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专题2.9 圆与圆的位置关系
教学目标
（1）掌握圆与圆的位置关系及判定方法；
（2）圆的方程判断圆与圆的位置关系；
（3）能够在具体问题情境中选择合适的判断方法。
教学重难点
教学重点:圆与圆的位置关系的判断方法；
教学难点:正确判断圆与圆的位置关系。
知识点01 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有 公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有 公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)， 公共点.
图象
位置关系
图象
位置关系
外
离
外
切
相
交
内
切
内
含
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1 几何法
设
的半径为
，
的半径为
，两圆的圆心距为
.
①当 时，两圆相交；
②当 时，两圆外切；
③当 时，两圆外离；
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1r
2r
1
C
2
C
1r
2r
1
C
2
C
1r
2r
④当 时，两圆内切；
⑤当 时，两圆内含.
2.2 代数法
设
:
:
联立
消去“
”得到关于“
”的一元二次方程
，求出其
①
与
②
与
③
与
【即学即练】已知圆
，圆
，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
知识点02 圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设
:
:
1
C
2
C
1r
2r
1
C
2
C
1r
2r
联立作差得到：
即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
【即学即练】已知圆
与圆
相交于两点A，B，则AB 的
直线方程为 ．
知识点03 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有 外公切线和 内公切线，共4 条；
（2）两圆外切时，有 外公切线和 内公切线，共3 条；
（3）两圆相交时，只有 外公切线；
（4）两圆内切时，只有 外公切线；
（5）两圆内含时， 公切线．
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离
求解
【即学即练】已知圆
与圆
有三条公切线，则
（ ）
A．5
B．16
C．32
D．36
知识点04 圆系方程
(1) 以
为圆心的同心圆圆系方程：
；
(2) 与圆
同心圆的圆系方程为
；
(3) 过直线
与圆
交点的圆系方程为
(4) 过两圆
，圆
：
交点的圆系方程为
（
，此时圆系不含圆
：
）特别地，当
时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
题型01 判断圆与圆的位置关系
【典例1】圆
与圆
的位置关系为（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【变式1】圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
【变式2】已知圆
和圆
，则它们的位置关系是（ ）
A．外离
B．相切
C．内含
D．相交
【变式3】圆
与圆
的位置关系不可能为（ ）
A．相切
B．相交
C．内含
D．外离
【变式4】已知圆
与圆
，则两圆的位置关系是 .
题型02 求两圆交点坐标
【典例1】圆
与圆
的交点坐标为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【变式1】已知圆
和圆
，观察可得它们都经过坐标原点
，除此之外，
它们还相交于一点，这点的坐标是 ．
【变式2】圆
与
的交点坐标为 .
【变式3】圆
与圆
的交点坐标为 .
题型03 由圆的位置关系确定参数
【典例1】若圆
与圆
有且仅有三条公切线，
．
【变式1】已知圆
和圆
有公共点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知圆
：
与圆
：
有两条公切线，则实数
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）已知圆
与圆
相切，则
的取值可以为
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【变式4】已知圆
和圆
有一个公共点，则的值为 ．
题型04 由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【典例1】已知圆
，半径为3 的圆
与圆
外切，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】圆
关于直线
对称的圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】写出一个半径为，且与圆
：
及直线：
都相切的圆的方程
只需写出符合条件的一个方程即可
【变式3】与圆
外切且圆心在原点的圆的标准方程为 .
【变式4】已知圆
，直线过点
且与圆
相切．
(1)求直线的方程；
(2)设圆
与圆
关于直线对称，求出圆
的方程；
题型05 相交圆的公共弦方程
【典例1】若圆
，与圆
相交于A，B，则公共弦AB 所在的直线方程为
．
【变式1】圆
与圆
交于
两点，则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知圆
与圆
的交点为
，则直线
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】圆
与圆
的公共弦所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知圆
：
和圆
：
，则两圆公共弦所在的直线方程为 .
题型06 两圆的公共弦长
【典例1】两圆
和
的公共弦长为 ．
【变式1】已知圆
与圆
交于
、
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知圆
，圆
，两圆的交点为
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式3】圆
与圆
的公共弦长为 .
【变式4】已知圆
和圆
，则两圆的公共弦长为 .
题型07 圆的公切线条数
【典例1】已知圆
和圆
，则圆
与圆
的公切线有
条.
【变式1】已知圆
，圆
，则这两个圆的公切线的条数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】已知圆
及圆
，则与圆
都相切的直线的条数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】已知圆
与圆
，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式4】圆
与圆
的公切线的条数是 条．
题型08 圆的公切线方程
【典例1】平面上有两个圆，它们的方程分别是
和
，求这两个圆的内公
切线方程．
【变式1】已知圆
，圆
，则
的公切线方程为 ．（写出一条即
可）
【变式2】圆
与圆C 关于直线
对称，写出两圆的一条公切线： .
【变式3】已知圆
与圆
有且仅有一条公切线，则该公切
线方程为 .
【变式4】已知圆
，圆
，则两圆公切线的方程为 .
题型09 圆的公切线长
【典例1】圆
：
与圆
：
的内公切线长为（ ）
A．3
B．5
C．
D．4
【变式1】圆
与圆
的一条公切线长为 （填入一个答案即可）．
【变式2】求圆
与圆
的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
1．圆
与圆
的公共弦所在直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．内含
B．内切
C．外离
D．相交
3．圆
与圆
的公切线有且仅有（ ）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
4．已知圆
与圆
恰有三条公切线，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
5．若圆
与圆
有且仅有2 条公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若点
关于直线
对称的点
在圆
上，且
在第一象限内，则实数
的值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．
7．圆
与圆
的公共弦长为
，则
的值为（ ）
A．12 或4
B．12 或-4
C．16 或4
D．16 或-4
8．已知
，若两圆
和
恰有一条公切线，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．2
D．
9．（多选）已知圆
的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
在圆
的外部
C．圆
与圆
外切
D．当直线
平分圆
的周长时，
10．已知
分别为圆
与圆
上一点，则
的最小值为 .
11．已知圆
与
轴相切于点
，圆心在经过点
与点
的直线上．
(1)求圆
的方程；
(2)圆
与圆
：
相交于
两点，求两圆的公共弦
的直线方程．
12．已知圆
：
（
），点
，圆
与直线
相切.
(1)若圆
与圆
相交，求的取值范围；
(2)若圆
与圆
公共弦的长度为
，求的值.
13．在平面直角坐标系
中，圆C 经过点
和点
，且圆心C 在直线
上.
(1)求圆
的标准方程；
(2)已知圆
的方程为
，请问圆
与圆
会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不
相交，请说明理由.
