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第六章 平面向量初步 章末题型大总结
题型01 平面向量的基本概念
2
【典例1】（多选）（23-24 高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（ ）
A．数轴上零向量的坐标为0
B．若⃗a与⃗b都是单位向量，则|⃗a+⃗b|的最小值为0
C．若A (−2,1),B (2,−1)，则|AB|=0
D．若A (−2,1),B (2,−1)，则线段AB的中点坐标为(0,0)
【答案】ABD
【分析】根据题意可直接判断A 正确；当⃗a与⃗b方向相反时，可知B 正确；利用两点间的距离公式计算可知
C 错误；利用中点坐标公式进行计算可知D 正确.
【详解】数轴上零向量的坐标为0,A正确.
若⃗a与⃗b都是单位向量，当方向相反时，
|⃗a+⃗b|的最小值为0,B正确.
若A (−2,1),B (2,−1)，则|AB|=2√5，C错误.
若A (−2,1),B (2,−1)，则线段AB的中点坐标为(0,0)，D正确.
故选：ABD.
【变式1】（24-25 高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量
与
平行，则
与
的方
向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段
就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得.
【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
解题锦囊
1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．表示方法：用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
用字母a，b，…或用AB，BC，…表示．
3．模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.
4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的．
5．单位向量：长度等于1 个单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e＝±.
6．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共
线向量．
7．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
3
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量的大小为0，没有方向
B．
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】B
【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质
即可判断CD.
【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A 错误；
对B，由于
与
方向相反，长度相等，故B 正确；
对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C 错误；
对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D 错误．
故选：B．
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量
，
，且
，则
与
的方向相同或相反
B．若
，则
C．若
，
，则
D．对任一非零向量
，
是一个单位向量
【答案】D
【分析】对A，若
，
有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若
即可判断；
对D，由单位向量的定义判断.
【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若
或
时，
与
的方向不是
相同或相反，故A 错误；
对B，
，且
，
方向相同才可判断
，故B 错误；
对C，当
时，若
，
，
与是任意向量，故C 错误；
对D，对任一非零向量
，
表示与
方向相同且模长为1 的向量，故D 正确.
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故选：D
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若
，则
B．长度相等的向量是相等向量
C．零向量的方向是任意的
D．方向相反的向量是相反向量
【答案】ABD
【分析】根据向量的相关定义逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于A，若
，则不一定有
，
比如，让这两个向量共起点，则它们的终点分步在以这个起点为圆心的一个圆周上，
所以这两个向量不一定共线，故A 错误；
对于B，长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B 错误；
对于C，零向量的方向是任意的，故C 正确；
对于D，方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D 错误.
故选：ABD.
题型02 平面向量的线性运算
【典例1】（24-25 高二上·山东潍坊·开学考试）化简：
．
【答案】
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：
【变式1】（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）化简
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算计算即可．
【详解】
，
故选：D．
解题锦囊
1．向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终
点”；向量减法的三角形法则要素是“始点重合，指向被减向量”；向量加法的平行四边形法则要素是“始点
重合”．
2．用几个基向量表示某个向量问题的基本技巧：
(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(2)运用法则找关系；(4)化简结果．
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【变式2】（24-25 高二上·北京朝阳·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法即可得到答案.
【详解】
.
故选：C.
【变式3】（23-24 高一下·湖南岳阳·期末）在
中
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的加法和减法公式，即可求解.
【详解】
.
故选：D
【变式4】（23-24 高一下·湖北黄冈·期中）
【答案】
【分析】根据向量加、减法法则及运算律计算可得.
【详解】
.
故答案为：
题型02 向量共线与三点共线问题
【典例2】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量
，向量
为平面内两个不共线的单位向量，若
解题锦囊
运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2＝x2y1；(3)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.
6
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．A、B、C 三点共线
B．A、C、D 三点共线
C．A、B、D 三点共线
D．B、C、D 三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线的判定定理结合平面向量基本定理逐项分析判断.
【详解】因为向量
，向量
为平面内两个不共线的单位向量，
且
，
，
对于选项A：若A、B、C 三点共线，则
，其中
，
则
，方程组无解，
所以A、B、C 三点不共线，故A 错误；
对于选项B：因为
，
若A、C、D 三点共线，则
，其中
，
则则
，方程组无解，
所以A、C、D 三点不共线，故B 错误；
对于选项C：因为
，
所以A、B、D 三点共线，故C 正确；
对于选项D：若B、C、D 三点共线，则
，其中
，
则
，方程组无解，
所以B、C、D 三点不共线，故D 错误；
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·广东佛山·期末）已知向量
不共线，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据共线定理和平面向量基本定理求解可得.
【详解】因为
，
所以存在
，使得
，
7
又
不共线，所以
，解得
.
故选：B
【变式2】（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．10
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量坐标运算得
，再利用向量共线的坐标表示即可方程，解出即可.
【详解】因为
，且
，
所以
，解得
，所以
．
故选：D．
【变式3】（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量
，
，
且实数
，若A，B，C 三点共线．则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即
共线，由向量共线的坐标表示计算．
【详解】
，
，
因为A，B，C 三点共线，所以
，
则
，解得
或
，
，
.
故选：D.
【变式4】（23-24 高一下·北京朝阳·期末）已知向量
，
不共线，
，
，若与
同向，则实数t 的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
或3
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合平面向量基本定理求解即得.
【详解】由向量
与
同向，得
，
即
，而向量
不共线，则
，又
，解得
，
所以实数t 的值为
.
8
故选：A
题型04 平面向量基本定理
【典例4】（24-25 高三上·江苏南通·期中）在
中，
，
，
，
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】以
为基底表示向量
，因为
，则
，建立
与
的等量关系，求解即
可.
【详解】因为
，
，所以
，
又
，所以
，
则
，解得：
，
.
故选：C
【变式1】（23-24 高一下·黑龙江大庆·期中）若
是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能
构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
解题锦囊
平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择
了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a 都可以用向量e1，e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示
是唯一的，即若λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则必有λ1＝μ1，λ2＝μ2.这样，平面向量基本定理不仅把几何问题转化
为只含有λ1，λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．
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【详解】对于A 选项，
，所以
共线，不能作为基底；
对于B 选项，
，所以
共线，不能作为基底；
对于C 选项，
，所以
共线，不能作为基底；
对于D 选项，易知
不共线，可以作为基底.
故选：D.
【变式2】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知在
中，
，
分别为
，
的中点，
，
，则
可以用含
，的式子表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量的加减法则，
，分别与
相应的关系，再消元构建三者的关系，得出结果.
【详解】由题意得，
，
，故
，
故
.
故选：B.
【变式3】（24-25 高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形
中，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为四边形
为平行四边形，且
，
，
所以
，即
①，
又
，即
②，
10
由①
②得到
，又
，
，所以
.
故选：D.
【变式4】（24-25 高三上·福建南平·期中）在
中，点
在边
上，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由向量的线性运算把
用
表示后可得
，从而得结论．
【详解】由已知
，
所以
，
，
，
故选：D．
题型05 向量的坐标表示
【典例5】1．（23-24 高一下·北京海淀·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正
方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形
CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若
，则
=（ ）
解题锦囊
1．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝(x2－x1，y2－y1)，|
|＝.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；λa＝(λx1，λy1)；a∥b⇔a＝λb⇔x2y1＝x1y2.
3．设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设
，求得
的坐标，再由
列
式求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
设
，则
，
则
，
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，
所以
，则
，
则
，化简得
，
故选：B.
【变式1】（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）已知向量
，点
的坐标为
，则点
的坐标
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量坐标的运算可得答案.
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【详解】因为
，点
的坐标为
，
所以
，解得
，
所以点
的坐标为
.
故选：A.
【变式2】（23-24 高一下·天津·阶段练习）已知向量
与
的夹角为
，且
，若点
的
坐标为
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设可知
，继而得到
，由此即可解出
点坐标.
【详解】由题意知
与
的长度相等，方向相反，
所以
，
又因为
，
设
，则
，
所以
，解得
，即
，
故选：A
【变式3】（23-24 高一下·福建龙岩·期中）若平面向量
与
的夹角是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得
且
，利用向量的模长公式即可求解．
【详解】
平面向量
与
的夹角是
，
和
是相反向量，
存在
且
使
，
，
又
，
，
，则
,
．
故选：A．
【变式4】（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知向量
，
在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个
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小正方形的边长均为1，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】B
【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可.
【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为
轴，
则
，
，所以
，
则
.
故选：
.
题型06 向量中的最值
【典例5】在直角梯形ABCD 中
，
，点E 为BC 边上一点，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过
作
，垂足为
，
因为
，
所以有
，
，设
，
，
解题锦囊
对于特殊的平面图形我们可以建立平面直角坐标系，向量坐标化后，所有的问题均可以通过计算求解，
这种方法对难度较大的平面向量试题非常有用．
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因此有
因为
，
所以有
，
而
，
所以
，
当
时，
有最大值
，当
，xy 有最小值
，
所以
的取值范围是
故选：B
【变式1】（23-24 高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系
中，点
分别在x 轴和y 轴上运动，
且
，点
和点P 满足
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
、
、P(x , y)，由题意可得
，又
，故有
，结合向量的模
长计算及
的范围计算即可得其最大值.
【详解】设
、
、P(x , y)，
则
、
、
，
由
，则有
，即
，
由
，有
，故
，即
，
即有
，且
，
则
，
15
由
，故当
时，
有最大值，
且
的最大值为
.
故选：D.
【变式2】（22-23 高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角梯形
中，
，
是线段
上的动点，则
的最小值为 .
【答案】6
【分析】以
点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设
a），写出各点坐标，结合向
量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.
【详解】如图，以
点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设
a），
因为
，所以
，
所以
，
所以
，所以
，
所以当
，即
时，
的最小值为6.
故答案为：6
【变式3】（23-24 高二上·福建厦门·阶段练习）已知坐标平面内三点
，
，
．
(1)若
，
，
，
可以构成平行四边形，且点
在第一象限，求点
的坐标；
(2)若
是线段
上一动点，求
的取值范围．
16
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
（
），依题意可得
，根据向量相等的坐标表示得到方程组，解得
即可；
（2）设
，
，用
的式子表示
、
，从而转化为关于
的二次函数，即可求出
的取值范围.
【详解】（1）设
（
），依题意可得
，
又
，
，
，所以
，
，
所以
，解得
，即
.
（2）设
，
，
则
，所以
，则
，
所以
，
因为
，所以当
时
取最小值
，
当
时
取最大值
，
所以
的取值范围为
.
题型07 平面向量在几何中的应用
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【典例6】（23-24 高一上·辽宁沈阳·期末）（多选）已知
，D 为BC 边中点，若点P 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．点P 一定在
内部
B．
C．
D．点P 在直线AD 上
【答案】ABC
【分析】设
、
分别是
、
的中点，依题意可得
，从而得到点
是中位线
上靠
近点
的三等分点，即可判断A，D 再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B.
【详解】由
，所以
，
设
、
分别是
、
的中点，所以
，
于是点
是中位线
上靠近点
的三等分点，则点
一定在
内部，故A 正确，D 错误.
又
，所以
，则
，故B 正确；
由A 可知
，
，且
，
解题锦囊
(1)平面几何中的平行、全等、相似、长度等都可以由向量的线性运算表示出来．
(2)用向量解决平面几何问题的“三步曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
（3）用向量解决平面几何问题的两种方法
①向量几何法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性
质计算．
②向量坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、平行等问题转化为
代数运算．
说明：对于有些平面几何问题(如与长方形、正方形、直角三角形等有关的问题)，常用向量的坐标
法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决平面几何问题．
18
所以
，
，即
，故C 正确；
故选：ABC
【变式1】（23-24 高一下·四川自贡·期末）如图在平面四边形
中，
，点
在线段
上满足
，若
，则
．
【答案】
/
【分析】以A 为原点，建立平面直角坐标系，设
后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得．
【详解】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设
，
则有
，
，过D 作
轴于F，
，
，所以
，
，
，
，
因为
，
所以，
所以，
，解得：
，
则
的值为
.
19
故答案为：
.
【变式2】（23-24 高一·上海·课堂例题）在四边形
中，向量
，
，
．求证：四边形
为梯形．
【答案】证明见解析
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量即可证明．
【详解】证明：因为
，
所以
且
，
所以四边形
为梯形．
【变式3】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）如图，四边形ABCD 为筝形（有一条对角线所在直线为对称
轴的四边形），满足
，AD 的中点为E，
．
(1)若三角形ABD 为等边三角形，求四边形ABCD 的面积
(2)求筝形ABCD 的面积的最大值
【答案】(1)
；
(2)8.
【分析】（1）直接利用三角形的面积公式即可求得答案；
（2）建立坐标系，利用向量法结合基本不等式即可得出筝形ABCD 的面积最大值.
【详解】（1）△ABD 为正三角形，且中线
，则
，
又
，
，
.
20
（2）以点O 为坐标原点，建立如右图所示的直角坐标系．
设
，
则
．
因为
，所以
，
即
，当且仅当
时，取等号．
筝形ABCD 的面积为
即当
时，筝形ABCD 的面积最大为8.
题型08 平面向量在物理中的应用
【典例7】（23-24 高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力
为
，两人手臂上的拉力分别为
，
，且
，
与
的夹角为
，下列结论中正确的是（ ）
A．
越小越费力，
越大越省力
B．始终有
解题锦囊
向量有着丰富的物理背景．向量的物理背景是位移、力、速度等．因此利用向量可以解决一些物理问
题．
向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后
再用所获得的结果解释物理现象．
21
C．当
时，
D．当
时，
【答案】C
【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得
，由此分析选项，即可得答案．
【详解】根据题意，由于
，又由
，
则有向量
，
为邻边的四边形为菱形，
则有
，
,
对于A，由于
不变，则
越小越省力，
越大越费力，A 错误；
对于B，由于
，B 错误；
对于C，当
时，
，C 正确；
对于D，当
时，
，D 错误．
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·山东枣庄·期末）（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度
，一艘船
从河岸边的A 地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度
的大小
，水流方向为正东方向，
其速度
的大小为
，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ）
参考数据：
A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，
B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min
C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min
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D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短
【答案】AB
【分析】讨论
的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D.
【详解】对于A：设
与
的夹角为
，船行驶的时间为，
，
当
为钝角时，
当
为锐角时，
当
为直角时，
则当
为钝角时，
，
当
为锐角时，
，
所以当船垂直于对岸行驶，即
，所用时间最短，故A 正确；
对于B：由A 可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为
，故B 正确，C 错误；
对于D：设点
是河对岸一点，
与河岸垂直，
那么当这艘船实际沿着
方向行驶时，船的航程最短，
由下图可知，设
，则
，
此时，船的航行时间
，故D 错误；
故选：AB
【变式2】（24-25 高一上·上海·随堂练习）有两个分别为3 牛和5 牛的力作用在某物体上，则合力的最大
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值为 牛．
【答案】8
【分析】根据三角不等式可解.
【详解】设两个力分别为
，且
，根据题意合力
.
则根据三角不等式有
，当且仅当
同向时取得.
故合力最大值为8．
故答案为：8.
【变式3】（24-25 高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行
千米，然后向西飞行
千米，则飞机飞
行的路程及两次位移的和分别为 .
【答案】路程为180 千米，位移的和为“西南方向，
千米”
【分析】根据题意画出示意图，再由向量的加减运算，即可得出结论．
【详解】如图，飞机从
点向南飞行
到达
点，然后向西飞行
到达
点，
则
，
，
所以飞机飞行的路程为：
，
由勾股定理得，飞机飞行的位移为：
，方向为西南.
故答案为：路程
，位移的和为“西南方向，
”.
【变式4】（24-25 高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽
.一艘船从A 处出发航行到河
的正对岸B 处.航行的速度
，水流的速度
，水流方向向正东方向，求行驶航程最
短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min）
【答案】所用的时间是3.1min
【分析】作出示意图，设该船航行时的速度为
，水流的速度为
，合速度为
，由题意可得
，进而
求得航程最短时，所需时间.
【详解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示，
设该船航行时的速度为
，水流的速度为
，合速度为
，
已知
，
，
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则
，
所以
.
所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min.
