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专题 09 二项式定理 9 大考点
考点 01 二项式定理的正用、逆用
考点 02 二项式展开式的通项应用
考点 03 求两个多项式积的特定项
考点 04 余数和整除的问题
考点 05 近似计算
考点 06 求三项式的特定项
考点 07 二项展开式的系数和问题
考点 08 二项式系数及系数的最值问题
考点 09 杨辉三角
考点 01 二项式定理的正用、逆用
1．若
（a，b 为有理数），则
（
）
A．44
B．32
C．28
D．52
【答案】A
【详解】利用二项式定理展开，得
，
，
，
即
，
故选： ．
2．已知
，则实数
【答案】
【详解】因为
，
所以
，
故
.
故答案为：
.
1 / 19
3．设
的小数部分为 ，则
.
【答案】7
【详解】因为
，所以
的整数部分为 3，
则
，即
，
所以
，
故
.
故答案为：7
4．化简：
．
【答案】
【分析】
【详解】
，
故答案为：
5．求多项式
的展开式.
【答案】
【详解】
，
.
考点 02 二项式展开式的通项应用
6．在
的展开式中，
的系数为（
）．
A．
B．8
C．
D．48
【答案】A
2 / 19
【详解】
的展开式的通项公式为
，
令
，解得
，
，
的系数为
，故 A 正确．
故选：A．
7．若
，则
（ ）
A．180
B．
C．360
D．
【答案】A
【详解】
，
故通项公式为
，
令
得
，故
，
故
.
故选：A
8．已知
的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，将展开式中所有的项重新随机排列，则
有理项互不相邻的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，
所以
，得
，
所以
的展开式的通项为
，(
)，
当
或
时，
为整数，所以展开式 9 项中，有理项有 2 项，
若将展开式中所有的项重新随机排列，则所有的排列共有
种，其中有理项互不相邻的排列有
种，
所以所求的概率为
.
3 / 19
故选：B
9．在
展开式中，
的系数为
，那么实数
．
【答案】2
【详解】由
，所以通项公式
.
令
，解得
，
所以
的系数为
.
故答案为：2
10．二项式
的展开式中常数项为
（用数字作答）．
【答案】
【详解】设通项为
，
令
，得
，则
．
故答案为：
11．在
的展开式中，所有有理项的系数和等于
.（用数字作答）
【答案】512
【详解】
展开式的通项为
，
是偶数 0，2，4，⋯，10 时
是有理项，
所以有理项的系数和等于
，
故答案为：512.
考点 03 求两个多项式积的特定项
12．若
，则
（ ）
A．8
B．
C．2
D．42
【答案】B
【详解】二项式
展开式的通项公式为
，
因此
展开式含
的项为
，
所以
.
故选：B
4 / 19
13．在
的展开式中
的系数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，
，
二项式
展开式的通项为
，
因此
的展开式中含
的项为
，
所以所求系数为
.
故选：A
14．
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【详解】解法一：因为
，
所以展开式中
的系数为 1；
解法二：
展开式中
的项为
，
所以
的系数为 1.
故选：C
15．若
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于 A，令
，得
，即
，故 A 错误；
对于 B，
展开式的通项公式为
，
所以
，故 B 错误；
对于 C，令
，得
，
即
，故 C 正确；
对于 D，令
，得
，
即
，
5 / 19
因为
，
所以
，
因为
，
所以
不成立，故 D 错误.
故选：C
16．
的展开式中
的系数为
.
【答案】15
【详解】
展开式的通项为
，
则
的展开式中
项有两种情况：
①当
时，展开式中含
项为
，系数为
；
②当
时，展开式中含
项为
，系数为
.
所以
的展开式中
项的系数为 15.
故答案为：15
17．在
的展开式中按 的升幂排列的第 3 项是
．
【答案】
【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，由题知，所求的项为
项，
又
的二项展开式的通项公式为
，
的二项展开式的通项公式为
，
故所求为
，
故答案为：
.
考点 04 余数和整除的问题
18．若
既能被 整除又能被 整除，则正整数 的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
既能被 整除又能被 整除，故
能被
整除，
因为
6 / 19
，
且
能被
整除，故
能被
整除，
设
，可得
，故 的最小值为
.
故选：D..
19．若
，则
被 整除的余数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，得
，
令
，得
，
两式相减得
，
所以
．
因为
能被 8 整除，
被 8 整除的余数为 3，
所以
被 8 整除的余数为 3，
故选：C．
20．若 是正整数，则
除以 8 的余数是
．
【答案】7
【详解】根据二项式定理可知，
，
又
所以
除以 8 的余数为 7.
故答案为： 7
21．已知
，且
恰能被 整除，则
的最小正整数取值为
．
【答案】5
【详解】
因为
能被 整除，
所以
除以 的余数是 ，故
的最小正整数为 .
7 / 19
故答案为： .
22．已知
，求证：
能被
整除．
【答案】证明见解析
【详解】令
，则
，
显然上式能被 整除，即能被
整除，得证.
23．今天是星期天，过
天后是星期几？
【答案】星期四．
【详解】由
，
其中
可以被 7 整除，
所以过
除以 7 的余数为 4，故
天后是星期四．
考点 05 近似计算
24．
的第一位小数为 ，第二位小数为
，第三位小数为
，则
分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
故
分别为
.
故选：A.
25．
的小数点后第三位数字为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
因此，
的小数点后第三位数字为 .
故选：A.
26．
最接近下列哪个数字（
）
A．1.20
B．1.21
C．1.22
D．1.23
【答案】C
【详解】由题意得
，
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由二项式定理得
，
而从第 3 项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，
所以我们得到
，
则其与 1.22 更接近，故 C 正确.
故选：C
27．某放射性物质的质量每年比前一年衰减
，其初始质量为
，
年后的质量为
，则下列各数中与
最接近的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知
故选：C
28．求
精确到 0.001 的近似值．
【答案】0.951
【详解】依题意，
.
所以
精确到 0.001 的近似值为
.
考点 06 求三项式的特定项
29．
的展开式中
的系数为（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【详解】
的通项公式
，
令
，则
，所以
的系数为
故选：B
30．
的展开式中，
的系数为
【答案】
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【详解】 个因式， 个因式中取
， 个因式中取
， 个因式中取
，
即可得出含
的项，
则
的系数为
，
故
的系数为
.
故答案为：
.
31．
的展开式中
项的系数是
.
【答案】60
【详解】由
的展开式的通项公式可得
，
令
，
；
因为
，所以
项的系数是
.
故答案为：60
32．在
展开式中，
的系数为
．
【答案】180
【详解】
，若满足题意可知其展开式为
，
其
的展开式中通项
，令
可得
，
所以系数得 180，
故答案为：180．
33．已知在
展开式中含
的项的系数为 51，则正实数 a 的值为
．
【答案】1
【详解】由
展开式中
，
所以
，
解得
或
（舍）．
故答案为：
34．已知
展开式中有一项是
，则
.
【答案】3367
【详解】因为
展开式中每一项的次数均为 ，故
；
从而含有
的项为
，
10 / 19
所以
，故
.
故答案为：
考点 07 二项展开式的系数和问题
35．（多选）在
的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为 128，则（
）
A．二项式系数和为 64
B．各项系数和为 64
C．常数项为 135
D．常数项为-135
【答案】ABC
【详解】令
，得各项系数和为
，又二项式系数和为
，
所以
，解得
，
所以
，故 AB 正确；
展开式的通项公式为
，
令
，求得
，故常数项为
，故 C 正确，D 错误；
故选：ABC.
36．若
，则
；
．
【答案】
【详解】令
，可得
，
令
，可得
，①
∴
；
令
，可得
，②
①②两式相加，可得
.
故答案为：
37．若
，则
（用数字作答）
【答案】
【详解】令
，则
，
令
，则
，
所以
.
故答案为：
38．若
，则
.
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【答案】49
【详解】
中，
令
得
，
中，
令
得
，即
，
解得
.
故答案为：49
39．已知
的展开式的二项式系数和为 64，各项系数和为 729，则其展开式的常数项为
．
【答案】240 或 3840
【详解】由
的展开式的二项式系数和为 64 可得，
，解得
，
又
的展开式各项系数和为 729，
令
，得
，
解得
或
.
的展开式的通项为
，
令
，解得
，
所以展开式的常数项为
，
当
时，
，
当
时，
.
故答案为：240 或 3840.
40．已知
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
12 / 19
所以
，
令
，得
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
令
得
，即
，
因为
且
，
令
，即
，得
，
所以
.
考点 08 二项式系数及系数的最值问题
41．已知二项式
的展开式中，二项式系数的和为
，则二项式系数最大的项是（ ）
A．第 3 项
B．第 、 项
C．第 4 项
D．第 、 项
【答案】C
【详解】因为
的展开式中，二项式系数的和为 64，所以
，解得
；所以该二项式的展开
式共 7 项，所以二项式系数最大的项为第 4 项.
故选：C．
42．
的展开式中，系数最小的项为
.
【答案】
【详解】二项式
的展开式的通项是
，
展开式中各项的系数为
，
由二项式系数的性质知
的值最大，则展开式中各项的系数中
最小，
则系数最小的项为
.
故答案为：
.
43．写出在
的展开式中系数最大的项
．
【答案】
【详解】 二项式
的通项为：
，
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展开式的系数为
，
当 为奇数时，系数为负数，当 为偶数时，系数为正数，
展开式中系数最大的项出现在
中，
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
当
时系数最大，即
．
故答案为：
．
44．已知
，二项式
展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值
为
，系数最大值为
．
【答案】
70
7
【详解】二项式
通项公式为：
，
所以第一项的系数为：
，第二项的系数为：
，
第三项的系数为：
，
由于前三项的系数成等差数列，
所以
，解得
，或
，
因为至少有前三项，所以
（舍），故
，
所以二项式系数的最大值为
.
二项式
通项公式为：
，
14 / 19
设第 项的系数最大，故
，
即
，即
，
解得
，
因为
，所以
或
，
故系数最大的项为
或
.
故系数最大值为 7.
故答案为：70；7.
45．已知
的展开式中第
项为
，
，且第三项和第九项的二项式系数相等．
(1)求第四项的二项式系数与系数；
(2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值．
【答案】(1)第四项的二项式系数为
；系数为
(2)二项式系数的最大值为
；系数最大值为
【分析】
【详解】（1）已知
的展开式中第
项
，
，且第三项和第九项的二项式系数相等．
即
，故
；
又展开式的通项为
，故
，
所以第四项的二项式系数为
，系数为
；
（2）因为
是偶数，故二项式系数的最大值为
，
因为
，故
，
因为
，
令
，得：
，因为 是正整数，故
时，
；
时，
，
所以第 8 项的系数最大，最大值为
．
15 / 19
46．在
的二项展开式中，求：
(1)常数项；
(2)系数最大项．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
的展开式通项为
，
令
，可得
，
故展开式中的常数项为
.
（2）令
，
假设在
、 、
、
中
最大，则
，即
，
即
，解得
，
因为
，则
，所以展开式中系数最大的项为
.
考点 09 杨辉三角
47．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种
几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（
）
A．在第 10 行中第 5 个数最大
16 / 19
B．第 2023 行中第 1011 个数和第 1012 个数相等
C．
D．第 6 行的第 7 个数､第 7 行的第 7 个数及第 8 行的第 7 个数之和等于第 9 行的第 8 个数
【答案】D
【详解】对于 A，因“杨辉三角”的第 10 行中第 5 个数是
，又
，故 A 错误；
对于 B，因“杨辉三角”的第 2023 行中第 1011 个数和第 1012 个数分别为
和
，
因
，故
，故 B 错误；
对于 C，因
，
………
则
，故 C 错误；
对于 D，因
，而
，故 D 正确.
故选：D
48．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第 n 行是
的展开式的二项式系数，直观解释
了二项式系数规律.记第 行从左至右的第 个数为
，若
被 675 除所得的余数为
，则
，
.
【答案】
26
325
【详解】对于第一空，
因为
所以
被 675 除所得的余数为 26；
对于第二空，由图可得第
行，第 个数为
展开式的第 项二项式系数.
则
.
17 / 19
故答案为：
；
.
49．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三
角”的一部分（如图），记第 n 行的第 i 个数为 ，则
.
【答案】
【详解】由题意，根据二项展开式的性质，可得
，
则
.
故答案为：
.
50．如图所示，在杨辉三角中，斜线
上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列： ， ， ， ， ， ，
，
记这个数列前 项和为
，则
．
【答案】
【详解】解：由“杨辉三角”性质，得：
．
故答案为：799
51．南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数
在三角形中的几何排列．按照这一规律，第 9 行第 8 个数是
．
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【答案】36
【详解】由图分析，第 0 行的数为 1，第 1 行的数为
，
第 2 行的数为
，
第 3 行的数为
……
因此，第 n 行第 m 个数为
，所以第 9 行第 8 个数是
.
故答案为：
19 / 19
