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专题02 数列中的递推
教学目标
1．理解数列的定义与项、首项概念，掌握数列的分类及常见表示方法。
2．理解通项公式与递推公式含义，能区分二者异同并求数列指定项。
3．掌握数列前n 项和定义，能运用an 与Sn 的关系式求数列通项。
4．认识数列的离散型函数本质，能根据定义判断数列的单调性类型。
教学重难点
重点：数列的基本概念、分类及表示方法，通项公式与递推公式的异同。
数列前n 项和的定义，an 与Sn 的关系式及应用，数列单调性判断。
难点：灵活运用an 与Sn 的关系式，分情况求解数列的通项公式。
理解数列的离散型函数本质，根据递推公式推导数列的项。
知识点01 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
数列的递推公式与其通项公式的异同：
相同点
不同点
通项公式
均可确定一个数列,
求出数列中的任意一
项
给出n 的值,可求出数列中的第
n 项
递推公式
由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n 项
【即学即练】
1．已知数列
满足
，则
（ ）
A．11
B．9
C．8
D．7
【答案】A
【详解】因为
，且
，
所以
，
，
，
，
则
.
故选：A.
2．数列
满足
，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1
【答案】B
【详解】数列
中，
，
.
故选：B
知识点02 数列的前n 项和
（1）数列
的前n 项和:把数列
从第
1 项
起到第
n 项
止的各项之和,称为数列
的前n 项和,记作
,即
.
（2）数列的前n 项和公式:如果数列
的前n 项和
与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表
示,那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式.
【即学即练】
3．若数列
的前
项和
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【详解】数列
的前
项和
，则
.
故选：C.
4．设数列
的前
项和为
．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，
当
时，
.
故选：D
知识点03
与
的关系式：
①当
时，
若适合
，则
的情况可并入
时的通项
；
②当
时，
若不适合
，则用分段函数的形式表示.
【即学即练】
5．已知数列
的前
项和
，则
（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】D
【详解】因为
.
故选：D
6．已知数列
的前
项和
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
可得：
，
则
，解得：
.
故选：C.
题型01 利用递推关系求数列的项
【例1】已知数列
满足：
，
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得
，且
，则
，
，
，
，
，
，
，
故选：B.
【例2】正项数列
中，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【详解】法一，
由递推关系式可知，
，
法二，
不妨设
，
，
，
，
.
故选：B
【变式1-1】已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
，
，
，
.
故选：B
【变式1-2】数列
满足
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】B
【详解】由
，所以
，两个式子相除得
，
所以数列
是以2 为周期的周期数列，且
，所以
.
故选：B
【变式1-3】（多选）已知数列
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】数列
，由
和
，
得：
由
，
，得数列周期为 ，
，故 A 正确；
由数列周期为 ，得
，故 B 错误；
由数列周期为 ，
，故 C 正确；
故 D 错误.
故选：AC
题型02 求数列的递推关系式
【例3】数列
的第n 项
与第
项
的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
所以
，
故选：D
【例4】一点从起点
出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走
步且不经过已走过的
路线和点共有
种走法，如
，数列
相邻三项的递推关系式为 ．
【答案】
【详解】解：
，
，
，
，
，
故
，
即
，
故答案为：
【变式2-1】数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是
．又
，则
．
【答案】 n 78
【详解】由已知可得，
，
，
，
，
所以递推公式可以写成
．
所以
．
故答案为：
，78
【变式2-2】分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第
项．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】
【详解】（1）由
，
，
，
故可得，递推公式为
，
，
．
（2）由
，
，
，
所以
，
，
．
【变式2-3】一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下
的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去
，
则图③中共挖掉了 个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式
.
【答案】
【详解】图③中共挖掉了
个，
设每次挖掉的正方形个数为
，
根据图形得，
，
，
，则
，
则递推式为
.
故答案为：
；
.
题型03 数列周期性的应用
【例5】已知数列
满足
，且
，则
【答案】
【详解】由题意得：
，
，
，
所以数列是周期为3 的周期数列，所以
.
故答案为：
.
【例6】在数列
中，如果
，都有
（
为常数），那么这个数列叫做等积数列，
叫做这个数列的公积.已知
是等积数列，
，
，公积为4，则
.
【答案】3377
【详解】由
，
，
，所以
，解得
，
同理由
，
，
，
所以
所以数列
是以3 为周期的数列，
所以
，
故答案为：3377.
【变式3-1】在数列
中，
，
，则
.
【答案】
/0.8
【详解】由题意易知
，
当
时，由
，得
，
由
，得
，
，
，
因此数列
是以为周期的数列，所以
.
故答案为：
【变式3-2】数列
满足
，
，则
.
【答案】
【详解】因为
，
，
所以
，
，
，
，
观察数列项的规律，可以发现数列
是周期为4 的数列：
，
所以
.
故答案为：
.
【变式3-3】已知数列
中，
，
，则数列
前2025 项的和为（ ）
A．0
B．1012
C．2025
D．4048
【答案】C
【详解】因为
，
，
所以
，
，
，
，
，…，
所以数列
是周期为
的周期数列，且
，
所以
.
故选：C.
题型04 累加法求数列的通项公式
【例7】已知数列
满足
，
，则
.
【答案】
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：
.
【例8】定义新运算：
，已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．239
B．225
C．211
D．261
【答案】C
【详解】由
可得
，
故
累加可得
，
故
，
故选：C
【变式4-1】在数列
中，
，则
．
【答案】4
【详解】由
得，
，
所以
，
累加得
．
故答案为：4.
【变式4-2】在数列
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，则
，
，
，
，
…
，
以上各式累加得
．
所以
．
因为
也适合上式，
所以
．
故选：B.
【变式4-3】已知数列
满足
，
，求
．
【答案】
，
【详解】因为
，
所以
．
所以
．
又
也符合上式，所以
，
．
累加法：适用于
，求
具体过程：
两边分别相加得
题型05 累乘法求数列的通项公式
【例9】已知数列
中，
，则
.
【答案】
【详解】
，
，
，即
，
.
故答案为：
.
【例10】已知数列
满足
，
，求
.
【答案】
【解析】由递推式利用累乘法求得通项公式．
【详解】∵
，∴当
时，
，
∴
，
检验，当
时符合，∴
．
【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题方法是累乘法．在已知递推式
时，常用累乘法求通
项公式．
【变式5-1】已知数列
中，
，则数列
的通项公式
.
【答案】
【详解】由
得
，
以上式子相乘得
，又
，又
符合
故答案为：
.
【变式5-2】已知
，
，求数列
的通项．
【答案】
【详解】已知
，
则
，
，
已知
，由
，
故数列
的通项为：
.
【变式5-3】在数列
中，
，则
.
【答案】
【详解】依题意，
，
即
，
所以
.
故答案为：
【点睛】累乘法求数列的通项公式，主要把握住
.
累乘法：适用于
，求
具体过程：
，两边分别相乘得
题型06 已知Sn 求通项公式an
【例11】已知数列
的前n 项和
，前n 项积记为
，当
取最大值时，n 的值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【详解】当
时，
，
又
，符合上式，故
，
又
，故数列
为递减数列，
又
，故
时，
；
时，
，
故当
取最大值时，n 的值为4.
故选：C.
【例12】数列
的前
项和记为
，若
，则
.
【答案】
【详解】当
时，
,
当
时，
不满足上式，
故
故答案为:
【变式6-1】已知数列
的前n 项和为
，则数列
的前10 项和为 ．
【答案】0
【详解】
数列
的前n 项和为
，
数列
的前10 项和为
.
故答案为：0.
【变式6-2】已知数列
的前
项和为
，且
，则
．
【答案】
【详解】当
时，
；
当
时，
由于
不适合此式，所以
.
故答案为：
.
【变式6-3】已知数列
的前
项和
，则当
时，
．
【答案】
【详解】由数列
的前
项和
，
当
时，
.
故答案为：
题型07 递推式含n 项求通项公式an
【例13】若数列
满足
，则数列
的通项公式
.
【答案】
【详解】因
，则
，
两式相减得
，
当
时，
，不符合上式，
故
.
故答案为：
【例14】已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
．
【答案】
【详解】已知
①.
当
时，
②.
用①式减去②式可得：
，解得
.
当
时，
，将
代入
可得
，满足上式.
数列
的通项公式为
.
故答案为：
.
【变式7-1】在数列
中，
，则
的通项公式为 .
【答案】
【详解】数列
中，
，
时，有
，
时，由
，得
，
两式相减得
，即
，
时，也满足
.
所以
.
故答案为：
【变式7-2】已知数列
满足
，则
的通项公式为 .
【答案】
【详解】数列
中，
，
当
时，
，
两式相减得
，解得
，而
，即
满足上式，
所以
的通项公式为
.
故答案为：
【变式7-3】已知正项数列
，满足
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．2024
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以当
时，
，
两式相减，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为数列
为正项数列，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，
所以
，
所以
故选：D．
一、单选题
1．已知数列
满足：
，则数列
的前4 项和
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【详解】由数列
满足：
，可得
，
因为
，可得
，
，
，
所以
.
故选：D.
2．若数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意
，
，
所以
.
故选：A
3．设数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【详解】已知
，则
，
，
，
，
可见此数列为周期是3 的周期数列，
，
，故D 正确．
故选：D．
4．在数列
中，
，且
，则
（ ）
A．1026
B．1029
C．1032
D．1035
【答案】A
【详解】由题意可得：
，
，
，
，
，
各式相加可得
，
因为
，所以
.
故选：A
5．若数列
满足
，则
（ ）
A．32
B．10
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
①，当
时，
，
当
时
②，
①减②得
，所以
，当
时
也成立，
所以
，所以
.
故选：C
二、多选题
6．已知数列
的前
项和为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】因为
，
，所以
，
，
，
，依此类推可得数列
是
以3 为周期的周期数列.
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，则
，故B 正确；
对于C，
，则
，故C 正确；
对于D，
，
又
，则
，故D 错误.
故选：BC
7．已知数列
的前
项和公式为
，则下列说法正确的是（ ）
A．数列
的首项为
B．数列
的通项公式为
C．数列
为递减数列
D．数列
为递增数列
【答案】ABC
【详解】对于A，因为
，
所以当
时，
，知A 正确；
对于B，当
时，
，
当
时，也满足上式，故数列
的通项公式为
，故B 正确；
对于CD，
，
所以数列
为递减数列，故C 正确，D 错误.
故选：ABC.
三、填空题
8．已知数列
的前n 项和
，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】当
时，
；
当
时，根据
.
当
时，
上式也满足，
故
若
，则
，
但且仅当
时取等号.
所以则
的最小值为
.
故答案为：
.
9．已知数列
满足
，记数列
的前n 项和为
，则
.
【答案】15
【详解】当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
所以
.
故答案为：15
10．在数列
中，
，当
时，
，则
.
【答案】
/
【详解】
，
，
为常数列，
，
，
，
，
.
故答案为：
.
11．已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【详解】由
，
当
时，
，
当
时，
，
两式相减，得
，即
，
所以
，
所以
，
所以
，
由于
时，不满足上式，
所以
.
故答案为：
.
四、解答题
12．分别写出下列数列
的一个递推关系，并求出各个数列的第7 项：
(1)4，5，7，10，14，…；
(2)7，9，11，13，15，…；
(3)2，6，18，54，162，…
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：由题意知
，
，
，
，
，
即
，
，
，
该数列的第7 项
.
（2）解：由题意知
，
，
即
，
，
该数列的第7 项
.
（3）解
，
，
即
，
，
该数列的第7 项
.
13．（1）若数列
满足
，
，求
；
（2）设数列{an}满足
，写出这个数列的前5 项.
【答案】（1）
；（2）
【分析】
【详解】（1）根据题意可得
，
，
，
，
，
∴
是周期为4 的数列，于是
.
（2）根据题意，这个数列的前5 项如下：
，
所以，
，
，
，
.
14．已知数列
的前
项和为
．
(1)求
的最大值；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
当
时，
，
，
单调递增，
当
时，
，
，
单调递减，
所以
，
所以
的最大值为
.
（2）当
时，
，所以
，
当
时，
符合
的情况，
所以
.
