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专题01 数列的概念
教学目标
1．理解数列的定义，明确项、首项的概念，能准确识别数列的各项；
2．掌握数列的分类标准，熟知数列的一般形式和常见表示方法；
3．理解数列通项公式的含义，能结合公式写出数列的指定项；
4．认识数列与函数的关系，能根据定义判断数列的单调性类型。
教学重难点
重点：
数列的定义、项与首项的概念，数列的分类及常见表示方法；
数列通项公式的含义，数列与函数的内在联系及单调性判断。
难点：
理解数列是特殊的离散型函数，区分数列与一般函数的不同；
理解通项公式与数列项、序号的对应关系，灵活判断数列单调性。
知识点01 数列的概念
（1）定义:按照确定的________排列的一列数称为数列．
（2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1 项,常用符号
表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项,用
表示,……,第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项,
用
表示．其中第1 项也叫做________．
【即学即练】
1．以下三个结论中正确的个数为（ ）
①
是数列；②
不是数列；③数列的通项公式是唯一的.
A．
B．
C．
D．
2．下面四个结论正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列的图像是一系列孤立的点
C．数列1，2，3，4 和数列1，3，4，2 是相同的数列
D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）（多选）上的函数
知识点02 数列的分类及表示方法
（1）分类:
若数列的项数________，则该数列为有穷数列；若数列的项数________，则该数列为无穷数列
（2）一般形式:数列的一般形式是
简记为
．其他方法:解析式法、表格法、图象法．
【即学即练】
3．（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列通项公式的表达式不是唯一的
C．数列1，3，5，7 可表示为
D．数列1，3，5，7 与数列7，5，3，1 不是同一数列
4．已知下列数列：
（1）0，0，0，0，0，0；
（2）0，－1，2，－3，4，－5，…；
（3）
，…；
（4）1，0.2，
，
，…；
（5）0，－1，0，…，
，…．
其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，
摆动数列是 ．（填序号）
知识点03 数列的通项公式
如果数列
的第n 项
与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数
列的通项公式．
【即学即练】
5．已知数列
，则该数列的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设
，数列
的通项公式为
.若
是严格减数列，则
的取值范围是 .
知识点04 数列与函数
（1）数列与函数的区别和联系：
数列是________函数，自变量是________，定义域是正整数集及其子集，图象是一些________的点；
函数多是________，自变量是________，图象(除有间断点的)一般为________的曲线．
（2）数列的单调性
与函数的单调性类似,项数n 相当于自变量x,项
相当于函数值
．
类别
含义
递增数
列
从第2 项起,每一项都________它的前一项的数
列
递减数
列
从第2 项起,每一项都________它的前一项的数
列
常数列
各项都________的数列
【即学即练】
7．已知数列
是严格递增数列，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
是正整数，
，在数列
中，“
且
”是“
是数列
的最大项”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型01 数列的概念与辨析
【例1】现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【例2】下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（多选）下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列
与数列
是同一数列
B．数列
是递减数列
C．数列
的一个通项公式是
D．数列
的通项公式为
，则110 是该数列的第11 项
【变式1-2】下列说法：①数列1，0，－1，－2 与－2，－1，0，1 是相同数列；②数列1，3，5，7 可表
示为
；③数列0，1，2，3，…的一个通项公式为
；④数列0，1，0，1，…是常数列；⑤数
列
是严格增数列，其中正确的是 ．（填编号）
【变式1-3】指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？
(1)2011，2015，2019，2023；
(2)0，
，
，…，
，…；
(3)1，
，
，…，
，…；
(4)1，
，
，…，
，….
数列及其分类的判定方法：
（1）判断所给的对象是否为数列,关键看它们是不是按一定次序排列的数.
（2）判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需看数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷
数列,否则为无穷数列.
题型02 求数列中的某项
【例3】数列
的第8 项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的
形状把数分成许多类，如图中的
称为三角形数，该数列与一般等差数列不同，前后两项之差
并不相等，而是逐项之差或者高次差相等．我们把这类数列叫作高阶等差数列（三角形数是二阶等差数
列）.现有一个高阶等差数列，其前5 项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第7 项为（ ）
A．82
B．84
C．86
D．88
【变式2-1】某种规律排列的一列数：
那么第50 个数是 .
【变式2-2】如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜
边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2 倍，则第10 个图形的面积为（ ）
A．1023
B．1024
C．2047
D．2048
【变式2-3】将
个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从2008 到2010 的箭头方向依次为（ ）
A．
B．
C．
D．
主要靠观察规律、联想常见的数列等方法.这些方法的具体对象为:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的
变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母
各个击破,或寻找分子、分母之间的关系.
题型03 由通项公式确定某项
【例5】已知数列
的通项公式为
，则下列各式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】已知数列
的通项公式为
.
(1)求数列的前三项，60 是此数列的第几项；
(2)n 为何值时，
.
【变式3-1】已知数列
的通项公式为
，则
是该数列的第 项．
【变式3-2】已知数列
的通项公式为
，则下列各数不是数列
的项的是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．80
【变式3-3】根据数列
的通项公式，写出它的前5 项及第
项：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
（1）由通项公式写出数列的指定项,主要是对
进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析
式和自变量的值求函数值.
（2）判断一个数是否为该数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根
便可确定这个数是否为数列中的项.
题型04 根据数列的前几项求数列的通项公式
【例7】数列
的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第项的图形和点数.
(1)
(2)
(3)
【变式4-1】（多选）已知数列
，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是
B．是它的第
项
C．此数列的通项公式是
D．是它的第
项
【变式4-2】观察以下各数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式：
(1)2，4，______，8，10，12；
(2)2，4，______，16，32，______，128，______；
(3)______，4，3，2，1，______，
，______；
(4)______，4，9，16，25，______，49.
【变式4-3】如图，直线
与
相交于点
，又直线与
轴交于点
，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，过点
作
轴的垂线交直线于点
，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，…，这样一直作下去，可得到一系列点
，…，设点
的横坐标构成数
列
，则
= ，数列
的通项公式为 ．
题型05 数列的单调性
【例9】已知数列
的通项公式为
，则数列
为（ ）
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
【例10】数列
的通项公式为
，
．求证：
为递增数列．
【变式5-1】已知数列
的通项公式为
，则数列
的最小项是 ．
【变式5-2】已知数列
的通项公式为
，它的前
项中最小项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】已知数列
的通项公式为
，求该数列的最大项．
判断数列的单调性,则需要从第2 项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足
,则是递增数列;
若满足
,则是递减数列;若满足
,则是常数列;若
与
的大小不确定时,则是摆动数列.
题型06 数列单调性求参数
【例11】已知数列
是单调递增数列，
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】已知数列
的通项公式为
，若
是递增数列，则实数
的取值范围是 .
【变式6-1】设数列
的通项公式为
，若数列
是单调递减数列，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】已知数列
满足
，若对于任意的
都有
成立，则正整数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知数列
满足
，若对于任意
都有
，则实数
的取值范围是 .
一、单选题
1．已知数列
，则
是它的（ ）
A．第9 项
B．第10 项
C．第13 项
D．第12 项
2．已知数列
的通项公式为
，则数列
为（ ）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
3．已知数列的通项公式
，则数列
的最大值是（ ）
A．3
B．2
C．
D．
4．已知数列
的通项公式为
，则下列各数是数列
的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知数列
的通项公式为
，且
和
是
中的两项，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知数列
的通项公式为
，若
是
中唯一的最小项，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．下列数列
的通项公式中，是递增数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知数列
的通项公式为
，则（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
、
，
，
三、填空题
9．数列，
，，
，
，…中，按此规律，
是数列的第 项．
10．已知数列
中，
，且
，则
.
四、解答题
11．下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
①2012，2014，2016，2018，2020，2022；
②
；
③
；
④9，9，9，9，9，9．
12．已知数列
的通项公式为
．
(1)问
是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由；
(2)判断数列
的增减性并证明．
13．已知数列
的通项公式是
.
(1)若
，当
为何值时，
有最小值？给出结论并求出最小值．
(2)对于任意
，都有
，求实数k 的取值范围．
