第 5 讲 经典不等式
1. 绝对值不等式
(1) |)a|−)b|)≤|a±b)≤|a)+|b) .
(2) |a1+a2+a3+⋯+an)≤|a1)+|a2)+|a3)+⋯+|an) .
2. 排序不等式
设有两个有序组 a1≤a2≤⋯≤an,b1≤b2≤⋯≤bn ,
则 a1bn+a2bn−1+⋯+anb1 ( 反序和) ≤a1b j1+a2b j2+⋯+anb jn
( 乱序和)
≤a1b1+a2b2+⋯+anbn (顺序和),
即反序和 ≤ 乱序和 ≤ 顺序和,其中 j1, j2,⋯, jn 是 1,2,3,⋯,n 的任一排
列,
当且仅当 a1=a2=⋯=an 或 b1=b2=⋯=bn 时等号成立.
3. 伯努利不等式
若 x>−1,n≥1 ,则 (1+ x)
n≥1+nx .
4. 当 x∈R 时, e
x≥x +1 ; 当 x>−1 时, ln (x +1)≤x .
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【例 1】设 f (x)= x
2+ax +b ,若对任意的 a,b∈R ,总存在 x∈[0,4) 使得
|f (x))≥m 成立，则实数 m 的取值范围是( )
A. (−∞, 1
2)
B. (−∞,1] C. (−∞,2] D. (−∞,4 ]
【分析】利用绝对值不等式的性质,构造 f (0),f (2),f (4) 解决问题.
记 |f (x))max = M (a,b) ,则 m 小于等于 M (a,b) 的最小值.
由题意得 {
M (a,b)≥|f (0))=|b),
M (a,b)≥|f (2))=|4 +2a+b),
M (a,b)≥|f (4))=|16+ 4 a+b).)
因为 |f (0)+ f (4)−2f (2))=|b+(16+ 4 a+b)−2(4+2a+b))=8 ,
所以 |f (0)+ f (4)−2f (2))≤|f (0))+2|f (2))+|f (4))≤4 M (a,b) ,
故 M (a,b)≥2 ,当 a=−4 ,b=2 时取等号,
所以 M (a,b) 的最小值为 2,故 m≤2 .
【解答】C
【例 2 】已知实数 x , y , z 满足不等式 |x−2 y)+|y −2 x)≤1 和
|x + z)+|x−z)≤1 , 则 x
2+ y
2+ z
2 的最大值 ( )
A. 大于 1
3 B. 小于 2
3 C. 大于 1 D. 小于 3
4 E. 大于
3
5 F. 小于 4
5
【分析】利用绝对值不等式的性质,先得到 z 的取值范围.
由 |x−2 y)+|y −2 x)≤1 得 {
|x + y)≤1,
|x−y)≤1
3 ,)
由 |x + z)+|x−z)≤1 得 {
|x)≤1
2 ,
|z)≤1
2 ,)
所以 x
2+ y
2+ z
2=|x + y)
2+|x−y)
2
2
+|z)
2≤
1+ 1
9
2
+ 1
4 = 29
36
,当 x = 1
3 , y = 2
3 , z = 1
2
时取等号.
所以 x
2+ y
2+ z
2 的最大值为 29
36 .
【解答】AE
【例 3】已知对任意 x1, x2,⋯, x2016∈[0,4) ,方程 ∑
i=1
2016
|x−xi)=2016a 在区
间 [0,4) 上至少有一个根,则 a 等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 前三个答案都不对
【分析】利用多元绝对值不等式性质, 注意到不等式的个数是偶数, 可以完
美配对.
设 f (x)=∑
i=1
2016
|x−xi) ,
由题意知 f (x)min≤2016a≤f (x)max 对任意 x1, x2,⋯, x2016∈[0,4) 恒成立,
不妨设 x1≤x2≤⋯≤x2016∈[0,4) ,
一
方
面
,
f (x)=∑
i=1
2016
|x−xi)=|x−x1)+|x−x2)+⋯+|x−x1008)+|x1009−x)+⋯+|x2016−x)
≥|(x−x1)+(x−x2)+⋯+(x−x1008)+(x1009−x)+⋯+(x2016−x))
=|x2016+ x2015+⋯+ x1009−x1008−⋯−x1).
因此, f (x)min=|x2016+ x2015+⋯+ x1009−x1008−⋯−x1)≤1008×4 = 4032 ,
所以 2016a≥4032 ,即 a≥2 .
另
一
方
面
,
f (x)max =max {f (0),f (4)}=max{|x1)+|x2)+⋯+|x2016),|4−x1)+∣4−)x2|+⋯+)4−x2016|},
因此 {
f (x)max≥|x1)+|x2)+⋯+|x2016),
f (x)max≥|4−x1)+|4−x2)+⋯+|4−x2016),)
于是有 2f (x)max≥(|x1)+|4−x1))+(|x2)+|4−x2))+⋯+(|x2016)+|4−x2016))= 4 X
2016,
即 [f (x)max)min=2×2016 ,所以 2016a≤4032 ,即 a≤2 ,
综上所述,当 a=2 时,方程 ∑
i=1
2016
|x−xi)=2016a 在区间 [0,4) 上至少有一个
根.
【解答】B
【例 4】证明切比雪夫不等式:
若 a1≤a2≤⋯≤an,b1≤b2≤⋯≤bn ,则 a1b1+a2b2+⋯+anbn
n
≥a1+a2+⋯+an
n
.
b1+b2+⋯+bn
n
【分析】根据不等式两边的结构特征, 左边是两两乘积的和, 右边也可以组
成两两乘积的和，利用排序不等式可以构造出 n 个乱序结构，观察其代数关
系.
【解答】由题设和排序不等式得,
a1b1+a2b2+⋯+anbn=a1b1+a2b2+⋯+anbn,
a1b1+a2b2+⋯+anbn≥a1b2+a2b3+⋯+anb1,
......
a1b1+a2b2+⋯+anbn≥a1bn+a2b1+⋯+anbn−1,
将以上 n 个式子相加，再将式子两边同时除以 n
2 得,
a1b1+a2b2+⋯+anbn
n
≥a1+a2+⋯+an
n
⋅b1+b2+⋯+bn
n
.
评注:切比雪夫不等式是非常重要的不等式，它在证明一些和积转化的不等
式时有着广泛的应用.
【例 5】已知 a,b,c 是三角形的三边长,且 a
k +b
k =c
k ,求证: k <0 或 k >1
.
【分析】利用单调性和不等式的性质解决问题.
【解答】因为 a
k +b
k =c
k ,所以 (
a
c)
k
+(
b
c)
k
=1 ,所以 (
a
c)
k
<1 且 (
b
c)
k
<1 ,
显然 a
c ≠1, b
c ≠1 .
(1) 若 c 不是最大边,则 a
c , b
c 至少有一个大于 1，
因为 (
a
c)
k
<1 且 (
b
c)
k
<1 ，所以 a
c >1 ， b
c >1 ，且 k <0 .
(2) 若 c 是最大边,则 a
c ∈(0,1) ， b
c ∈(0,1) ，所以 f (x)=(
a
c)
x
+(
b
c)
x
为减函数， 而 f (1)= a
c + b
c = a+b
c
>1= f (k ) ,所以 k >1 , 综上可得 k <0 或 k >1
.
【例 6】已知 n 是正整数,求证: 当 x ≤n 时, n−n(1−x
n)
n
e
x≤x
2 .
【分析】本题可以考虑伯努利不等式, 从而达到优化证明的效果.
【解答】(1) 当 x
2≥n 时,不等式 n−n(1−x
n)
n
e
x≤n≤x
2 显然成立.
(3) 当 x
2<n 时， x
2
n
2 < 1
n ≤1 ，所以由常见不等式得 ln(1+ x
n)≤x
n
，
故 e
x
n ≥1+ x
n
,所以 e
x≥(1+ x
n)
n ,
所以 (1−x
n)
n
⋅e
x≥(1−x
n)
n
⋅(1+ x
n)
n
=(1−x
2
n
2)
n
.
因为 −x
2
n
2 >−1 ,由伯努利不等式可得 (1−x
2
n
2)
n
≥1−x
2
n
,
所以 n−n(1−x
n)
n
e
x≤n−n(1−x
2
n
2)
n
≤n−n(1−x
2
n )= x
2 ,
综上可得 n−n(1−x
n)
n
e
x≤x
2 .
