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专题3.3 函数的奇偶性
教学目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的生质；学会
判断函数的奇偶性；
2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结
合的数学思想.
3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力.
教学重难点
教学重点：
1.奇函数、偶函数的定义；
2.判断函数奇偶性的步骤；
教学难点：
奇函数、偶函数图象的对称性；
知识点01 函数奇偶性
1、定义：
1.1 偶函数：一般地，设函数
的定义域为
，如果
，都有
，且 ，那么函
数
就叫做 .
1.2 奇函数：一般地，设函数
的定义域为
，如果
，都有
，且 ，那么函
数
就叫做 .
2、函数奇偶性的判断
2.1 定义法：
（1）先求函数
的定义域
，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求
，根据
与
的关系，判断
的奇偶性：
①若
是奇函数
②若
是偶函数
③若
既是奇函数又是偶函数
④若
既不是奇函数也不是偶函数
2.2 图象法：
（1）先求函数
的定义域
，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若
的图象关于
轴对称
是
（3）若
的图象关于 对称
是
2.3 性质法：
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
【即学即练】判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
知识点02 奇偶函数的性质
1、奇函数，偶函数的图象特征
设函数
的定义域为
（1）
是偶函数
的图象关于
轴对称；
（2）
是奇函数
的图象关于原点对称；
（3）若
是奇函数且
，则
2、函数的奇偶性与单调性的关系
（1）
是偶函数
在关于原点对称区间上具有相反的单调性；
（2）
是奇函数
在关于原点对称区间上具有相同的单调性；
3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系
设函数
的定义域为
（其中
）
（1）
是偶函数，且
在
上单调，则
在
上有相反的单调性，
此时函数的最大（小）值相同；
（2）
是奇函数，且
在
上单调，则
在
上有相同的单调性，
此时函数的最值互为相反数；
【即学即练】已知奇函数
的定义域为
，且当
时，
，则
．
知识点03 对称性
1、轴对称：
设函数
的定义域为
，且
是
的对称轴，则有：
①
；
②
③
2、点对称
设函数
的定义域为
，且
是
的对称中心，则有：
①
；
②
③
3、拓展：
①若
，则
关于
对称；
②若
，则
关于
对称；
【即学即练】已知函数
关于点
对称，且当
时，
，则
．
题型01 函数奇偶性的定义与判断
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
，
．
【变式1】已知函数
，
(1)求
，
；
(2)判断函数
的奇偶性并证明．
【变式2】判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【变式3】判断下列函数的奇偶性．
(1)
；
(2)
；
(3)
【变式4】利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
．
(3)
．
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y 轴对称．则函数为偶函
数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两
个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
(4)分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断
方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断
与
的关系.首先要特别注意
与
的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，
与
对应不同的表达式，而它们的结果按奇
偶函数的定义进行比较.
题型02 由奇偶性求解析式
【典例1】已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则当
时，
.
【变式1】已知函数
是奇函数，当
时，
，则当
时，
.
【变式2】已知
是
上的偶函数，且当
时，
，则不等式
的解集为
．
【变式3】已知定义在
上的奇函数
，当
时，
，当
时，
．
【变式4】已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则定义域为
的该函数的解
析式为 .
题型03 由奇偶性求参数
【典例1】函数
且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】若函数
是定义在区间
上的奇函数，则
．
【变式2】设
是偶函数，且定义域为
，则
．
【变式3】已知函数
是奇函数，则实数
．
【变式4】已知函数
是奇函数，求a 的值，并求
的单调递增区间．
利用函数奇偶性求参数的解题思路
奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性
质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型．
(1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．
(2)解析式含参，需根据
或
列式，比较各项的系数求解．
题型04 由奇偶性求值
【典例1】已知
分别为奇函数、偶函数，且
，则
．
【变式1】已知
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．7
C．
D．5
【变式2】已知偶函数
的定义域为
，且当
时，
，则
．
【变式3】已知
定义在
上的奇函数，当
时，
，
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用
或
求
解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求
值。
题型05 由奇偶性解不等式
【典例1】函数
是定义在
上的奇函数，且
．
(1)确定函数
的解析式；
(2)用定义证明
在
上是增函数；
(3)解不等式
．
【变式1】已知函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)证明：函数
在
上是增函数；
(3)若实数满足不等式
，求的取值范围.
【变式2】已知函数
是定义在
上的奇函数．
(1)求
的表达式；
(2)判断
在区间
上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于t 的不等式
．
【变式3】已知函数
是定义在
上的奇函数，且
.
(1)求函数的解析式；
(2)用单调性的定义证明：函数
在
上单调递增；
(3)解不等式
.
利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为
或
的形
式，再利用单调性脱掉“
”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同
时要注意函数自身定义域对参数的影响．
题型06 抽象函数的奇偶性
【典例1】定义在
上的函数
是单调函数，满足
，且
，
.
(1)求
，
；
(2)判断
的奇偶性，并证明；
【变式1】已知函数
的定义域为R，且对任意
，都有
，且当
时，
恒成立．
(1)判定并证明函数
在R 上的单调性；
(2)讨论函数
的奇偶性；
(3)若
，求x 的取值范围．
【变式2】已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)证明
为奇函数；
(3)猜想函数
的单调性并求
的解集.
【变式3】定义在
上的函数
满足
．
(1)求
的值；
(2)判断函数
的奇偶性并证明.
题型07 函数奇偶性的应用
【典例1】已知实数
，
满足
，则
.
【变式1】已知函数
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递减，则不等式
的解集为 .
【变式2】已知定义在R 上的函数
满足对任意的
，都有
，若
在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则
.
【变式3】已知函数
是定义在
上的奇函数，且对于
，
，
时，都有
，且
，则不等式
的解集为 ．
【变式4】已知函数
在定义域
上是奇函数，又是减函数，若
，则实数
的取值范围是 ．
题型08 奇偶函数对称性的应用
【典例1】我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数
为奇函数，由此
可以推广得到：函数
的图象关于点
成中心对称的充要条件是函数
为奇函数．
利用推广结论，已知函数
，则
的值为（ ）
A．
4048
B．4048
C．
4050
D．4050
【变式1】已知
是定义在
上的奇函数，则以下函数中图象关于
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若
是定义在
上的偶函数，且在
上是减函数，且不等式
对于一
切
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知函数
的图象关于点
对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】奇函数
满足
，则
.
1．某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数
的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是定义在区间
内的奇函数，且
在区间
内的图象如图所示，则
的单
调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
和
D．
3．已知函数
是定义在
上的奇函数，且点
在函数
的图象上，则函数
的图象必过点
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
和
定义域相同，
是偶函数且
不恒为零，
，若函数
是奇函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．已知函数
的定义域为R，且
，
在
上单调递减，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
为
上的奇函数，
为偶函数，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
7．函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
是定义在
上的奇函数，若当
时，
，则不等式
0 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）已知定义在
上的偶函数
在
上单调递增，则
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列结论
正确的是（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于
对称
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
为奇函数
11．已知定义在
上的奇函数满足
，若
，则实数
的取值范围
是 ．
12．已知函数
是定义域为
的奇函数，且
为偶函数，当
时，
，则
．
13．已知
为定义在
上的奇函数，当
时有
，求
的解析式．
14．已知函数
是定义在
上的奇函数．
(1)求
的表达式；
(2)判断
在区间
上的单调性，并证明你的结论．
15．已知单调函数
满足
，且
，定义域为
．
(1)求证：
为奇函数；
(2)若
，求
的取值范围．
