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专题4.2.5 正态分布
教学目标
1.理解正态分布的定义、符号表示方法，明确参数μ（期望）和σ（标准差）的含义，
掌握标准正态分布的特殊条件；
2.熟练掌握正态曲线的核心性质，包括对称性、峰值位置、曲线与坐标轴的关系，以
及μ 和σ 对曲线位置与形状的影响；
3.熟记三个特殊区间的概率数值，深刻理解3σ 原则的内涵，并能在简单实际情境中运
用其解决概率问题。
教学重难点
重点：正态分布的定义与表示，正态曲线的关键性质，三个特殊区间的概率值，3σ 原
则的理解与基础应用；
难点：精准分析参数μ、σ 对正态曲线位置和形状的具体影响，3σ 原则在实际问题中
的灵活迁移与应用。
知识点1 正态分布
①正态曲线：称
其中
为参数，为正态密度函数，称其
图象为正态分布密度曲线(其中μ 是正态分布的_______，σ 是正态分布的_______)
②正态分布的定义
若随机变量X 的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为_______．特别地，当
时，称随机变量X 服从_______正态分布．
【即学即练】
1．已知随机变量
，其密度函数为
，则
.
2．通过对某校高三年级
两个班的排球比赛成绩分析可知，
班的成绩
，
班的成绩
，
的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大．
知识点2 正态曲线的性质
对
，它的图象在
轴的上方
曲线与
轴之间的面积为_______
曲线是单峰的，它关于直线_______对称
曲线在
处达到峰值
当
无限增大时，曲线无限接近_______
当
一定时，曲线的位置由
确定，曲线
随着
的变化而沿x 轴平移
当
一定时，曲线的形状由
确定，
较
小时曲线“_______”，表示随机变量X 的分
布比较集中；
较大时，曲线“_______”，
表示随机变量
的分布比较分散，
【即学即练】
3．已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
（ ）
A．0.15
B．0.2
C．0.3
D．与
的取值有关
4．已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
.
知识点3 三个特殊区间内取值的概率值及3σ 原则
①
；
；
.
②
原则：尽管正态变量的取值范围是
，但在一次试验中，X 的取值几乎总是落在区间_______
内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以
在实际应用中，通常认为服从于正态分布
的随机变量X 只取
中的值
【即学即练】
5．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布
，则
（ ）
（附：若
，则
，
）
A．0.6827
B．0.8414
C．0.9544
D．0.9772
6．某物理量的测量结果服从正态分布
，下列结论中正确的是（ ）
A．
越小，该物理量在一次测量中落在
的概率越大
B．
越小，该物理量在一次测量中落在
的概率越小
C．
越小，该物理量在一次测量中落在
的概率越大
D．
越小，该物理量在一次测量中落在
与落在
的概率相等
题型01 正态密度函数
【例1】“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂
交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展
和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：
）服
从正态分布，其密度曲线函数为
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在
和在
（单位：cm）的概率一样大
【例2】设随机变量
，随机变量
，
与
之间的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】函数
(其中
)的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知
X，Y 均服从正态分布，
，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是
（ ）
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【变式1-3】（多选）已知随机变量
和
满足
，若
服从正态分布，其正态曲线对应的密度函
数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 正态密度曲线的性质
【例3】已知随机变量
，设函数
.若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】已知连续型随机变量
服从正态分布
，记函数
，则
．
【变式2-1】已知随机变量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】若随机变量
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．9
C．18
D．32
【变式2-3】已知随机布变量ξ 服从正态分
，记函数.
则（ ）
A．
B．
C．
D．
1.正态曲线是单峰的,它关于直线
对称,由此性质结合图象求
2.正态曲线在
处达到峰值
,由此性质结合图象可求
题型03 求区间上的概率
【例5】小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布
，
则
（ ）
【附：
，
】
A．0.1359
B．0.2718
C．0.34135
D．0.47725
【例6】已知随机变量
，若
，则
.
【变式3-1】某厂生产的一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设
表示其体温误差，
且
，则下列结论正确的是（ ）
（附：
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】某店经营的某种包装的面包质量
（单位：
）服从正态分布
，且
，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在
之间的概率为（ ）
A．0.7
B．0.35
C．0.85
D．0.5
【变式3-3】已知随机变量
，
，且
，若
，则
．
1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率
2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与
轴之间的面积为
题型04 根据正态曲线的对称性求参数
【例7】某校期中考试的数学成绩
(满分: 150 分) 服从正态分布
，若
，则
（ ）
A．75
B．80
C．90
D．95
【例8】（多选）已知随机变量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】已知
，若
，曲线
的对称中心为
，则
.
【变式4-2】已知随机变量
，则“
”是“
”（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式4-3】设随机变量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 标准正态分布问题
【例9】正态分布通常记作
，当
，
时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了
方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令
，则可得
．如果
，那么对任意的
，通常记
（
）．某校
高三某次考试的1500 名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若
，则成绩落在区间
内的人数大约为（ ）
A．1262
B．1300
C．1366
D．1400．
【例10】记
（k，b 为实常数），若
，
，则
.
【变式5-1】高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已
知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间
（单位为分钟）服从正态分布
；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单
位为分钟）服从正态分布
，若住同一地方的甲、乙两人分别有
分钟与
分钟可用，要使两人
按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（ ）
A．①、②
B．②、①
C．①、①
D．②、②
【变式5-2】某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选
考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 共5 个等级，参照正态分布原则，确定各等级人
数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考
生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到
，
，
、
、
五个分数
区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩
，若一
名学生想取得A 等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数）
附：①若
，
，则
；②当
时，
．
【变式5-3】某省2021 年开始将全面实施新高考方案．在6 门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目
采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4 门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高
到低划分为A，B，C，D，E 共5 个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并
按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4
门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y 服从正态分布
．
若
，令
，则
．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D 等
级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1 位小数）
附：若
，
．
若数据服从正态分布
，则有
题型06 正态分布的实际应用
【例11】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经
数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设
坐公交车用时
（单位：min）和骑自行车用时
（单位：min）都服从正态分布，正态分布
中的
参数
用样本均值估计，参数
用样本标准差估计，则（ ）
A．
B．若某天只有34min 可用，李明应选择自行车
C．
D．若某天只有40min 可用，李明应选择公交车
【例12】（多选）某地区为提升农民亩收入（单位：万元），引进了新型的种植技术，通过抽样调查后发
现引进新型种植技术之前农民每亩地的年收入X 近似服从正态分布
，引进之后每亩地的年收入
近似服从正态分布
，已知
的正态密度曲线的峰值高于
的正态密度曲线的峰值（如图），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100 次用这四种方
式上班所花费的时间，分别用随机变量
来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分
析，
，
，如果某天有70 分钟可用，他该选
择哪种方式上班不迟到的概率最大（ ）
，
A．步行
B．骑自行车
C．乘坐公汽
D．自己开车
【变式6-2】（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布
的随机变量
只取
中
的值，简称为
原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布
（单位：
毫米），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：
，
）
A．
B．若
，则
C．
D．若抽检的10 个样本中有1 个样本的长度为45 毫米，应对生产线进行检修
【变式6-3】某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分
150 分），其中甲市有10000 名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩
都近似
服从正态分布
．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500 人作为研究样本，随机变量
为
本次考试数学成绩在
之外的人数，则
约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩
为97.5 分，成绩位于
区间内的学生共有4772 人．甲市学生
的数学成绩为114 分，则估计学
生
的数学成绩在甲市的大致名次为第 名．
参考数据：
，
．若
，有
，
，
．
解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在
,
三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.
题型07 3σ 原则的应用
【例13】（多选）2024 年12 月，DeepSeek 正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言
对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未
来AI 应用上限将更高．某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被
调查学生所得分数
可近似看作服从正态分布
，则（附：若随机变量
，则
，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【例14】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生
产周期中的100 件产品的关键指标（单位：
），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数
和方差
．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布
，用直方图的平均数估计值
作为
的估计值
，用直方图的标准差估计值作为
估计值
．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10 个零件的关键指标，如果关键指标出
现了
之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个
生产周期中抽测的10 个零件的关键指标：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用
和
判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记
表示一个生产周期内抽取的10 个零件关键指标在
之外的零件
个数，求
及
的数学期望．
参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
【变式7-1】“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．
某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标
服从正态分布
，检验员根据该部件质量指
标将产品分为正品和次品，其中指标
的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于
，则
的一个值可以为 ．（若
，则
【变式7-2】现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X 通常被
认为服从正态分布.若某物理量做n 次测量，最后结果的误差
，则为使
的概率控制在
0.0456 以下，至少要测量的次数为 .
【变式7-3】某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、
丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450 分，现要根据得分给
共2500 名参加者中得分前400 名发放奖励.
(1)假设该闯关活动平均分数为171 分，351 分以上共有57 人，已知甲的得分为270 分，问甲能否获得奖励，
请说明理由；
(2)丙得知他的分数为430 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201 分，351 分以上共有57 人”，
请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量
，则
；
；
.
通常认为服从正态分布
的随机变量
只取
中的值,在区间
外的
概率大约只有
,通常认为这种情况几乎不可能发生,如果发生则表示异常.
一、单选题
1．某公司生产的糖果每包的标识质量是500 克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量
服从正态分布
，且任意一包的糖果质量介于495 克到505 克之间的可能性为
，则随意买
一包该公司生产的糖果，其质量超过495 克的可能性约为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．随机变量
，且
，则
（ ）
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
3．已知随机变量
，随机变量
，正实数
满足
，则
的最
小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知随机变量
，
，且
，若
，则
（ ）
A．0.09
B．0.82
C．0.91
D．0.21
5．已知随机变量
，设函数
，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60 就认为身体素质合格．现从全市随机
抽取100 名高中生的身体素质指标值
，经计算
．若该
市高中生的身体素质指标值服从正态分布
，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：
若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布
和
，其正态曲线
如图所示，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
二、多选题
8．影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高
（单位：
）近似
地服从正态分布
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知某精密仪器测量金属薄片的误差
服从正态分布
，随机抽取10 个测量数据，设
为这10
个数据误差在
之外的个数，下列说法正确的是（已知若随机变量
，则
）（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．若
，则
的最小值为 .
11．通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间
（单位：分钟）服从正态分布
.设
，
.曾老师某天7 点10 分出门，如果学校要求在8
点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：
，
，
.）
四、解答题
12．设
，且总体密度曲线的函数表达式为
，
.
(1)求
；
(2)求
及
的值.
13．已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命
（单位：年）服从正态分布
，其质保政策规定：电
池寿命低于
年可免费更换.
(1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到
）；
(2)某出租车公司购买了
辆该品牌汽车，记
为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求
的分布
列和数学期望.
附：若随机变量
服从正态分布
，则
.
14．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021 年精准扶贫的工作计划，统计了2020 年50 位农民的年收
入并制成频率分布直方图，如图．
(1)根据频率分布直方图，估计这50 位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的
中点值表示）
(2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入
服从正态分布
，其中
近似为年平均收入
，
近似为样本方差
，经计算得
，利用该正态分布，求：
①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000 位农民．若每位农民的年收入
互相独立，问：这1000 位农民中的年收入不少于17.56 千元的人数最有可能是多少？
②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标
准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
附：
；若
，则
，
，
．
