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专题06 零点及二分法9 大题型
考点01 函数的零点
考点02 判断零点区间及已知零点区间求参数
考点03 判断零点的个数
考点04 已知零点个数求参数
考点05 已知零点分布求参数
考点06 比较零点的大小
考点07 零点之和
考点08 镶嵌函数的零点问题
考点09 二分法
考点01 函数的零点
1．函数
的零点为1，2，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【详解】因为函数
的零点为1，2，所以方程
的根为
，
由根与系数关系得
.
所以不等式
即为
，
，
所以不等式的解集为
或
.
故选：D.
2．函数
的零点为 .
【答案】2
【详解】因为
，所以该函数的定义域为
.
令
，即
，
所以
，解得
（舍去）或
.
故答案为：2.
3．函数
的零点为 ．
【答案】
【详解】由
，得
．
故答案为：
4．函数
的零点为 .
【答案】
和6
【详解】当
时，令
即
，解得
（舍去）或
；
当
时，令
即
.
综上可得函数
的零点为
和
.
故答案为：
和6
5．已知函数
的一个零点为
，则
的单调递增区间为 .
【答案】
【详解】
，解得
，
即
，
故
的单调递增区间为
.
故答案为：
.
考点02 判断零点区间及已知零点区间求参数
6．方程
的解所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
和
都是
上的增函数．
故
是
上的增函数．
，
，
，
，
则
，所以A
错误．
，所以B 错误．
，所以C 正确．
，所以D 错误．
故选：C．
7．若函数
在
上存在零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，因为
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，因此函数
在
上为增函数，
因此，函数
在
上存在零点的充要条件是
且
，
所以
，即
，解得
故选：B
8．函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意有：
在
单调递增，又
，
所以存在
，使得
，
故选：B
9．下列区间中，包含函数
零点的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
在定义域内递增，
，
，
根据零点存在性定理可知，在
内一定存在
的零点．
故选：D.
10．已知函数
为幂函数，若函数
，则
的零点所在区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
为幂函数，
所以
，解得
，所以
，
.
因为
，
，
，
，
，
由解析式可知
在
上单调递增，
所以
在
上有唯一零点.
故选：B.
11．若函数
的零点所在区间为
，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
的定义域为
，
函数
在
上都单调递减，
因此函数
在
上单调递减，由函数
的零点所在区间为
，
得
，则
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
故选：A
考点03 判断零点的个数
12．函数
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，可得
。解得
，所以函数
只有一个零点，
故选：B．
13．函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】函数的定义域为
，
令
，可化为
，即
，
解得
或
，
又
，则
，
所以函数
的零点个数为.
故选：B.
14．（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
有2 个零点
B．存在负数
，使得
仅有1 个零点
C．存在负数
，使得
有3 个零点
D．存在正数
，使得
有3 个零点
【答案】ABD
【详解】选项A：当
时，
，令
，则
. 若
时，
；
若
时，
；因此
有2 个零点，A 正确.
选项B：当
时，直线
斜率为负，恒过点
.
结合图象可知，随
值的变化，当
与
相切时，仅有1 个交点，故存在负数
，使得
仅有1 个零点，B 正确.
选项C：当
时，直线
斜率为负，恒过点
，且单调递减.
当直线
经过
时，
.
当
时，直线
与
有2 个交点；
当
时，若直线
与
相切，此时仅有1 个交点，若直线
与
相交，有2 个交点；
故函数
与函数
最多只有2 个交点.C 错误.
选项D：当
时，直线
斜率为正，恒过点
，且单调递增.
当
时，
与
必有1 个交点；
当
时，
单调递增. 结合图象可知，此时最多有2 个交点.
存在正数
，使得
有3 个零点. D 正确.
故选：ABD.
15．已知函数
，则函数
的零点个数为 ．
【答案】
【详解】函数
的零点个数等价于
与
的交点个数，
当
时，
单调递增，此时
；
当
时，
单调递减，此时
；
当
时，
单调递增，此时
；
时取得极小值
，
如图：
由图可知
与
有三个交点，故函数
有三个零点.
故答案为：
16．已知
，则函数
的零点个数为 .
【答案】5
【详解】由
，得
或
，
当
时，
或
，解得
或
或
；
当
时，
或
，解得
或
，
所以函数
的零点个数为5.
故答案为：5
17．已知函数
，则函数
的零点个数为
.
【答案】2
【详解】
，
和
的大致图象如图所示，
，
，
，
，
，
，
则
与
的图象必有两个交点，
则
有且仅有两个零点.
故答案为：2.
考点04 已知零点个数求参数
18．（多选）已知函数
，关于
的方程
有且只有一个实根，则实数
的
取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】方程
有且只有一个实根，即
与
有且只有1 个交点，
作出
的图象与
的图象，如下：
则当
时，
与
有2 个交点，
当
时，
与
有且只有1 个交点，
故BCD 符合条件
故选：BCD
19．已知
，函数
．
（1）当
时，不等式
的解集是
（2）若函数
恰有2 个零点，则a 的取值范围是
【答案】
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
当
时，由
可得
，则有
；
当
时，由
可得
，则有
.
综上，不等式
的解集为
；
（2）因
有一个零点为4，而
有两个零点，分别为1 和3.
若函数
恰有2 个零点,可以分成两种情况：
①当函数
有1 和4 两个零点时，如图1 所示，需使
；
②当函数
有1 和3 两个零点时，如图2 所示，需使
.
综上可得，
.
【点睛】思路点睛：本题主要考查分段函数的由零点个数求参问题，属于难题.
一般先求出每段上函数的零点，结合函数图象，由题意中零点个数分析分段点的临界位置，动态理解图象
即可求得参数范围.
20．已知
.
(1)画出
的图象；
(2)写出
的单调区间;
(3)函数
有
个零点时，求实数
的取值范围.
【答案】(1)图象见解析
(2)增区间：
；减区间：
(3)
【分析】
【详解】（1）∵
，则
的图象如图所示：
（2）由图可知，函数
的单调递增区间为：
；单调递减区间为：
；
（3）令
，有
，则转化为
与
有四个交点即可.
由图易知：
21．已知函数
．
(1)求函数
的零点；
(2)若方程
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)8
(2)
【分析】
【详解】（1）由
，得
，
∴
，解得
，
∴函数
的零点为8．
（2）令
，则
，
方程
，即
，
即
，即
，
由题意可知：
，
解得：
或
，
∴
的取值范围是(
．
考点05 已知零点分布求参数
22．已知函数
有两个不相等的正零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
的两个不等正零点为
，
即
的两个不等正根为
，
故
，解得
，
故
的取值范围是
.
故选：C
23．已知函数
与
的零点分别为m 和n，若存在m，n 使得
，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】对于函数
，
明显函数
在定义域上单调递增，
在定义域上单调递减，
所以函数
在定义域上单调递增，
又
，所以
，
所以
，即
，
即函数
在
上存在零点，
令
，得
，
令
，
，
对于函数
，由对勾函数的性质可得其在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，
所以
的值域为
，
所以实数
的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：本题考察函数零点问题，关键是求得
的值，并转化为已知函数零点的范围，求参
数的取值，后面利用参变分离，转化为函数的值域问题，问题就会迎刃而解.
24．已知关于
的方程
有一正一负两个实数根，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】设方程
的一正一负两个根为
，
则
，解得
，
故答案为：
.
25．关于
的方程
，若方程满足一个根在
内，另一个根在
内，求
的取值
范围.
【答案】
【详解】若方程
一个根在
内，另一个根在
内，
令
，
则
，解得
，
即
的取值范围是
.
考点06 比较零点的大小
26．已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
得
，
由
得
，由
得
.
在同一平面直角坐标系中画出
的图象，由图象知
.
故选：B.
27．设
分别为函数
的零点，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于
，令
，即
，解得
，所以
.
对于
，令
，即
，变形为
.
零点b 可以看作
，
的交点的横坐标，
对于
，令
，即
，变形为
.
零点c 可以看作
，
的交点的横坐标，
画出草图如下，可以知道
.
故选：B.
28．（多选）已知函数
的零点分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】易知
与
在
上均单调递增，故
在
上单调递增，
对于A、B：又因为
，
，
根据零点存在定理，函数
存在零点
，故A 正确，B 错误；
对于C、D：
，故
的零点为
，即
，故
，故C 错误，D 正确.
故选：AD.
29．已知函数
，
，
的零点分别为
，
，，则
下列说法正确的是 .
①
②
③
④
【答案】①②③
【详解】对于命题①，将
代入
，得
，
当
时，
，
，故
，
当
时，
，
，故
，
故①正确.
对于命题②，
的零点
满足：
.
的零点
满足：
。
令
，则
的零点对应
，
令
的零点对应
.
综上，
，
可以看成函数
，
与
的交点，
函数
与
互为反函数(关于
对称)，因此
，即
，
故
，故②正确.
对于命题③，④，因为函数
和
均单调递增，
函数
是增函数，又因为
，
，
根据零点存在性定理只有一个零点，故
.
函数
和
均递增，所以
是增函数，
，
(因为
)，
同理也存在一个零点，故
结合
，得
，故③正确，④错误.
故答案为：①②③
30．若
，
，
，则
，
，
由小到大的顺序是
【答案】
【详解】依题意，
，
，
，
，
，
，
因此，
成立的
值是函数
与
的图象交点的横坐标
，
成立的
值是函数
与
的图象交点的横坐标
，
成立的
值是函数
与
的图象交点的横坐标
，
在同一坐标系内作出函数
，
，
，
的图象，如图，
观察图象，得
，即
，
所以
，
，
由小到大的顺序是
.
故答案为：
.
考点07 零点之和
31．已知函数
，若
有四个实根，从左到右依次为
且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
有四个实根等价于
与
有三个或四个交点；
若有三个交点，则
或
；若有四个交点，则
且
；
作出
大致图象如下图所示，
结合图象可知：
，
，
；
令
，则
，
由图象可知
，
，则
，
；
，
，
，
若
，则
，整理可得：
恒成立，
，
，
，解得：
；
综上所述：
；
当
时，
，
，
即
的取值范围为
.
故选：D.
32．已知函数
若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的图象如下图所示：
二次函数
，对称轴为
，
设
，
因为
，由图
，
显然
，
，
所以
，
故选：C
33．函数
是R 上的奇函数，函数
，若函数
与
有n 个交点分别为
，
，
，
，则
的值为（ ）
A．2n
B．3n
C．4n
D．5n
【答案】D
【详解】由
是R 上的奇函数，则
的对称中心为
，
由
，显然
的对称中心为
，
由函数
与
有n 个交点分别为
，
，
，
，
所以
，
，
所以
.
故选：D
34．若
是
的零点，
是
的零点，那么
的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】C
【分析】
【详解】解法1：
根据题意，可得
①，
②，
所以
，
，即
，
令
，代入上式得
，
所以
，即
，
而
在
上为增函数，
故与②式比较得
，于是
，即
.
故选：C．
解法2：
令
，化简得
，
令
，化简得
，
令
，则
，
，
故
为
的解，
为方程
的解，
由于
与
的图象关于直线
对称，故
，所以
．
故选：C．
35．（多选）已知函数
若
（
），
则（ ）
A．
B．
的值可能为25
C．
D．
的值可能为32
【答案】ABD
【详解】由解析式，在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
，
，可得函数大致图象如下，
由
，且
，则
，
所以
，易知
，且
，
所以
，
，
综上，
.
故选：ABD
36．设
满足
满足
，则
.
【答案】1
【详解】
，
所以
是
的根，
也是方程
的根，
函数
是增函数，所以
，则
.
故答案为：1.
考点08 镶嵌函数的零点问题
37．已知
，则函数
的零点个数为（ ）
A．8
B．7
C．5
D．3
【答案】B
【详解】由
，或
，
函数
的图象如下图所示：
由数形结合思想可知：函数
的图象与函数
、
的图象一共有
个交点，
所以函数
有7 个零点.
故选：B
38．（多选）已知函数
，
，若方程
有且仅有5 个不
相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．最大的整数解是4
D．最小的整数解是
【答案】BCD
【详解】因为当
时，
，当且仅当
时取等号，
当
时，
，
因为
在
单调递减，而
单调递增，
所以
在定义域内单调递减，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数
的大致图象，如下：
令
，则
，即
，根据
的图象可知，
要满足题意必须
有两个不等根
，且
有两个整数根，
有三个整数根，
当且仅当
时，有两个整数根
或
．
要满足
有三个整数根，结合图象知必有一根大于0 小于2，
显然只有
符合题意，当
时，
，则
．
即
的两个不相等的根为4 和5，所以
，
．故A 错误，B 正确．
解方程
得
或
，解方程
得
，
此时五个整数根从小到大依次是
，
，，
，
，故C，D 正确．
故选：BCD．
39．已知函数
，若方程
有五个不同的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，由
可得
，
即
，解得
或
，
当
时，即当
时，
，
当
时，
，
，
作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，直线
与函数
的图象有两个交点，
又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线
与函数
的图象有三个交点，
由图可得
，故实数
的取值范围是
.
故选：A.
40．已知函数
且
有8 个不同的实数根，则
的取值范围是
.
【答案】
【详解】作出
的图像，如图：
设
，当
时，函数
的图像与直线
有四个交点，
故
在
上有两个零点，
所以
，即
解得
所以
的取值范围是
故答案为：
41．已知函数
，若方程
有且仅有3 个根，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【详解】方程
即
，
显然
为方程
的一个根，
由题意方程
有2 个非零根，则函数
与
有两个交点，
画出函数
的图象，如图所示：
由图可知
，故实数
的取值范围为
.
故答案为：
考点09 二分法
42．小丁同学用二分法求方程
在
内近似解的过程中，由计算可得
，则小丁同学在下次应计算的函数值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，则方程的解应该落在区间
内，
根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即
.
故选：D.
43．用二分法求函数
在区间
内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区
间的次数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】因为区间
的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过
次二分法的操作，区间的长度变为
，
由
，解得
.
故选：C.
44．用二分法求方程
在
上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为
（ ）
A．
或
都可以
B．
C．
D．不能确定
【答案】B
【详解】设
，则
，
，第一次取
，有
，
故第二次取
，有
，
故此时可确定近似解所在区间为
．
故选：B．
45．已知函数
在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解
的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为
；
区间[0，5]长度为
，经过
次二分以后区间长度为
，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以
，化简得到
，
因为
，所以
，所以
；
故选：C
46．已知函数
在区间
内有且仅有1 个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，
经过2 次二分法后确定的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，且
，
，得
在
内有零点；
由
，且
，
，得
在
内有零点；
所以经过2 次二分法后确定的零点所在区间为
．
故选：B
47．若在用二分法寻找函数
零点的过程中，依次确定了零点所在区间为
，
，
，则
．
【答案】1
【详解】根据指数函数与反比例函数的性质，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上至多有一个零点．
又由二分法依次确定了零点所在区间为
，
对于区间
，由二分法知对应下一个区间有
或
，
当区间为
时，显然
不成立，故下一个区间为
，
所以
，化简得
．
