文档文本内容
专题4.4 幂函数
教学目标
1．理解幂函数
的定义，掌握系数为 1、底数是单个自变量等核心特征，能判
断函数是否为幂函数；
2．熟记
时五个幂函数的图象，掌握其定义域、值域、奇偶性、单调
性及过
的性质；
3．会根据
正负判断幂函数单调性，能运用该规律解决基础问题
教学重难点
重点：幂函数的定义与特征；五个常见幂函数的图象和核心性质。
难点：灵活运用幂函数性质；结合
正负判断单调性并应用。
知识点01 幂函数的概念
一般地，函数
叫做幂函数，其中
是自变量，
是常数．
幂函数的特征
①
中
前的系数为“1”；②
中
的底数是单个的自变量“
”；③
中
是常数
【即学即练】
1．下列函数中，不是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】幂函数的通式为
（
为常数），
则BCD 选项
均符合幂函数的定义，
而A 选项
为指数函数，不符合幂函数的定义，
故选：A.
2．已知函数
是幂函数.则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】C
【详解】因为函数
是幂函数，所以
，所以
，
所以
，所以
.
故选：C.
知识点02 常见幂函数的图象与性质
幂函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在
上递增
上
递
增，
上递减
在
上递增
在
上递增
上递增
上递减
定点
注意：幂函数在区间
上，当
时，
是增函数；当
时，
是减函数．
【即学即练】
1．函数
，
和
的图像都通过同一个点，则该点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据幂函数的定义可知，函数
，
与
均为幂函数，
因为幂函数图像所过定点为
，所以可得这三个函数图像均过点
.
故选：C
2．已知幂函数
，则
是（ ）
A．偶函数且在
上单调递增
B．偶函数且在
上单调递减
C．奇函数且在
上单调递增
D．奇函数且在
上单调递减
【答案】B
【详解】
为定义域上的偶函数且在
上单调递减.
故选：B.
题型01 判断函数是否为幂函数
【例1】下列函数是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由幂函数的定义：形如
,其中
为常数，所以可得
是幂函数．
故选：C.
【例2】下列函数①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 .
【答案】 幂函数② 指数函数①⑤
【详解】因为指数函数为
（
且
），故①⑤是指数函数；
由幂函数定义知，
是幂函数，故②是幂函数；
由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数；
对于⑧，当
时，
，不是幂函数，也不是指数函数.
故答案为：②；①⑤.
【变式1-1】下列函数是幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】幂函数是形如
（
为常数）的函数，所以A 符合，BCD 不符合，
故选：A.
【变式1-2】下列函数中是幂函数的是（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.
A．① ③ ⑤
B．① ② ⑤
C．③ ⑤
D．只有⑤
【答案】C
【详解】
的系数是
而不是1，故①不是幂函数；
是指数函数，故②不是幂函数；
的底数是
而不是
，故④不是幂函数；
是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数；
而
和
具有幂函数
的形式，故③ ⑤是幂函数.
故选：C.
【变式1-3】判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
；（6）
.
【答案】答案见解析
【详解】因为形如
（
且
）是指数函数，
形如
（
）是幂函数，
所以（1）
是幂函数，（2）
是幂函数，
（3）
是指数函数，（4）
是幂函数，
（5）
是指数函数，（6）
是指数函数.
判断一个函数是否为幂函数的方法：
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
(
为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的
形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.
题型02 求幂函数的解析式
【例3】已知幂函数
的图象经过点
，则
.
【答案】36
【详解】依题意
，所以
，
所以
，所以
.
故答案为：36
【例4】已知幂函数
的图像经过点
和点
则
.
【答案】3
【详解】
，
，
.
故答案为：3
【变式2-1】已知幂函数
的图象过点
，那么该幂函数的解析式为 ．
【答案】
【详解】依题意，设
，
由幂函数
的图象过点
，得
，解得
，
所以该幂函数的解析式为
.
故答案为：
【变式2-2】幂函数
的图象经过点
，则实数
.
【答案】
/-0.5
【详解】幂函数
的图象经过点
，则
则实数
.
故答案为：
.
【变式2-3】（多选）已知函数
是幂函数，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于y 轴对称
D．若
，则
【答案】BCD
【详解】由
是幂函数，则
，
所以
或
，故
或
，A 错，
所以
或
，B 对，
显然
、
都是偶函数，C 对，
由
，而
，故
，D 对.
故选：BCD
题型03 根据函数是幂函数求参数
【例5】已知函数
是幂函数，则实数
的值为（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．
或1
【答案】C
【详解】由题可得：
，解得：
或；
故选：C
【例6】已知函数
，则“
为幂函数”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由函数
为幂函数，
得
，解得
或
，
所以“
为幂函数”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式3-1】“
”是“
为幂函数”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】当
时，
为幂函数，故充分性满足；
当
为幂函数时，
，
即
，解得
或
，故必要性不满足，
所以“
”是“
为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A
【变式3-2】（多选）已知函数
是幂函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
是奇函数
【答案】ABD
【详解】函数
是幂函数，则有
，
所以
，解得
或
，B 选项正确，C 选项错误；
或
，则有
是奇函数，
，AD 选项正确.
故选：ABD.
【变式3-3】“点
在幂函数
图象上”的充要条件是 ．
【答案】
【详解】
是幂函数等价于
，即
．则得
.
则点
在幂函数
图象上,当且仅当点
满足方程
，即
．
故答案为：
.
题型04 求幂函数的定义域
【例7】下列函数定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A：
，所以函数
的定义域为
，故A 错误；
对于B：
，所以函数
的定义域为
，故B 正确；
对于C：
，所以函数
的定义域为
，故C 错误；
对于D：
，所以函数
的定义域为
，故D 错误.
故选：B
【例8】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】C
【详解】对于A，
的定义域为
，∵
，∴
的值域为
，
的定义域和值域均为
，故A 错误；
对于B，
的定义域为
，其值域为
，
的定义域为
，其值域为
，故B 错误；
对于C，
的定义域为
，其值域为
，
的定义域为
，其值域为
，故C 正确；
对于D，
的定义域为
，其值域为
，
的定义域和值域均为
，故D 错误，
故选：C.
【变式4-1】下列函数中，与
是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，函数
的定义域为
.
对于A，函数
的定义域为
，但
，故A 错误；
对于B，函数
的定义域为
，但
，故B 正确；
对于C，函数
的定义域为
，故C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，故D 错误；
故选：B.
【变式4-2】幂函数
的图象过点
，则
，
的定义域为 ．
【答案】 2
【详解】解：设幂函数
，其图象过点
，
；解得
，
，故
，
由
，解得：
，故函数
的定义域为：
.
故答案为2，
【点睛】本题考查了根据函数图象上的点求函数解析式的应用问题，是基础题目．
【变式4-3】若幂函数
（
为整数）的定义域为
，则
的值为 ．
【答案】1
【详解】若幂函数
（
为整数）的定义域为
，则
，解得
，
而
是整数，则只能
，经检验符合题意.
故答案为：1
题型05 求幂函数的值域
【例9】已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是 ．
【答案】
【详解】设幂函数
，
代入点
可得
，即
，
可得
，
因为
，可得
，所以该幂函数的值域是
.
故答案为：
.
【例10】函数
的定义域是
，则它的值域是 .
【答案】
【详解】由
，
设
，因
，则
，
而函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，故函数的值域为
.
故答案为：
.
【变式5-1】设
，若幂函数
的定义域与值域相同，则
的所有可能取值组成的集合
为 ．
【答案】
【详解】当
时,
,其定义域和值域均为
,符合题意,
当
时,
,其定义域为
,值域为
,不符合题意,
当
时,
,其定义域和值域均为
,符合题意,
当
时,
,其定义域和值域均为R,符合题意,
当
时,
,其定义域为R,值域为
,不符合题意,
当
时,
,其定义域和值域均为R,符合题意,
综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a 的所有可能取值组成的集合为
.
故答案为:
.
【变式5-2】设函数
，
的值域是 ．
【答案】
【详解】当
时，
单调递减，所以
，
故
的值域为：
，
当
时，
单调递增，
，故
的值域为：
，
综上，
的值域为
.
故答案为：
.
【变式5-3】已知
，则使函数
的值域为R，且为奇函数的所有α 的值为 .
【答案】1，3
【详解】当
时，
，为奇函数，但值域为
，不满足条件；
当
时，
为奇函数，值域为R，满足条件；
当
时，
为偶函数，值域为
，不满足条件；
当
时，
为奇函数，值域为R，满足条件.
故答案为：1，3
题型06 幂函数的图象的判断及定点问题
【例11】如图所示是函数
（
、
为互素的正整数）的图象，则（ ）
A．
是奇数且
B．
是偶数，且
C．
是偶数，
是奇数，且
D．
是偶数，
是奇数，且
【答案】D
【详解】观察图象得，函数
在
上单调递增，则
，
当
时，
，则
，BC 错误；
函数
的图象关于
轴对称，则
是偶数，
是奇数，A 错误，D 正确.
故选：D
【例12】已知
为幂函数，则函数
的图象经过的定点坐标为 ．
【答案】(1,2)
【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有
，
所以
，即
的图象经过定点(1,2)，
故答案为：
．
【变式6-1】如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为
，在第一象限内单调递增，
且图象呈现上凸趋势，则指数
的值满足
，排除选项AD；
又
的定义域为R，
的定义域为
，
故
符合题意.
故选：C.
【变式6-2】（多选）以下关于幂函数
图像的说法，正确的有（ ）
A．
的图像一定过原点
B．
的图像一定过点
C．
的图像可能经过第三象限
D．
的图像可能经过第四象限
【答案】BC
【详解】函数
不过原点，A 选项错误；
而
，所有幂函数
的图像一定过点
，B 选项正确；
函数
为奇函数，图像经过一、三象限，C 选项正确；
当
时，
，
的图像不可能在第四象限，D 选项错误.
故选：BC.
【变式6-3】函数
的图象恒过点 .
【答案】
【详解】令
，
此时，无论
取何值，都有
.
所以函数图象恒过点
.
故答案为：
解决幂函数图象问题应把握的2 个原则：
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在
上，指数越大，幂函数图象越靠近
轴(简
记为指大图低)；在
上，指数越大，幂函数图象越远离
轴(简记为指大图高)．
（2）依据图象确定幂指数
与
的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．
题型07 幂函数的单调性问题
【例13】下列幂函数在区间
上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 ．（填入所
有正确的序号）
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
．
【答案】②⑥
【详解】因为幂函数
在区间
上是严格增函数，所以
，故③④不满足题意，
因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以
为奇函数，
根据奇函数的性质
，
因为
的定义域为
，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意；
因为
的定义域为
，且
，故②满足题意；
因为
的定义域为
，但
，故⑤不满足题意；
因为
的定义域为
，但
，故⑥满足题意．
故答案为：②⑥．
【例14】幂函数
在
上单调递减，则m 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】B
【详解】由函数
为幂函数，得
，
解得
或
，
当
时，
，此时
在
上单调递减，符合题意，
当
时，
，此时
在
上单调递增，不符合题意，
故
，
故选：B
【变式7-1】已知函数
，设
，则
（ ）
A．在
上单调递减
B．在
上单调递增，
上单调递减
C．在
上单调递增
D．在
上单调递减，
上单调递增
【答案】D
【详解】
，定义域为R，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
在
上单调递减，
上单调递增.
故选：D
【变式7-2】已知
，函数
在
上是单调函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于
，
，结合相关幂函数性质，易知其在
上单调递增，故函数在R 上单调
递增，
所以
，即
.
故选：D.
【变式7-3】若幂函数
在
上是增函数，则实数
．
【答案】
【详解】
是幂函数，所以
，解得
或
；
当
时，
，
在
上递增，符合题意；
当
时，
，
在
上递减，不符合题意；
综上所述，
.
故答案为：
需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函
数的单调性
题型08 幂函数的奇偶性问题
【例15】使幂函数
为偶函数，且在
上是减函数的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【详解】因
为偶函数，则
不能为
，
，
可以为
，
.
又
在
上是减函数，则
.
故选：C
【例16】幂函数
的图象关于原点对称，且在
上是增函数，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A 选项，
在
上单调递减，不符合题意；
B 选项，
的定义域是
，图象不关于原点对称，不符合题意；
C 选项，
是偶函数，图象关于
轴对称，不符合题意；
D 选项，
是奇函数，图象关于原点对称，且在
上是增函数，符合题意.
故选：D
【变式8-1】已知函数
，则“
”是“
是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】函数
，
若
，则
，
是奇函数；
若
是奇函数，则
.
故“
”是“
是奇函数”的充要条件.
故选：C.
【变式8-2】已知
，若幂函数
为奇函数，且在
上递减，则
【答案】
【详解】因为幂函数
在
上递减，所以
，
又幂函数
为奇函数，所以
.
故答案为：
【变式8-3】已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上
单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意，所以
，
则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递减，则
.
故选：A.
题型09 根据幂函数的单调性比较大小
【例17】已知实数
，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
在
上单调递增，且
，
所以
，即
.
因为
在
上单调递减，且
,
所以
，即
.
因为
在
上单调递增，
所以
，所以
，
所以
.
故选：A
【例18】已知
，则“
”是“
”的（ ）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【详解】由于函数
在
上单调递增，
故当
时，可得
；
当
时，也可得
，
故“
”是“
”的充要条件，
故选：C
【变式9-1】已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
故
，
,
所以
，故
.
故
.
故选：D.
【变式9-2】若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【详解】
在
上单调递增，
当
时，
；
在
上单调递增，
当
时，
；
综上所述：
，
.
故选：D.
【变式9-3】已知
为实数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为
在
上单调递减，
等价于
，所以
，即“
”的
充要条件是“
”；
因为
在
上单调递增，
等价于
，所以
，即“
”的充要条件是“
”.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
比较幂值大小的方法:
（1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．
（2）若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．
（3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与
另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
题型10 根据幂函数的单调性解不等式
【例19】已知幂函数
的图象过点
，则
的解集为 .
【答案】
【详解】依题意设幂函数
，因为已知幂函数
的图象过点
，
所以
，解得
，所以
，
显然
是偶函数，且在
上单调递增，
所以
，
即有
，解得
或
，
所以
的解集为
.
故答案为：
.
【例20】已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调递减，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
在
上单调递减，
所以
，又
，
所以
，
因为函数
的图象关于
轴对称，
所以
为偶数，
不符合题意舍去，所以
，
函数
的定义域为
，
且函数
在
和
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
所以不等式
可化为
或
或
，
所以
或
，
所以
的取值范围为
.
故选：C.
【变式10-1】已知幂函数f(x)的图象经过点
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】设幂函数为
，代入
可得
，
即
，解得
，所以
，
由函数
在
上单调递增，得
，解得
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
【变式10-2】已知幂函数
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
．
【分析】
【详解】（1）函数
是幂函数，
所以
，解得
或
，
当
时，
，在
上是减函数，不满足
，舍去；
当
时，
，满足
，
所以
；
（2）由（1）知
，定义域为
，
因为
，所以
为偶函数，
由幂函数的性质可知
在
上单调递增，
又
，则
，
可得
，则
，
即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
．
【变式10-3】已知幂函数
的图像关于
轴对称，且在
上是减函数，实数a 满
足
，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为幂函数
在
上是减函数，
所以
，即
，
解得
．又因为
，所以
或
．
当
时，
，
，为偶函数，
图象关于
轴对称，满足题意．
原不等式为
，由于
在R 上单调递增，
则不等式化为
，解得
．
当
时，
，
，为奇函数，
不满足图象关于
轴对称，舍去．
综上，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
一、单选题
1．若幂函数
是偶函数，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
是幂函数，所以
，解得
或
.
若
，则
是偶函数，符合题意；
若
，则
是奇函数，不符合题意.
即
，据此可得大致图象符合选项A.
故选：A
2．已知
是常数，幂函数
在
上单调递增，则
（ ）
A．9
B．3
C．
D．
【答案】A
【详解】由于
是幂函数，所以
，解得
，
当
时，
，在
上单调递减，不符合题意.
当
时，
，在
上单调递增，符合题意，
则
.
故选：A
3．已知幂函数
的定义域为
，则
（ ）
A．0
B．2
C．3
D．1
【答案】C
【详解】由题意
，解得
或
，
当
时，
的定义域为
，符合题意，
当
时，
的定义域不为
，不符合题意，
综上，
.
故选：C.
4．设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
，
，
；
在
上单调递增，
，
；
综上所述：
.
故选：D.
5．已知幂函数
，且
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因
在
上单调递增，
由
，可得
，
故
.
故选：C.
6．已知函数
，正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】A
【详解】因为
，
为奇函数，
所以
，
因为
在
上单调递增，所以
，即
，
因为
均为正数，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
故
的最小值为.
故选：A
7．在同一坐标系内，函数
和
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，函数
，
，函数
，
；二者矛盾，不可能成立；
对于B，函数
，
，函数
，
；二者矛盾，不可能成立；
对于C，函数
，
，函数
，
；可能成立；
对于D，函数
，
，函数
，
，
，矛盾，不可能成立．
故选：C．
二、多选题
8．若幂函数
在
上单调递减，则
的值可能是（ ）
A．
B．4
C．
D．8
【答案】AB
【详解】设幂函数
，
若
，则
，
，在
上单调递减，符合题意；
若
，则
，
，在
上单调递减，符合题意；
若
，则
，
，定义域为
，不符合题意；
若
，则
，
，在
上单调递增，不符合题意；
故选：AB
9．已知幂函数
的图象经过点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
轴对称
C．若
，则
或
D．当
时，
，若
，则
【答案】ABD
【详解】由题可设
，因为幂函数
的图象经过点
，
所以
，所以
，所以
，故A 正确；
由上
的定义域为
，又对
，且
，
所以函数
是偶函数，其图象关于
轴对称，故B 正确；
因为
，所以
在
上单调递增，
由
是偶函数，得
，
所以
，即
，解得
，故C 错误；
因为
时，
，所以
，
又
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
10．若幂函数的图象经过点
，则此幂函数的表达式为 ．
【答案】
【详解】设幂函数的解析式为
，
由幂函数的图象经过点
，得
，解得
，
所以此幂函数的表达式为
.
故答案为：
11．若幂函数
为奇函数，则
，且不等式
的
解集为 ．
【答案】 2
【详解】因为
为幂函数，则
，解得
或
，
当
时，
，为奇函数，符合题意；
当
时，
，为偶函数，不符合题意，所以
，
可知
在定义域上单调递增，若
，则
，
解得
，即不等式的解集为
．
故答案为：2;
．
12．已知幂函数
是偶函数，则
，设
，若对于
任意
，
，则实数
的最大值为 .
【答案】 －2 －1
【详解】由已知幂函数
是偶函数，则有
，解得
或，
又
，则指数须为偶数，所以
.
所以
，则
，
不等式
可化为
，令
，
则
，
时取等号，不等式变为
.
当
时，不等式不成立；
当
时，令二次函数
，其对称轴为
，
，
要使
在
时恒成立，
则
且
，解得
，所以
的最大值为
.
故答案为：－2；－1.
四、解答题
13．已知幂函数
的图象过点
.
(1)求函数
的解析式；
(2)若不等式
对任意的
恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意可得
，
，
.
（2）由（1）可得
，
恒成立，
，
令
，
，
，
实数的取值范围为
.
14．已知幂函数
在区间
上单调递增．
(1)求
的解析式；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
是幂函数，
，解得
或
，
又幂函数
在区间
上单调递增，
，即
．
（2））易知
在
上单调递增，
又
，
，即
，
解得
，
实数
的取值范围为
．
15．已知幂函数
为偶函数.
(1)求
的值；
(2)若函数
在区间
上单调，求实数
的取值范围.
【答案】(1)2；
(2)
【分析】
【详解】（1）由幂函数的定义，有
，解得
或
，
①当
时，
，函数
为奇函数，不合题意；
②当
时，
，函数
为偶函数，满足题意；
由上知，实数
的值为2.
（2）由（1）知，
，有
，
又由函数
的对称轴方程为
.
若函数
在区间
上单调，有
或
.
可得
或
.
故实数
的取值范围为
.
16．已知幂函数
的图象不关于原点对称.
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，用单调性的定义证明：
在
上单调递增.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为
为幂函数，所以
，解得
或
.
当
时，
，定义域为R，关于原点对称，
显然
成立，故
为奇函数，其图象关于原点对称，所以
不符合题意；
当
时，
，
此时
的定义域为
，不关于原点对称，
故
不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以
符合题意.
故
.
（2）由（1）可知，
，则
，
任取
，
，且
，
则
.
因为
，所以
，
，
则
，
，所以
，
则
，
所以
，
则
，即
，
故
在
上单调递增.
