文档文本内容
专题2.5 点到直线的距离
教学目标
1.理解点到直线距离的概念;
2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中:
3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。
教学重难点
教学重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用
教学难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式
知识点01 两点间的距离公式
平面上任意两点
，
间的距离公式为
特别地，原点
与任一点
的距离
.
【即学即练】过点
，
的直线的斜率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据斜率列方程，求得
，进而求得
.
【详解】依题意，
，解得
，
所以
，所以
.
故选：B
知识点02 点到直线的距离公式
平面上任意一点
到直线：
的距离
.
【即学即练】点
到直线
的距离为
【答案】
【分析】根据点到直线距离公式计算即可.
【详解】点
到直线
的距离为
.
故答案为：
知识点03 两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线
：
（
）和
：
（
）间的距离
.
【即学即练】直线
与直线
间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．１
【答案】B
【分析】利用平行线间距离公式计算得解.
【详解】直线
方程为
，直线
方程为
，
所以所求距离为
.
故选：B
知识点04 对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点
关于点
的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点
关于直线：
的对称点
①设
中点为
利用中点坐标公式得
，将
代入直线：
中；
②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求
关于点
的对称直线
，则
）
方法一：在直线
上找一点
，求点
关于点
对称的点
，根据
，再由点斜式求解；
方法二：由
，设出
的直线方程，由点
到两直线的距离相等
求参数.
方法三：在直线
任意一点
，求该点关于点
对称的点
，则该点
在
直线
上.
4、直线关于直线对称问题
4.1 直线
：
（
）和：
（
）相交,求
关于
直线的对称直线
①求出
与的交点
②在
上任意取一点
(非
点），求出
关于直线的对称点
③根据
，
两点求出直线
4.2 直线
：
（
）和：
（
）平行,求
关于
直线的对称直线
①
②在直线
上任取一点
，求点
关于直线的对称点
，利用点斜式求直线
.
【即学即练】点
关于直线
的对称点坐标是 .
【答案】
【分析】利用中点关系和垂直关系可求对称点的坐标.
【详解】设所求对称点坐标为
，则
，
故
，故对称点的坐标为
，
故答案为：
题型01 求直线交点坐标
【典例1】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)平行
(2)相交，
【分析】（1）将直线化成斜截式，比较斜率即可得到答案；
（2）联立直线得到方程组，解出即可.
【详解】（1）将与
的方程分别化为斜截式可知
．
因此与
的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
（2）解方程组
，
可得
．
因此与
相交，而且交点的坐标为
【变式1】直线
与直线
互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两直线垂直可得
，从而可得
，联立两条直线的方程即可求交点坐
标.
【详解】因为直线
与直线
互相垂直，
所以
，解得
.
故直线
即为
，
直线
即为
.
由
，解得
，
则这两条直线的交点坐标为
.
故选:A.
【变式2】直线
与直线
的交点坐标为
【答案】
【分析】联立两条直线方程，即可求解.
【详解】联立
，得
，
所以交点坐标为
.
故答案为：
【变式3】（1）求直线
与
的交点的坐标；
（2）求两条直线
与
间的距离.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）联立直线方程求解即可得交点；
（2）将方程
化为
，由平行直线间的距离公式求解.
【详解】（1）联立
，得
，
故直线
与
的交点的坐标为
．
（2）方程
可化为
，
所以两条直线
与
间的距离
.
【变式4】回答下面两题
(1)求直线：
，
：
的交点坐标；
(2)求点
到直线：
的距离；
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）联立两直线方程，即可求解；
（2）代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）联立
，得
，
所以直线和
的交点坐标为
；
（2）点
到直线的距离
，
所以点
到直线的距离为.
题型02 由方程组解的个数判断直线的位置关系
【典例1】判断下列各对直线是否平行：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)平行
(2)平行
(3)平行
(4)不平行
【分析】利用直线方程系数的关系即可作出判断.
【详解】（1）∵
，
∴
平行；
（2）
即直线
，
∵
，
∴
平行；
（3）
即直线
，
∴
平行；
（4）∵
，
∴
不平行.
【变式1】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标.
(1)
，
；
(2)
，
.
【答案】(1) 与
相交，交点坐标为
(2) 与
平行
【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解.
【详解】（1）因为
，
，
联立
，解得
，
所以与
相交，交点坐标为
.
（2）因为
，
可化为
，
联立
，两式相减得
，显然不成立，故方程组无解，
所以与
平行.
【变式2】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
【答案】(1)相交，交点坐标为
(2)平行
(3)重合
【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标；
（2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行；
（3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断.
【详解】（1）由
，解得
，
因此直线和
相交，交点坐标为
．
（2）因为
，
，
由
，
得
，矛盾，
由此可知方程组无解，因此直线与
平行．
（3）由
，
得
，
说明方程②是方程①的
倍，方程①的解都是方程②的解．
因此直线与
重合．
直线
：
（
）和
：
（
）的公共点的坐标
与方程组
的解一一对应.
与
相交
方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与
平行
方程组无解；
与
重合
方程组有无数个解.
题型03 由直线交点的个数求参数
【典例1】已知直线
与直线
．
(1)当
为何值时，与
相交；
(2)当
为何值时，与
平行，并求与
的距离；.
【答案】(1)
且
(2)
【分析】（1）当
时与
相交，即可求出
的值；
（2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出
的值，再由距离公式计算可得.
【详解】（1）因为直线
与直线
，
当直线与
相交，则
，解得
且
.
（2）由直线与
平行，则
，解得
，
所以此时直线
，
，
所以与
的距离
.
【变式1】已知直线
与直线
．
(1)当m 为何值时，与
相交；
(2)当m 为何值时，与
平行，并求与
的距离；
(3)当m 为何值时，与
垂直．
【答案】(1)
且
(2)
，
(3)
或
【分析】（1）利用两直线相交的充要条件
，运算得解；
（2）利用两直线平行的充要条件
及两平行线间距离公式，运算得解；
（3）利用两直线垂直的充要条件
，运算得解.
【详解】（1）由直线与
相交，则
，解得
且
.
（2）由直线与
平行，则
，解得
，
所以此时直线
，
，
所以与
的距离为
.
（3）由直线与
垂直，则
，解得
或
.
题型04 由直线的交点坐标求参数
【典例1】若直线
经过两直线
和
的交点，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数.
【详解】联立
，可得
，即交点为
，
由题意
.
故选：B
【变式1】两条直线
和
的交点在第二象限，则m 的取值范围是（ ）
A．(
,
)
B．(
,0)
C．(0,
)
D．(
)
【答案】C
【分析】联立直线方程找到交点，根据第二象限的点
解出
.
【详解】由
解得
即两条直线的交点为
，
由交点在第二象限，得
,解得
.
故选：C.
【变式2】直线
与
的交点坐标为
，则
，
．
【答案】
【分析】由题意知点
既在
上也在
上，联立方程组求出
即可.
【详解】由题意知点
既在
上也在
上，
由
解得
.
故答案为：
；.
【变式3】已知直线
和
的交点在第四象限，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数
的不等式组，由此可求得实数
的取值
范围.
【详解】联立
可得
，
所以，两直线的交点坐标为
，且交点在第四象限，
则
，解得
，因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式4】已知直线
经过两直线
和
的交点，则
的值等于 .
【答案】
【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线
，即可求解.
【详解】联立方程组
，解得
，即两直线的交点为
，
将点
代入直线
，可得
，解得
，
即实数
的值为
.
故答案为：
.
题型05 三线围成三角形问题
【典例1】已知三条直线
，
，
不能构成三角形，则实数m 的取值
集合为 ．
【答案】
【分析】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解.
【详解】三条直线不能围成三角形，则有以下情况：
(1) 直线
与直线
平行，
则有
；
(2) 直线
与直线
平行，
则有
；
(3) 三条直线
，
，
相交于同一点，
联立
解得
，代入
可得
，
综上，实数m 的取值集合为
，
故答案为:
.
【变式1】已知三条直线
，
，
不能围成三角形，则实数
的取值
集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线
交点坐标，再利用斜率相等及3 条直线共点求出
值.
【详解】直线
的斜率分别为
，纵截距分别为
由
，解得
，即直线
的交点为
，
由直线
不能围成三角形，得直线
或
或点
在直线
上，
则
或
或
，解得
或
或
，
所以实数
的取值集合为
.
故选：C
【变式2】已知直线
和
与x 轴围成的三角形是等腰三角形，则k 的取值不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分为围成的等腰三角形底边在x 轴上、底边在直线
上和底边在直线上三种情况，分别求解即
可.
【详解】令直线
的倾斜角分别为
，则
，
当围成的等腰三角形底边在x 轴上时，
，
；
当围成的等腰三角形底边在直线
上时，
或
，
因为
，且
，解得
，
所以
，或
；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，
，则
.
故选：D．
【变式3】若三条直线
与
能围成一个直角三角形，则
．
【答案】
或1
【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为
，求解即可.
【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0 有交点，
若
与
垂直，则
；
若
与
垂直，则
．所以
或1．
故答案为：
或1
【变式4】已知三条直线
、
、
不能围成一个三角形，则实数
的值
为 ．
【答案】6 或-4 或
【分析】分直线
与
平行，
与
平行，
过
与
的交点三种情况分别求解可得.
【详解】由题知，当直线
与
平行，即
，
时，三条直线无法围成三
角形；
当
与
平行，即
，
时，三条直线无法围成三角形；
由
解得
，当直线
过点
，即
，即
时，三条
直线无法围成三角形.
综上，当
或
或
时，三条直线无法围成三角形.
故答案为：6 或-4 或
题型06 直线交点系方程及其应用
【典例1】已知直线l 经过直线2x＋y－5＝0 与x－2y＝0 的交点P，且斜率为2.
(1)求直线l 的方程；
(2)求点
到直线l 的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用直线交点系设出经过直线2x＋y－5＝0 与x－2y＝0 的交点的方程，再利用其斜率为2
即可求得直线l 的方程；
（2）利用点到直线的距离公式即可求得点
到直线l 的距离
【详解】（1）经过直线2x＋y－5＝0 与x－2y＝0 的交点的直线方程为
，即
由
，可得
则直线l 的方程为
，即
；
（2）点
到直线l 的距离为
【变式1】已知直线
恒过定点P，则点P 关于直线
的对称点的坐标是
．
【答案】
【分析】
首先化简直线方程，求出定点
的坐标，再代入点关于直线对称的点的计算公式，即可求解.
【详解】由直线
化为
，
令
，解得
，于是此直线恒过点
．
设点P 关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，∴
．
故答案为：
【变式2】已知直线
，直线
过与
的交点且过点
，求
的方
程．
【答案】
【分析】点
坐标代入
方程可得答案.
【详解】由题意可设
的方程为
．
因为
过点
，
所以
，解得
，
所以
的方程为
，
即
．
【变式3】求经过直线
和直线
的交点C，并且满足下列条件的直线方程.
(1)与直线
平行；
(2)到原点的距离等于1.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）设所求直线为
，整理为一般方程后利用两直线平行的充要条件
可求
，即得解；
（2）设所求直线为
，整理为一般方程后利用点到直线距离求解
，即得解.
【详解】（1）设所求直线为
，即
，
因为此直线与
平行，
所以
，解得
，
故所求直线为
.
（2）由于原点到直线
的距离为
，
设所求直线为
，即
，
所以
，解得
或
，
故所求直线方程为
或
.
题型07 求两点间的距离公式
【典例1】求下列两点间的距离：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
分别由两点间距离公式直接求解.
【详解】（1）由两点间距离公式得
.
（2）由两点间距离公式得
.
（3）由两点间距离公式得
．
【变式1】已知
与
两点间的距离为4，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】根据题意，利用两点间的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为
与
，可得
，
即
，解得
或
．
故选：A.
【变式2】过点
的直线的斜率为
，则
（ ）
A．10
B．
C．
D．180
【答案】B
【分析】由斜率公式求得
，再根据两点之间距离公式计算即可．
【详解】由题意得，
，解得
，
所以
，所以
，
故选：B．
题型08 距离公式的应用
【典例1】函数
的最大值为 .
【答案】
【分析】
可表示为点
与点
的距离减去点
与点
的距离，然后可得答案.
【详解】
，
表示为点
与点
的距离减去点
与点
的距离，
所以
，
又
，当
共线，且P 在B 的外侧时取等号，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
【变式1】已知点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】利用两点距离公式将问题转化为点
到点
的距离之和的最小值，再利用将军
饮马问题的解决方法，数形结合即可得解.
【详解】因为
，
设
，
，
则
表示点
到点
的距离之和，
设点
关于直线
的对称点为
，又直线斜率为
，
则
，解得
，则
，
因为点
在直线
上，
所以
，
当
为
与直线
的交点时，等号成立，
所以
的最小值为.
故选：C.
【变式2】已知点
为直线
上的动点
，则
的最小
值为（ ）
A．5
B．6
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两点之间距离最小，结合点关于直线的对称性即可利用两点间距离公式求解.
【详解】
表示点
到点
和点
的距离之和，
令点
关于直线
的对称点为
，则
，解得
，即
，
因此
，
当且仅当点
为线段
与直线
的交点时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：C
【变式3】函数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得
表示
与
、
的距离之和，求出C 关于x 的轴对称点
，数形
结合，求解即可.
【详解】
表示
、
的距离，
表示
、
的距离，
又
关于x 轴的对称点
，如图，
所以
，
所以
．
故答案为：
【变式4】已知
，则
的最小值 .
【答案】
【分析】设点
为直线
上的动点，已知式几何意义为
与
的距离和
与
的距离之和，设点
，求出
关于直线
的对称点
，计算出
即得．
【详解】设点
为直线
上的动点，
由
，
则其几何意义为
与
的距离和
与
的距离之和，
设点
，
则点
关于直线
的对称点为点
，
故
，且
，
所以
，
当且仅当
三点共线时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
．
题型09 求点到直线的距离
【典例1】点
到直线
的最大距离为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【答案】B
【分析】先求出直线所过的定点，然后可知点
到直线的最大距离即为该点到定点的距离.
【详解】由直线
可知
：
无论
为何值，得
，故直线一定经过
.
由题意知：点
到直线
的最大距离,
即为点
到定点
的距离：
.
故选：B.
【变式1】已知点
，直线
，则点
到直线的距离为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
【答案】B
【分析】由点到直线距离公式计算
【详解】由已知所求距离为
，
故选：B．
【变式2】平面直角坐标系中，点
到直线
的距离为 .
【答案】
【分析】直接根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】直线
，即
，
则点
到直线
的距离为
.
故答案为：
.
【变式3】点
到直线
的距离为 ．
【答案】
【分析】由点到线的距离公式即可求解.
【详解】点
到直线
的距离为
，
故答案为：
【变式4】点
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】利用直线过定点以及两点间距离公式计算可得结果.
【详解】易知直线
恒过定点
，
当点
与定点连线垂直于直线时，满足题意；
此时距离的最大值为
.
故选：A
题型10 已知点到直线的距离求参数
【典例1】垂直于直线
且与点
的距离是
的直线l 的方程是 ．
【答案】
或
【分析】由垂直设所求直线方程为
，利用点到直线的距离公式求出
，进而求出直线的方
程.
【详解】设与直线
垂直的直线方程为
，
则由点到直线的距离公式知，
．
所以
，即
，得
或
，
故所求直线l 的方程为
或
.
故答案为：
或
【变式1】若点
，
到直线
的距离相等，则
（ ）
A．4
B．
C．4 或
D．
或
【答案】C
【分析】分
在直线的同侧和
分别在直线的两侧两种情况分析即可求解.
【详解】若
，
在直线的同侧，则
，解得
；
若
，
分别在直线的两侧，则直线经过
的中点
，
则
，解得
．
故选：C
【变式2】若点
到直线l：
的距离为
，则
（ ）
A．5
B．
C．5 或
D．
或15
【答案】C
【分析】由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题意可得：点P 到直线l 的距离
，解得
或
．
故选：C.
【变式3】已知点
在直线
上，若
的最小值为4，则
．
【答案】
或9
【分析】根据
的几何意义，结合点线距离公式求参数即可.
【详解】因为点
在直线
上，
那么
的最小值是定点
到直线
的距离
的平方，
所以
，解得
或9．
故答案为：
或9
【变式4】已知点
到直线
的距离比为
，则
.
【答案】
或18
【分析】结合题意利用点到直线距离公式列式求解即可.
【详解】点
和
到直线
的距离分别为
，
则
，解得
或18.
故答案为：
或18
题型11 求点关于直线的对称点
【典例1】点
关于直线
的对称点坐标为 ．
【答案】
【分析】点关于直线对称，抓住“垂直”和“平分”，即可列出两个方程，求解即可.
【详解】设点
关于直线
的对称点坐标为
，
则
，
解得a＝
，b＝
，
∴点
关于直线
的对称点坐标为
．
故答案为：
．
【变式1】点
关于直线
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设点
关于直线
的对称点为
，列出方程组，即可求解.
【详解】设点
关于直线
的对称点为
，
则满足
，解得
，即
.
故选：C.
【变式2】点
关于直线
的对称点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解.
【详解】设
关于直线
的对称点坐标为
，
则
，解得
，故对称点坐标为
，
故选：B
【变式3】点
关于直线
的对称点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可.
【详解】设对称点
的坐标为
则
解得：
故选：B.
【变式4】点
关于直线
对称的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】若两点关于直线对称，其中点在已知直线上且两点所在的直线与已知直线垂直，列方程求点坐标.
【详解】若对称点为
，则
，可得
，即对称点为
.
故答案为：
求点
关于直线：
的对称点
①设
中点为
利用中点坐标公式得
，将
代入直线：
中；
②
整理得：
题型12 求到两点距离相等的直线方程
【典例1】已知点
，直线过点
，
(1)若A 到直线距离为2，求直线的方程；
(2)若A、B 到直线距离相等，求直线的方程.
【答案】(1)
或者
(2)
或者
【分析】（1）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线写出点到直线的距离公式求
解即可；
（2）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线分别写出两点到直线的距离，相等求
解即可；
【详解】（1）①若直线斜率不存在，此时过点
的直线为直线
，点
到直线的距离为2，符合要
求；
②若直线斜率存在，设为
，则直线方程为
，
所以点
到直线的距离为
，解得
，
直线为
，即
，
所以直线方程为
或者
；
（2）①若直线斜率不存在，此时过点
的直线为直线
，点
到直线的距离为2，点
到直线的距离为
0，不符合条件；
②若直线斜率存在，设为
，则直线方程为
，
此时点
到直线的距离为
，
点
到直线的距离为
，又
，所以
，
解得
或者
，所以直线为
或者
，
即
或者
.
【变式1】若点
，
到直线
的距离相等，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或2
【答案】C
【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解.
【详解】若
，
在直线的同侧，则
，解得
．
若
，
分别在直线的两侧，则直线经过
的中点
，则
，解得
．
故选：C
【变式2】点
，
到直线
的距离相等，则
.
【答案】
或
【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求解.
【详解】由题有
，
整理得到
，解得
或
，
故答案为：
或
.
【变式3】已知直线经过点
，且点
到直线的距离相等，则直线的方程为
.
【答案】
或
【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解.
【详解】当直线有斜率时，设直线方程为
，
到直线的距离相等，则
，解得
，
所以直线方程为
，即
，
当直线无斜率时，则直线方程为
，此时
到直线的距离均为3，符合题意，
综上可得：
或
，
故答案为：
或
【变式4】过点
且和
的距离相等的直线方程是 ．
【答案】
或
【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为
，利用点到直线
的距离公式，列出方程求得
的值，即可求解.
【详解】若斜率不存在时，过点
的直线为
，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点
的直线
，即
．
根据题意，可得
，解得
或
，
当
时，直线方程为
，
当
时，直线方程为
综上可得，直线方程为
或
．
故答案为：
或
题型13 直线关于直线对称
【典例1】求直线
关于直线
对称的直线方程．
【答案】
【分析】联立方程组可得两直线交点
的坐标，在
上取一点
，可求得
关于
的
对称点为
的坐标，由两点式可得直线方程，化为一般式即可．
【详解】解：由
，解得
，
两直线交点
．
在
上取一点
，设
关于
的对称点为
．
则
，解得
，
．
所求直线过
及
，
由两点式得
，化为一般式可得所求方程为
．
【变式1】已知直线l：
与直线
关于直线
对称，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对称性的性质，用
代
，以
代
进行求解即可.
【详解】因为直线l：
与直线
关于直线
对称，
所以在方程
中，用
代
，以
代
，得
，
化简，得
，
故选：A
【变式2】与直线
关于
轴对称的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
为所求直线上任一点，则
关于
轴对称的点为
，将其代入
中
化简可得答案.
【详解】设
为所求直线上任一点，则
关于
轴对称的点为
，
由题意可得点
在直线
上，
所以
，即
，
所以与直线
关于
轴对称的直线的方程为
，
故选：B
【变式3】直线
关于直线
对称的直线方程 .（用一般式方程表
示）.
【答案】
【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于
对称点坐标，由垂直斜率的
关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程.
【详解】联立
，得
，则两直线的交点为
，
在直线
上取点
，设其关于
的对称点为
，
则
，得
，则
.
故直线
关于直线
的对称直线为
，
又
，所以直线
，即
.
故答案为：
.
【变式4】若直线
与直线
关于
轴对称，则
.
【答案】
【分析】先判断直线
的位置，再由两条直线关于
轴对称得到两条直线的倾斜角互补，且与
轴
交于同一点，进而由已知条件算出
的值.
【详解】直线
的斜率
，与
轴交于点
.
直线
与直线
关于
轴对称
直线
与直线
的倾斜角互补，且与
轴相较于同一点
，解得
，则
.
故答案为：
.
直线关于直线对称问题
1 直线
：
（
）和：
（
）相交,求
关于直
线的对称直线
①求出
与的交点
②在
上任意取一点
(非
点），求出
关于直线的对称点
③根据
，
两点求出直线
2 直线
：
（
）和：
（
）平行,求
关于直
线的对称直线
①
②在直线
上任取一点
，求点
关于直线的对称点
，利用点斜式求直线
.
题型14 平行线间的距离问题
【典例1】若直线
与直线
平行，则这两条直线间的距离为
．
【答案】
【分析】先用直线平行解出
，再利用平行线间的距离公式求解.
【详解】直线
与直线
平行，
则
，解得
，
故直线
，直线
，
这两条直线间的距离为：
．
故答案为：
.
【变式1】已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据直线平行得到方程，求出
，利用两平行线距离公式得到答案.
【详解】直线
与直线
平行，
则
，解得
，
直线
，即
，
与
的距离为
.
故选：B
【变式2】直线
与直线
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可.
【详解】
可变为
，
则两条平行直线间的距离为
.
故选：B
【变式3】若直线
与直线
之间的距离为
，则实数
的值为 ；
【答案】
或
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出
值.
【详解】直线
，即
与直线
之间的距离为
，
则
，解得
或
，经验证，符合题意，
所以实数
的值为
或
.
故答案为：
或
【变式4】已知平行直线
，则与
的距离是 .
【答案】
/
【分析】利用两平行线间的距离公式计算即可.
【详解】由题意，根据两平行线间的距离公式可得
.
故答案为：
.
题型15 直线关于点对称的直线
【典例1】与直线
关于点
对称的直线方程是 .
【答案】
【分析】
由两直线对称得
，由此设直线的方程，再利用点线距离公式即可得解.
【详解】因为直线与直线
关于点
对称，所以
，且点
到两直线的距离相等，
设直线为
，则
，解得
或
（舍去），
所以所求直线方程为
.
故答案为：
.
【变式1】已知直线
与直线
关于点
对称，则
恒过的定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出直线所过定点
的坐标，求出点
关于点
的对称点
的坐标，即为所求.
【详解】直线的方程可化为
，由
得
，
所以，直线过定点
，点
关于点
的对称点为
，
因此，直线
恒过的定点
.
故选：C.
【变式2】已知直线
与直线
关于点
对称，则实数
的值为（ ）
A．2
B．6
C．
D．
【答案】A
【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.
【详解】由于直线
与直线
关于点
对称，
所以两直线平行，故
，则
，
由于点
在直线
上，
关于点
的对称点为
，
故
在
上，代入可得
，故
，
故选：A
【变式3】与直线
关于点
对称的直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据直线关于点对称方程的特点可设直线方程，在利用点到两条直线的距离相等即可求解直线方
程.
【详解】解：直线
关于点
对称的直线的方程可设为
，其中
又
点到直线
与到直线
的距离相等
所以
，即
，所以
或
（舍）.
故所求直线方程为：
.
故答案为：
.
【变式4】已知直线的方程为
，点
的坐标为
.
(1)若直线
与关于点
对称，求
的方程;
(2)若点
与
关于直线对称，求
的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由直线
与直线互相平行，且点
到两直线距离相等，列方程即可求解；
（2）由直线垂直平分线段
，列方程组即可求解.
【详解】（1）
易知直线
与直线互相平行，
设
的方程为
，点
到两直线距离相等，
有
，
即
，或
(舍去)，
故
的方程为
.
（2）
设点
的坐标为
，
直线
，且
的中点在直线上，
而直线的斜率为
，
，
故有
，解得
，
故
的坐标为
.
方法一：在直线
上找一点
，求点
关于点
对称的点
，根据
，再由点斜式求解；
方法二：由
，设出
的直线方程，由点
到两直线的距离相等
求参数.
方法三：在直线
任意一点
，求该点关于点
对称的点
，则该点
在
直线
上.
题型16 将军饮马问题
【典例1】唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐
含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮
马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将
军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为
.
【答案】
【分析】求出点
关于直线
对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解.
【详解】设点
关于
对称点
，则
，解得
，
即
，所以“将军饮马”的最短总路程为
.
故答案为：
【变式1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐
含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮
马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将
军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线的方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作点
关于直线
的对称点为
，则最短路程为
.根据点关于
直线的对称问题，列方程组，可求得
，再应用两点间的距离公式求
即可.
【详解】如图，作点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，
所以
.
则“将军饮马”的最短总路程为
.
故选：C.
【变式2】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决.例如，与
相关的代数问题，可以转化为点
与点
之间的
距离的几何问题.结合上述观点，函数
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】C
【分析】
表示动点
到定点
和
的距离之和，作
关于直线
的对称点
，
，即可求解
【详解】
表示动点
到定点
和
的距离之和，
因为点
在直线
上运动，
作
关于直线
的对称点
，则
，
故
，
当且仅当
三点共线时取等，
故
的最小值为
故选：C
【变式3】唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐
含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮
马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将
军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出点
关于直线
的对称点
，则所求最短总路程为
.
【详解】设
关于直线
对称的点为
，
则
，解得：
，即
，
“将军饮马”的最短总路程为
.
故选：D.
【变式4】（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河
边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是
．军营所
在位置为
，河岸线所在直线的方程为
，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将
军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
【答案】BD
【分析】求出点
关于直线
的对称点为
，直线
的方程为
即为从出发
点到河边的路线所在直线方程，可得A 错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为
，可得B 正确；直线
的方程为
即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C 错
误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为
，可知D 正确.
【详解】由题可知
在
的同侧，
设点
关于直线
的对称点为
，如下图所示：
则
，解得
，即
.
对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为
，
又
，所以直线
的方程为
，即
，故A 错误；
对于B，设将军在河边饮马的地点为
，则
即为
与
的交点，
联立两直线方程解得
，故B 正确；
对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为
，又
，
所以直线
的方程为
，即
，故C 错误；
对于D，总路程
，
所以“将军饮马”的总路程为
，故D 正确.
故选：BD.
1．直线
与直线
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】
可变为
，则两条平行直线间的距离为
．
故选：C.
2．已知点
关于直线对称的点为
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可知，直线为线段
的垂直平分线，求出线段
的垂直平分线方程，即为所求.
【详解】由题意可知，直线为线段
的垂直平分线，且
，
所以直线的斜率为
，
又因为线段
的中点为
，所以直线的方程为
，
整理可得
.
故选：C.
3．平行直线
与
之间的距离是（ ）
A．1
B．4
C．3
D．
【答案】D
【分析】先根据直线平行求参，再应用平行线间距离公式计算即可.
【详解】因为直线
与
平行，
所以
且
不是
，所以
，
则直线
与
的距离为
.
故选：D.
4．与直线
关于x 轴对称的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
在直线
上，则点
在该直线关于x 轴对称的直线上，即可确定所求的
直线.
【详解】若
在直线
上，则点
在该直线关于x 轴对称的直线上，
显然
在A 中的直线
上，但不在B、C、D 中的直线上.
故选：A
5．点
到直线
的最大距离是（ ）
A．
B．2
C．
D．不存在
【答案】D
【分析】求出直线l 所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线
即
，
令
，解得
，
即直线
过定点
，设为B，
当直线
与l 垂直时，点
到直线
的距离最大，
即为
，
此时
的斜率为
，则l 的斜率为2，故
，方程无解，
即直线l 和
不可能垂直，则点
到直线l 的距离小于
，不存在最大值，
故选：D
6．已知
，
，
，
均为实数，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】
表示两点
与
之间的距离，
表示两
点
与
之间的距离，进而可得点
的轨迹方程为两平行直线，可求最小值.
【详解】
表示两点
与
之间的距离，
表示两点
与
之间的距离，
又点
是直线
上的动点，点
是直线
上的动点，
且直线
与直线
平行，
所以
的最小值即为直线
与直线
之间的距离，
所以
的最小值为
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得
的最小值即为直
线
与直线
之间的距离，从而求解.
7．已知直线
与直线
关于直线
对称，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果.
【详解】由题意得，直线
，
∴两直线
与直线间的距离相等，
∵
方程可化为：
，
，
∴
，解得
.
故选：C.
8．点
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析得直线
过定点
，当
与直线
垂直时距离有最大值，
利用两点间距离公式计算可得结果.
【详解】
由
得
，
由
得
，故直线
过定点
.
记点
为点
，当
与直线
垂直时，点
到直线
的距离有最大值，
最大值为
.
故选：D.
9．（多选）已知
为坐标原点，若直线上存在点P，使得
，则称该直线为“1 距直线”，下列直
线是“1 距直线”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由题意可得原点O 到直线的距离小于或等于1，利用点到直线距离公式去判断四个选项，得到答
案.
【详解】由题意可得原点O 到直线的距离小于或等于1，
A 选项，原点O 到
的距离
，
点
在
上，且到原点O 到距离为1，满足要求，A 正确；
B 选项，原点O 到
的距离为1，B 正确；
C 选项，原点O 到
的距离
，满足要求，C 正确；
D 选项，原点O 到
的距离
，D 错误.
故选：ABC
10．（多选）若点
和点
关于直线
对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的
中点，代入直线的方程，求出
，再利用两直线垂直关系求出
.
【详解】由题意知，
的中点
，即
在直线上，
则可得
，解得
，
则直线
，斜率为
，
又直线
与直线垂直，
则可得
，解得
，
故选：AC.
11．已知
在直线
上，则
的最小值为 ．
【答案】3
【分析】根据
，即表示直线
上的点
到原点距离，由点到直线的距离公式计算，
即可得结果.
【详解】因为
表示点
到原点
的距离，而点
在直线
上，
所以
的最小值即为原点
到直线
的距离，
.
所以
的最小值为3.
故答案为：.
12．已知点
和直线
，则点P 到直线l 的距离最大值为 ．
【答案】
【分析】先求得直线的定点
，分析可得
时，点
到直线的距离最大，进而求解即可.
【详解】由
，
即
，
令
，解得
，则直线恒过定点
，
当
时，点
到直线的距离最大，
此时最大距离为
.
故答案为：
.
13．已知直线：
.
(1)若直线垂直于直线：
，求
的值；
(2)求证：直线经过定点；
(3)当
时，求点
关于直线的对称点
的坐标.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解；
(2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解.
(3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出
的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及
的中点
在直线上，列出方程组，解方程组即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
解得
，
故
的值为；
（2）因为
，
所以
，
所以
，
解得
，
所以直线恒过定点
；
（3）因为
，
所以直线
，
设点
关于直线的对称点
的坐标为
，
所以
的中点坐标为
，
所以
，
解得
，
所以点
关于直线的对称点
的坐标为
.
14．（1）已知三角形的三个顶点是
，
，
，边
上的高所在直线为，求直线关于
点
对称的直线
的方程.
（2）已知两条直线
，若
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用两点斜率公式与直线的垂直关系，结合直线的点斜式方程求得的方程，再利用点线距
离公式，结合中心对称性的性质即可得解；
（2）利用两直线平行的性质得到关于
的方程，解后再进行检验即可得解.
【详解】（1）因为点
，
，所以
，
因为
，所以
，且直线经过点
，
所以直线的方程为
，即
.
设直线
的方程为
，
由点
到直线和直线
的距离相等，
所以
，解得
或
（舍去），
所以直线
的方程为
.
（1）
，又
，
，解得
或
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
重合，舍去；
综上，
.
