文档文本内容
专题6.2.2 直线上向量的坐标及其运算&6.2.3 平面向量的坐标
及其运算
教学目标
1．理解直线上向量的坐标定义、模与方向的关联，掌握其加减、数乘运算及中点坐
标公式，能规范进行相关计算。
2．掌握平面向量正交分解与坐标表示，熟练运用加减、数乘的坐标运算规则，会求
向量坐标与模长。
3．熟记平面向量共线的坐标条件，能依据条件判断向量共线，解决相关参数求解问
题。
教学重难点
重点：直线与平面向量的坐标表示及加减、数乘运算规则，运算的准确性与规范性。
平面向量共线的坐标条件，向量坐标与有向线段起点、终点坐标的关系。
难点：灵活运用向量坐标运算解决复杂问题，理解正交分解的本质。结合共线坐标条
件分析问题，避免运算中坐标对应错误或忽略隐含条件。
知识点01 直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
(1)定义：给定一条直线l 以及这条直线上一个单位向量
，由共线向量基本定理可知，对于直线l 上的
任意一个向量
，一定存在唯一的实数x，使得
，此时，
称为向量
的坐标．
(2)向量的模和方向与x 的关系
为单位向量)．
当
时，
的方向与
的方向相同；
当
时，
是零向量；
当
时，
的方向与
的方向相反．
在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．
(3)直线上向量的坐标：在直线l 上指定一点O 作为原点，以
的方向为正方向，
的模为单位长度建
立数轴，对于l 上的任意一个向量
，如果我们把它的始点平移到原点O，那么
的终点对应的数就是向
量
的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量
的坐标分别为
（1）
的充要条件是
.
（2）
的坐标为
，
的坐标为
，
的坐标为
.
（3）设
是数轴上的两点，
是线段AB 的中点，则
【即学即练】
1．直线上向量
，
的坐标分别为-3，5，则向量
的坐标和模分别是（ ）
A．-19，19
B．21，21
C．-19，5
D．1，1
【答案】A
【详解】由题可知，向量
的坐标为
，
向量
的模为
故选：A
2．已知
是直线l 上的一个单位向量，则直线l 上的向量
，
的坐标分别是 .
【答案】
，
/
，
【详解】由直线上线向量的坐标的定义知，
，
的坐标分别是
，
.
故答案为：
，
.
知识点02 平面向量的坐标及其运算
1．平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与
轴、y 轴方向相同的两个单位向量
作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量
,有且仅有一对实数x,y,使得
，则有序数对
叫做向量
的坐标.
（4）坐标表示
.
（5）特殊向量的坐标:
2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量
则有下表
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的
和
减法
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的
差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来
向量的相应坐标
向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
终点的坐标减去起点的坐标
已知
,则
模
3．平面向量共线的坐标表示
（1）条件:
,其中
；
（2）结论:当且仅当
时,向量
共线.
【即学即练】
1．已知向量
，
，若
，则实数
.
【答案】
【详解】由
可得：
，
即
故答案为：
2．已知向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】已知向量
，
若
，则
，解得
或
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
题型01 直线上向量的坐标及运算
例1．已知数轴上两点
的坐标分别是0，
，则
的坐标是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【详解】因为数轴上两点
的坐标分别是
，
所以向量
的坐标是
.
故选：A.
例2．已知A，B 都是数轴上的点，
，
，则
的坐标为
A．17
B．1
C．-1
D．-17
【答案】B
【详解】由题意，可得
的坐标为，向量
的坐标为
，
所以向量
的坐标为
．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法
则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式1-1．数轴上点M，N，P 的坐标分别为3，-1，-5，则
等于
A．-4
B．4
C．-12
D．12
【答案】A
【详解】
，
故选：A.
【点睛】本题考查数轴上的向量坐标表示，是基础题.
变式1-2．数轴上点P，M，N 的坐标分别为-2，8，-6，则在①
；②
；③
中，
正确的表示有
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【详解】①数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减起点的坐标，
，
故①不正确；
②③
，
，故②③正确.
故选：C.
【点睛】本题考查数轴上的向量坐标表示，是基础题.
变式1-3．数轴上点
的坐标为
，若点
在数轴上，且
对应的坐标为
，则
点对应的坐标是
.
【答案】
【详解】数轴上
点的坐标为
，
设
点对应的坐标是
，
因为
对应的坐标为
，则
，
即
点对应的坐标是
.
故答案为：
.
题型02 平面向量的坐标表示
例3．在平面直角坐标系中，
，
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，所以
.
故选：A.
例4．在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为
，若向量
，则点A 的坐标为 ．
【答案】
【详解】设点A 的坐标为
，因为点B 的坐标为
，
所以向量
，
向量
，所以
，解得
，
所以点A 的坐标为
.
故答案为：
变式2-1．已知
，
，则与向量
方向相反的单位向量为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
，可得向量
，
则与向量
方向相反的单位向量为
，
故选：C.
变式2-2．已知知两点
，
，且点P 为线段AB 的中点.则
的坐标为 ．
【答案】
【详解】点P 为线段AB 的中点，所以
，则
，
故答案为：
.
变式2-3．已知平面内平行四边形的三个顶点
，求第四个顶点
的坐标．
【答案】
，或
，或
【详解】因为
，所以
设第四个顶点
的坐标为
．
可分别以
为对角线构建平行四边形
如图1，若构成的平行四边形是以
为对角线的平行四边形
，则有
.
所以
，解得
.
所以点
的坐标为
.
图1
如图2，若构成的平行四边形是以
为对角线的平行四边形
，则有
.
所以
，解得
.
所以点
的坐标为
.
图2
如图3，若构成的平行四边形是以
为对角线的平行四边形
，则有
.
所以
，解得
.
所以点
的坐标为
.
图3
所以，第四个顶点
的坐标为
，或
，或
.
题型03 平面向量的坐标运算
例5．如果用，
分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且
，
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．0
【答案】D
【详解】用，
分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，则
，且
，
，
若
，
则
，则
.
故选：D.
例6．已知
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
.
故选：D.
变式3-1．已知点
，
，且
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】点
、
，且
，
设点
的坐标为
，则
，
所以，
，
，求得
，
，故点
的坐标为
，
故选：A．
变式3-2．已知
，若
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，
因为
，
所以
⇒
故
.
故选：A.
变式3-3．已知平面向量
，
，则
.
【答案】
【详解】因为
，所以
，
所以
，解得
，所以
．
故答案为：
.
题型04 根据线段比例求点的坐标
例7．已知三点
、
、
在一条直线上，点
，
，且
，则点
的坐标为 .
【答案】
；
【解析】先设点
，再结合向量相等的坐标表示求解即可.
【详解】解：设点
，
由
，
，
则
，
，
又
，
则
，解得
，
即
，
故答案为：
.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，重点考查了向量相等的坐标表示，属基础题.
例8．已知
，点
在线段
的延长线上，且
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为点
在线段
的延长线上，且
，所以点
为
中点，
设点
，则
，解得
，所以点
的坐标为
.
故选：C.
变式4-1．已知
，
，点
分
所成的比为
，则
与
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵
，
，
，
∴
，
，
∵
分
所成的比为
，∴
，即
，
∴有
，解得
.
故选：D.
变式4-2．
的重心为
，顶点
，则
．
【答案】1
【详解】
的重心为
，顶点
则
，解之得
，则
故答案为：1
变式4-3．已知点
，向量
，
，点
是线段
的三等分点，则点
的坐标是
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【详解】因为
，
，可得
，
又因为点
是线段
的三等分点，则
或
，
所以
或
，
即
点的坐标为
或
.
故选：C.
先明确线段端点坐标与比例关系，将分点对应的向量表示为两端点向量的线性组合，再通过“向量坐标
=终点坐标
起点坐标”转化为坐标方程，代入端点坐标求解，注意区分内分点、外分点，确保比例对
应与运算准确。
题型05 根据坐标求向量的模
例9．已知向量
，
，
，则m 的值为（ ）
A．0
B．-2
C．0 或-2
D．0 或2
【答案】D
【详解】向量
，
，故
，
所以
，解得
或2．
故选：D．
例10．已知向量
，则下列选项中与
同向的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设与
同向的单位向量为
，
则
，解得
（负根舍去），所以
.
故选：A.
变式5-1．已知向量
、
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为向量
、
满足
，
，
则
.
故选：A.
变式5-2．已知向量
，
在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．20
【答案】C
【详解】由图可得，
，所以
，
所以
，
故选：C
变式5-3．已知向量
满足
，且
，则
的值为 .
【答案】
【详解】根据题意，设
，则
，
，
由于
，所以
，
则
，得
，
所以
，即
，所以
.
故答案为：
题型06 向量共线的坐标表示
例11．已知平面向量
和
，若
，则
．
【答案】
【详解】由向量
和
，因为
，可得
，解得
.
故答案为：
.
例12．（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】A 选项：
，∴
不共线，可以作为基底；
B 选项：
，∴
不共线，可以作为基底；
C 选项：
，∴
不共线，可以作为基底；
D 选项：
，∴
共线，不能作为基底；
故选：ABC．
变式6-1．已知向量
，
，若
//
，则k＝ ．
【答案】
【详解】由题得，
，
，
因为
//
，
所以
，解得
，
故答案为：
．
变式6-2．已知非零向量
，
，若A，B，C 三点共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无解
【答案】A
【详解】根据A，B，C 三点共线可知存在实数
满足
，
可知
且
，
解得
，此时
，满足题意.
故选：A
变式6-3．已知向量
，
，且
，则
的最小值为 .
【答案】6
【详解】由题可得：
，即
,
则
,
当
时，
,
则
的最小值为
，
故答案为：
题型07 利用坐标法求最值（范围）
例13．已知平面向量
，
，
，若
，
，
三点共线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为A，B, C 三点共线，所以
与
共线，因为平面向量
，
，
，
故可得
，
整理可得
，
化为关于
的一元二次方程为
，因为
存在实数解，
故
，即
，
解得
或
，
即
或
，
故选：
.
例14．如图所示，
是正六边形
的外接圆，若点
是
上的动点，设
，
则
的最大值是 ．
【答案】
【详解】如图，以直线
为
轴，线段
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可
假设正六边形边长为2，
则
，
，设
，
则
，
因为
，即
，
即
，
则
，解得
，
则
，因为
，则
故答案为：
.
变式7-1．若向量
，
，能作为平面内所有向量的一组基底，则
的取值范围为
.
【答案】
【详解】因为向量
，
，能作为平面内所有向量的一组基底，
所以
，
当
时，
，解得
，
所以若
，则
，即
的取值范围为
，
故答案为：
变式7-2．已知向量
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【详解】由题意得，
,
，
因为
，所以
，即
.
所以
，即
，当且仅当
，
时等号成立.
所以
的最大值为2.
故选：B.
变式7-3．在直角梯形
中，
，
，
，
，点E 为
边上一点，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】建立如图所示的直角坐标系，过点C 作
，垂足为F，因为
，
所以有
,
设
，
，
因此有
因为
，所以有
,
而
，所以
，
当
时，
有最大值
，当
有最小值0，
所以
的取值范围为
，
故选：A
题型08 坐标法在几何中的应用
例15．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼
的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着
现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形
，其中心为O，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【详解】法一：如图①，过点
作
，
，垂足分别是
，
，
因为
，所以
，
又
，所以四边形
为正方形，所以
，
又
，所以
，则
，故
；
法二：以
，
所在直线分别为
，
轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，
设
，则
，
因为
，所以
，
，
由
，得
，解得
，故
.
故选：A
例16．如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
(1)若
，则
的值
(2)若
交
于点
，求线段
的长
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）以点
为坐标原点，分别以
，
方向为
轴正方向建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
由
可得：
，
所以
，解得
，
因此
；
（2）设
，因为
三点共线，所以
则存在唯一实数
，使得
，
则
，可得
，
，
即
，
又
三点共线，且
，
，则
，
所以
，解得
，
则
，所以
，
所以
，
所以线段
的长
.
变式8-1．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中
，
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】以B 为坐标原点，
，
的方向分别为x，y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系.
作
，交
的延长线于点F，
由题中数据可得
，
，
，
，
则
，
，
.
因为
，所以
，则
，
解得
，故
.
故选：B
变式8-2．（多选）如图，在直角梯形
中，
，
，E 为AB 的中点，M，N 分别为线
段DE 的两个三等分点，点P 为线段BD 上的任意一点，若
，则
的值不可能是
（ ）
A．
B．3
C．7
D．9
【答案】ACD
【详解】由题可建立如图以A 为坐标原点的平面直角坐标系，
则
，不妨设
，则
，
则
，
设
，则
，
因为
，所以
，
所以
，整理得
因为
，所以
.
故选：ACD
变式8-3．如图，在直角梯形OABC 中，
，
，
，M 为AB 上靠近B 的
三等分点，OM 交AC 于D，P 为线段BC 上的一个动点.
(1)用
和
表示
；
(2)以O 为原点，
和
方向为x，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当P 为BC 中点时，写出点M，
P，D 的坐标；
(3)设
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
，
，
.
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）依题意
，
，
，
；
（2）
以O 为坐标原点，以OA、OC 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则
，
，
，
由
，可得
，又P 是BC 中点，可得
，
又
，因为A、C、D 三点共线，所以
，解得
，所以
，
∴
，则
.
（3）由已知
，
因P 是线段BC 上动点，则令
，
，
又
不共线，则有
，
，
，在
上递增，
所以
，
故
的取值范围是
.
先建立合适的直角坐标系，给图形关键点赋坐标，再将几何关系（平行、共线、长度等）转化为向量坐
标问题，通过坐标加减、数乘运算或共线坐标条件计算，求解未知量或验证结论，
一、单选题
1．已知向量
，
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】详解】
，
故选：B.
2．已知点
，
，且
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】设
，则
，
.
因为
，所以
，解得
，
所以点
的坐标为
.
故选：B.
3．已知向量
，
在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】详解】建立平面直角坐标系可得，
，
，
所以
，所以
.
故选：A.
4．已知点
，向量
，
，点P 是线段AB 靠近点A 的三等分点，则点P 的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】由题意得
，所以
，即
，
设
，则
，所以
.
故选：B
5．已知直角△ABC 中，
，
，
为边
的中点，
是边
上的动点，则
的最
小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】详解】因为
，所以以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，设
，
，
则
，得到
，
所以
，
当且仅当
，即
时，
，
所以
.
故选：
.
二、多选题
6．已知向量
，
，且
与
共线，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】详解】因为
，
，且
与
共线，
则当
与
同向时，
，则
；
则当
与
反向时，
，则
.
故选：AD.
7．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
，点
在直线
上，且
，
则点
的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】详解】设
，由题意得
，且点
在直线
上，故
可得以下两种
情况：
①
，此时有
，可得
，解得
.
②
，此时有
，可得
，解得
.
综上所述，点
的坐标为
或
.
故选：AB
三、填空题
8．已知向量
，若存在实数
，使得
与
的方向相同，则的一个取值为 ．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】详解】由向量
，存在实数x，使得
与
的方向相同，
则
，即
，可得
，所以
，则
,取
.
故答案为：
9．已知O 为坐标原点，
，若
，则与
共线的单位向量为 ．
【答案】
或
.
【分析】详解】因为
，所以
，
由
，可得
，即
，所以
，
可得
，所以
，
则
，
所以与向量
同向的单位向量为
，与向量
反向的单位向量为
，
所以向量
共线的单位向量为
或
.
故答案为：
或
.
10．在
中，
，点
满足
，点
使得
，直线
与
相交于点
，则
的坐标为 ．
【答案】
【分析】详解】由题知，
，
，则
，
由
三点共线设
，则
，
所以
，
，
因为点
三点共线，所以
，
则
，解得
，
所以
，则
，
故答案为：
．
四、解答题
11．如图，四边形
是正方形.
在边
上运动，
在边
上运动，
与
交于点
.
(1)若
是
的中点，
，
，求实数
的值；
(2)若
，
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，
则
，所以
，
，
设点
，则
，
由
，得
，
所以
，即
，得到
，
设
，则
，
所以
，解得
.
（2）因为
三点共线，且
，
所以
，
设正方形的边长为1，
，
则
，
所以
，
，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
，
所以
，
若
，则
，
若
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上所述：
的故大值为1.
12．已知平面向量
，
.
(1)求向量
的坐标；
(2)当实数k 为何值时，
与
共线.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
（2）
，
，
与
共线，
，解得：
.
13．已知向量
，
，点
，若
(1)求与向量
方向相同的单位向量
的坐标；
(2)求点M 的坐标；
(3)若点
满足
，求y 与
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）因为
，所以
，
与向量
方向相同的单位向量
；
（2）因为
，所以
，
整理得
，
因为点
，所以
；
（3）因为
，所以
，所以
，
即
，所以
，
解得
，
14．已知
是平面内两个不共线向量，
，且
三点共线.
(1)求实数
的值；
(2)已知
，若
，
，且
四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点
的坐
标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
因为
三点共线，所以存在
使得
，
即
，
因为
是平面内两个不共线向量，
所以
，解得
.
（2）当
，
时，
，
设
，则
，
因为
四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以
，则
，解得
，
所以
.
15．已知向量
、
.
(1)求
的模
和其单位向量
；
(2)若
，以
、
为基表示向量.
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
的单位向量
.
（2）设
，则
，
∴
解得
，∴
16．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
．
(1)求
的坐标；
(2)已知
，且
，求
的值．
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）设
，由
可知，
，
又
，
，由
可得
，
即
，于是
，解得
或
，
即
或
（2）根据三角形的三边关系可知，若
三点不共线，则
和条件矛盾，
故
三点共线，且
在射线
或
上.
，
由（1）知，当
时，根据
三点共线可得，
，
解得
，此时
，
在线段
上，不符题意；
当
时，根据
三点共线可得，
，
解得
，此时
，
在射线
上，符合题意.
综上，
17．如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
(1)若
，则
的值
(2)若
为
中点，连接
，交
于点
，求证
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
【详解】（1）如下图，以点
为坐标原点，分别以
方向为
轴正方向建立平面直角坐标系，
则
，
则
，
由
可得
，
即
，解得
，
因此
；
（2）易知
，设
，
易知
三点共线，可得
，即
，
可得
，即
，
又
三点共线，且
，
所以
，解得
，则
，
所以
，
，易知
；
即可得
.
