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专题2.7 圆的一般方程
教学目标
①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。
②能准确的判定圆的存在所满足的条件。
③会判断点与圆的位置关系。
④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。
教学重难点
教学重点：圆的一般方程会，根据条件求圆的方程
教学难点：圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用
知识点01 圆的一般方程
对于方程
（
为常数），当
时，方程
叫做圆的一般方程.
①当
时，方程表示以
为圆心，以
为半径的圆；
②当
时，方程表示一个点
③当
时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①
和
前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有
项；③
.
【即学即练】设
.已知方程
表示的曲线是一个圆，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围.
【详解】因为
，变形得
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
知识点02 圆的一般方程与标准方程特点
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
（
）
圆心
半径
知识点03 在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点
和圆的一般式方程
：
（
），
则点
与圆的位置关系：
①点
在
外
②点
在
上
③点
在
内
【即学即练】点
在圆
的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选
择恰当的填入横线）
【答案】外部
【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可.
【详解】因为
，所以点
在圆C 的外部．
故答案为：外部.
题型01 圆的一般方程的理解
【典例1】若方程
表示圆，且圆心位于第四象限，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将方程化成
，再利用条件列不等式求解即可.
【详解】因为方程
可变形为
，
由题知
，解得
，实数
的取值范围是
.
故选：C
【变式1】“关于
的方程：
表示圆”是“
”的（ ）条件
A．必要不充分
B．充要
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先得的
表示圆时的
的取值范围，从而得到结论.
【详解】由题意有
，
所以
或
，
由于
为
或
的真子集，
故方程
表示圆是
的必要不充分条件，
故选：A.
【变式2】圆
的圆心在第三象限，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可.
【详解】由
，配方得
，圆心坐标为
.
因为圆心在第三象限，所以
，解得
.
故选：A
【变式3】已知方程
表示圆，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】依题意，
，
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
【变式4】若方程
表示圆，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆的一般方程，由
求解.
【详解】解：因为方程
表示圆，
所以
，
解得
，
故选：B
对于方程
（
为常数），当
时，方程
叫做圆的一般方程.
①当
时，方程表示以
为圆心，以
为半径的圆；
②当
时，方程表示一个点
③当
时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①
和
前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有
项；③
.
题型02 求圆的一般方程
【典例1】已知点
，
，
.
(1)求直线
的一般方程；
(2)求
外接圆的一般方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解，
（2）利用待定系数法即可列方程求解.
【详解】（1）由题意，得
.
化简，得直线
的一般式方程为
.
（2）设
外接圆的一般方程为
.①
因为
，
，
三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是，
得
，
即
，解得
.
故所求圆的一般方程为
.
【变式1】过三个点
，
，
的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法，建立方程组，解之即可求解.
【详解】设圆的一般方程为
，
则
，解得
，
所以圆的方程为
.
故答案为：
【变式2】已知
的三个顶点分别是
，
，
，求：
(1)线段AB 的垂直平分线的方程；
(2)
的外接圆的方程.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）求出AB 中点的坐标与直线AB 的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB 的垂直平分线的
方程；
（2）设出
的外接圆的一般式方程，根据A、B、C 的坐标求出D、E、F，即可得到
的外接圆
的方程．
【详解】（1）根据题意，可得
，所以AB 的垂直平分线的斜率
，
结合AB 的中点为
，可得AB 的垂直平分线方程为
，即
；
（2）设
的外接圆的方程为
，
根据题意，可得
，解得
，
所以
的外接圆的方程为
【变式3】已知
的三顶点是
．
(1)求
边上的高所在直线的方程；
(2)求
的外接圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及点斜式直线方程，即可求解；
（2）将三点坐标代入圆的一般方程，利用待定系数法，即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
边上的高所在直线的斜率为
，
所以
边上的高所在直线的方程为
，即
；
（2）设外接圆的方程为
，
即
，解得
，
，
，
所以外接圆的方程为
，即
.
【变式4】在平面直角坐标系中．求经过三点
的圆的方程．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法直接求解即可.
【详解】设圆的方程为
，
则有
，
解得
，即圆的方程为
．
题型03 圆的一般方程与标准方程转化
【典例1】已知
，
，则以
为直径的圆的一般方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解.
【详解】因为
，
，则
的中点为
，且
，
所以
为直径的圆的方程为
，即
，
故选：A.
【变式1】已知圆C 的一般方程为
，则圆C 的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由一般方程得到标准方程即可求解.
【详解】由
，
得
，
可知圆C 的圆心坐标为
．
故选：C
【变式2】设实数
，圆
的面积为
，则
．
【答案】
【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值.
【详解】圆
的标准方程为
，
故
，故
（负解舍去），
故答案为：
.
【变式3】已知圆
的方程是
，则这个圆的半径是 .
【答案】3
【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径.
【详解】圆
的方程
化为：
，
所以圆
的半径为3.
故答案为：3
【变式4】已知圆
与圆
关于
轴对称．则圆
的标准方程为 ．
【答案】
【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程.
【详解】圆
化成标准方程为：
，
所以圆心
，半径
，
而圆
与圆
关于
轴对称，即圆心
与圆心
关于
轴对称，而两圆半径相等，
即圆心
，半径
，
所以圆
的标准方程为：
.
故答案为：
题型04 点与圆的位置关系
【典例1】（多选）已知圆的方程为
，以下各点在圆内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用代入验证法确定正确答案.
【详解】
，A 选项正确.
，B 选项错误，
，C 选项正确.
，D 选项错误.
故选：AC
【变式1】已知圆
，其中
，下列各点中一定在圆C 内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用代入验证法确定正确答案.
【详解】由圆
，可知
，即
，
，A 选项正确，
，不一定小于0，B 选项错误，
，不一定小于0，C 选项错误，
，不一定小于0，D 选项错误.
故选：A
【变式2】点
在圆
的（ ）
A．外部
B．内部
C．圆周上
D．无法确定
【答案】A
【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断.
【详解】因为
，所以点
在圆
的外部．
故选：A.
【变式3】已知圆C：
，则点
在（ ）
A．圆外
B．圆上
C．圆内
D．以上情况均有可能
【答案】A
【分析】根据点的坐标和圆的方程列式，从而确定正确答案.
【详解】根据题意，圆C：
，点
，
则有
，故点P 在圆外.
故选：A
已知点
和圆的一般式方程
：
（
），
则点
与圆的位置关系：
①点
在
外
②点
在
上
③点
在
内
题型05 圆过定点问题
【典例1】圆
恒过的定点是 .
【答案】
【分析】分离参数，即可列方程组求解.
【详解】圆方程化为
，
由
解得
故圆恒过
点.
故答案为：
【变式1】圆
恒过的定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【详解】圆
的方程化为
，
由
得
或
，
故圆
恒过定点
．
故选：D．
【变式2】对任意实数
，圆
恒过定点，则定点坐标为 ．
【答案】
或
【分析】由已知得
，从而
，由此能求出定点的坐标．
【详解】解：
，即
，
令
，解得
，
，或
，
，
所以定点的坐标是
或
．
故答案为：
或
.
【变式3】已知曲线
：
．
(1)当
取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论
为何值，曲线
必过两定点．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
【分析】（1）当
时，方程为
表示一条直线，当
时，化简整理已知方程，可知满足
圆的方程；
（2）将已知方程整理为
，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结
论可证得.
【详解】（1）当
时，方程为
表示一条直线．
当
时，
，
整理得
，
由于
，
所以
时，方程表示圆.
（2）证明：方程变形为
，
由于
取任何值，上式都成立，则有
，
解得
或
，
所以曲线
必过定点
，
，
即无论
为何值，曲线
必过两定点．
题型06 求动点的轨迹方程
【典例1】已知
，
，动点
满足
，记动点
的轨迹为曲线
，则曲
线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可.
【详解】因为
，即
，
则
，整理可得
．
故选：C.
【变式1】已知点
是圆
上的动点，点
，则
的中点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解.
【详解】设线段
中点
，则
在圆
上运动，
，即
．
故选：A
【变式2】已知点P 在圆
上，点
，满足
的点
的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示确定点
的轨迹，结合圆与圆的位置关系即可判断.
【详解】设点
，则
，且
，
由
，得
，
即
，
故点
的轨迹为一个圆心为
，半径为
的圆，
则两圆的圆心距为
，半径和为
，半径差为
．
因为
，所以两圆相交，满足这样的点
有2 个
故选：B
【变式3】点
，点
是圆
上的一个动点，则线段PQ 的中点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可设点
，PQ 中点
，利用M 和Q 的关系得到
，再通
过点
是圆
上的一个点，代入圆方程化简即为
的轨迹方程。
【详解】设
，PQ 中点
，
∴
，即
，
又∵点
是圆
上的一个点，
∴
，化简得
，
∴
的轨迹方程为
.
故选：A
【变式4】已知
的斜边为
，且
，
，则直角边
中点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
（
且
）
D．
（
且
）
【答案】C
【分析】设
，根据
是线段
的中点，得到
，根据
计算
即可求得
的轨迹方程.
【详解】设
，
因为
，
是线段
的中点，
由中点坐标公式得
，所以
，
即
，所以
，
由
，得
，
即
，
又
不能与
重合，所以
且
，解得
且
，
动点
的轨迹方程为
（
且
）.
故选：C
题型07 与圆有关的最值问题
【典例1】若
为圆
上任意一点，点
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解.
【详解】将圆
化为标准方程为
，
故圆
的圆心为
，半径
，
因为
，故点
在圆的内部，
且
，
所以
的取值范围为：
.
故选：C
【变式1】已知圆C：
和两点
，
（
），若圆C 上存在点P，使得
，则m 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】由直角三角形性质得
，要求
的最小值即求圆
上点
到原点
的最小距离，从
而得解.
【详解】显然
，因为
，所以
，
所以要求
的最小值即求圆
上点
到原点
的最小距离，
因为
，所以
，即
的最小值为
.
故选：C
【变式2】已知实数x，y 满足
，则
的取值范围是（ ）
A．[4,10]
B．[8,10]
C．[4,16]
D．[8,16]
【答案】C
【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据
表示圆上点到原点距离的
平方求范围.
【详解】将
化为
，即圆心为
，半径为3，
由
表示圆上点到原点距离的平方，而圆心
到原点的距离为1，
又
在圆内，
所以圆上点到原点距离范围为
，故
的取值范围是
.
故选：C
【变式3】（多选）若P 为圆
上任意一点，点
，则
的取值可以为
（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】ABC
【分析】根据
的取值，计算
的取值范围，即可判断选项.
【详解】圆
，代入点
，
则
，则点
在圆外，
所以
的最大值为
，最小值为
，
，
所以
的取值范围是
，所以
的取值是3,5,7.
故选：ABC
【变式4】已知实数
满足关系：
，则
的最小值 .
【答案】
【分析】转化为圆上的点
到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，
进而求解即可.
【详解】把圆的方程化为标准方程得：
，
则圆心
坐标为
，圆的半径
，
设圆上一点的坐标为
，
为圆上的点
到原点的距离，
而圆心
到原点的距离为
，
则圆上的点
到原点的距离的最小值为
.
故答案为：
.
题型08 圆的对称问题
【典例1】若圆
（
，
）被直线
平分，则
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值.
【详解】圆
，即
，圆心为
，半径为
，
因为圆
（
，
）被直线
平分，
则直线过圆心，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
故答案为：
.
【变式1】已知圆
关于直线
对称，则实数
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可.
【详解】由
，即
，
由题意可知圆心在直线
上，代入得
.
故选：C
【变式2】若圆
关于直线
对称，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可.
【详解】圆
关于直线
对称,
即圆心在直线上，
由
，得圆心
，
则
，得
.
故选：D
【变式3】已知圆
关于直线
对称，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据圆的对称性得出圆心
在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可.
【详解】由题意可知，
，
且圆心
在直线上，代入直线方程得
（舍去）
或
.
故选：C
【变式4】圆
上存在两点关于直线
对称，则
的最小
值为 .
【答案】
【分析】首先求出圆心坐标，依题意可得直线
过圆心
，则
，再利
用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】圆
，即
，圆心为
，
因为圆
上存在两点关于直线
对称，
所以直线
过圆心
，
所以
，即
，
又
，
，
所以
，
当且仅当
，即
、
时取等号，
所以
的最小值为．
故答案为：
题型09 圆的综合问题
【典例1】
的三个顶点分别是
、
、
.
(1)求边
上的高所在直线
的方程；
(2)求
的外接圆
（
为圆心）的标准方程.
【答案】(1)
的方程为
(2)
【分析】（1）求出直线
的斜率，可得出直线
的斜率，结合点斜式可得出直线
的方程；
（2）圆
的方程为
，将
三个顶点的坐标代入圆
的方程，求出
、
、
的值，可得出圆
的一般方程，再化为标准方程即可.
【详解】（1）因为直线
的斜率为
，所以
上的高所在直线
的斜率为
，
所以
上的高所在直线
的方程为
，即直线
的方程为
．
（2）设圆
的方程为
（其中
，
因为
、
、
三点都在圆上，可得
，
解得
，
，
，满足
，
所以所求圆
的方程为
，即
.
【变式1】求证：不论
为何值，圆
的圆心在同一直线上．
【答案】证明见解析
【分析】找出圆心坐标，消去参数即可.
【详解】证明：由圆方程
得：
．
设圆心坐标为
，则
，
由
得
，代入
化简得：
，
所以不论
为何值，圆心在同一直线
上．
【变式2】已知圆C 的圆心为
，且过点
(1)求圆C 的半径及标准方程；
(2)若O 为坐标原点，点
满足
，求点P 的轨迹方程.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）求出圆的半径，即可求圆C 的标准方程；
（2）设
，则由题意可得
，化简可得结论．
【详解】（1）由题意，圆心为
，过点
，
则半径
，
所以圆C 的标准方程为
；
（2）设
，则由题意可得
，
化简可得
【变式3】．在平面直角坐标系
中，曲线
与x 轴交于不同的两点A，B，曲
线
与y 轴交于点C.
(1)是否存在以线段AB 为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)试确定：过A，B，C 三点的圆是否过定点.
【答案】(1)存在，
(2)过定点
或
【分析】（1）令
，得
，根据
结合韦达定理得到
，得到半径和圆
心，得到圆方程.
（2）设过A，B，C 的圆P 的方程为
列出方程组利用圆系方程，推出圆P 方程恒过定
点即可.
【详解】（1）由曲线
，令
，得
，
设
，则可得
，
，
．
令
，得
，即
．若存在以AB 为直径的圆过点C，
则
，得
，即
，
所以
或
．由
，得
或
，所以
，
此时
，AB 的中点
即圆心，半径
，
故所求圆的方程为
．
（2）设过A，B，C 的圆P 的方程为
，
满足
，
代入P 得
，
展开得
，
当
，即
或
时方程恒成立，
所以圆P 方程恒过定点
或
．
【变式4】已知
，直线：
与圆C：
交于A，B 两点.
(1)证明恒过定点，并求出原点
到直线的最大距离；
(2)已知点
在圆C 上，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，最大距离
(2)
【分析】（1）将
化为
，令
即可求出定点，当直
线与定点和原点构成直线垂直时，原点
到直线的距离最大，得到答案；
（2）根据
的几何意义为点
到
的距离，结合
与圆的位置关系，结合半径和
圆心到
得到答案.
【详解】（1）由直线：
，
得
，
联立
，解得
，
所以恒过定点
，
设直线恒过定点为
,
则当
时，原点
到直线的距离最大，最大距离为
.
（2）点
在圆C 上，
的几何意义为点
到
的距离，
因为圆C：
，即
，圆心
，
又因为
，所以
在圆内，
所以
到
的距离的最大值为
，
到
的距离的最大值为
所以
，
所以
的取值范围为
.
题型10 圆的实际应用
【典例1】赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有
多年的历史，是保存
最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力
量．2023 年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴
建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为
，拱高为
，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐
标系．
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽
，水面以上高
，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
【答案】(1)
(2)可以从不桥下通过，理由见解析
【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为
，将
，
，
，
代入化简即可得出答案；
（2）将当
代入圆的方程求出
，与
相比即可得出答案.
【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为
，
因为该拱圆过
，
，
，
所以
，解得
．
所以拱圆的一般方程为
，
即
．
（2）当
时，
，
得
所以该景区游船不可以从桥下通过．
【变式1】某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36m，拱高OP 是6m，在建造时，每隔3m
需要一个支柱支撑，求支柱
的长（精确到0.01m）．
【答案】5.39m
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点
的横
坐标即可求出支柱
的长.
【详解】以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
易知点A，B，P 的坐标分别为
，
，
．
设圆拱所在的圆的方程是
．
因为点A，B，P 在所求的圆上，
所以
，解得
．
故圆拱所在的圆的方程是
．
将点
的横坐标
代入上述方程，解得
（负值舍去）；
即支柱
的长约为5.39m．
【变式2】某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘
是一个半圆如图，已知圆的直径是
米，建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出点C 的坐标，并求出这个圆的标准方程；
(2)若一个大型载重卡车宽6 米，高4.2 米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由.
【答案】(1)
，
(2)能，理由见解析
【分析】（1）利用数形结合思想，根据圆的标准方程，可得答案；
（2）利用圆的对称性，求隧道边缘最高点，比大小，可得答案.
【详解】（1）因为
，所以C 的
，由圆心
，
，则圆C 的方程是
.
（2）当
时，
米，因此正常行驶时卡车可以顺利通过.
1．若圆
关于直线对称，则直线一定过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论.
【详解】把圆
的方程化为标准方程为
，
所以圆
的圆心
的坐标为
，
因为圆
关于直线对称，则直线一定过圆心
.
故选：A.
2．圆心在直线
上，且经过点
，
的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆心在
，可设圆的一般方程为
，然后代点求解即可.
【详解】解析：设所求圆的方程为
，
因为该圆过点
，
，
所以
解得
，
所以该圆的方程为
.
故选：A.
3．若方程
表示圆，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将方程化成
，再利用条件，即可求解.
【详解】因为方程
可变形为
，
由题知
，得到
，
故选：C.
4．已知圆
上的所有点都在第一象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得.
【详解】由
，配方得
，
则该圆圆心为
，半径为3，由题意可得
解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：A.
5．已知点
在圆
外，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数
的不等式组，由此可解得实数
的取值范围.
【详解】因为点
在圆
外，则
，
解得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：B.
6．已知点
动点
满足
则
(
为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由
得到点
的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得.
【详解】因为
所以点
在以
为直径的圆上，
圆的方程为
，
所以
的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即
.
故选：B.
7．已知圆
，圆
分别是圆
、
上的动点，
为
轴上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】作出圆
关于
轴对称的圆
，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值.
【详解】圆
的圆心
，半径
，圆
的圆心
，半径
，
作圆
关于
轴对称的圆
，其圆心
因此
，
当且仅当
是线段
与
轴的交点时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：C
8．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．方程
表示圆心为
的圆
B．方程
表示圆心为
的圆
C．方程
表示半径为
的圆
D．方程
表示半径为
的圆
【答案】AC
【分析】由圆的方程的满足条件逐项判断即可.
【详解】由
知方程
表示圆心为
的圆，A 正
确；
，当
时表示圆，当
时表示点，当
不表示任何图形，B 错误；
因为
，所以方程
表示圆，
方程
可化为
，所以圆半径
，C 正确；
方程
可化为
表示点
，不是圆，D 错误．
故选：AC
9．（多选）已知实数
满足圆的方程
，则（ ）
A．圆心
，半径为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【答案】BC
【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A 错误；用y 表示x 并利用
可求得x 的范围判断B；将
转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将
转化为
一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D.
【详解】
表示圆心为
，半径为
的圆，A 错误；
，解得
，即
的最大值为
，B 正确；
表示圆上点
到定点
的距离，圆心
到定点
的距离为
，圆上点
到定点
的距离的最大值为
，C 正确；
由
得
，代入
得
，
，因为
函数
在
上单调递增，所以
的最大值为
，D 错误.
故选：BC
10．已知向量
，满足
，则动点
的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】先计算出
，利用向量垂直得到方程，求出轨迹方程.
【详解】
，
，故
，
即
，
故答案为：
11．定义：
表示点
到曲线
上任意一点的距离的最小值．已知
是圆
上的动
点，圆
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】记
为坐标原点，作出图形，求出
的取值范围，即可得出
的取值范围.
【详解】记
为坐标原点，圆
的圆心为原点，圆
的半径为，
由圆的几何性质可知，
，
且
，即
，即
，
当且仅当点
时，
取最小值，当且仅当点
时，
取最大值，
故
.
故答案为：
.
12．已知圆心为C 的圆经过
，
两点，且圆心C 在直线l：
上．
(1)分别求出直线AB 的方程和线段AB 的垂直平分线的方程；
(2)求圆C 的标准方程．
【答案】(1)
，
．
(2)
．
【分析】（1）由题可得AB 中点的坐标及斜率，然后利用点斜式即可得出答案.
（2）联立
，求出圆心坐标，再由两点间的距离公式求出圆的半径，即可得出圆C 的标准方
程.
【详解】（1）由题意得直线AB 的斜率为
，
直线AB 的方程为
，即
，
又因为A，B 两点的坐标为
，
，所以AB 中点的坐标为
，
因此，线段AB 的垂直平分线的方程是
，即
．
（2）由垂径定理可知，圆心C 在AB 的垂直平分线上也在直线l 上，
联立
，解得
，所以圆心C 的坐标为
，
圆的半径为
，
所以，圆C 的标准方程为
．
13．已知圆
过原点
和点
，圆心在
轴上．
(1)求圆
的方程；
(2)过圆
上一动点
作平行于
轴的直线
，设
与
轴的交点为
，若向量
，求动点
的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点距离公式可得
，即可求解，
（2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程.
【详解】（1）设圆心为
，由题意可得
，
则
，解得
，所以，圆
的半径为
，
故圆
的方程为
．
（2）设点
，共中
，则
，设点
，
因为
，则
，
可得
，可得
，
因为点
在圆
上，则
，即
．
故点
的轨迹方程为
．
14．若方程为
表示圆
.点
，
在圆
上，
(1)求实数
的取值范围.
(2)求出圆
的圆心坐标和半径，并求当
时圆
的方程.
(3)求过点
，
且圆心在直线
上的圆
的方程.
【答案】(1)
或
；
(2)圆心
，半径
，
；
(3)
.
【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得.
（2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把
代入求出圆的方程.
（3）根据给定条件，求出线段
的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解.
【详解】（1）由方程为
表示圆
，得
，
整理得
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
或
.
（2）圆
的圆心坐标为
，半径
，
当
时，圆
的方程为
.
（3）线段
的中点为
，直线
的斜率
，
则线段
的中垂线的方程为
，由
解得
，
因此圆
的圆心
，半径
，
所以圆
的方程为
.
