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专题7.3.4 正切函数的性质与图像
教学目标
1．认识正切函数的图象特征，掌握其图象的关键形态与分布规律。
2．熟知正切函数的定义域、值域、周期等核心性质，理解奇偶性本质。
3．能运用正切函数的单调性等性质，解决简单的函数问题。
教学重难点
重点：正切函数的图象特征及定义域、周期、单调性、奇偶性等核心性质；正切函数
最小正周期为
的特点及单调递增区间的识别。
难点：理解正切函数定义域的限制条件，把握图象的渐近线特征；灵活运用正切函数
的性质分析问题，避免忽略定义域陷阱。
知识点 正切函数的图象与性质
图象
定义域
值域
R
周期
最小正周期为
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间
内单调递增
【即学即练】
1．函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
，即
，
所以其最小正周期为
．
故选：A
2．作出函数
的图象.
【答案】图见解析
【详解】解：函数
是将
在
轴下方部分的图象关于
轴翻折上去，所以
的图象
如下所示：
题型01 正切（型）函数的定义域
例1．函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】由
得
，
所以函数的定义域为
；
故答案为：
.
例2．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得
则
，解得
，
故选：B
变式1-1．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，
则
，解得
.
故选：C
变式1-2．已知函数
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
，则
．
故选：D.
变式1-3．函数
的定义域为 ．
【答案】
【详解】由题意
，得
，
所以
，
解得
，
故所求函数的定义域为
．
故答案为：
题型02 正切（型）函数与不等式
例3．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，
所以
，故
.
故选：B.
例4．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A
变式2-1．若
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】当
时，
；
当
时，
且
在
上单调递增，
；
综上所述：
的解集为
.
故答案为：
.
变式2-2．不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】因为
在
上单调递增，
则由
得
，
解得
，
即不等式
的解集是
故答案为：
变式2-3．已知
，且
，则x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：
等价于
或
，
如图所示：
由正切函数图象知
，
故选：B．
题型03 正切（型）函数的周期
例5．（多选）下列函数中，以
为最小正周期的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A 选项，
，所以A 正确；
对于B 选项，
，所以B 正确；
对于C 选项，
，所以C 正确；
对于D 选项，
，所以D 错误.
故选：ABC.
例6．函数
的最小正周期为
，则
的定义域是 .
【答案】
【详解】由题意得
，解得
，故
，
令
，解得
，
故
的定义域为
.
故答案为：
变式3-1．函数
的相邻两个零点之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的相邻两个零点之间的距离等于它的最小正周期
．
故选:C
变式3-2．函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
又函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期也为
，
所以
的最小正周期与
的最小正周期相同，为
故选：C
变式3-3．若函数
的图象与直线
的相邻两个交点的距离为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【详解】因为函数
的图象与直线
的两个相邻交点之间的距离为
，
所以
的最小正周期
，又
，所以
．
故选：C．
求三角函数周期的方法：
1、定义法，即利用周期函数的定义求解；
2、公式法，对形如
（
，
，
是常数，
,
）的函数，
；
3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。
题型04 正切（型）函数的奇偶性
例7．已知
，若
，则
．
【答案】1
【详解】函数
，而
，
则
，
所以
.
故答案为：1
例8．已知函数
，则
的值为 .
【答案】
【详解】因为函数
，
则
.
故答案为：
变式4-1．下列函数中，最小正周期为
的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，函数
不是周期函数，且为偶函数，故A 错误；
对于B，函数
的最小正周期
，且为偶函数，故B 错误；
对于C，函数
的最小正周期
，且为奇函数，故C 正确；
对于D，函数
的最小正周期
，且为偶函数，故D 错误.
故选：C
变式4-2．函数
的图象大致是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且
，
∴f(x)为偶函数，图像关于y 轴对称，故AC 不符题意；
在区间
上，
，
，则有
，故D 不符题意，B 正确.
故选：B．
变式4-3．若函数
为奇函数，则
的最小值为 .
【答案】
/
【详解】因为函数
为奇函数,所以
由
得,
,
即
,所以
,
解得,
,因为
,取
,得
,所以
的最小值为
.
故答案为:
题型05 正切（型）函数的对称中心
例9.函数
的一个对称中心为 ．
【答案】
（不唯一）
【详解】令
（
），
解得
，当
时，
，
所以
的一个对称中心为
.
故答案为：
（不唯一）
例10．已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由函数
，令
，解得
，
所以该函数的对称中心为
，
因为点
是函数的对称中心，且
，所以
，
当
时，
取得最小值，其最小值为
，
所以实数
的最小值为
.
故选：A.
变式5-1．若函数
与函数
图象的对称中心完全一致，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于函数
，令
，
解得
，
即
的对称中心为
；
因为函数
的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，
且函数
与函数
图象的对称中心完全一致，
所以函数
与
的最小正周期相等，
又函数
的最小正周期
，所以
，所以
，
则
，
令
，则
，
故
，解得
，
因为
，所以
．
故选：C．
变式5-2．曲线
的对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据函数
的图象可知曲线
的图象如下图：
因此对称轴方程满足
，即可得
，
所以对称轴方程为
.
故选：A
变式5-3．“
”是“函数
的图象关于
对称”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若函数
的图象关于
对称，
则
，解得
，
因为
是
的真子集，
所以“
”是“函数
的图象关于
对称”的充分不必要条件.
故选：A.
对于函数
的图象：
对称中心：由
，得对称中心为
题型06 正切（型）函数的单调性
例11．已知函数
．
(1)求函数
的定义域；
(2)求函数
的单调区间；
【答案】(1)
(2)递增区间为
，无递减区间
【分析】
【详解】（1）由题意得：
，解得：
，
的定义域为
.
（2）令
，解得：
，
的递增区间为
，无递减区间.
例12．已知函数
在区间
内单调递增，则
的最大值为 .
【答案】1
【详解】由函数
在区间
内单调递增，
可得
，且
，解得
，
所以
的最大值为1.
故答案为：1.
变式6-1．（多选）设函数
，则
（ ）
A．定义域为
B．是奇函数
C．在
单调递增
D．在
单调递减
【答案】BC
【详解】由已知，函数定义域为
，定义域关于原点对称，
，则
为奇函数，
由于
均为单调递增函数，故
单调递增，
当
时，
单调递增，所以
在
单调递增，故BC 正确，AD 错误，
故选:BC．
变式6-2．已知定义在
上的函数
，则不等式
的解集是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵设
，
，所以
为奇函数.
易知
在区间
上单调递增，所以
在区间
上单调递增.
因为不等式
，即得
，
所以
，所以
，
因为函数
的定义域为
，所以
且
，
所以
，
又函数
在区间
上单调递增，
∴由
得，
，解得
.
故选：A.
变式6-3．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数
在
上单调递增，
根据正切函数的性质，可得
，
当
时，可得
，则
，解得
．
故选：D.
用“基本函数法”求函数
的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数
的单调增区间；
第二步：将“
”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“
”；
第三步：解关于
的不等式
题型07 正切（型）函数比较大小
例13．若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
是第三象限角
【答案】B
【详解】对ABD，因为
，所以
是第二象限角，
，故A 错误，B 正确，D 错误；
对C，因为
在
上单调递增，所以
，故C 错误.
故选：B.
例14．已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
由正弦函数的单调性得，
，即
，
又
，
，所以
，即
，
所以
，
故选：B．
变式7-1．下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A 选项：∵
，且
，∴
，∴
，A
选项错误；
B 选项：
，又∵
，∴
，B 选项正确；
C 选项：∵
，∴
，C 选项错误；
D 选项：∵
，∴
，
，且
，
∴
，D 选项错误.
故选：B.
变式7-2．（多选）在锐角△ABC 中，三个内角分别是
，
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意可知
，
，
，
则
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
，
，
所以
，
故AC 正确，BD 错误.
故选：AC.
变式7-3．若锐角
满足
，则下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．以上说法均不对
【答案】B
【详解】锐角
满足
，又
在
上单调递增，
所以
，
对于
：
在
上单调递减，所以
，故
错误；
对于
：
在
上单调递增，所以
，故
正确；
对于
：
，由不等式的性质可得
，故
错误.
故选：
.
题型08 正切（型）函数的值域
例15．函数
的值域是 .
【答案】
【详解】函数
.
，令
.
函数
在
上单调递增，
，即
，
，
函数
的值域为
.
故答案为：
例16．函数
在x [
∈
]上的最大值为4，则实数a 为 .
【答案】
/
【详解】函数
在
上单调递增，则当
时，
，
因此
，解得
，
所以实数a 为
.
故答案为：
变式8-1．设函数
．
(1)求
的最小正周期和单调区间；
(2)求
在区间
的值域．
【答案】(1)最小正周期
；
在
单调递减，无单调递增区间
(2)
【分析】
【详解】（1）
的最小正周期
，
，解得
，
在
单调递减，无单调递增区间．
（2）由（1）得
在区间
单调递减．
，
所以
的值域为
变式8-2．若函数
，
的图象都在
轴上方，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为函数
，
的图象都在
轴上方，
所以
对于
恒成立，
所以
对于
恒成立，
因为
，所以
，
，
所以
，
所以
，
所以实数
的取值范围为
，
故答案为：
.
变式8-3．函数
在
上的最大值和最小值分别为
和
，求a，b
的值．
【答案】
【详解】当
时，
在
上单调递增，故
，即
，解得
.
当
时，
在
上单调递减，故
，即
，解得
.
故
【点睛】本题主要考查了根据正切型函数的单调性与最值求解参数的问题，属于基础题.
题型09 正切函数（二次、分式）的值域
例17．函数
，
的值域为 ．
【答案】
【详解】当
时，
，
，
当
时，
；当
时，
；
，
的值域为
.
故答案为：
.
例18．已知
，求函数
的最小值．
【答案】4
【详解】当
时，
，设
，则
，
则
，当且仅当
时等号成立．
所以
的最小值为4.
变式9-1．函数
的值域为 .
【答案】
【详解】由
得
，
，
故当
时，有最小值
，当
时，有最大值
.
故答案为：
.
变式9-2．当
时，函数
的最小值是 .
【答案】
【详解】
，
当
时，
，所以
，
，即
的最小值为
.
故答案为：
变式9-3．求函数
的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量
的集合.
【答案】
，此时
【详解】解：因为
，令
，则
，
，因为
，所
以
，即
时
，即
，
，即当
时函数取得最大值
一、单选题
1．若函数
的图象的一个对称中心的横坐标为2，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于
，由
，可得，
，
即函数
的图象的对称中心为
，
依题意，
，
解得
，
因为
，则
时，可得
的最小值为
.
故选：B.
2．已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由图知
的最小正周期
，所以
.
又
，所以
.
因为
，所以
，所以
.
故选：D.
3．若点
是函数
的图像的一个对称中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】正切函数
的对称中心为
，
,所以有
，因此
.
又因为
，所以最小值为
时，
.
故选：B．
4．已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，函数
，
设
，则有
，解可得
，
即函数的定义域为
，关于原点对称，
又由
，即函数
为奇函数，
而
为奇函数，所以
为奇函数，
设
，则
，
，在
上为增函数，而
在
上为增函数，
故
在区间
上为增函数，而
在区间
上为增函数，
所以函数
在区间
上为增函数，
关于
的不等式
，
即为
，
化为
，也就是
，
所以
解得
.
故选：A
5．函数
在区间
内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
当
时，可得
，
所以
，
此时函数为单调递减函数，且
，可排除选项C、D；
当
时，可得
，
所以
，
此时函数为单调递增函数，且
，可排除选项A．
故选：B．
二、多选题
6．将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期是
B．
的图象关于直线
对称
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象关于点
对称
【答案】AD
【详解】由题意得，
，则
的最小正周期是
，故A 正确；
由正切函数性质得
的图象不是轴对称图形，故B 错误；
若
，则
，
因为
在
上单调递增，所以
在区间
上单调递增，故C 错误；
而
，故D 正确.
故选：AD
7．如图，函数
的部分图象与坐标轴分别交于点
，
，
，且
的面积
为
，则（ ）
A．函数
的周期为
B．
C．
是
图象的一个对称中心
D．
的解集为
【答案】BC
【详解】对于A，由
，所以函数
的最小正周期为
，故A 错误；
对于B，
，因为
的面积为
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
所以
，即
，
又因为
，所以
，故B 正确；
对于C，
，由
，得
，
所以函数
图象的对称中心为
，
当
时，可得
是
图象的一个对称中心，故C 正确；
对于D，由
，得
，所以
，
所以
，解得
，
所以
的解集为
，故D 错误.
故选：BC.
三、填空题
8．若函数
的图象关于点
（
）对称，则
.
【答案】
【详解】令
，则
，故
的对称中心为
，
所以
，可得
时有
.
故答案为：
9．函数
的值域是 .
【答案】
【详解】令
，
，
在
上单调递增，
.
故答案为：
10．已知
，若点
在第一象限，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为点
在第一象限，则
，
且
，可知角
不为轴线角，
若
，则
，
可得
，
且
，则
，可得
；
若
，则
，
可得
，不合题意；
若
，则
，
可得
，
且
，则
，可得
；
若
，则
可得
，不合题意；
综上所述：
的取值范围是
.
故答案为：
.
四、解答题
11．已知函数
．
(1)若函数
的最小正周期为
，求
的定义域及单调递增区间；
(2)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围．
【答案】(1)函数
的定义域为：
，单调递增区间为：
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意可知，函数
的最小正周期
，则
；
，即
，所以函数
的定义域为：
；
令
，化简得：
，
所以函数
的单调递增区间为：
；
（2）令
，因为
，所以
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
，则有
，
解得
，又因为
，所以
或1，
则
或
，即
的取值范围为
．
12．已知函数
，点
和
是曲线
相邻的两个对称中
心．
(1)求
的解析式；
(2)若关于
的方程
在区间
内恰有两个实根，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】
【详解】（1）由题可知
的最小正周期T 满足
，解得
，
又由题意
，
所以
，即
，
又
，所以
，所以
．
（2）设
，函数
，则
，
因为关于
的方程
在区间
内恰有两个实根，
所以函数
在
上存在两个零点，
因为对任意
有
，
所以
为奇函数，
（i）若
，当
时，
，故
在区间
上无零点；
当
时，一方面有
，
另一方面，若存在
使得
，则
，
若对任意
，则
，
故
的零点个数为奇数，不合题意．
（ii）若
，当
时，
为增函数，
所以
在区间
上只有唯一零点0；
当
时，函数
分别为减函数和增函数，且
恒成立，
又
，
时
，
所以
时，函数
有唯一交点，
在区间
上有唯一零点，
所以函数
在
上存在两个零点，
综上所述，
的取值范围为
．
13．函数
中，
，最小正周期为
，
．
(1)求
；
(2)求函数
在
上的值域；
(3)求不等式组
的解集．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）∵最小正周期为
，∴
，又∵
，∴
，
又∵
，∴
．
（2）∵
，∴当
时，
，
∴函数
在
上的值域为
.
（3）∵
，∴
，
∴
，其中
，∴
，
即不等式的解集为
．
