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专题07 空间中的距离
题型一：点到平面距离的向量求法
题型二：平行平面距离的向量求法
题型三：点到直线距离的向量求法
题型四：异面直线间距离的向量求法
题型五：空间线段点的存在性问题
题型一：点到平面距离的向量求法
1．已知三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两垂直，且
，
，
.顶点
到平面
的距离是 .
2．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，M、N、P 分别是
、
、
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
3．如图，在棱长为2 的正方体
中，
，
，
分别是棱
，
，
的中点.
(1)证明：
；
(2)求点
到平面
的距离.
4．设正方体
的棱长为2，
，
的中点分别为
，
.
(1)求直线
与
所成角的余弦值；
(2)求点
到面
的距离.
5．如图，在梯形
中，
，
，
，现将
所在平面沿对角线
翻折，
使点
翻折至点
，且成直二面角
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若异面直线
与
所成角的余弦值为
，求平面
与平面
所成角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，求点
到平面
的距离．
题型二：平行平面距离的向量求法
6．正方体
的棱长为2，
，
，
，
分别是棱
，
，
，
的中点，则平面
和平面
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在平行六面体
中，
，
，
，
，
．则
；该平行六面体的体积为 ．
8．已知
是棱长为1 的正方体，则平面
与平面
的距离为 ．
9．在棱长为
的正方体
中，求
(1)直线
与平面
所成的角；
(2)求平面
与平面
的距离；
(3)求三棱锥
外接球的表面积；
10．已知正方体
的棱长为1，求平面
与平面
间的距离．
题型三：点到直线距离的向量求法
11．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点
，且以向量
为方向向量，则
这条直线可以用方程
来表示．已知直线的方程为
，则点
到直线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知空间中的三点
，
，
，则点
到直线AB 的距离为 .
13．已知
平面
，
是直角三角形，且
，
，则点P 到直线BC 的距离是
.
14．已知空间中有三点
，则A 到直线
的距离为 ．
15．空间内有三点
，
，
，则点
到直线
的距离为 ．
16．已知直线过定点
，向量
为其一个方向向量，则点
到直线的距离为
．
题型四：异面直线间距离的向量求法
17．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若
，则直线BD1与CD 之间的距离为 .
18．已知正方体
的棱长为1，
是异面直线AC 与
的公垂线段，点
在AC 上且点
在
上，则
.
19．将边长为2 的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得△ACD 垂直于底面ABC，则异面直线AD 与BC 的距
离为 ．
20．三棱锥
中，
，
，
，
，点M，N 分别在线段
，
上运动.若二面角
的大小为
，则
的最小值为 .
21．已知正方体
的棱长为2，M 为棱
的中点，P，Q 分别为线段
，
上的动点，
则
的最小值为 .
22．在棱长是
的正方体
中，
为
的中点，则异面直线
和
间的距离是
题型五：空间线段点的存在性问题
23．如图，在四棱锥
中，平面
平面
.
是等腰三角形，且
.在梯
形
中，
.
(1)求证:
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值;
(3)棱
上是否存在点
到平面
的距离为
，若存在，求出
的值;若不存在，说明理由.
24．如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，PB 与底面ABCD 所成角为
，底面ABCD 为直角
梯形，
.
(1)求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
(2)求平面PCD 与平面PBA 所成角的余弦值；
(3)N 为AD 中点，线段PC 上是否存在动点M（不包括端点），使得点P 到平面BMN 距离为
.
25．图①是直角梯形
，四边形
是边长为
的菱形，并且
，以
为折痕将
折起，使点
到达
的位置，且
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
?若存在，求出
的位置；若不存在，请
说明理由.
26．如图，在正三棱柱
中，
分别是
的中点.
(1)求点
到平面
的距离.
(2)在线段
上是否存在一点
，使
平面
？若存在，确定点
的位置；若不存在，也请说明理
由.
27．如图，在长方体
中，
，
，
分别是棱
，
，
的
中点.
(1)判断直线
与平面
的位置关系，并证明你的结论；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)在线段
上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离是
，若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
