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专题3.1 函数及其表示方法
教学目标
1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函
数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解
构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域。
2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析
法）表示函数，理解函数图象的作用。
3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
教学重难点
教学重点：
1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析
法）表示函数.
3、了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.
教学难点
求函数的定义域和值域
知识点01 函数的概念
1、初中学习的函数的传统定义
设在一个变化的过程中，有两个变量
和
，如果给定了一个
值，相应地就有 的
一个
值与之对应，那么我们就称
是
的函数，其中
是 ，
是 .它们描述的是两个变量之
间的依赖关系.
2、集合观点的定义
一般地，给定两个非空实数集
与
，以及对应关系
，如果对于集合
中的每一个实数
，在集
合
中都有 的实数
与
对应，则称
为定义在集合
上的一个函数，记作 ，
，其中
称为 ，
称为 ，自变量取值的范围(即数集
)称为这个函数的 ，所有函数值组成的集合
,称为函数的 ．
注：对函数概念的几点说明
(1)
是“
是
的函数”的数学表示，不能认为“
等于
与
的乘积”，应理解为：
是
自变量，
是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等).
(2)函数符号
表示的对应关系与字母
无关，也可以用
，
，
等表示；同样，自变量
也可
以用，
，
等表示．
【即学即练】下列从集合
到集合
的对应关系，其中
是
的函数的是（ ）
A．
，对应关系
B．
，对应关系
C．
，对应关系
D．
，对应关系
知识点02 函数的三要素
1、 ：函数的定义域是自变量的取值范围．
2、 ：对应关系
是函数的核心，它是对自变量
实施“对应操作”的“程序”或者“方
法”．
3、 ：与
的值相对应的
值叫做函数值，函数值的集合
叫做函数的值域
(range).
【即学即练】若要使
有意义，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
知识点03 同一个函数
只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
【即学即练】（多选）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
知识点04 函数的表示方法
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
优点
缺点
联系
解析法
①简明、全面的概括了变量之间的关
系；
②可以通过解析式求出在定义域内任意
自变量所对应的函数值；
③便于利用解析式研究函数的性质；
①并不是所有的函数都有解析
式；
②不能直观地观察到函数的变
化规律；
解析法、图象法、
列表法各有各的优
缺点，面对实际情
境时，我们要根据
不同的需要选择恰
当的方法表示函
数．
图象法
①能直观、形象地表示自变量的变化情
况及相适应的函数值的变化趋势；
②可以直接应用图象来研究函数的性
质；
①并不是所有的函数都能画出
图象；
②不能精确地求出某一自变量
相应的函数值；
列表法
①不需要计算就可以直接看出与自变量
的值对应的函数值；
①不够全面，只能表示自变量
取较少的有限值的对应关系；
②不能明显地展示出因变量随
自变量变化的规律；
【即学即练】已知函数
的对应关系如下表，函数
的图象是如下图的曲线
，其中
，则
（ ）
x
1
2
3
2
3
0
A．3
B．2
C．1
D．0
知识点05 求函数解析式
1、待定系数法：若已知 （如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知
这类复合函数的解析式，求函数
的解析式的问题，在使用
换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件
，可将
改写成关于
的表达式，
4、方程组（消去）法：主要解决已知
与
、
、
……的方程，求
解析
式。
【即学即练】已知二次函数
满足：对任意
，均有
，且
，求
的解析式．
知识点06 分段函数
对于函数
，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数
叫分段函数．
注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；
（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；
（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．
【即学即练】已知函数
，若
，则
．
知识点07 函数图象
1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个
加或者减，注意当
前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、函数图象的对称变换
①
的图象
的图象；
②
的图象
的图象；
③
的图象
的图象；
3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
①
的图象
的图象；
（口诀；以
轴为界，保留
轴上方的图象；将
轴下方的图象翻折到
轴上方）
②
的图象
的图象.
（口诀；以
轴为界，去掉
轴左侧的图象，保留
轴右侧的图象；将
轴右侧图象翻折到
轴左侧；本
质是个偶函数）
【即学即练】函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 函数关系的判断
【典例1】（多选）设
，下列选项能表示从集合A 到集合B 的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】下列不可以表示函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知集合
，
，给出下列四个对应关系：①
，②
，③
，④
，请由函数定义判断，其中能构成从
到
的函数的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
【变式3】托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合
，集合
，下列表达式能建立从集合
到集合
的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】如图所示，不能表示“
的函数”的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
题型02 同一函数
【典例1】下列四组函数：①
；②
；③
； ④
；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④
B．②③
C．①③
D．③④
【变式1】下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式3】（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】若函数
与
是同一个函数，则
．
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．
题型03 根据函数值求自变量或参数
【典例1】已知函数
的图象经过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求
的值；
(3)当
时，求x 的值．
【变式1】已知函数
，且
，则
（ ）
A．2
B．7
C．25
D．44
【变式2】设已知函数
如下表所示：则不等式
的解集为（ ）
x
0
1
2
2
1
0
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知函数
．
(1)求
，
；
(2)若
，求实数
的值．
【变式4】 已知函数
，满足
.
(1)求实数
的值；
(2)求当
时，
的值；
题型04 函数的定义域（具体函数的定义域）
【典例1】函数
的定义域为 ．
【变式1】函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若
有意义，则实数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【变式3】函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】函数
的定义域为 ．
求函数定义域的一般原则
求函数定义域时，要注意应用下列原则：
(1)如果
是整式，那么函数的定义域是实数集
.
(2)如果
是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果
是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合．
题型05 函数的定义域（抽象函数的定义域）
【典例1】（1）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ；
（2）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
【变式1】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为 ．
题型06 函数的定义域（复合函数的定义域）
【典例1】若函数
的定义域为R，则m 的取值范围为多少？
【变式1】已知函数
，
，则函数
的定义域为 .
【变式2】已知函数
，则函数y＝f（2x+1）的定义域是 .
【变式3】若
的定义域为
，求
的定义域．
题型07 函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域）
【典例1】求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
，
；
【变式1】若函数y＝
的定义域为[2，8），则其值域为（ ）
A．（1，4）
B．（1，4]
C．[1，4）
D．[1，4]
【变式2】函数
在
的值域为 .
【变式3】函数
，
的值域为 .
【变式4】求值域：
(1)
，
(2)
，
题型08 函数的值域（根式型函数的值域）
【典例1】求函数
的值域．
【变式1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】2．函数
的最小值为 .
【变式3】求函数
的值域．
【变式4】求函数
的值域．
换元法，通过对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而求值域；
题型09 函数的值域（分式型函数的值域）
【典例1】求函数
的值域.
【变式1】函数
的值域为 ．
【变式2】函数
的最大值为 ．
【变式3】求函数
的值域．
【变式4】求函数
的值域．
分离常数法，反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用
表示出
，求解；
题型10 函数的三种表示法的应用
【典例1】已知函数
，
分别由下表给出
1
2
3
2
3
1
3
2
1
则
的值为 ；满足
的
的值是 .
【变式1】
中，
，正方形
的顶点
分别在
边上．
的长度为
，
与正方形
重叠部分的面积为
，则下列图象中能表示
与
之间的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，
中，
，
，
，点P 是斜边
上任意一点，过点P 作
，垂足为
，交边
（或边
）于点Q，设
，
的面积为y，则y 与x 之间的函数
图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）已知函数
，
分别由下表给出，若
，则a 的值可以是（ ）
1
2
3
4
2
3
1
2
3
4
1
4
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式4】已知函数
由下表给出
0
1
2
3
4
其中
的值等于
、
、
、
和
中
所出现的次数，则
．
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概
念．
(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以
解析法为主．
题型11 待定系数法求函数的解析式
【典例1】（1）已知
是一次函数，且
，求
；
（2）已知
是二次函数，且满足
，求
.
【变式1】已知
是二次函数，且
，若
，则
的解析式为 .
【变式2】已知
是一次函数，且
，求
.
【变式3】已知
是一次函数且
，求
的解析式．
【变式4】设
是一次函数，且
，求
的解析式.
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
题型12 换元法求函数的解析式
【典例1】已知函数
，则
．
【变式1】已知
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若函数
，则
．
【变式4】若
，则函数
．
换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
题型13 配凑法求函数的解析式
【典例1】已知函数
，且
，则
（ ）
A．7
B．5
C．3
D．4
【变式1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
且函数
的图象过点
，则a 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式3】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
B．
的最小值为0
C．
的定义域为
D．
的值域为
【变式4】已知f(x－
)＝x2＋
，则f（x+
）＝ .
配凑法：由已知条件
，可将
改写成关于
的表达式，然后以
替代
，
便得
的解析式．
题型14 程组（消去）法求函数的解析式
【典例1】（1）已知一次函数
，求
的解析式；
（2）若对任意实数
，均有
，求
的解析式.
【变式1】已知函数
对任意
满足
，则
.
【变式2】根据下列条件，求函数
的解析式
(1)已知
是一次函数，且满足
；
(2)已知函数
满足条件
对任意不为零的实数
恒成立
【变式3】求下列函数的解析式
(1)设函数
是一次函数，且满足
，求
的解析式
(2)设
满足
，求
的解析式
【变式4】解答下列问题：
(1)已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式；
(2)已知
满足
，求
的解析式．
解方程法：已知
与
或
之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成
方程组，通过解方程组求出
.
题型15 求分段函数的值
【典例1】函数
，已知
，则
．
【变式1】已知函数
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．8
【变式2】已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【变式3】已知函数
则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式4】已知函数
，则
求分段函数的函数值
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
题型16 根据分段函数的值求参数
【典例1】已知函数
，若
，则实数
的值为 ．
【变式1】设
，若
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．或
D．
【变式2】已知函数
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式3】设函数
若
，则实数
．
【变式4】设
，若
，则实数
.
题型17 分段函数的值域或最值问题
【典例1】已知函数
，则
的最大值是（ ）
A．60
B．58
C．56
D．52
【变式1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
，则该函数值域为 ．
【变式4】已知函数
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)画出函数的图象并求出函数
在区间
上的值域．
题型18 解分段不等式
【典例1】已知
，若
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】设函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】设函数
则不等式
的解集是 .
【变式4】设函数
，则不等式
的解集是 .
题型19 函数图象识别
【典例1】将函数
的图象向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型20 画出具体函数图象
【典例1】已知函数
是定义在R 上的函数，
.
(1)将函数
写成分段函数的形式，并画出函数
的图象；
(2)根据图象写出值域.
(3)若
与
有两个交点，求
的取值范围.
【变式1】已知函数
.
(1)将
写成分段函数的形式，并作出函数的图象；
(2)写出其单调区间（不用证明）.
【变式2】（1）把函数
写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定
义域与值域（不需要过程）
（2）给定函数
．
（i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数f ( x),g( x)的图象；
（ii）
，用
表示f ( x),g( x)中的较小者，记为
，请分别用图象法和解析
法表示函数
．
【变式3】作出函数
的大致图像．
1．根据列表中的数据选择合适的模型，则（ ）
1
2
3
4
5
2
0
A．
B．
C．
D．
2．下列函数：①
；②
；③
，与函数
是同一个函数的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．“函数
的定义域为R”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
6．设函数
，使得
的a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若函数
，
满足
，且
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．已知函数
，
，若存在
，使得
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）已知
是一次函数，
，且
，函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）已知函数
的值域为
，那么
的取值可以是（ ）.
A．
B．
C．
D．
11．若函数
，则
．
12．若函数
的定义域为
，则实数
取值范围是 .
13．分别求满足下列条件的函数的解析式：
(1)已知
是二次函数，且
；
(2)函数
满足
．
14．已知函数
(1)求
，
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)作出函数
的大致图象，并求
的解集．
