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专题03 方程组的解集
题型一：不含参二元一次方程组
题型二：含参二元一次方程组
题型三：三元一次方程组
题型四：二元二次方程组的解（二次幂+一次幂）
题型五：二元二次方程组的解（二次幂+二次幂）
题型六：根据解集求参数
题型七：方程组在实际问题中的应用
题型一：不含参二元一次方程组
1．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用代入消元法解方程组即可．
【详解】解：
，
把①代入②，得
，解得
．
把
代入①，解得
，
所以，原方程组的解是
．
2．解方程组：
．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
根据加减消元法计算即可．
【详解】解：
，得
．
解得：
，
把
代入①，得
，
解得：
，
所以这个方程组的解是
．
3．解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得：
，解得
，
把
代入①得：
，解得
，
∴原方程组的解为
．
4．解方程组
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键．
直接运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
，
可得：
，解得：
，
将
代入①可得：
，解得：
．
所以该不等式组的解集为：
．
5．解方程组：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)方程组的解为
(2)方程组的解为
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法；
（1）把①代入②得：求解
，再求解
即可；
（2）
得：可得
，再求解
即可；
【详解】（1）解：
，
把①代入②得：
，
解得：
，
∴
，
故方程组的解为
；
（2）
，
得：
，
解得：
，
把
代入①得：
，
解得：
，
故方程组的解为
．
题型二：含参二元一次方程组
6．若关于
的方程组
的解，也是方程
的解，则
．
【答案】
/0.5
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，解一元一次方程，掌
握二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键．利用加减
消元法解方程组，可得
，把
分别代入方程
，得出关于k 的一元一
次方程，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解：
，
①
②，得
，
解得：
，
把
代入①，得
，
解得：
，
∵关于x，y 的方程组的解，
∴
，
∴
，
解得：
．
故答案为：
．
7．若关于
，
的二元一次方程组
的解也是二元一次方程
的解，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，正确解二元一次方程组是解题的关
键；先解方程组
，再根据题意将方程组的解代入方程
中即可求出
的值．
【详解】解：解方程组
，得
，
根据题意把
代入方程
中，得
，
解得
，
故答案为：
．
8．当正整数
时，关于
的方程组
有正整数解．
【答案】1 或2/2 或1
【分析】本题考查的是二元一次方程组的正整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法”是解本题的关
键．
利用代入消元法先消去未知数x，求解y，再根据m 为正整数，x 是正整数可得m 的值，再进行检验即可．
【详解】解：
把②代入①得：
解得：
为正整数，m 为正整数，
或
，
此时
也为整数，
故答案为：1 或2．
9．如果关于
的二元一次方程组
的解
满足
，那么
的值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到
，再由题意可得
，则
，解方程即可得到答案．
【详解】解：依题意，
得：
，
∵关于
的二元一次方程组
的解
满足
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：5．
10．若关于x，y 的二元一次方程组
的解x，y 互为相反数，则m 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数，根据方程组的解x，y 互为相反数，得到
，代入方
程组转化为
的二元一次方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
，
∴原方程组化为：
，即：
，
∴
，
∴
；
故答案为：3．
11．已知关于
，
的二元一次方程组
的解满足
，求
的值．
【答案】
【分析】本题考查了利用加减消元法求代数式的值，掌握利用加减消元法整体求值的思路是解题的关键．
将两个方程相加，整理得
，再结合题中条件求
的值．
【详解】解：将两方程相加得
，
整理得
，
由题知
，
，
解得
．
题型三：三元一次方程组
12．已知
则
的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】利用整体思想，把三个方程相加，得
，解得
，解答即可．
本题考查了三元一次方程组的整体解法，熟练掌握解法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，把三个方程相加，得
，
解得
．
故选：B．
13．解方程组
如果消去未知数
，那么应对方程组进行的变形步骤为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数
的特征
，
即可得解．
【详解】解：
，
得：
，
得：
，
方程组变形为
，刚好消去
，
故选：C．
14．解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握把“三元”转化为“二元”、把“二元”
转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单
问题的思想方法，从而得出答案．由
得
，进而再利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
，
得：
，
整理得：
④，
得：
，
得：
，
得：
，
∴方程组的解为
．
15．解方程组：
．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程的解法，对于三个方程的系数都相等的三元一次方程组，可以先将这三
个方程相加，用化简后的方程分别减去原方程组中的三个方程即可求解．把这三个方程相加后，分别减去
每一个方程则可求解．
【详解】解：
，得
，
∴
，④
，得
，
，得
，
，得
，
∴原方程组的解为
．
16．解方程组：
．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消
元法．
得出
，
得出
，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把
，
代入③求出y 即可．
【详解】解：
，
得：
，
得：
，
由④和⑤组成方程组：
，
两式相加得：
，解得：
，
将
代入④解得
，
把
，
代入③得：
，
解得：
，
即方程组的解是
．
题型四：二元二次方程组的解（二次幂+一次幂）
17．解方程组：
【答案】
，
【分析】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得
到新的方程组，也可以利用代入消元法进行求解．
先将第一个二元二次方程因式方程成两个二元一次方程，再根第二个方程组成两个新的方程组求解即可．
【详解】解：
由①得，
，
∴
或
，
∴原方程组可化为
或
，
分别解得：
或
，
∴原方程组的解为
，
．
18．解方程组：
【答案】：
，
【分析】本题考查了解二元二次方程组，掌握消元的方法是解题的关键．
先将②式进行因式分解为两个二元一次方程，再与①式组合成两个新的方程组，分别求解即可．
【详解】解：
，
由②得：
，
∴
或
，
原方程组可化为：
或
，
分别解得：
或
∴原方程组的解为：
，
．
19．解方程组：
【答案】
，
【分析】本题考查了解二元二次方程组．先利用因式分解，由①得到
或
，再分别与②组
成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组，即可求得原方程组的解．
【详解】解：
，
由①得
，
∴
或
，
把这两个方程与②组成方程组得：
，
，
解得
，
，
故原方程组的解为
，
．
20．解方程组：
．
【答案】
或
【分析】本题考查了解二元二次方程，将原方程变形为
或
，分别求解即可，正确变形
是解此题的关键．
【详解】解：∵
，
∴
或
，
解
可得
，
解
可得
，
∴方程组的解为
或
．
21．解方程组：
【答案】
或
【分析】本题主要考查的是解二元二次方程组．先将第①个方程变形为
或
，从而得到两
个二元一次方程组，再分别求解即可．
【详解】解：由方程①得
则：
或
，
原方程组可化为
或
，
解这两个二元一次方程组，得
或
，
所以，原方程组的解为
或
．
22．解方程组：
【答案】
或
【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得
，则原方程组为
或
，
分别解二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：
由②得
∴
∴原方程组为
或
解得：
或
题型五：二元二次方程组的解（二次幂+二次幂）
23．把方程组
，化成两个二元二次方程组是 ．
【答案】
，
（答案不唯一）
【分析】可以把①×2 得到③，用③和②组成一个新的二元二次方程组，把②×2 得到④，用①和④组成一个
新的二元二次方程组即可
【详解】解：
用①×2 得：
，②×2 得
，
∴②③组成新方程组为：
；
∴①④组成新的方程组为：
，
故答案为：
，
（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了二元二次方程组，熟知相关知识是解题的关键．
24．解方程组：
．
【答案】
，
，
，
【分析】本题考查了解二元二次方程组，掌握解二元二次方程组的步骤是解题的关键．
先分别将①②两个二元二次方程化为两个二元一次方程，再组合成四个二元一次方程组求解即可．
【详解】解：由①得，
，
∴
或
，
由②得，
，
∴
或
，
∴原方程组可化为：
或
或
或
，
分别解得：
或
或
或
∴原方程组的解为：
，
，
，
．
25．解方程组：
【答案】
或
或
或
【分析】本题考查解二元二次方程组，将每个二次方程因式分解，降次化为两个一次方程是解题的关键．
将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到答案．
【详解】解：
可化为
，
∴
或
，
可化为
，
或
，
原方程组相当于以下四个方程组：
，
，
，
解得①②③④分别得：
，
，
，
，
∴原方程组的解是：
或
或
或
．
26．解方程组：
【答案】
，
【分析】把方程①因式分解得出x 与y 的关系式，分别带入方程②即可解得．
【详解】
由①得
x=-y，x=6y
把x=-y 带入②得
，
整理得
解得
得
把x=6y 带入②得
【点睛】此题考查了求方程组的解，解题的关键是对方程用十字交叉法进行因式分解．
27．解方程组：
【答案】
【分析】根据①可得
或
，分别代入②，解关于
的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
由①得
或
将
代入②得，
解得
将
代入②得，
解得
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键．
题型六：根据解集求参数
28．两位同学在解方程组
时，甲同学正确地解出
，乙同学因把抄错了解得
，则
，
，正确的值应为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关
键，甲的正确解代入原方程组得到关于
的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方
程求解．
【详解】解：将
代入原方程组，
得
，
得
，
将
代入
，
得
，
化简为
，
则
，
解得：
，
综上，
，
，
，
故选：D．
29．已知
是方程
的一个解，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，把
代入
，然后解元一次方
程即可，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵
是方程
的一个解，
∴
解得：
，
故选：
．
30．若方程组
的解也是
的一个解，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组、由二元一次方程的解求参数等知识，先由加减消元法求出方程组
的解，再将解代入
得到关于
的一元一次方程求解即可得到答案，熟练掌握二元一
次方程组的解法、一元一次方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：方程组为
，
由①
②得：
，
则
，解得
；
将
代入①得：
，
解得
；
方程组的解为
，
将
代入
得：
，
解得
，
故选：D．
31．如果方程组
的解与方程组
的解相同，则
的值是（ ）
A．3
B．1
C．7
D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题
意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为
，
，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到
关于
和
的方程组，通过联立方程求解
的值．
【详解】解：由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为
，
，
那么将
，
代入
得到
，
①
②，得
，
化简得：
，
两边同时除以7，得：
．
故选：B．
32．已知
是二元一次方程
的一个解，则
的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做
二元一次方程的解”，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将
代入二元一次方程
可得一个关于
的方程，解方程即可得．
【详解】解：∵
是二元一次方程
的一个解，
∴
，
解得
，
故答案为：4．
33．若
是关于
，
的二元一次方程
的解，则
．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解，把
代入
，进行求解即可．
【详解】解：把
代入
，的：
，
解得：
；
故答案为：
．
题型七：方程组在实际问题中的应用
34．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，
却比竿子短一托（一托按照5 尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比
竿长5 尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5 尺，则绳索长几尺？设竿长x 尺，绳索长y 尺，根据
题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了列二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设竿长
尺，绳索长
尺，根据“索比竿子长一托”可得
；对折绳索后长度为
，此时“比竿子短一托”，即
，由此建立方程组．
【详解】解：∵绳索比竿长5 尺，
即
，对应方程
。
∵对折后的绳索长度为
，比竿短5 尺，
即
，
对应方程
，
联立方程：
，
故选：A
35．《九章算术》中记载：今有上等稻6 捆，其所得谷粒减去18 升和当于下等稻10 捆所得谷粒：下等稻
15 捆，其所得谷粒减去5 升相当于上等稻5 捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等
稻每捆出谷粒
升，下等稻每捆出谷粒
升，则可列出方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意，设上等稻每捆出谷粒x 升，下等稻每捆出谷粒y 升，
通过分析题目中的两个条件，分别建立方程，再与选项匹配即可作答．
【详解】解：∵今有上等稻6 捆，其所得谷粒减去18 升和当于下等稻10 捆所得谷粒：
∴
∵下等稻15 捆，其所得谷粒减去5 升相当于上等稻5 捆所得谷粒．
∴
则可列出方程组为
，
故选：B
36．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一
房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7 人，那么有7 人无房住；如果每一间客房住
9 人，那么就空出一间客房．设该店有客房x 间、房客y 人，下列方程组中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该店有客房
间、房客
人，每间住7 人，多7 人无房
住．此时总人数
等于所有房间住满7 人后再加上7 人，即
；每间住9 人，空出一间客房．此时
实际使用房间数为
间，总人数
等于
，即
，即可求解．
【详解】解：设该店有客房
间、房客
人．
根据题意，得
，
故选：A．
37．如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为
，每个梨的质量为
，可列出方程组
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键
根据题意列出方程组即可求解
【详解】解：设苹果的质量为
，每个梨的质量为
，
根据题意得：
故选：D
38．为丰富同学们的校园生活，某校教务处计划制作一面文化墙，具体工作是在墙上绘制风景和人物（绘
制风景和绘制人物的面积相同）．已知每名同学只负责绘制风景
或绘制人物
，完成文化墙的制作
一共需要7 名同学．若设绘制风景的同学
名，绘制人物的同学
名，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查列二元一次方程组，根据共7 名同学可得
，根据绘制风景和绘制人物的面积相
同，可得
，由此可解．
【详解】解：
共有7 名同学，
，
绘制风景和绘制人物的面积相同，
，
可列方程组为
，
故选A．
39．有一个两位数，设它的十位数字为
，个位数字为
，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数
字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小
．
(1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含
，
的代数式表示）
(2)根据题意，求原来的两位数．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可；
（1）根据数字的表示方法即可求解；
（2）由题意，得
即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为
；新的两位数为
；
故答案为：
；
（2）解：由题意，得
解得
答：原来的两位数为
