专题04
基本不等式压轴题
1.基本不等式：ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：__
___．
(2)等号成立的条件：当且仅当
时，等号成立．
(3)其中
2
b
a
叫做正数a，b 的算术平均数，
ab 叫做正数a，b 的几何平均数．
2.利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当
时，x＋y 有最小值
p
2
．
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当_
_时，xy 有最大值4
2
S
．
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
3.常用不等式
(1) a2＋b2≥
(a，b∈R)．
(2)
b
a＋a
b≥
(a，b 同号)．
(3)ab≤
2
2
b
a
≤a2＋b2
2
(a，b∈R)
(4)
2
1
a＋1
b
≤ab≤a＋b
2
≤
a2＋b2
2
(a>0，b>0)．
题型一利用基本不等式求最值
例1.（1）.若正实数a ，b 满足
1
a
b
，则下列说法中正确的是（
）
A．ab 有最小值1
4
B．
a
b 有最小值
2
C．1
1
a
b
有最小值4
D．
2
2
a
b
有最小值
2
2
（2）．已知
0,
0
a
b
，若
4
a
b
，则（
）
A．
2
2
a
b
有最小值4
B．ab 有最大值2
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C．1
1
a
b
有最大值1
D．
1
a
b
有最小值
2
4
（3）．已知
0
x
，
0
y
，且
3
0
x
y
xy
；则下列结论正确的是（
）
A．xy 的最小值是1
B．x
y
的最小值是2
C．
4
x
y
的最小值是8
D．
2
x
y
的最大值是4 2
3
（4）．当
0
x
时，函数
2
3
1
x
x
y
x
的最小值为（
）
A．2 3
B．2 3
1
C．2 3
1
D．4
练习题
(1).已知
0,
0
a
b
，且1
4
1
a
b
，则下列结论正确的是（
）
①
1
a
②ab 的最小值为16 ③a
b
的最小值为9 ④
1
9
1
a
b
的最小值为3
A．①②
B．②③④
C．①②④
D．①②③
(2)．设
0
a
b
，则
2
1
a
b a
b
的最小值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
(3)．已知正数a，b 满足
1
a
b
，则
6
3
a
a
b
b
最小值为（
）
A．25
B．19
2 6
C．26
D．19
(4)．若正数,x y 满足1
2
1
x
y
，则
2
2
4
16
x
y
xy
的最小值是（
）
A．
108
B．100
C．99
D．96
(5)．若x
y
z
，，均为正实数，则
2
2
2
2
xy
yz
x
y
z
的最大值为（
）
A．
3
2
B．
2
2
C．
1
2
D．1
4
(6).设二次函数
2
4
f x
ax
x
c
（x
R
）的值域为
0,，则
1
9
1
9
c
a
的最大值为
A．31
25
B．38
33
C．6
5
D．31
26
(7)．已知正数a，b 满足
2
6
a
b
，则
1
2
2
1
a
b
的最小值为（
）
A．7
8
B．10
9
C．9
10
D．8
9
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(8)．已知
1,
0
x
y
>
>
，且
1
2
1
1
x
y
，则
2
1
x
y
的最小值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．7
2 6
题型二证明不等式
例2.(1)设a ，b ，c 均为正数，且
1
a
b
c
，证明：
(1)
2
2
2
1
3
a
b
c
；
(2)
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
.
（2）．若正数a，b，c 满足
1
a
b
c
.
(1)求ab
bc
ca
的最大值；
(2)求证：
2
2
2
1
2
a
b
c
b
c
c
a
a
b
.
（3）．已知a，b，c 均为大于零的实数．
(1)求证：
2
2
2
9
a
b
b
c
c
a
a
b
c
；
(2)若
1
a
b
，求3
1
a
ab
的最小值．
练习题
（1）．已知, ,
R
a b c
.
(1)证明：
2
2
2
2
2
3
a
b
c
a
b
c
≥
；
(2)若
2
2
2
9
a
b
，求
4
a
b
的最大值.
（2）．已知正实数a，b，c 满足
3
a
b
c
．
(1)求1
1
1
a
b
c
的最小值；
(2)求证：
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
b
c
a
ab
bc
ca
a
b
c
．
（3）．已知a，b，c 均为正实数，且满足
3
a
b
c
.
证明：（1）
3 2
2
ab
bc
；
（2）
2
2
2
3
2
a
b
c
b
c
c
a
a
b
.
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（4）．已知a ，b ，
R
c
，
2
2
2
1
a
b
c
．
1 证明：
1
1
2
ab
bc
ca
．
2 证明：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
a
b
c
b
c
a
c
a
b
．
题型三基本不等式求参数
例3.（1）当x ，
0,
y
时，
4
2
2
4
2
2
4
17
4
2
4
x
x y
y
m
x
x y
y
恒成立，则m 的取值范围是（
）
A．
25,
B．
26,
C．99 ,
4
D．
27,
（2）．已知正数a ，b 满足1
1
1
a
b
，若不等式
2
2
2
0
2
2
b
a
a
b
mab
恒成立，则m 的最大值为（
）
A．9
4
B．3
2
C．
2
D．3
10
4
（3）．若两个正实数x ，y 满足1
4
1
x
y
，且不等式
2
3
4
y
x
m
m
有解，则实数m 的取值范围（
）
A．
1,4
B．
, 1
4,
C．
4,1
D．
4,1
练习题
（1）．若正数,x y 满足
1
x
y
，且不等式
4
1
0
1
m
x
y
恒成立，则实数m 的最大值为（
）
A．44
7
B．27
5
C．14
3
D．9
2
（2）．设
0
x
，
0
y
，不等式1
1
0
m
x
y
x
y
恒成立，则实数m 的最小值是（
）
A．2
B．2
C．1
D．4
（3）．若对任意实数
0,
0
x
y
，不等式
(
)
x
xy
a x
y
恒成立，则实数a 的最小值为（
）
A．
2
1
2
B．
2
1
C．
2
1
D．
2
1
2
（4）．设正实数,
x y 满足
1 ,
1
2
x
y
，不等式
2
2
4
1
2
1
x
y
m
y
x
恒成立，则m 的最大值为（）
A．8
B．16
C．2 2
D．4 2 .
（5）．若两个正实数x ，y 满足
4
1
2
2
2
2
x
y
，并且
2
4
6
x
y
m
m
恒成立，则实数m 的取值范围
是（
）
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A．
, 8
2,
B．
, 2
8,
C．
,2
D．
2,8
题型四创新提升能力题
1.设, ,
0
x y z
，
1
1
1
4
,
4
,
4
a
x
b
y
c
z
y
z
x
，则, ,
a b c 三个数（
）
A．都小于4
B．至少有一个不大于4
C．都大于4
D．至少有一个不小于4
2.若实数x，y，m 满足|
| |
|
x
m
y
m
，则称x 比y 接近m，
（1）若
2
3
1
x 比3 接近1，求x 的取值范围；
（2）证明：“x 比y 接近m”是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有
2
2
a b
ab
比
3
3
a
b 接近2ab ab .
3.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一
原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB 上
取一点C ，使得AC
a
，BC
b
，过点C 作CD
AB
交圆周于D，连接OD.作CE
OD
交OD 于E .则下列
不等式可以表示CD
DE
的是（
）
A．
2
0,
0
ab
ab
a
b
a
b
B．
0,
0
2
a
b
ab a
b
C．
2
2
0,
0
2
2
a
b
a
b a
b
D．
2
2
2
0,
0
a
b
ab a
b
4.已知
*
N
k
，, ,
R
x y z
，若
2
2
2
(
)
5(
)
k xy
yz
zx
x
y
z
，则对此不等式描述正
确的是（
）
A．若
5
k
，则至少存在
．．．．一个以, ,
x y z 为边长的等边三角形
B．若
6
k
，则对任意满足不等式的, ,
x y z 都存在
．．．以, ,
x y z 为边长的三角形
C．若
7
k
，则对任意满足不等式的, ,
x y z 都存在
．．．以, ,
x y z 为边长的三角形
D．若
8
k =
，则对满足不等式的, ,
x y z 不存在
．．．以, ,
x y z 为边长的直角三角形
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1．设
2
2
2
( )
,
( 1,1)
2
2
x
x
f x
x
x
，则（
）
A．
min
( )
1
f x
B．
max
( )
1
f x
C．
min
( )
1
f x
D．
max
( )
1
f x
2．已知正数a，b 满足
1
a
b
，则
6
3
a
a
b
b
最小值为（
）
A．25
B．19
2 6
C．26
D．19
3．已知不等式
1
9
a
x
y
x
y
≥对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
4．设
0
a
b
c
，则
2
2
1
1
2
10
25
(
)
a
ac
c
ab
a a
b
的最小值是
A．2
B．4
C．2 5
D．5
5．若
1
2
1
2
1
2
1
2
0
,0
,
1
a
a
b
b
a
a
b
b
且
，则下列代数式中值最大的是
A．
1 1
2 2
a b
a b
B．
1
2
1 2
a a
bb
C．
1 2
2 1
a b
a b
D．1
2
6．（多选题）已知
0
x
，
0
y
，且
2
6
x
y
xy
，则（
）
A．xy 的最大值为
2
B．x
y
的最小值为4 2
3
C．
1
1
2
1
x
y
的最小值为
2
2
D．
2
2
2
1
x
y
的最小值为16
7．（多选题）已知正数a，b 满足
1
a
b
，则（
）
A．ab 的最大值为1
4
B．1
1
a
b
的最小值为4
C．
a
b 的最小值为
2
D．
1
a
b
的最大值为1
8．已知
0,
0
a
b
，且
1
ab ，则1
1
8
2
2
a
b
a
b
的最小值为
．
9．已知实数a 、b 、c满足
0
a
b
c
，
2
2
2
1
a
b
c
，则a 的最大值为
.
10．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac1
3 ；
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（Ⅱ）
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
.
11．（1）若正数x，y 满足x＋y＋8＝xy，求xy 的取值范围．
（2）已知a，b，c 都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：
1
1
1
10
a
b
c
a
b
c
≥
．
12．（1）已知
0
x
，
0
y
，
2
x
y
，求4
1
x
y
的最小值；
（2）已知
1
0
4
x
，求
1
4
y
x
x
的最大值.
13．汽车在隧道内行驶时，安全车距d （单位：m ）正比于车速v（单位：km/h ）的平方与车身长l（单位：
m ）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为70km/h 时，安全车距为19.6个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距d 与车速v 之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10 辆同一型号的货车，车身长为10m ，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧
道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为800m 的隧道用时最短?
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