文档文本内容
专题2.9 圆与圆的位置关系
教学目标
（1）掌握圆与圆的位置关系及判定方法；
（2）圆的方程判断圆与圆的位置关系；
（3）能够在具体问题情境中选择合适的判断方法。
教学重难点
教学重点:圆与圆的位置关系的判断方法；
教学难点:正确判断圆与圆的位置关系。
知识点01 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象
位置关系
图象
位置关系
外
离
外
切
相
交
内
切
内
含
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1 几何法
设
的半径为
，
的半径为
，两圆的圆心距为
.
①当
时，两圆相交；
②当
时，两圆外切；
③当
时，两圆外离；
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1r
2r
1
C
2
C
1r
2r
④当
时，两圆内切；
⑤当
时，两圆内含.
2.2 代数法
设
:
:
联立
消去“
”得到关于“
”的一元二次方程
，求出其
①
与
相交
②
与
相切（内切或外切）
③
与
相离（内含或外离）
【即学即练】已知圆
，圆
，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可.
【详解】
，圆心
，半径
，
可化简为
，
1
C
2
C
1r
2r
1
C
2
C
1r
2r
1
C
2
C
1r
2r
则圆
的圆心为
，半径
，
，所以两圆相交.
故选：C.
知识点02 圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设
:
:
联立作差得到：
即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
【即学即练】已知圆
与圆
相交于两点A，B，则AB 的
直线方程为 ．
【答案】
【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程.
【详解】由题设可得
的方程为：
，
整理得：
，
故答案为：
知识点03 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2 条
外公切线和2 条
内公切线，共4 条；
（2）两圆外切时，有2 条
外公切线和1 条
内公切线，共3 条；
（3）两圆相交时，只有2 条
外公切线；
1
C
2
C
1
C
2
C
（4）两圆内切时，只有1 条
外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离
求解
【即学即练】已知圆
与圆
有三条公切线，则
（ ）
A．5
B．16
C．32
D．36
【答案】C
【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得.
【详解】由
可知圆心为
，半径为2；
由
可知
且圆心为
，半径为
.
因两个圆有三条公切线可知两圆外切，
即
，
解得：
.
故选：C.
知识点04 圆系方程
(1) 以
为圆心的同心圆圆系方程：
；
(2) 与圆
同心圆的圆系方程为
；
(3) 过直线
与圆
交点的圆系方程为
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
(4) 过两圆
，圆
：
交点的圆系方程为
（
，此时圆系不含圆
：
）特别地，当
时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
题型01 判断圆与圆的位置关系
【典例1】圆
与圆
的位置关系为（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【答案】C
【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案.
【详解】由题意可知圆
的圆心
，半径
，圆
的圆心
，半径
，
则
，
，
，
由
，则两圆相交.
故选：C.
【变式1】圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
【答案】B
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的
位置关系即可.
【详解】圆
即
，圆心为
，半径为；
圆
即
，圆心为
，半径为
；
圆心距为
，因为
，所以两个圆外离.
故选：B
【变式2】已知圆
和圆
，则它们的位置关系是（ ）
A．外离
B．相切
C．内含
D．相交
【答案】B
【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
圆
化简为标准方程为
，故其圆心为
，半径为
，
故
，
故圆
与圆
的位置关系为相切.
故选：B.
【变式3】圆
与圆
的位置关系不可能为（ ）
A．相切
B．相交
C．内含
D．外离
【答案】C
【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解.
【详解】
，
故
的圆心为
，半径为
，
，
故
的圆心为
，半径为
，
故
，当且仅当
时，等号成立，而
，
当
时，两圆外离或相交，
时，两圆内切，
故两圆不可能内含.
故选：C
【变式4】已知圆
与圆
，则两圆的位置关系是 .
【答案】内切
【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断.
【详解】因为圆
，圆
，
所以圆
的圆心
，半径
，
圆
的圆心
，半径
，
所以
，所以两圆的位置关系为内切.
故答案为：内切.
题型02 求两圆交点坐标
【典例1】圆
与圆
的交点坐标为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】C
【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.
【详解】由
,可得
，即
，
代入
，解得
或
，
故得
或
,
所以两圆的交点坐标为
和
,
故选:C
【变式1】已知圆
和圆
，观察可得它们都经过坐标原点
，除此之外，
它们还相交于一点，这点的坐标是 ．
【答案】
【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标.
【详解】联立两圆方程
，解得
或
，
即可得这点的坐标为
.
故答案为：
【变式2】圆
与
的交点坐标为 .
【答案】
和
【分析】联立两圆的方程即可求解.
【详解】联立
，两式相减得
，将其代入
中得
或
，进而得
或
，
所以交点坐标为
故答案为：
和
【变式3】圆
与圆
的交点坐标为 .
【答案】
【分析】将两个圆的方程联立，解方程组求解即可.
【详解】联立两个圆的方程：
，
方程带入
，先得到
，在联立
，得到
，解得
或
，对应的
值为
或
，于是得到两圆交点：
.
故答案为：
.
题型03 由圆的位置关系确定参数
【典例1】若圆
与圆
有且仅有三条公切线，
．
【答案】
【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解.
【详解】易知圆
的圆心为
，半径为
，
由
，得到
，
则
，即
，圆
的圆心为
，半径为
，
因为圆
与圆
有且仅有三条公切线，所以圆
与圆
外切，
则
，即
，解得
，
故答案为：
.
【变式1】已知圆
和圆
有公共点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【详解】由题可得
，
解得：
．
故选：B
【变式2】已知圆
：
与圆
：
有两条公切线，则实数
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距
满足
，列不等式即可
求出
的取值范围．
【详解】由圆
与圆
恰有两条公切线，得圆
与圆
相交，
而圆心
，半径
，圆心
，半径
，则
，
因此
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C
【变式3】（多选）已知圆
与圆
相切，则
的取值可以为
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】BC
【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解.
【详解】若这两个圆外切，则
，
两边平方后，解得
或3；
若这两个圆内切，则
，
解得
.
故选：BC
【变式4】已知圆
和圆
有一个公共点，则的值为 ．
【答案】
或
【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可.
【详解】圆
和圆
有一个公共点，则两圆内切或外切，
由题可得
，解得
或
．
故答案为：
或
题型04 由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【典例1】已知圆
，半径为3 的圆
与圆
外切，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出
化简得出轨迹方
程.
【详解】圆
的标准方程为
，所以圆
的圆心为
，半径
．
因为圆
与圆
外切，且半径为3，所以点
与点
的距离
．
设
，则
，化简得
，
故选:C.
【变式1】圆
关于直线
对称的圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过点关于直线对称求圆
的圆心和半径来求得正确答案.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
.
所以圆
的半径为
，设圆心为
，
则
，解得
，
所以圆
的方程为
.
故选：A
【变式2】写出一个半径为，且与圆
：
及直线：
都相切的圆的方程
只需写出符合条件的一个方程即可
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据题意列式计算即可.
【详解】设圆心
，由已知圆
与直线：
相切，圆
与圆
：
相切，
可得
，解得
或
或
，
圆的方程为
或
或
．（写其中一个即可）
故答案为：
（答案不唯一）
【变式3】与圆
外切且圆心在原点的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意可知圆
的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结
果.
【详解】因为
，即
，
可知圆心
，半径
，
则
，
由题意可得圆
的半径
，
所以圆
的标准方程为
.
故答案为：
.
【变式4】已知圆
，直线过点
且与圆
相切．
(1)求直线的方程；
(2)设圆
与圆
关于直线对称，求出圆
的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点
在圆
上，切线与半径
所在直线垂直，求出切线斜率，利用点斜式求切线方
程；
（2）根据对称性先确定圆心
的坐标，再根据两圆半径相等可得圆
的方程.
【详解】（1）如图：
由题可得圆心
，
，
因为
，所以点
在圆
上，即点
为切点，
因
，故直线的斜率为
，
故直线的直线方程为
，即
.
（2）因为圆
与圆
关于直线对称，所以点
恰为
的中点，
故得
，又圆
的半径为
，故
.
题型05 相交圆的公共弦方程
【典例1】若圆
，与圆
相交于A，B，则公共弦AB 所在的直线方程为
．
【答案】
【分析】因为
两点是两圆公共的交点，即满足两圆方程，联立求解即可求得直线方程.
【详解】由题意可知
两点均在两个圆上，即
两点均满足两圆的方程，
也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得
，解得
或
，
故
或
，
两种情况下公共弦
所在的直线方程均为
.
故答案为：
.
【变式1】圆
与圆
交于
两点，则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由两圆方程相减即可求解；
【详解】
①，
②，.
②①化简可得，
−
方程为
，
故选：A．
【变式2】已知圆
与圆
的交点为
，则直线
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.
【详解】∵
，
，
∴两圆方程相减得，
，化简得
.
故选：B.
【变式3】圆
与圆
的公共弦所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】两圆方程相减即可求解；
【详解】由圆
与圆
方程相减可得：
，
所以公共弦所在的直线方程为
，
故选：A
【变式4】已知圆
：
和圆
：
，则两圆公共弦所在的直线方程为 .
【答案】
【分析】将两圆作差即可求解.
【详解】
：
和圆
：
的圆心和半径分别为
,
故
，故两个圆相交，
因此公共弦所在的直线方程为
，即
，
故答案为：
题型06 两圆的公共弦长
【典例1】两圆
和
的公共弦长为 ．
【答案】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾
股定理计算可得.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
圆
的圆心为
，半径
，
又
，所以
，即两圆相交，
两圆方程作差得到公共弦方程为
，
又圆心
到公共弦的距离
，
所以公共弦长为
.
故答案为：
【变式1】已知圆
与圆
交于
、
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得.
【详解】圆
即
，圆心
，半径
；
圆
即
，圆心
，半径
，
因为
，则
，所以两圆相交，
则两圆的公共弦方程为
，
则
到
的距离
，
所以
.
故选：A
【变式2】已知圆
，圆
，两圆的交点为
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】联立两圆方程得到公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可
求解.
【详解】由
得
，
所以圆
和圆
的公共弦所在直线方程为
，
圆
的圆心为
，半径
，
到公共弦所在直线的距离为
，
所以
.
故选：C.
【变式3】圆
与圆
的公共弦长为 .
【答案】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方
程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长.
【详解】法1，两圆
与圆
均过点
，
，弦长为
.
法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程
，
圆
的圆心
到直线
的距离
，
故公共弦长为
.
故答案为：
.
【变式4】已知圆
和圆
，则两圆的公共弦长为 .
【答案】
【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心
到公共弦直线的距离，根据弦长公式
即可求得公共弦长.
【详解】
如图，由圆
与圆
相减，
整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：
，
由圆
的圆心
到直线
的距离为
，
由弦长公式，可得两圆的公共弦长为
.
故答案为：
.
题型07 圆的公切线条数
【典例1】已知圆
和圆
，则圆
与圆
的公切线有
条.
【答案】
【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可
【详解】由题意得圆
的圆心坐标为
，半径为
，
的圆心坐标为
，半径为
，
则圆心距为
，
故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3 条，
故答案为：3
【变式1】已知圆
，圆
，则这两个圆的公切线的条数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由圆的方程表示出圆心与半径，求得圆心距以及半径的和差，并进行比较，可得答案.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的方程
可化为
，
圆
的圆心为
，半径为
，
圆心距
，
因为
，
，
，
所以两个圆的位置关系是相交，公切线共有2 条.
故选：B.
【变式2】已知圆
及圆
，则与圆
都相切的直线的条数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距和两半径的关系得到两圆内切，从而得到公切线条数.
【详解】圆
的标准方程为
，圆心
，半径
，
圆
的标准方程为
，圆心
，半径
，
所以
，圆
内切，
所以与圆
都相切的直线只有1 条．
故选：A．
【变式3】已知圆
与圆
，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数．
【详解】因为圆
的圆心
，半径
，
圆
的圆心
，半径
，
则两圆的圆心的距离为
，又
，
则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切，
所以有3 条公切线．
故选：C.
【变式4】圆
与圆
的公切线的条数是 条．
【答案】3
【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数.
【详解】圆
的圆心
，半径
；
圆
的圆心
，半径
，
而
，因此圆
与圆
外切，
所以两圆的公切线条数是3.
故答案为：3
题型08 圆的公切线方程
【典例1】平面上有两个圆，它们的方程分别是
和
，求这两个圆的内公
切线方程．
【答案】
【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案.
【详解】圆
，圆心
，半径
，
圆
，
其圆心
，半径
，
，∴这两圆外切，
∴
，
可得
，
∴所求的两圆内公切线的方程为：
．
【变式1】已知圆
，圆
，则
的公切线方程为 ．（写出一条即
可）
【答案】
，
，
（三个方程写出一个即给满分）
【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程.
【详解】因为
，
的半径均为1，则
外切，结合图像可知，
的公切线方程为
，
，
．
故答案为：
，
，
【变式2】圆
与圆C 关于直线
对称，写出两圆的一条公切线： .
【答案】
答案不唯一
【分析】求出
关于直线
对称点的坐标，写出圆C 的方程，判断出圆O 和圆C 的位置关
系，设与OC 平行的公切线方程为
，即
，利用点到直线的距离关系，即可求出结果.
【详解】设
关于直线
对称点的坐标为
，
则
，解得
，
圆C 的方程是
，其圆心坐标为
，半径为1，
两圆的圆心距
，
所以两圆外离，且
，
设与OC 平行的公切线方程为
，即
，
则由O 到直线
的距离
，可得
，解得
，
所以两圆的一条公切线为
或
，
另外，根据对称性可知，
，
也为两圆的公切线.
故答案为：
答案不唯一
【变式3】已知圆
与圆
有且仅有一条公切线，则该公切
线方程为 .
【答案】
【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出
的值，进一步可求公切线方程.
【详解】因为圆
：
，则
，半径为，
由
可得圆心为原点，半径为
，
因为圆
与圆
有且只有一条公切线，所以两圆内切.
所以
，又
，所以
.
所以圆
：
即
.
所以两圆方程相减可得圆
与圆
的公切线为：
即
.
故答案为：
【变式4】已知圆
，圆
，则两圆公切线的方程为 .
【答案】
【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程.
【详解】由
，圆心为
，半径为
，
由
，圆心为
，半径为
，
显然
，即两圆内切，且切点为
，
所以两圆公切线的方程为
.
故答案为：
题型09 圆的公切线长
【典例1】圆
：
与圆
：
的内公切线长为（ ）
A．3
B．5
C．
D．4
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为
轴，求公切线的长即可.
【详解】如图：
由图可知圆
与圆
的内公切线有一条为
轴，
则公切线的长为
，
方法二：
，
所以内公切线的长为：
故选：D
【变式1】圆
与圆
的一条公切线长为 （填入一个答案即可）．
【答案】
或
（填一个即可）
【分析】先判断圆
与圆
的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长.
【详解】由题意得
，
，
，
，
，故两圆相离，有四条公切线．如
图，
设四条公切线分别为直线
、直线
、直线
、直线
，且
交
于点
．
由对称性可知
，
．连接
，过
作
，垂足为
，连接
，
则四边形
为矩形，所以
．连接
．
易知
，所以
．又
，所以
．
所以在
中，
，所以
．
故两圆的一条公切线长为
或
．
故答案为：
或
（填一个即可）.
【变式2】求圆
与圆
的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
【答案】
或
，8
【分析】利用两圆的圆心在
轴得到内公切线的交点
也在
轴上，再利用几何性质可求
的坐标，最后
利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程.
【详解】
，
，
，
．
设内公切线与连心线
交于点
，则
在
轴上且
．
设
，可得
，
．
设内公切线所在直线方程为
，即
．
由
，得
．
所以内公切线所在直线方程为
或
．
内公切线的长为
．
【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出
外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率
.
1．圆
与圆
的公共弦所在直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得.
【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为
和
，
作差整理得
，即为所求．
故选：B.
2．圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．内含
B．内切
C．外离
D．相交
【答案】D
【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解.
【详解】
的圆心和半径为
，
，
的圆心和半径为
，
,
故
,
,故两圆相交，
故选：D
3．圆
与圆
的公切线有且仅有（ ）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
【答案】A
【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数.
【详解】圆
：
，所以
，
.
圆
：
，所以
，
.
因为
，
，所以
.
所以圆
与圆
相离.所以两圆有4 条公切线.
故选：A
4．已知圆
与圆
恰有三条公切线，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据两圆有三条公切线得出两圆相外切，再应用两圆心间距离等于半径和列式求解.
【详解】由题意
的标准方程分别为
，
则两圆恰有三条公切线，
两圆相外切，圆
：
，圆
：
，
．
故选：C．
5．若圆
与圆
有且仅有2 条公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可.
【详解】因为圆
：
与圆
：
有且仅有2 条公切线，
所以圆
：
与圆
：
相交，
所以
，
所以
或
.
故选:D.
6．若点
关于直线
对称的点
在圆
上，且
在第一象限内，则实数
的值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知确定点
关于直线
对称的点在圆
上，易得对称点为圆
和
圆
的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k.
【详解】显然
在圆
上，又直线
经过该圆的圆心
，
所以点
关于直线
对称的点在圆
上，
又点
关于直线
对称的点在圆
上，
所以对称点为圆
和圆
的交点，联立得交点为
（舍去第四象限的点），
所以
与
两点所在直线，与
垂直，故
.
故选：D.
7．圆
与圆
的公共弦长为
，则
的值为（ ）
A．12 或4
B．12 或-4
C．16 或4
D．16 或-4
【答案】B
【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建
立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案.
【详解】两圆方程作差可得
，即公共弦所在直线方程为
，
由圆
，则圆心
，半径
，
点
到公共弦所在直线的距离
，
公共弦长为
，则
，解得
或
，
由圆
，整理可得
，
则
，所以
或
.
故选：B.
8．已知
，若两圆
和
恰有一条公切线，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到
满足的
关系式，最后利用三角换元求出
的最大值.
【详解】圆
，即
，圆心
，半径
圆
，即
，圆心
，半径
两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差：
令
，则
最大值为
故选：B.
9．（多选）已知圆
的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
在圆
的外部
C．圆
与圆
外切
D．当直线
平分圆
的周长时，
【答案】ABC
【分析】由已知圆半径确定参数
，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆
半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数
判断D.
【详解】根据题意得
，解得
，A 正确．
由选项A 可知，圆
，圆心为
，半径为2．因为
，所以点
在圆
的外部，B 正确．
圆
的圆心为
，半径为8，因为
，
所以圆
与圆
外切，C 正确．
若直线
平分圆
的周长，则直线
过圆心
，则
，解得
，D
错误．
故选：ABC．
10．已知
分别为圆
与圆
上一点，则
的最小值为 .
【答案】2
【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点
之间距离的最小值.
【详解】因为圆
，圆
，
所以圆心
，圆
的半径为1；圆心
，圆
的半径为1.
两圆心之间的距离为
，所以两圆相离.
所以
的最小值为
.
故答案为：2.
11．已知圆
与
轴相切于点
，圆心在经过点
与点
的直线上．
(1)求圆
的方程；
(2)圆
与圆
：
相交于
两点，求两圆的公共弦
的直线方程．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可；
（2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可,
【详解】（1）经过点
与点
的直线方程为
．
由题意可得，圆心在直线
上，
由
，解得圆心坐标为
，
故圆
的半径为4．
则圆
的方程为
；
（2）∵圆
的方程为
即
，
圆
：
，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为
．
12．已知圆
：
（
），点
，圆
与直线
相切.
(1)若圆
与圆
相交，求的取值范围；
(2)若圆
与圆
公共弦的长度为
，求的值.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由圆
与直线
相切，求出圆
的半径，得到圆
的方程，然后由圆
与圆
相交，求解即可；
（2）由圆
与圆
相交，求出公共弦所在直线的方程，计算圆心
到公共弦所在直线的距离，由弦长公
式计算即可.
【详解】（1）因为圆
与直线
相切，
所以圆心
到直线
的距离是圆
的半径
.
所以圆
的方程为
.
（或者
）.
因为圆
：
（
）的圆心为
，
半径为，且两个圆相交，所以
，
即
，解得
.
（2）圆
与圆
交点满足方程组
，
所以两圆公共弦所在的直线方程为
，
圆心
到公共弦所在直线的距离为
，
因为两圆的公共弦长为
，所以
，
整理得
，解得
或
，
由（1）可知，
或
均符合题意.
13．在平面直角坐标系
中，圆C 经过点
和点
，且圆心C 在直线
上.
(1)求圆
的标准方程；
(2)已知圆
的方程为
，请问圆
与圆
会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不
相交，请说明理由.
【答案】(1)
(2)相交，
【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程；
（2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C 与圆
相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆
的弦长公式，计算即得弦长.
【详解】（1）因
，则线段
的中点
的坐标为
，
且直线
的斜率
,
于是线段
的垂直平分线所在直线方程为
,
则由
，解得
，
∴圆心
，半径
,
∴圆
的方程为
；
（2）由圆
得：
∴ 圆心
，半径
，
∵ 圆
的圆心坐标为
，半径
，
由
，
，
因
，故圆
与圆
相交 ；
设圆
与圆
的两个交点分别为点
，如图，
由
左右分别相减，整理得
,
∴直线
的方程为
,
∴ 圆心
到直线
的距离
,
∴
，
综上：圆
与圆
相交，两圆的公共弦长为
.
