专题2.3 直线的方程
教学目标
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，
2.掌握两点的直线斜率的计算公式，以及直线方程的五种形式。
教学重难点
教学重点:直线的倾斜角与斜率，直线方程的五种形式
教学难点:根据直线的斜率计算倾斜角，恰当地选择直线方程的某一种形式采用待定系
数法确定直线方程。
知识点01 直线的方程
一般地，如果直线上点的坐标都是方程
的解，而且以方程
的解为坐标的点都在直
线上，则称
为直线的方程，而直线称为方程
的直线.此时，" 直线
" 也可说
成
" 直线
"，并且记作：
.
【即学即练】若
，且
，则经过
的直线的一般方程为
【答案】
【分析】根据
、
都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得直线方
程.
【详解】若
,
则点
在直线
上,
点
在直线
上
即
、
都在同一直线
上
因为两点确定一条直线,所以由
、
确定的直线即为
故答案为:
知识点02 直线的点斜式
已知条件（使用前提）
直线过点
和斜率
（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在
（注直线
若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与
轴平行或重合时,方程可简写为
.特别地,
轴的方程是
;当直线与
轴平行或重
合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成
.特别地,
轴的方程是
.
【即学即练】经过点
且斜率为1 的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解
【详解】因为直线经过点
且斜率为1，
所以
，即
，
故答案为：
.
知识点03 直线的斜截式
已知条件（使用前提）
直线的斜率
为
且在
轴上的纵截距为
（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在
（注直线
若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它
在
轴上的截距和在
轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在
轴上的截距,如直线
的斜率
,在
轴
上的截距为
.
【即学即练】直线
的倾斜角是 .
【答案】
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案.
【详解】由
，设斜率为
，倾斜角为
，
因为直线斜率为
，则
，又因直线的倾斜角
，
所以
.
故答案为：
知识点04 直线的两点式
已知条件（使用前提）
直线上的两点
，
（
，
）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在且不为
0 ；
当直线没有斜率(
)或斜率为0( y1= y2)时，不能用两点式求出它的方程
1.当过两点
,
的直线斜率不存在(
)或斜率为0(0( y1= y2))时,不能用两点式方
程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即
,
是同一个点的坐标
,
是另一个点的
坐标.
【即学即练】已知直线的两点式方程为
，则的斜率为 ．
【答案】
【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案.
【详解】原方程即为
，此即
，所以的斜率为
．
故答案为：
.
知识点05 直线的截距式
已知条件（使用前提）
直线在
轴上的截距为
，在
轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件
，
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在
轴和
轴
上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
【即学即练】求经过点
的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
【答案】答案见解析
【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式.
【详解】过A，B 两点的直线的两点式方程是
.
化为点斜式为：
，
斜截式为：
，
截距式为：
.
知识点06 直线的一般式
定义:关于
,
的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于
,
的二元一次方程
(其中
,
不同时为0
)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．
、
不全为零才能表示一条直线，若
、
全为零则不能表示一条直线.
当
时，方程可变形为
，它表示过点
，斜率为
的直线．
当
，
时，方程可变形为
，即
，它表示一条与
轴垂直的直线．
由上可知，关于
、
的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于
、
的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可
以对应着无数个关于
、
的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
【即学即练】过点
且倾斜角为
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据斜率与倾斜角关系求出直线斜率，再写出点斜式方程即可.
【详解】由题意，直线的倾斜角为
，
所以直线的斜率为
，
则直线的方程为
，即
.
故选：D.
题型01 直线的点斜式方程
【典例1】过点
，方向向量为
的直线方程是 .
【答案】
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可得解.
【详解】因为直线的方向向量为
，
所以直线的斜率为：
.
又直线过点
，所以直线方程为：
，即
.
故答案为：
【变式1】已知
是直线上一点，
是直线的一个法向量，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，由点斜式即可求解.
【详解】由
是直线的一个法向量，可知直线的斜率为
，
又直线过点
，所以直线的方程为
，即
.
故选：C
【变式2】经过点
，倾斜角为
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由点斜式方程即可求解；
【详解】由于倾斜角为
，所以
，
所以直线方程为：
，
整理得：
，
故选：A
【变式3】已知直线经过点
，且方向向量
，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可.
【详解】因为直线的方向向量
，所以直线的斜率为2，
又直线经过点
，所以直线方程为
，即
.
故选：B.
【变式4】斜率为
，且经过点
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直线的点斜式方程求解即可.
【详解】所求直线方程为
，即
.
故选：B.
①已知条件（使用前提）：直线过点
和斜率
（已知一点+斜率）
②点斜式方程形式：
③适用条件：斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直
线方程）
题型02 直线的斜截式方程
【典例1】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)写出斜率为
，在y 轴上截距为
的直线的斜截式方程；
(2)求过点
，斜率为
的直线的斜截式方程；
(3)已知直线方程为
，求直线的斜率，在y 轴上的截距，以及与y 轴交点的坐标．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)斜率
，在y 轴上的截距1，直线与y 轴交点的坐标为
．
【分析】（1）利用斜截式方程直接写出方程即可.
（2）利用直线的点斜式写出方程，再化成斜截式.
（3）化方程为斜截式，再求出斜率、纵截距及与y 轴交点的坐标.
【详解】（1）直线的斜率
，纵截距
，
所以该直线的斜截式方程为
.
（2）过点
，斜率为
的直线的点斜式方程为
，
所以该直线的斜截式方程为
.
（3）直线方程
化为
，
所以该直线的斜率为
，在y 轴上的截距为1，直线与y 轴交点的坐标为
．
【变式1】直线的倾斜角30°，过点
，则直线的斜截式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由直线倾斜角得斜率，利用过点
可得直线的斜截式方程.
【详解】∵直线的倾斜角30°，∴直线的斜率
，
∵直线过点
，∴直线的斜截式方程为
.
故选：A.
【变式2】倾斜角为
，在
轴上的截距是
的直线方程为 .（写成一般式方程）
【答案】
【分析】根据题设确定直线的斜率及所过的点，应用点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，所求直线斜率为
且过点
，
所以，所求直线为
，即
.
故答案为：
【变式3】倾斜角为
，且过点
的直线斜截式方程为 ．
【答案】
【分析】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解.
【详解】因为直线的倾斜角为
，则直线的斜率
，
所以直线的方程
，即
.
故答案为：
.
【变式4】经过点
，且以
为一个方向向量的直线的斜截式方程为 ；
【答案】
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再由直线的斜截式求出方程.
【详解】依题意，直线的斜率
，
所以直线的斜截式方程为
.
故答案为：
①已知条件（使用前提）：直线的斜率为
且在
轴上的纵截距为
（已知斜率+纵截距）
②点斜式方程形式：
③适用条件：斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
题型03 直线的两点式方程
【典例1】已知直线l 经过点
，
，则下列不在直线l 上的点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知的两点求出直线l 的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由直线的两点式方程，得直线l 的方程为
，即
，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点
，
，
都在直线l 上，点
不在直线l 上．
故选：D．
【变式1】已知直线的两点式为
，则（ ）
A．直线经过点
B．直线的斜截式为
C．直线的倾斜角为锐角
D．直线的点斜式为
【答案】C
【分析】根据两点式方程可得直线经过两点
，
，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：
，即可判断B，得到直线的斜率为
，即可判断C.
【详解】由题意，直线经过两点
，
，故AD 错误，
将两点式化为斜截式：
，故B 错误，
直线的斜率为
，所以直线的倾斜角为锐角，故C 正确.
故选：C.
【变式2】已知直线过
两点，则直线
的一般式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由直线的两点式方程直接化简即可；
【详解】由直线的两点式方程可得
，
即一般式方程为
．
故选：C.
【变式3】（多选）已知直线l 过点
，
，则（ ）
A．直线l 的倾斜角为150°
B．直线l 的两点式方程为
C．直线l 的一个方向向量为
D．直线l 的截距式方程为
【答案】ABD
【分析】先求出直线l 的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可判断A，C；由直线的
两点式、截距式可判断B，D.
【详解】因为直线l 过点
，
，所以直线l 的斜率为
，倾斜角为150°，故A 正确，C
不正确；
直线l 的两点式方程为
，整理易得截距式方程为
，所以B，D 正确．
故选：ABD.
【变式4】已知
，则直线
的一般式方程为 ，斜率为 ．
【答案】
【分析】先写出两点式方程，再化简为一般式方程求解第一空，再化为点斜式方程求出斜率，解决第二空
即可.
【详解】由两点式方程得
，化为一般式方程为
，
化为点斜式方程为
，故斜率为
．
故答案为：
；
①已知条件（使用前提）：直线上的两点
，
（
，
）（已知两点）
②点斜式方程形式
③适用条件：斜率存在且不为0；当直线没有斜率(
)或斜率为0( y1= y2)时，不能用两点式求出它
的方程
题型04 直线的截距式方程
【典例1】已知直线在
轴和
轴上的截距互为相反数且过点
，则这条直线的方程为 .
【答案】
或
【分析】设出直线的截距，然后对截距是否为零分类讨论，即可得到答案.
【详解】设在
轴和
轴上的截距分别为
和
.
若
，则过原点，从而由于还过
，知其方程为
，即
；
若
，则过两个不同点
和
，所以其方程为
.
由于还过
，知
，解得
，故其方程为
，即
.
故答案为：
或
.
【变式1】若直线过点
且在两坐标轴上的截距相等，则为 .
【答案】
或
【分析】分截距为0 和不为0 两种情况求解即可.
【详解】当截距为0 时，直线过坐标原点，且过点
，所以直线的方程为
；
当截距不为0 时，直线设为
，
因为直线过点
，所以
，解得
，即
，
故直线的方程为
.
综上，直线的方程为
或
.
故答案为：
或
.
【变式2】直线过点
，且在
轴上的截距是在
轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是
【答案】
或
【分析】分析直线过原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解.
【详解】若直线过坐标原点，则
，此时横纵截距都等于0,满足题意;
若直线不过坐标原点，设直线的方程为
,
因为直线过点
,
所以
,解得
,
所以直线方程为
,此时
.
故直线的斜率为
或
.
故答案为：
或
.
【变式3】直线l 过点
且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．
【答案】
或
【分析】利用直线的截距式方程分别讨论截距是否为0 即可得出结果.
【详解】当截距均为0 时，即过
，此时直线l 的方程为
；
当截距不为0 时，设直线l 的方程为
，
满足
，解得
，此时直线l 的方程为
；
综上可得直线l 的方程为
或
.
故答案为：
或
【变式4】已知直线过点
，求满足下列条件的直线的方程.
(1)与直线
：
垂直；
(2)两坐标轴上截距相反.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）由两条直线垂直求出所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可；
（2）分截距为零和截距不为零两大类进行讨论求解即可.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
则直线的方程为
，即
.
（2）
当两坐标轴上截距为0 时，设直线的方程为
，
将
代入，得
，解得
，
∴
，即
.
当两坐标轴上截距不为0 时，设直线的方程为
，
将
代入，得
，解得
，∴
，即
.
综上，直线的方程为
或
.
①已知条件（使用前提）：直线在
轴上的截距为
，在
轴上的截距为
②点斜式方程形式
③适用条件：
，
题型05 直线的一般式方程
【典例1】已知三角形三顶点
，
，
，求：
(1)直线AB 的一般式方程;
(2)
边上的高所在直线的一般式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两点式写出直线
的方程，化为一般式即可；
（2）根据垂直和直线AB 的斜率，得到
边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式
即可.
【详解】（1）
，
，
直线AB 的方程为
，
化简得
；
（2）
直线AB 的斜率为
，
边上的高所在直线的斜率为
，
边上的高所在直线的方程为
，即
【变式1】根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点
，且倾斜角为
；
(2)经过点
和点
(3)经过点
，在x，y 轴上有相等的截距．
【答案】(1)
(2)
；
(3)
或
.
【分析】（1）由题知直线的斜率为
，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可；
（2）根据斜率公式得直线斜率为
，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可；
（3）分截距为0 和不为0 两种情况求解.
【详解】（1）因为直线经过点
，且倾斜角为
，
所以直线的斜率为
，则直线方程为
，
所以直线的一般方程为
；
（2）因为直线经过点
和点
，
所以直线斜率为
，直线方程为
，
所以直线的一般式方程为
；
（3）当直线在x，y 轴上截距都为0 时，
设直线方程为
，则
，得
，
设直线方程为
，即
；
当直线在x，y 轴上截距都不为0 时，
由题设直线方程为
，
因为直线过点
，所以
，解得
，
所以直线的一般式方程为
,
综上所述，所求直线为
或
.
【变式2】写出满足下列条件的直线的方程.
(1)经过点
，斜率是
；
(2)经过点
，且与
轴垂直；
(3)斜率是
，在
轴上的截距是7；
(4)在
轴上的截距是2，且与
轴平行；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用点斜式求出直线方程；
（2）依题意直接得到直线方程为
；
（3）利用斜截式求出直线方程；
（4）依题意可知斜率为
，即可得到直线方程；
【详解】（1）经过点
，斜率是
，
则直线方程为
，即
.
（2）经过点
，且与x 轴垂直，
则直线方程为
，即
.
（3）斜率是
，在y 轴上的截距是7，
则直线方程为
，即
.
（4）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行，
则直线方程为
，即
.
【变式3】根据下列条件分别写出直线的一般式方程
(1)斜率为
，且经过点
；
(2)过点
，且垂直于x 轴；
(3)斜率是4，在y 轴上截距为
；
(4)经过
两点；
(5)在x 轴y 轴上的截距分别为
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用直线的点斜式，再化简为一般式，从而得解；
（2）由题意可知直线斜率不存在，据此可得一般式；
（3）利用直线的斜截式，再化简为一般式，从而得解；
（4）利用直线的两点式，再化简为一般式，从而得解；
（5）利用直线的截距式，再化简为一般式，从而得解.
【详解】（1）由点斜式，可得
，
则直线的一般式方程为
；
（2）因直线垂直于x 轴，又过点
，则直线的一般式方程为：
；
（3）由斜截式，可得
，
则直线的一般式方程为：
；
（4）由两点式，可得
，
则直线的一般式方程为
；
（5）由截距式，可得
，
则直线的一般式方程为：
.
【变式4】已知
的三个顶点分别是
，求：
(1)
边所在直线的一般式方程；
(2)
边的垂直平分线所在直线
的斜截式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的两点式方程和一般式方程的概念求解；
（2）利用直线的垂直关系与斜率的关系以及点斜式、斜截式方程概念求解.
【详解】（1）由直线方程的两点式，得
，
所以直线的一般式方程为
．
（2）
边的中点坐标为
．
因为
边所在直线的斜率为
，
所以直线
的斜率为
．
所以直线
的方程为
，即
．
题型06 直线与坐标轴围成三角形问题
【典例1】在
中，已知点
，
，且边
的中点
在
轴上，边
的中点
在
轴
上.求：
（1）点
的坐标；
（2）直线
的方程；
（3）直线
与两坐标轴围成三角形的面积.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】（1）设出
点坐标，利用
的中点
在
轴上，边
的中点
在
轴上，即可求解.
（2）利用
、
两点坐标求出直线
的斜率，再利用点斜式写出方程.
（3）利用直线
的方程，可以求出三角形两直角边，即可得三角形的面积.
【详解】（1）设出
点坐标为
，边
的中点
在
轴上，边
的中点
在
轴上，
则
，即得
，所以
点坐标为
（2）
，
所以
，即
，
直线
的方程为：
（3）直线
的方程为：
，
令
，得
，令
，得
，
所以三角形的面积为
【点睛】本题主要考查了求直线的方程，以及直线与坐标轴围成的三角形的面积，属于基础题.
【变式1】直线过点
且与
轴、
轴的正半轴分别交于
两点，
为坐标原点，求分别满足下
列条件的直线方程：
(1)
的周长为12；
(2)
的面积为6．
【答案】(1)
或
(2)
或
【分析】（1）设出直线的截距式方程
，根据三角形周长和
得到方程组，求出
，求出答案；
（2）设出直线的截距式方程
，根据三角形面积和
得到方程组，求出
，求
出答案
【详解】（1）设直线方程为
，
由题意可知，
．①
又因为直线过点
，
所以
，②
由①②可得
，
解得
或
所以所求直线的方程为
或
，
即
或
．
（2）设直线方程为
，
由题意可知
解得
或
所以所求直线的方程为
或
，
即
或
．
【变式2】已知直线经过点
．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与两坐标轴围成三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）直接由直线的斜截式即可求解；
（2）求出直线与坐标轴的交点即可求解.
【详解】（1）因为直线经过点
，所以
，
所以直线的方程
；
（2）在
中，令
得
，令
，得
，
所以直线与两坐标轴围成三角形的面积为
.
【变式3】已知直线
(1)求证：不论实数
取何值，直线恒过一定点；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）利用提取参数，来求出方程的一个解，从而得到直线恒过一定点；
（2）利用截距式方程来求解三角形的面积，再利用直线过定点，得到方程组即可求解.
【详解】（1）由直线
变形得：
，
令
，解得：
，
由于不论实数
取何值，
总是方程
的一个解，
所以直线恒过这一定点
.
（2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，
所以可设直线的截距式方程为
，且
，
又由于直线恒过定点
，所以
，
由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则
，
把
，代入变形后的
得：
，
联立解得：
，
所以直线的截距式方程为
，
化简得的方程为
.
【变式4】已知直线的方程为
．
(1)求直线的斜率；
(2)求直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将直线方程化为斜截式，即可确定直线斜率；
（2）方法一：求出直线与坐标轴的交点坐标，进而得到三角形面积；
方法二：将直线方程化为截距式，得到截距后可求得三角形面积.
【详解】（1）将直线的一般式方程化为斜截式得：
，
直线的斜率
．
（2）设直线交
轴于点
，交
轴于点
．
方法一：对于直线方程
，令
，得
；令
，得
，
，
，
.
方法二：将直线的一般式方程化为截距式得：
，
，
，
.
题型07 直线过定点
【典例1】不论m，n 取什么值，直线
必过一定点，试证明，并求此定点.
【答案】证明见解析，
【分析】分别令
和
，求出对应的
的值，即是直线必过的定点.
【详解】由题意，
在
分别令
和
，
可得
解得
将
代入直线方程，
得
，
∴不论m，n 取什么值，直线（3m-n）x+（m+2n）y-n=0 必过一定点
.
【变式1】求证：
为任意实数时，直线
必过一定点．
【答案】证明见解析
【分析】将原方程变形成直线的点斜式方程得解；或将方程整理出过两直线交点的直线系方程求解.
【详解】将原方程变形为：
，
即
，可知直线过定点
，
或将方程整理成
恒成立，
所以
，
从而
.
所以直线恒过定点
.
【变式2】已知直线l：
．（其中a 为参数，
）
(1)若不论x 取何值，直线l 恒过一定点A，求该定点A 的坐标；
(2)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据直线方程直接确定其所过的定点即可；
（2）根据直线所过定点及不过第二象限，直线l 过原点
时倾斜角最小，且直线斜率恒正，列不等式
求参数范围.
【详解】（1）由
化为
，
当
时，无论a 取何值都有
．
所以直线l 恒过定点
．
（2）由（1）知，直线l 恒过定点
，要使直线l 不过第二象限，
故直线l 过原点
时倾斜角最小，且直线斜率恒正，
所以，只需直线的斜率
，即
.
【变式3】已知直线的方程是
.求证：对于任意
，直线均经过定点，并求
此定点的坐标.
【答案】
【分析】合并包含
的项，再令
的系数为0，结合方程恒等求解即可.
【详解】
即
，故
.
令
，则
.故对于任意
，直线均经过定点
【变式4】已知直线
．求证：无论m 为何实数，直线恒过一定点M．
【答案】证明见解析
【分析】根据方程的特征，通过解方程组法进行求解即可.
【详解】将直线的方程化为
，解方程组
解得
故直线l1恒过定点
．
题型08 直线的一般式方程与其他形式的相互转化
【典例1】根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为
，且经过点
；
(2)斜率为
，且在
轴上的截距为
；
(3)经过两点
,
；
(4)在
轴上的截距分别为
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式；
（2）先求斜截式方程，再化为一般式；
（3）先求直线的两点式方程，再化为一般式；
（4）先求直线的截距式方程，再化为一般式.
【详解】（1）因为
，且经过点
，
由直线的点斜式方程可得
，
整理可得直线的一般式方程为
．
（2）由直线的斜率
，且在
轴上的截距为
得直线的斜截式方程为
．
整理可得直线的一般式方程为
．
（3）由直线的两点式方程可得
，
整理得直线的一般式方程为
（4）由直线的截距式方程可得
，
整理得直线的一般式方程为
【变式1】写出下列直线的方程，并化为一般式方程．
(1)经过点
，倾斜角是30°；
(2)经过两点
；
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）由斜率与倾斜角关系求出斜率，写出点斜式方程，再化为一般式；
（2）由两点坐标求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式．
【详解】（1）由已知直线的斜率为
，
直线方程为
，即
；
（2）由题意直线的斜率为
，
直线方程为
，即
．
【变式2】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程
(1)斜率是
，且经过点
；
(2)斜率为4，在y 轴上的截距为
；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点斜式方程可直接写出结果；
（2）由斜截式方程可直接写出结果.
【详解】（1）若直线的斜率是
，且经过点
，
由点斜式，该直线的方程为
.
即
.
（2）若直线斜率为4，在y 轴上的截距为
，
由斜截式，该直线的方程为
.
即
.
【变式3】根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
(1)经过点
，平行于直线
；
(2)倾斜角是
，截距是4；
(3)经过点
，点
；
(4)经过点
，且在两坐标轴上截距的和为5．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式 ；
（2）截距为
分为在
轴上截距为
和在
轴上的截距为
，根据条件写出直线方程；
（3）写出直线的两点式方程，化为一般式；
（4）分析直线在
轴、
轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式.
【详解】（1）由题可知，所求直线斜率为3，故方程为
，整理得
.
（2）由直线倾斜角是
得直线斜率为
，
当直线在
上截距是4，即过点
时，直线方程为
，整理得
，
当直线在
上截距是4 时，直线方程为
，整理得
，
综上得，直线方程为
.
（3）由条件得直线的两点式方程为：
，整理得
.
（4）由题意得，直线在
轴上的截距为
，故在
轴上的截距为，
所以直线的截距式方程为
，整理得
.
【变式4】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是
，且经过点
；
(2)经过
，
两点；
(3)在
轴、
轴上的截距分别为
；
(4)经过点
，且平行于
轴.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用点斜式方程求一般式方程；
（2）利用两点式方程求一般式方程；
（3）利用截距式方程求一般式方程；
（4）根据点坐标以及直线平行于
轴直接写出直线一般式方程.
【详解】（1）若直线的斜率是
，且经过点
，
由点斜式，则该直线的方程为
， 即
.若直线斜率为
（2）若直线经过
，
两点，
由两点式，则该直线的方程为
，即
.
（3）若直线在x，y 轴上的截距分别是
，
，
由截距式，则该直线的方程为
，即
.
（4）若经过点
，且平行于x 轴，则
，即
.
题型09 直线与坐标轴围成三角形最值问题
【典例1】已知直线
.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数
的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由方程变形可得
，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图像可得解；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【详解】（1）由
，即
，
则
，解得
，
所以直线过定点
；
（2）
如图所示，结合图像可知，
当
时，直线斜率不存在，方程为
，不经过第二象限，成立；
当
时，直线斜率存在，方程为
，
又直线不经过第二象限，则
，解得
；
综上所述
；
（3）已知直线
，且由题意知
，
令
，得
，得
，
令
，得
，得
，
则
，
所以当
时，取最小值，
此时直线的方程为
，即
.
【变式1】已知直线
．
(1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标；
(2)是否存在实数
，使得直线与
轴和
轴的正半轴都相交？若存在，求出
的范围，并求出与两坐标轴
围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析，
；
(2)存在，
，面积取得最小值8.
【分析】（1）法一：直线化为
，即可求定点；法二：直线化为点斜式确定定点；
（2）根据直线与坐标轴交点特征求参数范围，应用三角形面积公式得到关于参数m 的表达式，进而求最
值.
【详解】（1）法一：由
，得
．
当
，即
时，直线恒过定点
．
法二：由
，得
，
表示过点
的点斜式，即直线恒过定点
．
（2）存在实数
，由（1）知：直线恒过第一象限的点
．
所以与
轴和
轴的交点分别为
，
由题意，
，所以
，此时直线与
轴和
轴的正半轴都相交．
．
因为
，所以
．
当
，即
时，
的面积取得最小值8．
【变式2】已知直线
．
(1)证明：直线过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求
的取值范围；
(3)若直线交
轴负半轴于点
，交
轴正半轴于点
，
为坐标原点，设
的面积为，求的最小
值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)4
【分析】（1）直线方程化为
，可以得出直线l 总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y 轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值.
【详解】（1）证明：
直线l 的方程可化为
，故无论k 取何值，直线l 总过定点
．
（2）直线l 的方程为
，
则直线l 在y 轴上的截距为
，要使直线l 不经过第四象限，则
，
解得
，故k 的取值范围是
．
（3）依题意，直线l 在x 轴上的截距为
，在y 轴上的截距为
，
∴
，
．
又
且
，
∴
．
故
，
当且仅当
，即
时，取等号．
故S 的最小值为4．
【变式3】已知直线l 过点
(1)它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2 倍，求直线l 的方程．
(2)若直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点A，B，求
的面积的最小值及此时直线的方程．
【答案】(1)
或
(2)最小值为24，此时直线的方程为
【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意
求出即可；
（2）设出截距式，结合基本不等式求出
的最小值，再求出面积和直线方程即可；
【详解】（1）①当直线l 过原点时，符合题意，斜率
，
直线方程为
，即
；
②当直线l 不过原点时，
∵它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2 倍，
∴可设直线l 的方程为：
．
∵直线l 过点
，
∴
，解得
．
∴直线l 的方程为
，即
．
综上所述，所求直线l 方程为
或
．
（2）设直线l 的方程为
），
由直线l 过点
得：
．
∴
，化为
，
当且仅当
，
时取等号．
∴
的面积
，其最小值为24．
此时直线的方程为
．
【变式4】在平面直角坐标系中，已知射线
，过点
作直线分别交射线OA、x 轴正
半轴于点A、B．
(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的一般式方程；
(2)求
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）由题意可设
、
，根据中点坐标公式可得
，
，进而可得直线方
程；
（2）分类讨论直线斜率是否存在，求得
，
，即可得面积
，换元结合二次函数可得最大值.
【详解】（1）由题意可设
、
，且
、
．
当AB 的中点为P 时，则
，解得
，
，
所以
、
．
所以直线AB 的方程为
，即一般式方程为：
．
（2）当过点
的直线斜率不存在时，
、
，
此时
．
当过点
的直线斜率存在时，
设直线AB 的方程为
．
直线AB 与
相交，可得
，
直线AB 与x 轴正半轴相交于B，可得
．
由
，解得
或
．
则
．
令
，则
（
或
），
可得
，
由
或
，可得
或
，
，
当
，即
，
时，
，
即
，则
，
此时
、
符合题意．
综上，
．
1．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】直线
的斜率为1，则直线
的倾斜角为
.
故选：A.
2．已知直线
的一个方向向量为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得直线的斜率，进而求得
的值，得到答案.
【详解】因为直线
的一个方向向量为
，可得直线的斜率为
，即
.
故选：C.
3．直线
在
轴的截距为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】直接令
计算即可求解.
【详解】令
，得
，所以直线在
轴的截距为
.
故选：A
4．若直线
经过第一、二、四象限，则（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】B
【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结
论.
【详解】由题意直线
经过第一、二、四象限，
所以直线的斜率为负值，纵截距为正值.
直线方程化为斜截式：
，
所以斜率
且纵截距
，
所以
且
，
故选：B.
5．已知点
，
，若直线
与线段
（含端点）有公共点，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出直线的定点，再结合直线的斜率公式，即可求解．
【详解】直线
，即
，
则直线过定点
，
，
，
，
，
，
直线
与线段
（含端点）有公共点，
或
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
．
故选：D．
6．已知
的三个顶点分别为
，则
边上的中线所在直线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式可得
边的中点坐标为
，可得
边上的中线的斜率
，由点斜
式可得
边上的中线所在直线的方程.
【详解】因为
，
设
边的中点为
，则
，即
，
又
，所以
，
故
边上的中线所在直线的方程为
，即
．
故选：D.
7．直线
分别与x 轴，y 轴交于A、B 两点，若三角形
面积为5，则实
数m 的解有几个（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】确定直线斜率存在，分别令
、
得直线的横纵截距，求三角形
面积根据面积值解方
程得m，即可得结论.
【详解】由题可知，直线
的斜率存在且不为0，
故
，即
且
，
令
，得
；令
，得
；即
，
所以
，所以
，
则
或
，解得
或
，
故解得的实数m 的解有4 个.
故选：D.
8．已知直线
在
轴上的截距为1，则直线在
轴上的截距
是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或5
D．
或5
【答案】B
【分析】利用题意得到直线上必过的定点，代入方程中求出参数，分类讨论求解即可.
【详解】首先，我们把直线
化简为
，而由题意得，直线在
轴上的截距为1，
所以点
一定在直线上，故可知
且
，解得
或
，
当
时，直线的方程为
，此时直线在
轴上的截距是
；
当
时，直线的方程为
，此时直线在
轴上的截距是
；
综上所述直线在
轴上的截距是
或
，故B 正确.
故选：B
9．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线
的一个方向向量为
B．
，
，
三点共线
C．直线
（其中
）必过定点
D．经过点
，倾斜角为
的直线方程为
【答案】ABC
【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可得
，根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：因为直线
的斜率不存在，
所以直线
的一个方向向量为
，故A 正确；
对于选项B：因为
，
即
，所以
，
，
三点共线，故B 正确；
对于选项C：直线
即为
，
令
，解得
，
所以直线
（其中
）必过定点
，故C 正确；
对于选项D：例如
，可知
不存在，故D 错误；
故选：ABC.
10．（多选）已知直线过点
，且在
轴上的截距是
轴上的截距的3 倍，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据直线在坐标轴上的截距为0 与不为0 讨论求解即可.
【详解】当截距为0 时，设直线的方程为
，
将点
代入可得
，所以
，即
;
当截距不等于0 时，设直线的方程为
，
将点
代入
可得
，解得
，
所以直线的方程为
，即
，
所以直线的方程为
或
.
故选：BD
11．在直线方程
中，当k 变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 .
【答案】
【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点.
【详解】将直线方程
变形为
，
由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是
.
故答案为：
12．已知直线的斜率小于
，且经过点
，并与坐标轴交于
两点，
，当
的面积
取得最小值时，直线的斜率为 .
【答案】
【分析】由题意可设直线
，分别求出
两点坐标，即可表示出
的面积，
再由均值不等式即可求出答案.
【详解】设直线l 的方程为
，令
，得
，令
，得
.
则和坐标轴的交点为
，
.
所以
，
可得
的面积为
，当且仅当
，即
等号成立；
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出
两点坐标.
13．已知直线经过点
．
(1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求
的方程
(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S，求S 的最小
值及此时直线l 的方程.
【答案】(1)
或
.
(2)最小值为4，
.
【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为
和不为
两种情况分类讨论；
（2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值.
【详解】（1）当截距为
时，设直线方程为
，
因为直线过点
，则
，
解得
，
所以直线方程为
；
当截距相等且不为
时，设直线方程为
，
因为直线过点
，则代入直线方程得，
，
则直线方程为
.
所以直线方程为
或
.
（2）由题意可知，直线的截距不为
，且斜率存在且
，
设直线方程为
，
令
，
；令
，
则
，
当且仅当
时，等号成立.
所以的最小值为
，此时的直线方程为
.
14．已知直线过点
，且分别与
轴的正半轴、
轴的正半轴交于
两点，
为原点，当
取得最小值时，求直线的方程.
【答案】
【分析】方法一：设直线方程为
，得到
，再根据条
件，利用基本不等式，即可求解；法二：设直线方程为
，根据条件，利用数量积及基
本不等式，即可求解.
【详解】方法一：设直线方程为
，令
，得到
，
令
，得到
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
此时直线的方程为
.
方法二：设直线方程为
，易知
，
所以
，
当且仅当
时取等号，此时直线的方程为
.
