∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐹，则∠𝐴𝑂𝐷−∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐹−∠𝐶𝑂𝐷，即∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐷𝑂𝐹，故C
选项正确；
无法判断𝐴𝐶，𝐸𝐹的位置关系，故D 选项错误．
3．下列四个图形中，最贴近“将线段𝐴𝐵绕其端点𝐵顺时针旋转”这个描述的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定
义是解题的关键．
【详解】解：A、该图形是由线段𝐴𝐵绕其端点𝐵逆时针旋转得到，不合题意；
B、该图形是由线段𝐴𝐵绕其端点𝐵顺时针旋转得到，符合题意；
C、该图形是由线段𝐴𝐵绕其端点𝐴逆时针旋转得到，不合题意；
D、该图形是由射线𝐴𝐵绕其端点𝐵顺时针旋转得到，不合题意；
故选：B．
4．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形全等
B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
D．图形上可能存在不动的点
【答案】B
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【分析】根据旋转的性质可对A、B、C 进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D 进行判断．
【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A 选项正确，不符合题意；
B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B 选项错误，符合题意；
C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C 选项正确，不符合题意；
D、图形上可能存在不动的点，故D 选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．
重难点六 画旋转图形
1.找到原图所有顶点，依次连接顶点与旋转中心，按照规定方向和角度作出等大夹角；
2.在射线上截取和原线段等长OA = OA′的线段得到对应顶点；
3.最后顺次连接各个新顶点，即可得到旋转后的完整图形，本题型无计算类公式。
1．如图，将方格纸中的图形绕点𝑂逆时针旋转90°后得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知将图形绕点𝑂逆时针旋转90°得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点𝑂逆时针旋转90°后得到的图形是
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故选：C．
2．如图，将正方形图案绕中心𝑂旋转180°后，得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕中心𝑂旋转180°后，得到的图案是𝐶．
故选：𝐶．
3．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后
刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（ ）
A．先绕点𝑃顺时针旋转90°，再向下平移5 格
B．先绕点𝑃顺时针旋转90°，再向下平移4 格
C．先绕点𝑃逆时针旋转90°，再向下平移5 格
D．先绕点𝑃逆时针旋转90°，再向下平移4 格
【答案】B
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【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可．
【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方
块组先绕点P 顺时针旋转90°，再向下平移4 格．
4．如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的方格纸中，△𝐴𝐵𝐶顶点分别在格点上，以点C 为旋
转中心，将△𝐴𝐵𝐶按顺时针方向旋转90°，请在方格纸中画出旋转后的△𝐴′𝐵′𝐶．
【答案】见详解
【分析】本题考查了旋转作图以及旋转性质，根据网格特征以及旋转性质，先分别找出点𝐴′，𝐵′的位置，
再依次连接，即可作答．
【详解】解：△𝐴′𝐵′𝐶如图所示：
5．如图，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐵𝐶= 2cm，以𝐴𝐶的中点𝑂为旋转中心，将△𝐴𝐵𝐶旋转
180°，点𝐴、𝐵、𝐶的对称点分别是𝐷、𝐸、𝐹．
(1)请画出旋转后的△𝐷𝐸𝐹
(2)求出𝐵𝐸的长
【答案】(1)
如图，△𝐷𝐸𝐹即为所求；
小学
初中
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(2)2√5
【分析】本题考查作图-旋转变换，勾股定理，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对
称变换的性质；
（1）利用中心对称变换的性质分别作出𝐴，𝐵，𝐶的对应点𝐷，𝐸，𝐹即可．
（2）根据𝐵𝐸= 2𝑂𝐵，利用勾股定理求出𝑂𝐵即可．
【详解】（1）略
（2）𝐵𝐸= 2𝑂𝐵= 2 × √𝐶𝐵2 + 𝑂𝐶2 = 2 × √22 + 12 = 2√5
