文档文本内容
拓展提升05 球的内切外接问题
题型01 外接球问题
解题锦囊
这类问题的求解思路是根据条件找出球心、截面圆的圆心、球心与截面圆的距离，通过构造直角三角
形进行求解。
几何体外接球问题的处理方法
解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程：
(R—球的半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆的距离)
【注意】若截面为非特殊三角形，则可用正弦定理求其外接圆的半径r.
若棱锥有一条侧棱垂直于底面，且棱长为h,底面多边形的外接圆半径为r，则该棱锥的外接球半径
为：
【典例1】（24-25 高一下·浙江杭州·期中）在三棱锥
中，
，
，
，
点P 在平面
上投影为A，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】在
中由余弦定理求得
，由题意
平面
，进而确定外接球球心
，由球心与相
关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.
【详解】如图，在
中，由余弦定理，
，
，
，
设
的外接圆半径为，由正弦定理，
，则
，
设外接球的球心为
，半径为
，
的外接圆的圆心为
，
由题可得
平面
，而
平面
，
过点
作
，交
于点
，连接
，
则
，易得矩形
，则
，
在直角三角形
中，
，解得
，
所以三棱锥
外接球的表面积为
.
故选：A.
【变式1】（24-25 高一下·天津·期中）在四面体
中，
平面
，
四面体
的四个顶点都在球
的表面上，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，借助线面垂直的判定性质确定球心
的位置，求出球半径，再利用球的体积公式
求解.
【详解】在四面体
中，由
平面
，
平面
，得
，
而
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，于是
，又
，取
中点
，连接
，
因此
，即点
为四面体
外接球球心，
重合，
，球
的半径
，
所以球
的体积为
.
故选：A
【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥
底面是边长为
的正三角形，
平面
，
且
，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可.
【详解】如图，将三棱锥
补成三棱柱
，点与
重合，
正三棱柱
外接球也为三棱锥
的外接球，令球心为
，半径为
，
记
和
外接圆的圆心分别为
和
，其半径为，
由正弦定理得：
，而
为
的中点，则
，
所以该三棱锥的外接球的体积为
.
故选：A
【变式3】已知三棱锥P-ABC,在底面△ABC 中,∠A=60°,BC=
，PA⊥面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球
的体积为
( )
【变式4】（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥
中，
，
，底面
是边长为
1 的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在三棱锥
中，
，
，正
的边长为1，
则
，即有
，同理
，而
平面
，
于是
平面
，令正
的外心为
，三棱锥
外接球球心为
，
则
平面
，显然球心
在线段
的中垂面上，取
的中点
，则
，
而
，则四边形
是矩形，
，
所以球半径
，表面积
.
故选：B
【变式5】（24-25 高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直
角三角形的四面体.如图，在直角
中，AD 为斜边BC 上的高，
，
，现将
沿AD
翻折成
，使得四面体AB＇CD 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.
【详解】由题可知，
，
都是直角三角形，只需
平面
即可，
所以鳖臑外接球的球心在过
中点且垂直于平面
的直线上，
而在直角三角形
中，
的中点到点
的距离都相等，
所以
的中点是外接球的球心，所以
，
所以该鳖臑外接球的表面积为
．
故答案为：
.
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点
就是该简单多面体的外接球的球心．
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
解题步骤：①取底面Δ ABC 的外心O1，则P,O,O1三点共线；②先算出圆O1的半径AO 1=r （利用正弦
定理），再算出锥体的高PO 1=h ；③在利用勾股定理：OA2=O1 A2+O1O2⇒R2=(h−R)2+r2 ，解
出R .
P
A
D
O1
O
C
B
【典例2】（24-25 高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥
的底面是边长为
的正三角形，
侧棱长为
，则该正三棱锥
的外接球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断球心在三棱锥的高线
上，由正弦定理求得
，设球
的半径为
，结合题意列方
程求出外接球半径即得.
【详解】如图，设点在底面的射影为点
，
因底面边长均为
，侧棱长均为
，故球心
在
上，
连接
，设球
的半径为
，则
，
由正弦定理
，解得
，
在
中，
，则
，
在
中，由
，解得
，
则球
的表面积为
．
故选：B．
【变式1】已知三棱锥
中，
，则三棱锥
的外接球的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理可得，点
在底面的投影
即为
的外心，再利用正弦定理求得
外接圆
的半径，然后找到球心的大致位置，根据半径相等列等式求解即可.
【详解】
过点
作
平面
，垂足为
，连接
、
、
，
因为
，所以
，
故点
是底面
的外心，设
外接圆的半径
，
由正弦定理
，所以
，
，
所以
，
，
设三棱锥
的外接球球心为
，显然
在线段
上，
设
，三棱锥
的外接球的半径为，
则
，
，又
，
所以
，
，
，
三棱锥
的外接球的体积为
.
故选：C.
【变式2】（23-24 高一下·安徽安庆·阶段练习）已知各棱长均相等的正四棱锥
各顶点都在同一球
面上，若该球表面积为
，则正四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求棱锥的高，利用球的表面积公式得
，然后由
求解可得
，可求棱
锥体积.
【详解】如图，设四棱锥的棱长为
，
在底面
的射影为
，则
平面
，
且
为
的交点，且
，
由正四棱锥的对称性可知
在直线
上，
设外接球的半径为
，则其表面积为
，所以
，
则
，故
，解得
或
（舍），
故正四棱锥
的体积为
．
故选：A．
【变式3】（2025·广东肇庆·二模）已知正三棱锥的底面是边长为
的正三角形，高为2，则该三棱锥的外
接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过球心在三棱锥内、外两种情况，结合勾股定理求得半径即可求解.
【详解】如图，
若球心
在三棱锥
内，设
为底面
的外接圆的圆心.
球
的半径为
，则
.
因为
，所以
，解得
.
.
若球心
在三棱锥
外，则
，
同理由
解得
，此时
，不符合题意.
故选：A.
若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为r，则该几何体
外接球半径R 满足R2＝
＋r2.
【典例3】（23-24 高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，
，则三棱柱
外接球的表面积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可.
【详解】因为
，
，则
为直角三角形，
和
的外心分别为斜边
的中点
，
连接
，取
的中点
，
则
为三棱柱
外接球的球心，
其外接圆半径为
，
则半径
，
则外接球的表面积为
.
故选：C
【变式1】已知正三棱柱
所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．
B．60
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，
为棱
的中点，
为正△
的中心，
为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知
∥
，
，
外接球半径
，
∵正△
的边长为6，则
∴
外接球的表面积
.故选：D．
【变式2】（23-24 高一下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各
种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵
中，
，
，
，
，则此堑堵的外接球半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出
即为
外接圆的直径，设此堑堵的外接球半径为
，则
，即可求出
.
【详解】因为
，
，
，则
，
则
外接圆的直径为
，
设此堑堵的外接球半径为
，则
，
即
，所以
.
故选：C
【变式3】（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知直三棱柱
外接球的直径为5，且
，则该棱柱体积的最大值为 .
【答案】
【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求得
，从而得到三棱柱体积关于
的表达式，利用基本不等式即可得解.
【详解】如图，将直三棱柱
补成长方体
，
则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，
且长方体的体对角线长为直三棱柱
的外接球的直径5，
设
，
，则
，
所以由
，得
，即
，
所以三棱柱
的体积
，
当且仅当
时，等号成立，
故答案为：
.
【变式4】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱
中，
，
，且
，则
该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据因为
，
利用正弦定理得
外接圆半径为，利用勾股定理即可得外
接球半径为
，代入球的体积公式即可求解.
【详解】设
外接圆半径为，圆心为
，设外接球球心为
，半径为
，
因为
，
，在
中由正弦定理有
， 则
，
则有
，
所以
，所以球的体积为：
，
故选：D.
【变式5】（24-25 高三上·云南楚雄·期末）在直三棱柱
中，
，
则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在
中利用余弦定理求出
，再由正弦定理求出
的外接圆的半径，最后由勾股
定理求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积.
【详解】在
中，
，即
，
则
外接圆的半径为
，
则直三棱柱
外接球的半径为
，
外接球的表面积为
.
故选：B.
球内接圆台，棱台：
，其中
分别为圆台的上底面、
下底面、高．基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主
【典例4】（2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为( )
A．100π
B．128π
C．144π
D．192π
【答案】 A
【解析】 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O 在
直线O1O2上．
设球O 的半径为R，当球心O 在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；
当球心O 不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，
所以R2＝25，
所以该球的表面积为4πR2＝100π.
综上，该球的表面积为100π.
【变式1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为
，母线与轴所在直线的夹角是
，
且上、下底面的面积之比为
，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用
勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积．
【详解】如图：上，下底面圆心分别为
，外接球球心为
，
连接
如图所示：
因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为
，即
，
又母线与轴所在直线的夹角是
,故
，结合
,
则有
，故
记圆台外接球半径为
，
在直角
和直角
中由勾股定理知：
，
则有
，解可得
，
故圆台外接球的半径
，
则该圆台外接球的表面积
．
故选：C．
【变式2】（2024·山东潍坊·二模）如图，圆台的上、下底面半径分别为
，
，且
，半径为4
的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解
，然后代入圆台的侧面积公式求解即可.
【详解】如图所示，作出轴截面，
分别为上下底面圆的圆心，
为侧面切点，
为内切球球心，
则
为
的中点，
，
因为
，所以
，
则
过点
作
，垂足为
，
则
，
在
中，由勾股定理得
，
即
，解得
或
，
因为
，所以
，
，故
，
所以圆台的侧面积为
.
故选：D.
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为
，高为，体积为
，则该正
三棱台的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据台体体积公式计算出正三棱台下底面边长，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的
距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果.
【详解】设正三棱台的下底面边长为
，则其下底面积为
，上底面面积为
，
所以，该三棱台的体积为
，
整理可得
，因为
，解得
，
如下图，设正三棱台
的上、下底面的中心分别为
、
，
由正三棱台的几何性质可知，外接球球心
在直线
上，
正
的外接圆半径为
，正
的外接圆半径为
，
设
，若球心在线段
上，则
，
设球
的半径为
，则
，
即
，解得
，不合乎题意；
所以，球心
在射线
上，则
，
，即
，解得
.
所以，
，故该正三棱台的外接球表面积为
.
故选：D.
【变式4】（2025·贵州黔南·三模）在正四棱台
中，
，
，则该正四棱
台的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】取
、
的中点分别为
、
，连接
，过点
作平面
的垂线，垂足为
，设正四
棱台
外接球的球心为
，半径为
，则点
在直线
上，又
，利用勾股定
理求出
，即可求出
，从而得解.
【详解】在正四棱台
中，取
、
的中点分别为
、
，连接
，
由
，
，所以
，
，
过点
作平面
的垂线，垂足为
，则
在
上，且
，则
，
设正四棱台
外接球的球心为
，半径为
，则点
在直线
上，又
，
所以
，即
，解得
，
所以
，
所以外接球的表面积
.
故选：A
若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心
【典例5】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，
，
为
的中点，
，
与平面
所成的角为
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据线面垂直和面面垂直的判定可得平面
平面
，结合交线可确定线面角
，
进而证得
平面
；分别取
，
外接圆圆心，根据球的性质可确定球心位置，根据长度
关系可求得半径，进而得到外接球表面积.
【详解】
为
的中点，
，
，即
为等腰三角形，
，
，
均为边长为
的等边三角形，
，又
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
，
平面
平面
，
为
在平面
内的射影，
即为
与平面
所成的角，即
，
，
，
，
又
，
，
平面
，
平面
.
设三棱锥
外接球的球心为
，
外接圆的圆心为
，
外接圆的圆心为
，
连接
，则
平面
，
平面
，
均为边长为
的等边三角形，
，
，
，
三棱锥
外接球的半径
，
三棱锥
外接球的表面积
.
故选：C.
【变式1】（2024·江西南昌·三模）已知三棱锥
中，
是边长为2 的正三角形，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
分别是线段
的中点，若
，则三棱锥
的外接球的表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出图象，由面面垂直的判断定理可得平面
平面
，从而可得三棱锥
的外接
球的球心
，求出外接球的半径
，即可得答案.
【详解】因为
是边长为2 的正三角形，
是线段
的中点，
所以
，又因为
，
平面
，
，
所以
平面
，又因为
平面
，所以平面
平面
，
易知
，
又因为，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
所以
，
，
设三棱锥
的外接球的球心为
，半径为
，
则
，
，
在
，
，即
，解得
，
所以三棱锥
的外接球的表面积
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高三上·安徽蚌埠·期末）已知三棱锥
中，
是边长为3 的正三角形，
，平面
平面
，则该三棱锥的外接球体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取等边三角形
的中心为
，可证
为外接球的球心，从而可求半径，故可求外接球的体积.
【详解】
取等边三角形
的中心为
，连接
并延长交
于
，
则
且
，
因为平面
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，而
平面
，故
，
故
，同理
，
，
，故
，故
为外接球的球心，
且
，故外接球的体积为
，
故选：C .
若三棱锥的对棱相等，此时探寻球心无从着手.因为长方体的相对面的面对角线相等，所以可
在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球的球心与半径.
【典例6】（2025·高一下·专题测试）在四面体ABCD 中，
，
，
，则
该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将四面体放到一个长方体内，再根据长方体的对角线是其外接球的直径利用公式计算即可求解.
【详解】四面体ABCD 的四个面为全等的等腰三角形，所以四面体可扩充为一个长、宽、高分别为x，y，
z 的长方体，且面上的对角线分别为3，3，4，
并且
，
，
，
设球半径为R，则有
，可得
，
所以球的表面积为
．
故选:A．
【变式1】（24-25 高三上·广东·开学考试）外接球半径为
的正四面体的体积为（ ）
A．
B．24
C．32
D．
【答案】A
【分析】设出正四面体棱长，通过作辅助线表示出四面体的高，解直角三角形表示外接球半径，由已知外
接球半径为
可得棱长，再由三棱锥体积公式可得.
【详解】如图，设正四面体
的下底面中心为
，连接
，则
平面
，
连接
并延长，交
于
，设此正四面体的棱长为x，则
，
，
，即四面体的高
．
设四面体外接球的球心为
，连接
，外接球半径为
，
则
，化简得
，由
，
得
，即正四面体棱长为
，
所以正四面体的体积
.
故选：A.
【变式2】（24-25 高一下·安徽·期中）棱长为
的正四面体
，下列说法错误的是（ ）
A．正四面体的体积是
B．正四面体外接球半径是
C．正四面体内切球是
D．正四面体表面积是
【答案】A
【分析】C 选项，由体积法求内切球半径；D 选项，正四面体
的表面积等于其四个面的面积之和，
且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A 选项，由底面积和高求四面体
的体积；B 选项、将正四面体
，补成正方体，则正四面体
的棱为正方体的面上对角线，
根据正四面体
外接球求出外接球的半径的即可．
【详解】正四面体
的各棱长为
，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，
所以正四面体
的表面积
．故D 选项正确；
如图，
为
中点，设
在底面
的投影为
，
为
的中心，
正四面体各棱长为
，则
，
，
，
四面体
的体积为
，故A 选项错误；
正四面体
的表面积为，体积为
，设正四面体
的内切球半径为r，
则有
，即
，解可得
，C 选项正确；
将正四面体
，补成正方体，则正四面体
的棱为正方体的面上对角线，
∵正四面体
的棱长为
，
正方体的棱长为
，
正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的
长，
所以正方体的对角线为
，
，
．故B 选项正确．
故选：A．
模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直
模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥或底面是矩形的四棱锥
【典例4】（2025·山西吕梁·一模）在正三棱锥中
，棱
两两垂直，若
的边
，则该正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正三棱锥
是正方体的一个角，补成正方体求解.
【详解】由题意知：正三棱锥
是正方体的一个角，补成正方体如图所示：
正方体的对角线长是外接球的直径，
因为
，所以
，
则外接球直径为
，所以
，
所以外接球的表面积为
，
故选：D
【变式1】（24-25 高二下·辽宁朝阳·开学考试）已知点P，A，B，C，D 是球O 表面上的点，
面
，四边形
是边长为
的正方形．若
，求
的面积．（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因侧棱垂直于底面，故将其补成直棱柱即可.
【详解】因
面
且四边形
是正方形，故将其补成长方体.
如图，球心O 为长方体的中心，
，
则等腰
的高为
，
故
的面积为
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高二上·山东潍坊·期末）在三棱锥
中，
平面
，则该三棱锥的外接球半径为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可知
为直角三角形，且
平面
，所以可将三棱锥补成直三棱柱，其底面为
，高为
，三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，由勾股定理求解即可.
【详解】三棱锥
中，
平面
，
所以
，可知
为直角三角形，且
，
由于
平面
，可将三棱锥补成直三棱柱，其底面为
，高为
，
直三棱柱的外接球球心位于上下底面外接圆圆心连线的中点处，
为直角三角形，其外接圆半径为斜边
长度的一半，即
，
设三棱锥外接球半径为
，球心到底面
的距离为，
根据勾股定理，有
，
因此，该三棱锥的外接球半径为
，
故选：A.
【变式3】（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥
的四个面均为直角三角形，
平面
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥
的外接球就是长方体的外接球，可得
，结
合球的表面积计算公式即可.
【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为
，
易知三棱锥
的外接球就是长方体的外接球，
则
，
所以三棱锥
的外接球的表面积为
.
故选：D.
题型02 棱切球问题
【典例5】（23-24 高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正
方体
的棱长为1，则其棱切球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为
，根据勾股定理求出
，再由
球的表面积公式计算可得.
【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为
，则
，
解得
（负值已舍去），所以其棱切球的表面积
.
故选：B
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中，错误命题的个数为（ ）
① 经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；② 球的表面积是它大圆面积的4 倍；③ 正方
体的内切球、棱切球(正方体的每条棱都与球相切)、外接球的半径之比为
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【变式2】（23-24 高一下·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四
面体ABCD 满足
，
，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为 ．
【答案】4
【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析
运算即可.
【详解】设棱切球的球心为
，与棱
分别切于点
，
可知
，
由题意可得：
，解得
，
所以
.
故答案为：4.
【变式3】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所
有棱都相切）的表面积分别为
，则
．
【答案】
【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值.
【详解】
设正三棱柱的棱长为
，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点
为外接球的球心，
则外接球的半径
，
，
所以
，
因为
，所以
为棱切球的球心，则棱切球半径
，
所以
.
故答案为：
题型03 内切球问题
多面体内切球的处理策略主要是两个方法：一是几何法，确定球心再球半径；二是利用等体积法球半径.
【典例5】（24-25 高一下·河南·阶段练习）已知四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，侧棱长都等
于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到
表面积.
【详解】设内切球的半径为
的中点为
，则
⊥平面
，
因为四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，所以
，
因为
，由勾股定理得
，
故棱锥的体积为
，棱锥的表面积为
，
设内切球的半径为，
则由等体积法可得
，解得
，
所以
．
故选：A
【变式1】（24-25 高二上·贵州遵义·期中）（多选）已知球
的半径为
，则（ ）
A．球
的内接正方体的内切球表面积为
B．球
的内接正方体的内切球体积为
C．球
的内接正四面体的内切球半径为
D．球
的内接正四面体的内切球半径为
【答案】BC
【分析】对于AB 选项，先直接分析出球的内接正方体的半径，然后根据球的表面积和体积公式计算并判
断；对于CD 选项，先根据几何关系计算出球的内接正四面体的棱长，然后通过等体积法求解出内接正四
面体的内切球半径.
【详解】对于A，B，设球
的内接正方体的棱长为
，球
的内接正方体的内切球的半径为
，
则球
的内接正方体的内切球半径
，球
的半径
，
所以
，所以表面积
，体积
，故A 不正确，B 正确；
对于C，D，设球
的内接正四面体的棱长为
，球
的内接正四面体的内切球半径为
，如图，
可知
，
，
，
由
可得
，解得
，
因为球
的内接正四面体的体积
，
球
的内接正四面体的表面积
，
又因为
，
所以球
的内接正四面体的内切球半径
，故C 正确，D 不正确．
故选：BC.
【变式2】（24-25 高一下·广东广州·期中）已知正方体的外接球的表面积是
，则该正方体的内切球的
体积为 .
【答案】
【分析】设正方体的棱长为
，外接球的半径
，由外接球的表面积求出
，则内切球的半
径
，即可求出内切球的体积.
【详解】设正方体的棱长为
，则外接球的半径
，
所以外接球的表面积
，解得
，
所以内切球的半径
，则该正方体的内切球的体积
.
故答案为：
【变式3】在三棱锥
中，底面正三角形的边长为
，侧棱长为
，若球
与三棱锥内切，则
该三棱锥
的内切球的表面积为
【答案】
【分析】设球
的半径为，
的外接圆的圆心为
，
的中点为
，连接
，由已知条
件求出
，然后根据
可求出，从而可求出三棱锥
的内切球的表面积.
【详解】由题意得
，
设球
的半径为，
的外接圆的圆心为
，
的中点为
，
连接
，则点
在
上，且
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
，
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，解得
，
所以三棱锥
的内切球的表面积为
.
故答案为：
.
【变式4】（23-24 高一下·山东·期中）已知正四棱锥
的底面边长为2，高为
，则其内切球半径
是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正四棱锥的轴截面，转化成等腰三角形的内切圆问题，转化为直角三角形，运用勾股定理解
出内切球半径.
【详解】
设正四棱锥内切球球心为
，其在底面
的投影为
，则
三点共线，内切球半径为，取
中点
，
中点
，则正四棱锥
内切球半径即为
的内切圆半径，
因为底面边长为
，所以
，
，
因为高为
，即
，则
，
所以
，
在
中，
即
，解得
，
故选：D.
旋转体的内切球问题一般借助于轴截面进行分析，建立几何关系.
【典例6】（24-25 高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为
，且有半径为
的内切球，则该圆台
体积为 ．
【答案】
/
【分析】作出圆台的轴截面，依题意可得圆台的高
，又
，
，
，设
，利用勾股定理求出
，再由圆台的体积公式计算可得.
【详解】因为圆台的一个底面面积为
，则该底面圆的半径
，不妨令其为上底面，
如图为该几何体的轴截面，其中圆
为等腰梯形
的内切圆，
设圆
与梯形的腰相切于点
，与上、下底分别切于点
，
，球的半径
，
则圆台的高
，又
，
，
，
设
，则
，所以
，解得
，
所以圆台的体积
.
故答案为：
【变式1】（23-24 高一下·安徽合肥·期中）一个圆锥内切球的表面积是
，其侧面展开图是半径为
的半
圆，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】由题意，根据球的表面积公式求出内切球的半径，利用勾股定理和内切圆的性质求出圆锥轴截面
的内切圆的半径，即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径是，则母线为
，有
，得
.
∴圆锥的轴截面是正三角形，
所以圆锥的高
，则其内切圆的半径是
.
设圆锥内切球的半径是
，则
，解得
.
所以
，解得
.
故选：D.
【变式2】（23-24 高一下·山东聊城·阶段练习）已知某圆柱的轴截面是面积为4 的正方形，则该圆柱的内
切球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由圆柱的轴截面面积可得该圆柱的底面半径和高，进而易得该圆柱的内切球的半径，从而用球的
体积公式即可得到结果.
【详解】依题意可得该圆柱的底面半径为1，高为2，
易得该圆柱的内切球的半径为1，
则该圆柱的内切球的体积为
.
故选：C.
【变式3】（23-24 高二下·甘肃武威·阶段练习）如图，若圆台的上下底面半径分别为
､
，且
，则
此圆台的内切球（与圆台的上下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（
､
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用
球体表面积公式求解即可.
【详解】设圆台上下底面圆心分别为
､
，则圆台内切球球心
一定在
中点处，
设球
与母线
切于
点，
（
为球
的半径），
与
全等，
，同理
，
圆台的内切球半径
内切球的表面积
.
故选：B.
题型04 多球球问题
【典例7】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公
路里程高铁里程双双都是世界第一
､
.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊平衡盾构机等国之重器更是
､
世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体
的内切球，中等球与最大球和正
四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体
体积为
，则模
型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表面积之和为 .
【答案】
/
【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为
，如图，作出辅助线，先求出正四面体的
内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.
【详解】设正四面体的棱长为
，高为，底面圆半径为，
则
，得
，又
，
所以正四面体的体积为
，解得
.
如图，取
的中点
，连接
，
，则
，
，
过点A 作
⊥底面
，垂足在
上，且
，
所以
，故
，
点
为最大球的球心，连接
并延长，交
于点
，则
⊥
，
设最大球的半径为
，则
，
因为
∽
，所以
，即
，解得
，
所以最大球的体积为
，且
，则
，
，
设最小球的球心为
，中间球的球心为
，则两球均与直线
相切，设切点分别为
，
连接
，则
分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为
，
则
，则
，
又
，所以
，解得
，
又
，故
，解得
，
所以
，
模型中九个球的表面积和为
.
【变式1】（24-25 高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥
的棱长均为4，先在三棱锥
内放入
一个内切球
，然后再放入一个球
，使得球
与球
及三棱锥
的三个侧面都相切，则球
的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用轴截面图来研究两球关系，利用等体积法来求内切球的半径，再利用相似来求小内切球的半
径即可.
【详解】解：如图所示：
依题意得
，
底面
的外接圆半径为
，
点
到平面
的距离为
，
所以
，
所以
，
设球
的半径为
，所以
，
则
，得
，
设球
的半径为，则
，
又
，得
，
所以球
的表面积为
．
故选：A．
【变式2】如图，三个半径都是
的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一
水平面，则碗的半径是___________
.
【答案】
【解析】设三个小球的球心
、
、
在上底面圆
（碗口所在的截面圆）
所在平面内的射影分别为
、
、
，如下图所示：
则几何体
为正三棱柱，
且该正三棱柱的底面边长为
，高为
，
则
，
设半球面的半径为
，因为球
与球
内切，
则
，所以，
.
因此，碗的半径为
.
题型05 最值问题
【典例 8】（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）已知球O 的半径
，球面上有三点A，B，C，满足
，
，点D 在球面上运动，则当四面体D-ABC 的体积取得最大值时，
（ ）
A．
B．
C．13
D．18
【答案】A
【分析】根据余弦定理求得
，可求出
的外接圆半径，求出球心到平面的距离，四面体
的体积最大时，点
到平面ABC 的距离最大，求此时
的值.
【详解】
中，
，
，所以
，
因此
的外接圆半径为
，
因为球
的半径
，所以球心
到平面ABC 的距离为5，
．
要使得四面体
的体积最大，只要点
到平面ABC 的距离最大，并且最大距离为
，
又
的外接圆半径为
，所以
.
故选：A
【变式1】（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球
O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD 所在小圆半径为r，
设四边形ABCD 对角线夹角为
，
则
（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为
又设四棱锥的高为，则
，
当且仅当
即
时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为
，底面所在圆的半径为，则
，所以该四棱锥的高
，
(当且仅当
，即
时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高
.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为
，底面所在圆的半径为，则
，所以该四棱锥的高
，
，令
，
，设
，则
，
，
，单调递增，
，
，单调递减，
所以当
时，
最大，此时
．
故选：C.
【变式2】（23-24 高一下·浙江温州·期中）在三棱锥
中，
底面
，
，
，
的面积为
，则三棱锥
的外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由面积公式可得
，由余弦定理结合基本不等式可求
，根据正弦定理可得
外接
圆半径，由勾股定理即可求解.
【详解】如图，取
的外接圆圆心
，过点
作平面
的垂线，
则三棱锥
的外接球的球心
在该垂线上，且
，
在
中，
，即
，
所以
，
即
（当且仅当
时取等号），
设
外接圆半径为，由正弦定理得
，即
，
所以外接球的半径
，则
，
故三棱锥
的外接球表面积的最小值为
.
故选：
.
