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重难点专题03 一次函数的图像与性质
模块一、一次函数的图像
重难点一、判断一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)图像为直线，核心依据k、b 判断图像走向与截距。
k 决定直线倾斜方向，b 决定直线与y 轴交点位置。多函数图像共存题型，对比各解析式
k、b 正负，排除倾斜方向、纵截距矛盾的图像，快速锁定正确图像。
1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数
2
3
y
x−
=
的图
象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广西南宁·一模）已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（ ）．
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A．
2
y
x
=
−
B．
2
y
x
=
−
C．
2
y
x
=
−
D．
2
y
x
=
+
3．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数
(
)
1
0
y
kx
k
=
−
的函数值y 随x 的增大而增大，则该函数图象大
致是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y
kx
=
和一次函数
y
kx
k
= −
−
（k 为常数，且
0
k
）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）已知函数y
kx
b
=
+
的图象如图所示，则函数y
bx
k
= −
+
的图象大致
是（ ）
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A．
B．
C．
D．
重难点二、根据一次函数解析式判断其经过的象限
分四类规律记忆：k>0,b>0 过一、二、三象限；k>0,b<0 过一、三、四象
限；k<0,b>0 过一、二、四象限；k<0,b<0 过二、三、四象限。解题先分辨k、b 正负，对
照象限规律直接判定，特殊b=0 时退化为正比例函数简化判断。
1．（25-26 八年级下·广西防城港·期末）一次函数
4
y
x−
=
的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（25-26 八年级下·上海崇明·期末）将直线
2
y
x
=
向上平移1 个单位，平移后的新直线一定不经过的象
限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，当
0
k
时，一次函数
2
y
kx
=
−的图象
可能经过的点是（ ）
A．点E
B．点F
C．点G
D．点H
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4．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）若a 、b 为常数，且
0
ab
，则一次函数y
ax
b
=
+
与y
bx
a
=
+
在同
一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 八年级下·广东汕尾·期末）已知一次函数y
kx
b
=
+
（
0
k
，
0
b
），则该函数的图像不经过
第_________象限．
6．（25-26 八年级下·北京顺义·期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线y
x
b
−
=
+
与
4
y
x
=
+ 的交点不可能
在第________象限．
重难点三、已知函数经过的象限求参数范围
根据图像经过象限反向推导k、b 正负，列出不等式组求解参数。例如图像
过一、二、四象限，则k<0，b>0。含参数的一次项、常数项分别构建不等式，联立求解
取值区间，算出后代入验证，确保解析式对应象限和题干条件一致。
1．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，某一次函数y
kx
b
=
+
的图象过图中A，B 两点，则下面结论
正确的是（ ）
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A．
0
k ，
0
b
B．
0
k ，
0
b
C．
0
k
，
0
b
D．
0
k
，
0
b
2．（25-26 八年级下·广东广州·期末）已知一次函数y
kx
b
=
+
（
0
k
）的图象不经过第二象限，则下列
说法正确的是（ ）．
A．
0
k
B．
0
k
C．
0
b
D．
0
b
3．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线
1y
mx
n
=
+ 和直线
2y
nx
m
=
+
在同一平面直角坐标系内，其
图象的位置可能是（）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 八年级下·河南驻马店·期末）若正比例函数y
kx
=
的图象经过第二、第四象限，写出一个符合
条件的k 的值是_______．
5．（2026·天津河东·三模）已知一次函数
(
)
3
1
y
a x
=
−
−的图像经过第一、三、四象限，那么a 的取值范
围为_________．
6．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）若关于x 的一次函数
2
3
y
ax
a
=
+
−的图象经过第一、三、四象限，
则a 的取值范围是_______．
7．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）已知关于x 的函数
(
)
2
2
1
y
m
x
m
=
+
+
−．
(1)若这个函数的图象平行于直线
2
3
y
x
=
−，求m 的值；
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(2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、三、四象限，求m 的取值范围．
重难点四、一次函数图象与坐标轴的交点问题
求与y 轴交点令x=0，算出y=b，交点(0,b)；求与x 轴交点令y=0，解方程
kx+b=0，得到
，交点
。常结合三角形面积出题，利用两交点到原点的距离
作为直角边计算面积，计算时注意坐标取绝对值。
1．（25-26 八年级下·重庆巴南·期末）一次函数
2
1
y
x
=
−的图象与y 轴的交点坐标是（ ）
A．1 ,0
2
B．
1 ,0
2
−
C．(
)
0,1
D．(
)
0, 1
−
2．（25-26 八年级下·湖南郴州·期末）下列关于一次函数
2
8
y
x
= −
+
的图像信息正确的是（ ）
A．图像过二、三、四象限
B．图像过原点
C．与y 轴相交于点(0,4)
D．与x 轴相交于点(4,0)
3．（2026·内蒙古通辽·二模）已知一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象与x 轴交于点(
)
1,0 ，且不经过第二象
限，则3k
b
+ 的值（ ）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．无法判断
4．（25-26 八年级下·重庆綦江·期末）直线
2
5
y
x
−
=
+
与y 轴的交点坐标是_________．
5．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线
2
3
y
x
=
+ 与x 轴相交于点A，则点A关于y 轴的对称点的
坐标是________．
6．（25-26 八年级下·黑龙江鸡西·期末）函数的图象如图所示，当
0
x =
时，y =_________．
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7．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若直线=
6
y kx +
与坐标轴围成的三角形的面积为9，则k =
__________．
重难点五、用描点法画函数图象
描点法分三步：列表、描点、连线。列表选取 2-3 组易计算的x 值，算出
对应y；在坐标系中标出坐标对应点；用平滑直线连接各点，两端适当延伸。优先选取坐
标轴交点作为描点，减少计算量，画图规范标注坐标轴、关键点坐标与函数解析式。
1．（25-26 八年级下·全国·课后作业）在所给的平面直角坐标系中画出函数
1
2
y
x
=
的图象．（先填写下
表，再描点、连线）
x
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
y
2．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温(
)
t ℃之间有下面的关系．
海拔高度h/千米
．．．
0
1
2
3
．．．
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气温/t ℃
．．．
20
14
8
2
．．．
(1)随着海拔高度的升高，气温逐渐______（填“升高”或“下降”）；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接各点；
(3)猜想气温t 是海拔高度h 的什么函数？并求t 与h 的函数关系式；
(4)若该地某处的气温为4
−℃，求该处的海拔高度．
3．（25-26 八年级下·河北秦皇岛·期末）我们学习了一次函数，类比学习一次函数的方法，研究函数
1
y
x
=
−
的图象性质．
(1)画出函数
1
y
x
=
−
的图象；
第一步：列表
x
3
−
1
−
0
1
2
3
…
1
y
x
=
−
4
2
1
0
1
2
…
第二步：描点
第三步：连线
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(2)写出三条函数
1
y
x
=
−
的性质；
(3)当4
2
x
−
时，直接写出y 的取值范围．
4．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）根据学习函数图形的经验，数学社团对函数
1
y
x
=
−
开展了数学探
究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务．
(1)函数
1
y
x
=
−
自变量x 的取值范围是________；
(2)①函数
1
y
x
=
−
中x 、y 部分对应值如表所示，其中a =________；
x
…
2
−
1
−
0
1
2
3
4
…
1
y
x
=
−
…
3
a
1
0
1
2
3
…
②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；
(3)结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________．
重难点六、画一次函数图象
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一次函数图像是直线，两点确定一条直线，无需多点描图。优先计算函数与
x 轴、y 轴的两个交点坐标，在坐标系标记两点，用直尺连接并延长直线即可。绘图完成
标注函数解析式、交点坐标，坐标轴标注刻度，区分正负半轴，保证图像规范清晰。
1．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知一次函数
2
4
y
x
−
=
+
，并完成下列问题
(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当0
4
x
时，y 的取值范围是 ．
2．（25-26 八年级下·北京顺义·期末）在如图所示平面直角坐标系xOy 中，画出直线
3
3
y
x
= −
+ ．
(1)若直线
3
3
y
x
= −
+ 与x ，y 轴分别交于A，B 两点，直接写出A，B 两点的坐标；
(2)求AOB
的面积．
3．（22-23 八年级上·全国·期末）在同一直角坐标系中画出下列一次函数的图像：
(1)
2
2
y
x
=
−
，
2
1
y
x
=
+ ；
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(2)
1
1
2
y
x
=
+ ，
2
1
y
x
−
−
=
4．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数
1
1
y
x
=
+
−的图
象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x 的取值范围是全体实数．如表是y 与x 的几组对应值：
x
…
4
−
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
4
…
y
…
2
m
0
1
−
0
1
2
3
4
…
其中m = ______；
(2)在图中的平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象；
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(3)判断函数
1
1
y
x
=
+
−有最大值还是最小值？并直接写出当x 为何值时，y 的最大值或最小值是多少？
(4)已知函数
1
y
x
n
=
+
−（其中
0
n
），当自变量的取值范围是3
3
x
−
时，该函数的最大值为4
n
−，
求n 的值．
重难点七、一次函数图象平移问题
牢记平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。直线平移只改变b，k
值保持不变。左右平移对x 整体加减，上下平移直接对常数项加减；已知平移后解析式反
推原函数，逆向使用口诀，符号反向操作，算完代入坐标验证平移距离是否匹配。
1．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）下列直线中，与直线
2
y
x
=
平行的是（ ）
A．
2
3
y
x
=
+
B．
3
1
y
x
=
+
C．
2
2
y
x
= −
−
D．
1
1
2
y
x
= −
+
2．（25-26 八年级下·福建福州·期末）将直线
1
1
2
y
x
=
−向下平移3 个单位长度得到直线l ，则直线l 的解
析式为（ ）
A．
1
4
2
y
x
=
−
B．
1
3
2
y
x
=
−
C．
1
2
2
y
x
=
+
D．
1
3
2
y
x
= −
−
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3．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）将直线
4
y
x
=
向下平移3个单位长度，所得直线的解析式为（ ）
A．
(
)
4
3
y
x
=
−
B．
(
)
4
3
y
x
= −
+
C．
4
3
y
x
=
−
D．
4
3
y
x
= −
+
4．（24-25 八年级下·上海·阶段检测）若把一次函数
2
3
y
x−
=
，向上平移3 个单位长度，得到图象解析式
是（ ）
A．
3
y
x
= −−
B．
2
6
y
x
=
−
C．
5
3
y
x
=
−
D．
2
y
x
=
5．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，有一点
(
)
1,3
P
．要使直线l：
4
y
x
=
+ 经过图
形变换得到的直线l过点P，两位同学给出了如下两个方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是
（ ）
方案Ⅰ：将直线l 沿y 轴向下平移2 个单位长度得到直线l；
方案Ⅱ：作直线l 关于y 轴对称的直线l
A．Ⅰ、Ⅱ都可行
B．Ⅰ、Ⅱ都不可行
C．Ⅰ可行、Ⅱ不可行
D．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
6．（25-26 八年级下·黑龙江鸡西·期末）将直线
3
2
y
x
=
+
向下平移5个单位长度后得到的直线的解析式为
（ ）
A．
3
3
y
x
=
−
B．
3
7
y
x
=
+
C．
3
5
y
x
=
+
D．
3
7
y
x
=
−
7．（25-26 八年级下·吉林延边·期末）正比例函数
2
y
x
=
的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的
函数解析式为______．
8．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）将直线
4
3
y
x
= −
+
向上平移4 个单位，得到的直线解析式是
_________．
重难点八、一次函数图象与对称问题
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分三类对称规律：关于x 轴对称，k、b 全部取相反数；关于y 轴对称，k 取
反、b 不变；关于原点对称，k 不变、b 取反。解题先确定对称轴类型，套用符号变换规
则写出对称后解析式，也可取直线上两点，求出对称点再用待定系数法求解析式，双重核
对避免符号出错。
1．（25-26 九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数
2
y
x
b
=
+
的图象关于x 轴对称，对称后所得的图象经
过点(
)
2,1 ，则b 的值是（ ）
A．3
−
B．3
C．5
−
D．5
2．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线
1
y
kx−
=
与直线
7
y
x
b
= −
+
关于y 轴对称，
则一次函数y
kx
b
=
+
的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）一个正比例函数的图象经过点
(
)
, 6
P a −
和点
(
)
3,
Q
b
−
，若点P 与点Q 关于
原点对称，则这个正比例函数的表达式为（ ）
A．
3
y
x
= −
B．
3
y
x
=
C．
2
y
x
−
=
D．
2
y
x
=
4．（2026·江苏南京·一模）一次函数
2
3
y
x−
=
的图象关于y 轴对称的直线的表达式是_____________．
5．（2025 八年级上·全国·专题练习）若一次函数
3
y
mx
=
+
与
2
y
x
n
=
+
的图像关于y 轴对称，则m =
______ ，n =______．
6．（25-26 八年级上·江苏盐城·阶段检测）将一次函数
3
y
x
=
+
的图象以y 轴为对称轴翻折，翻折后的图
象函数表达式是_______．
7．（22-23 八年级上·全国·期末）（1）将一次函数
2
4
y
x
−
=
+
的图象向左平移2 个单位，所得函数图象
的解析式是___________；
（2）将一次函数
1
1
2
y
x
=
+ 的图象作关于x 轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________．
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8．（22-23 八年级上·全国·期末）对于直线
2
4
y
x
= −
+
，与它
(1)关于x 轴成对称的直线解析式为 ．
(2)关于y 轴成对称的直线解析式为 ．
(3)关于直线y
x
=
成对称的直线解析式为 ．
模块二、一次函数的性质
重难点一、判断一次函数的增减性
增减性仅由一次项系数k 决定，与常数项b 无关。k>0 时，y 随x 的增大而
增大，图像从左下向右上倾斜；k<0 时，y 随x 的增大而减小，图像从左上向右下倾斜。
仅给出图像时，观察直线倾斜走向即可快速判断增减性。
1．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）对于一次函数
2
1
y
x
=
−，下列结论正确的是（ ）
A．图象与y 轴交点为(
)
1,0
−
B．y 随x 的增大而减小
C．图象经过第一、三、四象限
D．当
0
x
时，
1
y −
2．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数
2
y
x
−
=
，下列说法正确的是（ ）
A．图象与坐标轴有两个交点
B．图象经过第二、第四象限
C．图象经过点(
)
1, 2
−−
D．y 随x 的增大而增大
3．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）对于一次函数
2
4
y
x
−
=
+
，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x 轴的交点坐标是(
)
2,0
C．函数值随自变量的增大而减小
D．函数的图象向下平移4 个单位长度得
2
4
y
x
= −
−
的图象
4．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）函数
1
y
x
=
−
的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
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A．当
1
x = −时，
2
y =
B．图象与x 轴的交点坐标为(
)
1,0
C．当
0
x
时，y 随x 的增大而增大
D．函数的最小值为0
5．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，若函数图象上任意两点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
均满足
(
)(
)
2
1
2
1
0
x
x
y
y
−
−
，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（ ）
A．①②
B．②④
C．①③
D．③④
6．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）直线a：y
kx
k
=
+
（
0
k
），下列结论正确的有（ ）个
①点(
)
0,k 在直线a 上；②直线a 经过定点(
)
1,0
−
；③当
0
k 时，y 随着x 的增大而增大；④直线a 经
过第一、第二、第三象限
A．1
B．2
C．3
D．4
重难点二、根据一次函数增减性求参数
由增减性锁定k 的正负，列出不等式求解参数。若函数y 随x 增大而增大，
则一次项系数k>0；反之则k<0。解析式含参数时，整理出一次项系数代数式，构建不等
式解参数范围，求出取值后代入原式验证增减性，防止漏看系数化简隐藏条件。
1．（2022 八年级下·青海西宁·竞赛）已知一次函数
(
)
0
y
kx
b b
=
+
，若函数值y 随自变量x 的增大而增
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大，则该函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
2．（22-23 八年级上·全国·期末）已知一次函数
(
)
1
y
a
x
b
=
−
+
的图象如图所示，那么a 的取值范围是
（ ）
A．
1
a
B．
1
a
C．
0
a
D．<0
a
3．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）一次函数
3
y
kx
=
+ ，若y 随着x 的增大而增大，请写出一个符合条
件的k 值______．
4．（25-26 八年级下·江西上饶·期末）若一次函数
(
)
2
3
y
k
x
=
+
−的函数值y 随自变量x 的增大而减小，则
实数k 的取值范围是___________．
5．（2022·四川自贡·三模）已知一次函数y
kx
k
=
+
，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过第
_________象限．
6．（25-26 八年级下·河北衡水·阶段检测）一次函数
1
1
y
k x
b
=
+
，
2
2
y
k x
b
=
+ 与
3
3
y
k x
b
=
+
的图象如图所
示，
1k ，
2k ，
3k 的大小关系是____________（用“”连接）
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7．（2021 九年级上·甘肃天水·竞赛）已知函数
(
)
(
)
2
2(
0)
1
1
0
2
x
x
y
a
x
a
x
+
=
−
+
−
的值随x 的增大而增大，则a 的
取值范围为 _____．
8．（24-25 八年级下·四川南充·期中）已知一次函数
(
)
1
2
y
k
x
=
+
+
，当1
3
x
−
时，y 有最大值5，则
k =_______．
9．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）已知一次函数
2
y
x
b
= −
+
，当
2
m
x
m
+
时，
0
a
y
，则a
的值为______．
10．（25-26 八年级下·上海·期末）已知一次函数
(
)
9
3
8
y
m x
n
=
+
+
−，
(1)m 为何值时，y 随x 的增大而减小？
(2)m，n 为何值时，函数图像与y 轴交点在x 轴的上方？
重难点三、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
已知函数增减性，反向推导自变量变化：k>0，函数值变大则自变量增大，
函数值变小则自变量减小；k<0 规律相反，函数值变大对应自变量减小。无需代入数值计
算，直接依靠k 正负对应的增减规律判断，快速得出自变量增减变化。
1．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）若一次函数y
kx
b
=
+
（k 、b 为常数，且
0
k
）的图象经过点
(
)
1,2
−
，则关于x 的不等式
2
kx
b
+
的解集为（ ）
A．
1
x −
B．
1
x
−
C．
2
x
D．
2
x
2．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）已知关于x 的一次函数
1y
mx
n
=
+ 和
2y
ax
b
=
+ 的图象如图所示，下
列结论错误的是（ ）
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A．
0
ab
B．a
b
m
n
+
+
C．(
)
2 a
m
b
n
−
=
−
D．点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
是直线
2y
ax
b
=
+ 上不重合的两点，则(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）已知(
) (
) (
)
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
x y
x
y
x
y
为直线
2
1
y
x
= −
+ 上的三个点，且
1
2
3
y
y
y
，则以下判断正确的是（ ）
A．若
1
3
0
y y
，则
1
2
0
x x
B．若
1
2
0
y y
，则
2
3
0
x x
C．若
2
3
0
y y
，则
1 3
0
x x
D．若
2
3
0
y y
，则
1
2
0
x x
4．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）已知点(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
在一次函数
(
)
0
y
x
b b
= −+
的图象上，且
1
2
y
y
，则
1x __________
2x （填“”或“”）．
5．（25-26 八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数
4
7
y
x
=
+
，当
2
x
时，则函数值y 的取值范围是
_______
6．（25-26 八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图像如图所示，且经过点
(
)
2,1
P
，那么当x ________时，
1
y ．
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7．（25-26 八年级下·河北保定·期末）已知一次函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
−
+ −
的图象不经过第三象限，且m 为
正整数．
(1)求m 的值；
(2)画出该一次函数的图象；
(3)当4
0
y
−
时，根据函数图象，求x 的取值范围，
8．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）已知关于x 的函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
+
+ −
，
(1) m 为何值时，函数的图象经过坐标原点；
(2)若函数图象经过第一、二、三象限，求m 的取值范围；
(3)若
4
m = −，当1
2
x
−
时，请直接写出y 的取值范围．
9．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数
2
4
y
x
=
+
，完成下列问题：
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(1)其图象与x 轴交点A的坐标为（________）、与y 轴交点B 的坐标为（________）；
(2)画出该函数的图象，并根据图象回答：
①当x _________时，
0
y
；
②当
1
x
−
时，y 的取值范围为_________；
③当3
0
x
−
时，y 的取值范围_________．
10．（25-26 八年级下·吉林长春·期中）对于一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，我们称函数
(
)
(
)
m
kx
b x
m
y
kx
b x
m
−
−
=
+
为它的m 阶明珠函数（其中m 为常数），例如，当
2
m =
时，正比例函数y
x
=
的2 阶明珠函数为
(
)
(
)
2
2
2
x x
y
x x
−
=
．
(1)点
(
)
1
M
t
−，
在一次函数
4
2
y
x−
=
的1 阶明珠函数的图象上，求t 的值；
(2)点
(
)
3
N a，在正比例函数
1
2
y
x
=
的-1 阶明珠函数的图象上，求a 的值；
(3)已知一次函数
4
y
x−
=
．
①当2
10
x
−
时，直接写出这个一次函数的2 阶明珠函数的函数值y 的取值范围；
②当1
x
n
−
时，若这个一次函数的2 阶明珠函数的函数值y 的取值范围是2
5
y
−
，则直接写出字母
n 的取值范围．
11．（25-26 八年级上·山东济南·期中）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，
并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数
2
(
1)
3
y
x
=
−
−
的图象与性质进行探究，并
解决相关问题．
(1)下表是y 与x 的几组对应值，则表格中m = ____________；
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x
…
2
−
1
−
0
1
2
3
4
…
y
…
0
1
−
2
−
m
2
−
1
−
0
…
(2)在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各对对应值为坐标的点；根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)结合函数图象，解决问题：
①方程
2
(
1)
3
1
x −
−
= 有____________个解；
②当1
4
x
−
时，y 的取值范围是____________；
(4)进一步研究：若点
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
是函数
2
(
)
3
y
x
t
=
−
−图象上的任意两点，若对于
1
2
1
2,2
3
x
x
，都有
1
2
y
y
，则t 的取值范围是____________．
重难点四、比较一次函数值的大小
两种解题方法：一是代入自变量算出函数值直接对比；二是利用增减性快速
判断，k>0 时自变量越大函数值越大，k<0 时自变量越大函数值越小。自变量数值差距大
时优先用增减性判断，省去计算步骤；含参数题型结合参数范围确定k 正负后再比较。
1．（25-26 八年级下·山东日照·期末）若点
(
)
1
1,
A
y
−
和点
(
)
2
2,
B
y
，在函数
(
)
2
1
5
y
a
x−
=
+
（a 为任意实
数）的图像上，则
1y ，
2y 的大小关系为（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
=
C．
1
2
y
y
D．不能比较
2．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）已知点
(
)
1
7,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
都在直线
4
8
5
y
x
= −
+ 上，则
1y 与
2y 的
大小关系是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
=
D．
1
2
y
y
3．（25-26 八年级下·河南洛阳·期末）已知点(
)
1
5, y
−
，(
)
2
1, y
都在直线
2
3
y
x
b
= −
+
上，则
1y ，
2y ，b 的
大小关系是（ ）
A．
2
1
y
b
y
B．
2
1
y
y
b
C．
1
2
y
b
y
D．
2
1
b
y
y
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4．（25-26 八年级下·河南郑州·期末）已知
max
,a b 定义为：
(
)
(
)
max
,
a a
b
a b
b a
b
=
．例如
max 2,3
3
=
，若关于x 的函数
max
5,
1
y
x
x
=
−+
+
，则y 的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）已知(
) (
) (
)
1
2
3
1,
,
2,
, 3,
y
y
y
−
−
是直线
(
)
y
kx
b k
b
=
+
−
(
)
0
k
上的三个
点，当
1
2
y
y
时，
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系为（ ）
A．
3
1
2
y
y
y
B．
1
3
2
y
y
y
C．
1
2
3
y
y
y
D．无法确定
6．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）已知(
)
1
1, y
−
，(
)
2
2, y
−
，(
)
3
13, y
是直线y
x
b
−
=
+
（b 为常数）上的
三个点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若
1
2
0
y y
，则
1
3
0
y y
B．若
1
2
0
y y
，则
1
3
0
y y
C．若
1
2
0
y y
，则
2
3
0
y y
D．若
1
2
0
y y
，则
2
3
0
y y
7．（25-26 八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知
(
)
1
1,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
两
点在直线
3
y
x
b
=
−
上，则
1y 与
2y 大小关系是________．
8．（25-26 八年级下·北京大兴·期末）若点
(
)
1
2,
M
y
−
，
(
)
2
1,
N
y
在一次函数
2
1
y
x
= −
+ 的图象上，则
1y 与
2y 的大小关系是
1y ________
2y （填“”“ = ”或“”）．
9．（25-26 八年级下·四川达州·阶段检测）已知
1
2
2
5,
2
3
y
x
y
x
=
−
= −
+ ，如果
1
2
y
y
，则x 的取值范围是
___________．
10．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数
1
2
y
kx
k
=
+ −
，
2y
x
b
=
+
（
0
k
，k，b 为常数）的
图象分别记为1l ，2l ，当
1
x = 时，
1
2
y
y
=
．
(1)求b 的值；
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(2)若点
( , )
A m p 在1l 上，点
( , )
B n q 在2l 上．
①当n
m
=
时，若
1
k ，
1
m ，比较p、q 大小，并说明理由；
②当
2
n
m
=
+ 时，p
q
=
．若k，m 都为整数，求q 的最大值．
重难点五、一次函数的规律探究问题
先代入前几组自变量，算出对应函数值，列出坐标序列。横向观察坐标数字
变化，拆分等差、循环类规律，用含n 的代数式总结通用坐标或函数式。总结规律后代入
已知点验证，确认规律成立，再利用推导的通用式子求解目标项，分步梳理避免规律找
错。
1．（25-26 八年级上·广东茂名·阶段检测）将正方形
1
1
1
A B C O ，
2
2
2
1
A B C C ，
3
3
3
2
A B C C 按如图所示方式放
置，点
1A ，
2
A ，
3A ……和点
1
C ，
2
C ，
3
C ，……分别在直线
1
y
x
=
+ 和x 轴上，则
2025
B
的坐标是______．
2．（23-24 八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线
1
l
y
x
=
−
：
与x 轴交于点
1A ，以
1
OA 为一边作正方形
1
1
1
OA BC ，使得点
1
C 在y 轴正半轴上，延长
1
1
C B 交直线于点
2
A ，按同样方法依次作正
方形
1
2
2
2
C A B C 、正方形
2
3
3
3
C A B C
、、正方形
1
n
n
n
n
C
A B C
−
．使得点
1
2
3
n
A
A
A
A
、、、、
均在直线l 上，点
1
2
3
n
C
C
C
C
、
、
、、
在y 轴正半轴上，则点
2024
A
的纵坐标是___________．
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3．（22-23 八年级下·四川广安·阶段检测）正方形
1
1
1
2
2
2
1
3
3
3
2
A BC O A B C C A B C C
,
,
,…按如图所示的方式放置，
点
1
2
3
A A A
,
,
和点
1
2
3
C C C
,
,
分别在直线
(
)
0
y
kx
b k
=
+
和x 轴上，已知点
(
)
(
)
1
2
1,1 ,
3,2
B
B
，则
2023
B
的坐
标是___．
4．（24-25 八年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，点
1A 的坐标为(
)
1,0 ，过点
1A 作x 轴的垂线交直线
:
3
l y
x
=
于点
1
B ，以原点O 为圆心，
1
OB 的长为半径画弧交x 轴正半轴于点
2
A ；再过点
2
A 作x 轴的垂线
交直线l 于点
2
B ，以原点O 为圆心，以
2
OB 的长为半径画弧交x 轴正半轴于点
3A ；…，按此作法进行下
去，则
2018
B
的横坐标是______．
5．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线l 的函数表达式为
1
y
x−
=
，在直线l 上顺次取点
(
)
1 2,1
A
，
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(
)
2 3,2
A
，
(
)
3 4,3
A
，
(
)
4 5,4
A
，…，
(
)
1,
n
A
n
n
+
，构成形如“
”的图形的阴影部分面积分别表示为
1S ，
2
S ，
3
S ，…，
n
S ，则
2026
S
=______．
6．（2026·山东济宁·二模）如图，直线
3
3
2
y
x
−
=
+ 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，一动点从点
(
)
1 0,2
M
出发，沿平行于x 轴的直线运动，到达直线AB 上的点
2
M 处，再沿平行于y 轴的直线运动，到达
直线OA上的点
3
M 处，再沿平行于AB 的直线运动，到达直线OB 上的点
4
M 处，再沿平行于x 轴的直线
运动，到达直线AB 上的点
5
M 处……如此运动下去，则点
2026
M
的坐标为______．
7．（2026·山东济宁·二模）正方形
1
1
2
1
N M M Q ，
2
2
3
2
N M M Q ，
3
3
4
3
N M M Q 按如图所示的方式放置，点
1
N ，
2
N ，
3
N 和点
1
M ，
2
M ，
3
M ，
4
M 分别在直线y
kx
=
（
0
k ）和x 轴上，已知点
(
)
1 3,2
Q
，点
2026
Q
的坐标是________．
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8．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，直线1
1
:
1
2
l
y
x
= −
+ 与直线
2
3
:
3
2
l
y
x
−
=
+ 分别交y 轴于点A，B．以AB 为直角边在其左侧作Rt ABC
，且另一直角边满足
1
2
BC
AB
=
，过点C 作
1
1
A B
AB
分别交直线1l 与2l 于点
1
1
A
B
，
；以
1
1
A B 为直角边在其左侧作
1
1
1
Rt A BC
，
且另一直角边满足
1
1
1
1
1
2
BC
A B
=
，过点
1
C 作
2
2
1
1
A B
A B
分别交直线1l 与2l 于点
2
2
A
B
，
；以
2
2
A B 为直角边在
其左侧作
2
2
2
Rt A B C
，且另一直角边满足
2
2
2
2
1
2
B C
A B
=
照此规律进行下去，则
2026
2026
2026
A
B
C
的面积为
_____ ．
