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1
第07 讲 增长速度的比较
课程标准
学习目标
1.理解函数平均变化率的概念.
2.知道函数平均变化率的几何意义.
3.会求函数在指定区间上的平均变化率.
4.结合现实情境中的具体问题，利用计算工
具，比较对数函数、一次函数、指数函数
增长速度的差异，理解“对数增长”“直
线上升”“指数爆炸”等术语的现实含
义．
1.通过学习函数平均变化率的概念、几何意义培养数
学抽象素养.
2.通过利用函数的平均变化率比较函数的增长速度培
养数学运算素养和逻辑推理素养．
知识点01 平均变化率的概念
函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为＝．
说明： （1）实数x1，x2在定义域内不相等，因此Δx≠0，但Δx 可正也可负；Δy＝y2－y1是Δx＝x2－x1相
应的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．
（2）平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，可用平均变化率来比较函数值变化的
快慢．
【即学即练1】函数f(x)＝3x在区间[2，3]上的平均变化率为________．
【答案】18
【解析】 因为＝，所以f(x)＝3x在[2，3]上的平均变化率为＝18.
知识点02 平均变化率的几何意义
函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2)上的平均变化率＝表示函数y＝f(x)图象上过点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))的直
线的斜率．
2
【即学即练2】 已知函数f(x)＝2x2图象上的两点A，B，xA＝1，xB＝2，则直线AB 的斜率为( )
A．－6
B．6
C．－3
D．3
【答案】B
【解析】直线AB 的斜率为函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率，故k=＝=6，故选B.
知识点03 增长速度的比较
1．几类不同增长的函数模型
(1)一次函数模型
一次函数模型y＝kx(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度
急剧，形象地称为“爆炸式增长”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速
度平缓．
(4)幂函数模型
当x＞0，n＞1 时，幂函数y＝xn是增函数，且当x＞1 时，n 越大其函数值的增长速度就越快．
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们
的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．
随着x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝
logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．
因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax(a＞1，n＞0)．
指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调
性
单调递增，且a 越
大，增长越快.
单调递增，且a 越
小，增长越快.
单调递增，且x＞1
时，n 越大增长越
快．
增长速度
越来越快.
越来越慢.
越来越快．
图像的变化
随x 的增大越来越陡.
随x 的增大逐渐变缓.
随着n 值的不同而不
同.
【即学即练3】下列函数增长速度最快的是( )
A．y＝3x
B．y＝log3x
3
C．y＝x3
D．y＝3x
【答案】A
【解析】结合函数y＝3x，y＝log3x，y＝x3，y＝3x 的图像可知，随着x 的增大，函数y＝3x的增长速度
越来越快，会超过并远远大于y＝x3的增长速度，而y＝log3x 的增长速度则会越来越慢，y＝3x 的增长速度
不变，故本题选A.
题型01 求函数的平均变化率
【典例1】函数
，当自变量x 由1 变到1.1 时，函数
的平均变化率为（ ）
A．2.1
B．1.1
C．2
D．1
【答案】A
【分析】根据函数平均变化率的求法即可得到答案.
【详解】由题意，函数的平均变化率为：
.
故选：A.
【变式1】函数y = 1
x 在区间[−2,−1]上的平均变化率为___________.
【答案】−1
2##−0.5
【分析】利用平均变化率的定义求解
【详解】函数y = 1
x 在区间[−2,−1]上的平均变化率为−1−(−1
2)
−1−(−2) =−1
2
，故答案为：−1
2
【变式2】函数y =ax +b从1 到2 的平均变化率是___________.
【答案】a
【分析】利用平均变化率的定义求解即可
【详解】函数y =ax +b从1 到2 的平均变化率是2a+b−(a+b)
2−1
=a，故答案为：a
【变式3】函数
是幂函数，则实数
的值为 ．
【答案】
或
【解析】由题意
，解得m=2 或-1
【变式4】函数
在区间
上的平均变化率为3，则实数m 的值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4
4
【答案】B
【分析】根据题意，求出函数在间
上的平均变化率，解方程即可得答案．
【详解】解;由已知得
，
∴
，
∴
，
故选B.
【变式5】函数
，
在[0，2]上的平均变化率分别记为
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
，
的大小无法确定
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义计算比较即可.
【详解】
，
，故
.
故选：A.
题型02 同一函数在不同区间上变化快慢的比较
【典例2】已知函数f(x)＝x＋，分别计算函数在区间[1，2]与[3，5]上的平均变化率，并比较函数在两区间
上变化的快慢．
【解析】在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为＝＝，
在区间[3，5]上，函数f(x)的平均变化率为＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在区间[3，5]上函数值变化的较快．
【变式1】已知函数f(x)＝x2，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并比较函数在两区间上
变化的快慢．
【解析】在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为
＝＝3，
在区间[3，4]上，函数f(x)的平均变化率为
＝＝7.
因为7>3，所以函数f(x)＝x2在区间[3，4]上函数值变化的较快．
【变式2】某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示．
比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？
【解析】当时间x 从0 min 变到20 min 时，体温y 相对于时间x 的平均变化率为＝＝－0.025(℃/min)；
当时间x 从20 min 变到30 min 时，体温y 相对于时间x 的平均变化率为＝＝－0.05(℃/min)．
5
这里负号表示体温下降，显然，绝对值越大，下降得越快，又因为|－0.025|<|－0.05|，故体温从20 min 到
30 min 这段时间下降得比从0 min 到20 min 这段时间要快．
【变式3】若函数
，
，
在
上的平均变化率分别记为
，则下面结论正
确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
在
的平均变化率为：
；
函数
在
的平均变化率为：
；
函数
在
的平均变化率为：
；
∴
故选A.
【变式4】（22-23 高一上·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，
即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度
随开窗通风换气时间
的关系如图所示，则下列时间段
内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；
【详解】如图分别令
、
、
、
、
、
、
所对应的点为
,
6
所以
内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故选：B
题型03 不同函数在同一区间上变化快慢的比较
【典例3】已知函数f(x)＝3x＋1 和g(x)＝2x2＋1.
(1)分别求函数f(x)和g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率；
(2)比较两函数在区间[－3，－1]上函数值变化的快慢．
【解析】(1)因为Δx＝(－1)－(－3)＝2.
对于函数f(x)，Δf＝f(－1)－f(－3)＝3×(－1)＋1－[3×(－3)＋1]＝6，
所以函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝3.
对于函数g(x)，Δg＝g(－1)－g(－3)＝2×(－1)2＋1－[2×(－3)2＋1]＝－16，
所以函数g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝－8.
(2)因为|3|<|－8|，
所以函数g(x)在区间[－3，－1]上函数值变化的较快．
【变式1】已知函数f(x)＝3x，g(x)＝x3，分别计算这两个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较这两个
函数在该区间上函数值变化的快慢．
【解析】函数f(x)在区间[2，3]上的平均变化率为
＝＝＝18，
函数g(x)在区间[2，3]上的平均变化率为
＝＝＝19，
因为19>18，所以函数g(x)在区间[2，3]上函数值变化的较快．
【变式2】对于以下四个函数：①
；②
；③
；④
．在区间
上函数的平均变化率
最大的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.
7
【详解】①
，②
，③
，④
．
故选：C．
题型04 函数变化快慢的应用
【典例4】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小．
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2024>x2，从图
象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)；当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2024)>g(2024)．又因
为g(2024)>g(6)，所以f(2024)>g(2024)>g(6)>f(6)．
【变式1】若x∈(0,+∞)，则使log2 x <2
x< x
2成立的x的取值范围是________，使log2 x < x
2<2
x成立的x
的取值范围是________．
【答案】 (2,4) (0,2)∪(4 ,+∞)
【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x 的范围即可.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出y =2
x，y = x
2，y = log2 x在(0,+∞)上的图象如下．
由图得，若log2 x <2
x< x
2，则2< x<4，若log2 x < x
2<2
x，则0< x<2或x>4．
故答案为：(2,4)，(0,2)∪(4 ,+∞)
【变式2】下面对函数f ( x)= log 1
2
x，g( x)=(
1
2)
x
与ℎ( x)= x
−1
2在区间(0,+∞)上的衰减情况的叙述正确
的是（ ）
A．f (x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，ℎ(x)的衰减速度逐渐变慢
B．f (x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，ℎ(x)的衰减速度逐渐变快
C．f (x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，ℎ(x)的衰减速度逐渐变慢
D．f (x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，ℎ(x)的衰减速度逐渐变快
【答案】C
8
【分析】根据幂指对函数的图象以及性质即可求解.
【详解】由函数f ( x)= log 1
2
x，g( x)=(
1
2)
x
与ℎ( x)= x
−1
2在区间(0,+∞)上的图象以及性质知函数f (x)，
g(x)，ℎ(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选:C．
【变式3】下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是（ ）
A．y =e
x
B．y = ln x
C．y =3 x
D．y =e
−x
【答案】A
【详解】∵y =e
−x =( 1
e )
x
，又0< 1
e <1，所以y =e
−x随x 的增大而减小，故D 不正确；
又y =e
x与y = ln x它们都是增函数，因为y =e
x为指数函数，y = ln x为对数函数，
则随x 的增大而增大且速度最快的是y =e
x故选：A
【变式5】如图显示物体甲、乙在时间0 到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0 到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0 到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
【答案】③
【详解】在0 到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v = s0
t0
，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为
s2−s0
t1−t0
，乙的平均速度为s1−s0
t1−t0
.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以s2−s0
t1−t0
>s1−s0
t1−t0
，故③正确，④错误．答
案：③.
1.函数
从
到
的平均变化率为（ ）
9
A．1 B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题意知函数
从
到
的增量为
，
故
从
到
的平均变化率为
，故选D．
2．如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于( )
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【解析】
易知
，
，因此
，故选D
3．某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是
，假设
恒成
立，且
，
，则这些数据说明后10 天与前10 天比较（ ）
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小
【答案】D
【分析】根据平均变化率与增长幅度的关系说明．
【详解】平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的，故
选D．
【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．
4．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
10
【详解】
，
又
，
所以
随x 的增大而减小，
故D 不正确；
又
与
它们都是增函数，
因为
为指数函数，
为对数函数，
则随x 的增大而增大且速度最快的是
故选：A
5．（24-25 高一·上海·课堂例题）若某工厂去年12 月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值
的月平均增长率为（ ）
A．m
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】该题为平均增长率问题，设去年元月份产值为1，平均增长率为
，列出方程求解即可.
【详解】由题可知，设去年元月份产值为1，月平均增长率为
，
则有
，解得
.
故选：D
6．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了
，休息了一段时间，又沿原路返回
，再前进
，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图象，匀速行驶一段后，休息一段时间路程无变化，应排除A，又原路返回一段，排除D，
继续前进，因为是匀速所以选C.
【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A；又按原路
返回
，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D；C 选项虽然离出发点近了，但时间没有增
长，应排除B 故选C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的识图，辨析及实际问题的意义，属于中档题.
7．（24-25 高一上·全国·课前预习）在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物
含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变
11
化的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断.
【详解】在2h 内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止
注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是B．
故选：B．
8．（多选）（23-24 高一下·全国·课堂例题）已知函数
，则下列关于这三个函数的描
述中，正确的是（ ）
A．随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
B．随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
C．当
时，
增长速度一直快于
D．当
时，
增长速度有时快于
【答案】BD
【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可．
【详解】对于
，
从负无穷开始，
大于
，然后
大于
，再然后
再次大于
，最后
大于
，此后
再也追不上
，
故随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
，A 错误，BD 正确；
对于
，
由于
的增长速度是不变的，
当x∈(0,1)时，
大于
，
当x∈(1,+∞)时，
大于
，
再也追不上
，
其中
增长速度有时快于
，C 错误．
12
故选：BD．
9．（多选题）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数
函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长率为1
B．野生水葫芦从
蔓延到
历时超过1.5 个月
C．设野生水葫芦蔓延到
，
，
所需的时间分别为
，
，
，则有
D．野生水葫芦在第1 个月到第3 个月之间蔓延的平均速度等于在第2 个月到第4 个月之间曼延的平均速度
【答案】ABC
【分析】根据已知条件可得指数函数为
，再结合指对数的关系，以及平均速度的公式，判断
各选项的正误.
【详解】由题意得，所求函数为指数函数且过点
，可得函数
，
A：设第
个月的野生水葫芦面积为
，则第
个月的野生水葫芦面积为
，
13
∴野生水葫芦的面积每月增长率
，故正确，
B：设野生水葫芦从
蔓延到
历时超过
个月，
∴
，解得
，故正确，
C：野生水葫芦蔓延到
，
，
所需的时间分别为
，
，
，
，
，
，故正确，
D：野生水葫芦在第1 个月到第3 个月之间蔓延的平均速度为
，
野生水葫芦在第2 个月到第4 个月之间曼延的平均速度为
，故错误.
故选：ABC.
10.（多选）（24-25 高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．函数
减小的速度越来越慢
B．在指数函数
中，当x>0时，底数
越大，其增长速度越快
C．不存在一个实数m，使得当
时，
D．当
，
时，在区间
内，对任意的
，总有
成立
【答案】AB
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数增长的特征及数形结合，对每个选项逐个判断即可.
【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数
减小的速度越来越慢，选项A 正确；
对于B，由指数函数的性质知，指数函数
中，当
时，底数a 越大，其增长速度越快；选
项B 正确；
对于C，由指数函数的性质知，随
的增大
的增长速度是非常快的，远远超过幂函数
的增长
速度，
因此一定存在一个实数m，使得当
时，
，选项C 不正确；
对于D，取
，由图知，
14
在区间
内，对任意的
，
不成立，选项D 不正确；
故选：AB.
11．函数
2
( )
3
f x
x
在[2, 6]内的平均变化率为________．
【答案】24
【解析】
(6)
108,
(2)
12
f
f
，所以平均变化率为
(6)
(2)
108 12
24
6
2
4
f
f
.
12.汽车行驶的路程和时间之间的函数图像如图所示，在时间段
，
，
上的平均速度分别
为
，
，
，则三者的大小关系为______.
【答案】
##
【分析】根据题意，有平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即
可得出答案.
【详解】解：因为
，
，
，
由图可知
，
所以
.
故答案为：
.
13．已知
，函数
，则下面结论中正确的有__________.（填上所有正确结论的序号）
15
①函数
在区间
上的平均变化率总是大于；
②函数
在区间
上的平均变化率总是小于；
③函数
在区间
上的平均变化率随着
的增大而增大；
④函数
在区间
上的平均变化率随着
的增大而减小.
【答案】②④##④②
【分析】利用平均变化率的定义以及对数型复合函数的单调性可得出结论.
【详解】
，
因为
，所以
，所以①错误，②正确.
又当
时，
随着
的增大而减小，
随着
的减小而减小，
所以
随着
的增大而减小，所以③错误，④正确，
故答案为：②④.
14．函数
与
在区间
上增长较快的是________．
【答案】
【分析】求两个函数的平均变化率，比较它们的大小可得．
【详解】在
上取
，
，
，
因为
，所以
，
，
所以
，所以函数
在区间
上的增长速度慢于函数
的增长速度，故增长较
快的为
．
故答案为
．
