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专题18 拓展练一：中点弦问题
题型一：求直线方程
题型二：处理存在性问题
题型三：求弦中点的轨迹方程
题型四：确定参数的取值范围
题型五：定值定点问题
题型一：求直线方程
1．设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不重合，交圆
于
、
两点，过
作
的平行线交
于点
．
(1)证明：
为定值，并求出点
的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以
为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由
，得
，进而得
，所以
，根据圆的方程
可得
．设点
的坐标为
，由两点间的距离公式可得
，化
简可得所求方程．
（2）设弦的两端点分别为
，结合条件，利用 “点差法”，即可求解.
【详解】（1）因为
，
，故
，
所以
，故
，
又圆
的标准方程为
，从而
，所以
．
由题设得
，
，
，
设点
，则有
，化简可得
，
又由题意可得点
不能在x 轴上，所以
，则点
的轨迹方程为
.
（2）由（1）知，点
的轨迹方程为
，
由椭圆的对称性知，以
为中点的弦所在直线的斜率存在，
设弦的两端点分别为
，
则
①，
②，
由①
②，可得
，
依题意，
，代入上式，
，
故有
，
故以
为中点的弦所在的直线方程为
，即
.
2．已知椭圆
：
，左右焦点分别为
，
，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，
又P，Q 是
上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q 在第一象限且满足
的面积比
的面积大，求点Q 的横坐标的取值范围；
(2)若线段
的中点坐标为
，求直线
的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，结合三角形的面积公式可得
，再由椭圆的方程代入计算，即
可得到结果；
（2）由点差法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设
，由
，得
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，
解得
，即点Q 的横坐标的取值范围为
；
（2）设
，
，
则
，两式相减作差可得
，
即
，即
，即
，
又
，所以
，
由直线的点斜式可得
，
化简可得
，
所以直线
的方程为
.
3．已知双曲线
．若直线l 与双曲线C 相交于A，B 两点，线段AB 的中点坐标为
，求直
线l 的方程．
【答案】
【分析】利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可.
【详解】设
，
则
，作差可得
，
所以
，
因为线段AB 的中点坐标为
，所以
，
所以
，
所以直线的斜率为
，
所以直线的方程为
，
即
.
4．已知双曲线C：
的左顶点为A，右焦点为
，
，
是
上的两点，线段
的中点为
．当
时，
．
(1)求C 的离心率；
(2)若
，求直线
的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算当
时点
坐标，利用
得出关于
的方程；
（2）利用点差法求直线的方程即可.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则
，
当
时，点
的横坐标为，
代入C 的方程，得
，故
，即
因
，所以
，故
，解得
，
故C 的离心率为
．
（2）由（1）知
，设
，
，
因为P，Q 是C 上的两点，故
，
两式相减得：
，
若
，则直线
的斜率不存在，
由双曲线的对称性可知，此时线段
的中点位于
轴，故不符合题意；
若
，则
，
因为
是线段
的中点，所以
，
，
则
，
所以直线
的方程为
，即
，
经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意，
则直线
的一般式方程为
，
5．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
交于
，
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，根据条件得出
，化简即可.
（2）设直线方程，与抛物线方程联立，得出
和
，再利用中点坐标公式即可求得.
【详解】（1）设
，则由题意可得
，
化简得
，故
的方程为
.
（2）由题意可知，直线
的斜率不为0，
故设直线
，
，
，得
，
则
，
则
，
因线段
的中点坐标为
，
则
，
，
解得
，经检验，满足
，
则直线的方程为
.
6．已知抛物线C：
的焦点为
，且抛物线的焦点到准线的距离为2．
(1)求该抛物线的方程；
(2)在抛物线
上求一点
，使得点
到直线
的距离最短；
(3)过点
的直线与抛物线
交于
两点，且
为
的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由抛物线的性质可得p 的值，即求出抛物线的方程；
（2）设与
平行的直线
：
，代入抛物线的方程求得t 的值，进而求出点
；
（3）设A，B 的坐标，由中点坐标公式，可得A，B 的坐标的关系，结合点差法可得直线l 的方程．
【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故
，
所以
．
（2）设与
平行的直线
：
，
联立
，得
，
由
，得
，∴切线
：
，
此时切线
到直线
的距离最短，
由
，解得
，即
．
（3）设
，
，则
，
由
，得
，
若
，则A、B 关于x 轴对称，
为AB 中点不符合题意；
若
，则
，
所以直线的方程为
，即
，
经检验，满足题意.
7．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
相交于
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得到动点
到
的距离等于到直线
的距离，满足抛物线的定义，根据定
义即可求解；
（2）利用点差法求出直线的斜率即可.
【详解】（1）由题意知根据已知得到动点
到
的距离等于到直线
的距离，
即动点
的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，
所以轨迹
的方程为
.
（2）设
，则
两式相减得
，整理可得
.
因为线段
的中点坐标为
，所以
，
所以直线的斜率
，
故直线的方程为
，即
经检验满足题意.
8．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
相交于
，
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案.
【详解】（1）由题意知动点
到点
的距离等于到直线
的距离，
则动点
的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，
所以
的方程为
.
（2）设
，
，则
，
两式相减得
，整理可得
.
因为线段
的中点坐标为
，所以
，
所以直线的斜率
，
故直线的方程为
，即
.
题型二：处理存在性问题
9．已知双曲线
，经过点
能否作一条直线，使与双曲线交于点
，且点
是线段
的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由.
【答案】不存在，理由见解析
【分析】设存在被点
平分的弦
，且
，则根据点差法及中点坐标公式可求得
，故直线
的方程为
，联立直线方程与双曲线方程，消去
，得
，根据
，即可求解.
【详解】设存在被点
平分的弦
，且
，则
，
两式相减，得
.
又点
为弦
的中点，∴
，
，
.
∴直线
的方程为
，
联立方程组
，消去
，得
，
此时
，所以直线
与双曲线不相交，故被点
平分的弦不存在，即不存在这样的
直线.
10．（1）过点
的直线与椭圆
相交于
两点，若
为线段
的中点，求直线
的方
程．
（2）已知双曲线
，经过点
能否作一条直线，使与双曲线交于
，且点
是线段
的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）不存在这样的直线，理由见解析
【分析】（1）设直线与椭圆的交点为
，代入椭圆方程，利用点差法可求出直线的斜
率，从而可求出直线方程；
（2）设
，代入双曲线方程，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，然
后将直线方程代入双曲线方程检验即可.
【详解】（1）设直线与椭圆的交点为
．
因为
，所以点
在椭圆
内，
为
的中点，
．
又
两点在椭圆上，则
，
两式相减得
，
于是
，
，即
，
故所求直线的方程为
，即
．
（2）设存在被点
平分的弦
，且
，
则
，
，
两式相减，得
，
故直线
．
由
，消去
得
，
．
这说明直线
与双曲线不相交，
故被点
平分的弦不存在，即不存在这样的直线．
11．已知椭圆
：
，不与坐标轴垂直的直线与椭圆
交于
，
两点，记线段
的中点为
．
(1)若
，求直线
的斜率；
(2)记
，探究：是否存在直线，使得
，若存在，写出满足条件的直线的一个方程；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）利用点差法求解即可；
（2）设直线：
，
，
，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后由
可得
，算出点
的坐标，算出线段
的垂直平分线的方程，由其过点
可得
，然后可
算出
，即可得答案.
【详解】（1）
由题意，设
，
，
点
，
均在椭圆
上，
，
，
两式相减，可得
，
根据点
坐标为
，可得
，
，
则
，则
，
即直线
的斜率为
；
（2）假设存在满足题意的直线，由题意知直线的斜率存在且不为
，
故可设直线：
，
，
联立
，消去
得
，
则
，解得
，
则
，
，
则
，
故线段
垂直平分线
方程为：
，
若直线
过点
，则把点
坐标代入以上直线方程得：
，
联立
消去
得
，无解，
故不存在直线，使得
．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
12．已知椭圆
的一个顶点为
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在实数m，使直线
与椭圆有两个不同的交点M、N，并使
，若存在，求出
m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；
（2）首先求线段
的中垂线方程，根据点
在中垂线上，求
，并判断是否满足
.
【详解】（1）椭圆
的一个顶点为
得
椭圆上任一点到两个焦点的距离之和
得
即
所以椭圆的方程为
（2）设直线l 与椭圆C 两个不同的交点
∵
所以，点A 在线段
的中垂线
，下面求
的方程
联立方程
去y，可得
由
，解得
设
的中点为
，有
则
的方程为
即
由于点A 在直线
的中垂线
上，解得
又∵
所以不存在实数m 满足题意．
13．已知双曲线
中，离心率为
，且经过点
．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线
与双曲线左支有两个交点，求
的取值范围；
(3)过点
是否能作直线
与双曲线交于
、
两点，且使得
是
的中点，若存在，求出直线
的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件可得出关于
、
、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数
的不等
式组，即可解得实数
的取值范围；
（3）利用点差法求出直线
的方程，再将直线
的方程与双曲线
的方程联立，计算
，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为双曲线
中，离心率为
，且经过点
，
则
，解得
，所以，双曲线
的方程为
.
（2）解：设直线交双曲线于点
、
，
联立
可得
，
因为直线
与双曲线左支有两个交点，则
，
解得
，故实数
的取值范围是
.
（3）解：若直线
轴，则直线
与双曲线
相切，不合乎题意，
所以，直线
的斜率存在，
设点
、
，因为
为线段
的中点，则
，
将点
、
的坐标代入双曲线的方程可得
，
作差可得
，即
，
即
，所以，直线
的斜率为
，
所以，直线
的方程为
，即
，
联立
可得
，则
，
因此，不存在满足题设条件的直线
.
14．已知动点P 到点
的距离是到直线
的距离的
倍，记动点P 的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)过点
能否作一条直线l，使得l 与
交于B，C 两点，且A 是线段BC 的中点？若存在，求出直线的
方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在过点A 的直线满足条件，理由见解析
【分析】（1）设
，由已知条件列等式求轨迹方程；
（2）假设直线存在，利用点差法解决中点弦问题.
【详解】（1）设
，因为
，所以
，
点P 到直线
的距离
，
由题意知
，即
，
化简，得
，即
的方程为
.
（2）假设存在直线满足条件，设
，
，则
，
，
所以
，即
，
因为A 为线段BC 的中点，所以
，
，即
，
，
所以
，所以
，即l 的斜率为4，
所以直线l 的方程为
，即
.
联立方程，得
，消去y 并整理得
，
，
所以直线l 与
无公共点，这与直线l 与
交于B，C 两点矛盾，
故不存在过点A 的直线满足条件.
题型三：求弦中点的轨迹方程
15．求证：椭圆
中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心.
【答案】证明见解析.
【分析】根据点差法可求出平行弦的中点的轨迹方程为
，显然直线经过椭圆中
心原点.
【详解】设斜率为1 的直线与椭圆交于点
两点，
.
中点坐标为
，所以
，
，
所以
，
，
作差得，
，
即有
，即
，
因为弦的中点在椭圆内部，所以
，
即
，解得
，
故平行弦的中点的轨迹方程为
，
，过原点，
所以椭圆
中斜率为1 的平行弦的中点轨迹过椭圆中心.
16．设椭圆方程为
，过点
的直线交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P 满足
，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．
【答案】
【分析】
设出直线的方程，A，B 的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出
，利用直线方程表
示出
，然后利用
，求得
的坐标，设出P 的坐标
，然后联立方程消去参数
k，求得x 和y 的关系式，即为P 点轨迹方程．
【详解】
直线过点
，设其斜率为k，则的方程为
记
、
，化简得，
，
所以
，
，
于是
设点P 的坐标为
则
，消去参数k 得
③
当k 不存在时，A、B 中点为坐标原点
，也满足方程③，
所以点P 的轨迹方程为
17．已知曲线
上一动点
到两定点
，
的距离之和为
，过点
的直线
与曲
线
相交于点
，
．
(1)求曲线
的方程；
(2)动弦
满足：
，求点
的轨迹方程；
【答案】(1)
(2)
；
【分析】(1)根据椭圆的定义，可以直接写出动点P 的轨迹方程
；
(2)由条件可知M 是线段AB 的中点，按照圆锥曲线中点弦的思路，运用点差法即可求解.
【详解】（1）因为动点
到两定点
，
的距离之和为
，
所以曲线
是以
，
为焦点的椭圆，
，
，
所以
，
，所以曲线
的方程为
；
（2）因为
，所以
为
中点，设
，
当
的斜率存在且不为0 时，将
，
代入椭圆方程中得：
两式相减得
，即
，所以
，
即
，
，整理得
；
当
的斜率不存在或为0 时，有
或
，也满足
；
所以点
的轨迹方程是
；
综上，曲线
的方程为
，点
的轨迹方程是
.
18．如果抛物线
的切线交等轴双曲线
于
两点，求线段
中点的轨迹方程.
【答案】
【分析】通过抛物线的切点求出切线方程，再根据双曲线的中点求出弦方程，利用两方程表示同一条直线
得到坐标关系，最后结合切点在抛物线上得出中点的轨迹方程.
【详解】设
与抛物线
的切点为
，
的中点为
，
因
是抛物线
切于
的切线，
则
方程：
.①
同时
是双曲线
以
，为中点的弦，
易求
方程为
.②
①②同一条直线，所以有
，
从而：
③
但点
在抛物线上，所以有
.
将③代入得
，
以
代换动点
的坐标得所求方程为
.
19．已知双曲线
经过点
，离心率为
．
(1)求
的方程．
(2)已知
的左、右焦点分别为
、
，直线与
相交于
、
两点，若的斜率为
，求线段
的中点
的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点在双曲线上，离心率的定义和
的关系列方程组可得；
（2）直曲联立，由韦达定理和中点坐标公式可得.
【详解】（1）由题意可得
，解得
，故双曲线
的方程为
．
（2）设点
、
，设点
，
设直线的方程为
，联立
可得
，
则
，
由韦达定理可得
，可得
，
则
，即点
的轨迹方程为
．
20．已知双曲线
：
（
，
）的实轴长为2，点
到双曲线
的渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
的动直线交双曲线
于
、
两点，设线段
的中点为
，求点
的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
，其中
或
【分析】（1）根据实轴长得
，利用点到直线的距离结合
求解即可；
（2）设
，
，
，联立直线l 与双曲线
的方程，消去y，得
，
且
，得
且
，由韦达定理，得
，从而得
，联立消去k，得
，再根据
的范围得出
的范围，
即可得解.
【详解】（1）双曲线
的实轴长为
，由已知，
，则
，
因为双曲线
：
（
，
）的一条渐近线为
，
点
到双曲线
的渐近线的距离为
，所以
，
所以
，所以
，所以双曲线
的方程是
；
（2）易知直线的斜率存在设为
，设
、
、
，
联立直线l 与双曲线E 的方程，得
，消去y，得
．
由
且
，得
且
．
由韦达定理，得
．
所以
，
．
由
消去k，得
．
由
且
，得
或
．
所以，点M 的轨迹方程为
，其中
或
．
21．由点
向抛物线
引弦，求弦的中点的轨迹方程．
【答案】
在抛物线
内部的部分．
【分析】解法1：利用点差法求解即可；解法2：设弦
所在直线的方程为
，代入抛物线方程
中，化简利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出
，从而可求出直线方程.
【详解】解法1：
利用点差法．
设端点为
，则
，
两式相减得
．①
①式两边同时除以
，得
．②
设弦的中点坐标为
，则
．③
又点
和点
在直线
上，
所以有
．④
将③、④代入②得
，
整理得
．
故得中点的轨迹方程是
在抛物线
内部的部分．
解法2：
设弦
所在直线的方程为
．
由
，得
．
设
、中点
，
则由根与系数的关系得
，
，则
，
所以
，得
，
故得所求弦中点的轨迹方程是
在抛物线
内部的部分．
22．已知抛物线
，过点
作一条直线交抛物线于
，
两点，试求弦
的中点轨迹方程.
【答案】
.
【分析】方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线的方程，将其与
抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，消参即可得轨迹方程，同时
要考虑斜率不存在的情况.
【详解】方法1：设
，
，弦
的中点为
，则
，
当直线
的斜率存在时，
.
因为
两式相减，得
.
所以
，即
，
即
.
当直线
斜率不存在，即
轴时，
的中点为
，适合上式，
故所求轨迹方程为
.
方法2：当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
（
），由
得
.
所以
所以
.
设
，
，
的中点为
，
则
，
.
所以
.
所以
消去参数
，得
.
当直线
的斜率不存在时，即
轴时，
的中点为
，适合上式，
故所求轨迹方程为
.
题型四：确定参数的取值范围
23．已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过左焦点
作斜率为2 的直线与双曲线交于
两
点，
是
的中点，
为坐标原点，若直线
的斜率为
，则
的值是 .
【答案】
【分析】利用点差法设
，
，代入椭圆方程可得可得
，计算可得．
【详解】设
，
，则
，
，
两式相减得
，
是
的中点，
，
，
，又
，
，
，
解得
，
．
故答案为：
.
24．双曲线E：
，过
作直线l 交双曲线于A，B 两点，若不存在直线l 使得P 是线段
的中点，则t 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t 之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交
点,可得满足P 为线段
中点时t 的范围,从而即可得结果.
【详解】因为双曲线方程为
，设
，若点P 为线段
的中点，
则
，又
，两式相减并化简可得
，
又直线
的斜率
，即
，
设直线l 的方程为
，联立
,
化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以
，又
，
化简得
，即
或
，
所以不存在直线l 使得P 是线段
中点的t 的取值范围为
，
故答案为：
.
25．已知
，在拋物线
上存在两个不同的点关于直线
对称，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解.
【详解】设抛物线上关于直线
对称的两点为
，
，
则
，两式相减得
，
由条件可知，
，即
，
所以
中点的纵坐标为
，横坐标为
，即中点坐标为
，
由题意可知，
中点应在抛物线内，即
，得
.
故答案为：
26．已知椭圆
的离心率为
，短轴长为2.
(1)求
的方程；
(2)若斜率为
的直线交
于
，
两点，线段
的中点为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意得到关于
、
、的方程组，解得即可；
（2）设
，
，利用点差法得到
，再由点
在椭圆内部，求出的取值范
围，即可求出
的范围.
【详解】（1）依题意可得
，解得
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）设
，
，
因为线段
的中点为
，所以
，
又
，两式相减可得
，
即
，
所以
，
又点
在椭圆
内部，所以
，解得
，
所以
，即
的取值范围为
.
27．已知椭圆
上的点
到左右两焦点
的距离之和为
，离心率为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点
的直线交椭圆于A，B 两点.若
轴上一点
满足
，求直线斜率
的值.
【答案】(1)
(2)
或
或
．
【分析】（1）由椭圆定义得
，再由离心率求得，然后求出
得椭圆方程；
（2）设直线方程为
，与椭圆方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式求得中点坐标，由等腰三
角形的性质求得
．
【详解】（1）由已知
，
，
又
，所以
，从而
，
所以椭圆方程为
；
（2）
已知
，设直线的方程为
，
，
由
得
，
直线过椭圆的右焦点，必与椭圆相交，
所以
，
，
所以
的中点
的坐标为
，
当
时，满足条件，此时
的中垂线为
；
当
时，因为
，所以
，
，整理得
，解得
或
，
综上，
或
或
．
28．已知
为圆
上的动点，
是圆
内一点，线段
的中垂线交
于点
，
当
在圆上运动时，点
所成的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)若直线
与曲线
交于
、
两点，
为线段
的中点，求
、
的值．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）由线段
的垂直平分线，得到
，结合椭圆的定义，即可求解；
（2）直线与曲线
方程联立，应用韦达定理，借助于
为线段
的中点，得到
、
的值．
【详解】（1）
是
与
中垂线的交点，
，
又
，
所以点
所成的轨迹曲线
是以
为焦点的椭圆，
，
故曲线
的方程为
（2）把
代入
，得
，整理得
，
设
，则
，
，
又
为线段
的中点，所以
，
，
联立，解得
，
，
代入
验证，
，符合题意，
综上所述，所求的值为
，
.
题型五：定值定点问题
29．在直角坐标系xOy 中，椭圆C：
的焦距为
，长轴长是短轴长的2 倍，斜率为
k（k≠0）的直线l 交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P 为线段AB 的中点，设OP 的斜率为
，求证：
为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案；
（2）设
，
，
，将A，B 两点代入椭圆方程可得
及
表达式，即可得答案.
【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知
， 解得
.
故椭圆的标准方程为
；
（2）证明：设
，
，
，则
，
．
把
，
代入椭圆方程
得：
.
两式相减可得
，即
．又
，
则
，故
为定值．
30．已知椭圆的离心率为
，焦点是
和
，
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
（不过原点）与椭圆
交于
两点，线段
的中点为
，求直线
与直线
的斜率乘
积
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用
之间的关系求解即可；
（2）利用点差法求解即可.
【详解】（1）焦点是
和
，故
，
椭圆的离心率
，故
，
所以
，
椭圆
的标准方程
.
（2）设
，
则
，做差得：
，
即
，
，
即
,
故
.
31．已知直线
恰好经过双曲线
的左焦点
，且与
交于
，
两
点，
为
的中点，当
时，直线
的斜率为1．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线经过
且与直线垂直，与双曲线
交于
，
两点，
为
的中点，证明：
与
的面积之比为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用点差法
可求得
，结合
，求出
，即可求出双曲线的方
程；
（2）直线与双曲线方程联立
，求出点
坐标，因为直线与垂直，所以用
替换
，得
到
点的坐标，求出直线
的方程，即可得出
恒过定点
，即可得出
与
的面
积之比
【详解】（1）依题意可知
，设
，
，
则
两式作差可得
，
即
，又当
时，直线
的斜率为1，
所以
．又
，解得
，
，
所以双曲线
的方程为
．
（2）联立直线与双曲线方程，得
消去
整理得
，则
，
，
则
所以
，
，所以
．
又因为直线与垂直，所以用
替换
，得到
．
当
，即
时，直线
的方程为
，直线
过点
．
当
且
，
时，直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，
令
，得
，所以直线
过点
．
综上，直线
恒过点
．
所以
与
的面积之比为
．
