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专题2.3 方程组的解集
教学目标
1.帮助学生掌握方程组解集的写法；
2.使学生理解消元思想；
3.让学生经历求解方程组的过程，逐步提升学生的代数推理能力.
教学重难点
教学重点：方程组解集的书写，求解方程组.
教学难点：方程组的解法.
知识点01 方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的
解集．
注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．
（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其
中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
【即学即练】方程组
的解集是 ．
知识点02 二元一次方程组
方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是
1 ，并且一共有两个方程，像这样的方
程组叫做二元一次方程组．
【即学即练】方程组
解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 三元一次方程组
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是
1 ，并且一共有三个方程，像这样的方
程组叫做三元一次方程组．
【即学即练】方程组
的解集的是（ ）
A．{(1，－2，3)}
B．{(1，0，1)}
C．{(0，－1，0)}
D．{(0，1，－2)}
知识点04 二元二次方程组
二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高
次数为
2 ，像这样的方程叫做二元二次
方程．
二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为
2 ，并且一共有两个方
程，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个
二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型．
(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次．
【即学即练】解方程组
题型01 不含参二元一次方程组
【典例1】解下列方程组：
(1)
；
(2)
．
【变式1】解方程组：
【变式2】解方程组：
【变式3】解下列方程组：
(1)
(2)
【变式4】解方程组：
题型02 含参二元一次方程组
【典例1】关于x，y 的方程组
与方程组
有相同的解，求
的值．
【变式1】关于x，y 的二元一次方程组
的解满足
，则
．
【变式2】若关于
，
的方程组
的解满足
，则
的值为 ．
【变式3】要使方程组
有正整数解，则整数
有 个．
【变式4】二元一次方程组
，它的解x 和y 值相等，则a 的值为 ．
题型03 三元一次方程组
【典例1】解方程组
．
【变式1】三元方程组
消去未知数
后，得到的二元一次方程组可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】三元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】解方程组：
．
【变式4】解方程组：
消元法解三元一次方程组的两个注意点
(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去
的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的．
题型04 二元二次方程组的解（二次幂+一次幂）
【典例1】解方程组
．
【变式1】解方程组：
【变式2】解方程组：
【变式3】解方程组：
【变式4】解方程组：
．
把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可
知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解
也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一
元二次方程的根的判别式来判断．
题型05 二元二次方程组的解（二次幂+二次幂）
【典例1】解方程组：
．
【变式1】解方程组：
【变式2】解方程组：
．
【变式3】解方程组：
【变式4】解方程组：
解“二次幂+二次幂”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一
般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别
与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二次幂+一次幂”型方程组．解这两个“二次幂+一次幂”
型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到
的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四
个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
题型06 根据解集求参数
【典例1】已知
，
满足方程组
且
，则
.
【变式1】若关于x，y 的方程组
与
的解集相等，则a、b 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】设
是实数，若关于
的方程组
的解集为
，则实数
所满足的条件为
.
【变式3】若关于x、y 的二元一次方程组
的解集为
，则实数
．
【变式4】若关于
的方程组
有无穷多组解，则
的值为
题型07 方程组在实际问题中的应用
【典例1】乐山市某小区物业对面积为3600 平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接
力完成，甲园林队每天绿化200 平方米，乙园林队每天绿化160 平方米，两队共用21 天．求甲乙两个园林
队在这项绿化工程中分别工作了多少天．
【变式1】《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三
十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1 斗，价值50 钱；行酒（劣质
酒）1 斗，价值10 钱；现有30 钱，买得2 斗酒，问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为
斗，行酒为
斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各
容几何．意思是：有大小两种容器，已知5 个大容器和1 个小容器的总容量为3 斛（斛是过去的一种量
器），1 个大容器和5 个小容器的总容量为2 斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1 个大容器的容量为
斛，1 个小容器的容量为
斛，可列出的二元一次方程组为 ．
【变式3】七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20 名成员各买了一张缆车票，共
花费1180 元．缆车票价如下表所示，则他们购买的车票中有 张往返票．
票
种
票价/元
往
返
80
单
程
45
【变式4】某车间有
名工人，每人每天能生产螺栓
个或螺母
个，且一个螺栓配两个螺母，为使每
天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？
1．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，
折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用
绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问绳索和竿子各多少尺？”
设绳索长
尺，竿子长
尺，下列所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．关于x，y 的方程组
的解集，不正确的说法是（ ）
A．可能是空集
B．可能是无限集
C．可能是单元集
D．可能是
3．关于x，y 的方程组
的解集为
，则
（ ）
A．1
B．5
C．6
D．7
4．方程组
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列关于方程
的解的说法中正确的是（ ）．
A．该方程一定有唯一解
B．该方程没有解
C．
时，方程有无数解
D．
时，方程有唯一解
6．温州某中学2015 学年七年级一班40 名同学为某灾区捐款，共捐款2000 元，捐款情况如下表：
捐款（元）
20
40
50
100
人数
10
**
**
8
表格中捐款40 元和50 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款40 元的有x 名同学，捐款50 元
的有y 名同学，根据题意，可得方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）方程组
的解有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选）对于二元一次方程组的解
用集合表示正确的为
A．
B．
C．
D．
9．方程组
的解集是 .
10．若关于
的方程组
与
的解集相等，则
；
.
11．解关于x，y 的方程组
．
12．求方程组
的解集.
13．（1）求方程组
的解集；
（2）求三元一次方程组
的解集.
14．求下列方程组的解集：
(1)
；
(2)
．
