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拓展提升03 平行与垂直的证明
题型01 线线平行的证明
解题锦囊
（1）如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行；
（2）垂直于同一平面的两个直线平行
（3）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
【典例1】（24-25 高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥
中，
，
，
，点E 在PD 上，且
，平面
平面
，证明：
.
【变式1】（24-25 高一下·全国·随堂练习）如图所示，在空间四边形
中，F，G 分别是BC，CD 的
中点，
平面
，则EH 与FG 的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
【变式2】（24-25 高二上·广东·期末）如图，在五面体
中，四边形
是正方形，求证：
.
【变式3】（23-24 高一下·四川眉山·期中）如图，已知四棱锥
中，底面
是平行四边形，
设平面
平面
，求证：
.
【变式4】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体
被一平面所截，截面
是一个平
行四边形.求证：
.
【变式5】（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱
中，
，
，点
、
分别为棱
、
的中点，点
是线段
上的点（不包括两个端点）．
设平面
与平面
相交于直线
，求证：
.
【典例2】（2025 高一·全国·专题练习）如图，平面ABCD,
平面ADE，
．求证：
．
【变式1】（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知正方体
，平面
与平面
的交线
为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体
中，作截面
如图交
，
，
，
分别于
，
，
，
，则四边形
的形状为（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．梯形
【变式3】（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知正方体
，平面
与平面
的交线
为l，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】如图所示，圆台的上下底面圆半径分别为
､
和
为圆台的两条不同的母线.
分别为圆台的上下底面圆的圆心，且
､
为等边三角形. 求证：
.
【典例3】（24-25 高一·河北·期中）如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD，
AD＝AP，E 是PD 的中点，M，N 分别在AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式1】（24-25 高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体
中，
与
，
都垂直
相交，垂足分别是点
、点
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
.
【变式2】（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2．
，
分别为
与
上的点，且
，
．
求证：
；
题型02 线面平行的证明
解题锦囊
（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；
（2）面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
【典例4】（24-25 高一下·安徽·期中）如图，在四棱锥
中，
和
均为正三角形，
，
，
为
上一点，设平面
与平面
的交线为．
(1)求证：
面
；
(2)求证：
面
．
【变式1】（24-25 高一下·浙江宁波·期中）如图，正四棱锥
中，
，
，E 为SC 中点.
求证：
平面BDE；
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在长方体
中，
分别为
和
的
中点．求证：
平面
．
【典例5】（23-24 高一下·海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥
中，底面
是平行四边形，
为侧棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
为侧棱
的中点，求证：
平面
.
【变式1】（23-24 高一下·浙江杭州·期中）正方体
中，
，
分别是
，
的中点.
求证：
平面
【变式2】（24-25 高一·浙江杭州·期末）如图，点S 是
所在平面外一点，M，N 分别是SA，BD 上
的点，且
．求证：
平面
．
【变式3】（24-25 高一下·天津·期中）已知在直三棱柱
中，
，且
分别是
，
的中点.证明：
平面
.
【变式4】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱
中，
⊥平面
，
，
是等边三角形，
分别是棱
的中点．证明：
平面
．
题型03 面面平行的证明
解题锦囊
（3）一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行
（4）一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行；
（5）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（6）平行于同一个平面的两个平面平行.
【典例6】（23-24 高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥
，底面
为矩形，
，
，
分别是
，
，
的中点.证明：
(1)平面
平面
；
(2)
平面
.
【变式1】（23-24 高二上·四川内江·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
分别是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
.
【变式2】（2025 高一·全国·专题练习）在圆柱
中，等腰梯形
为底面圆
的内接四边形，且
，矩形
是该圆柱的轴截面，
为圆柱的一条母线，
．
求证：平面
平面
.
【变式3】（24-25 高一下·浙江金华·期中）在正方体
中，
分别是
和
的中点，求证
(1)
(2)
平面
．
(3)平面
平面
．
题型04 线线垂直的证明
解题锦囊
（1）勾股定理：若直线相交且已知长度关系可以考虑勾股定理证明两直线相交；
（2）线面垂直的性质定理：两个直线是异面直线，可以考虑一条直线垂直包含另一条直线的平面，利用
线面垂直的性质证明线线垂直.
（3）证明异面直线所成角为直角.
【典例7】（2025 高一全国·专题练习）如图，
是等腰直角三角形，
都垂直于平
面
，且
为线段
的中点．证明：
.
【典例1】（23-24 高一下·云南丽江·期中）在三棱锥
中，
，
.
求证：
；
【变式2】（23-24 高一下·天津·期末）如图，在正方体
中，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
．
【变式3】（23-24 高一下·北京·期中）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为正
方形，
，
分别是
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
．
题型05 线面垂直的证明
解题锦囊
（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；
（2）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这
条直线与另一个平面垂直；
（3）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
【典例8】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，
为
所在平面外一点，
平面
，
，
于点
．求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
．
【变式1】（23-24 高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，
，
，
是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
.
【变式2】（23-24 高一下·云南曲靖·阶段练习）如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为
圆周上任意一点，AN⊥PM，N 为垂足.
(1)若
，Q 为PB 的中点，求三棱锥
的体积；
(2)求证：AN⊥平面PBM；
(3)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．
【变式3】如图，在四面体ABCD 中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F 分别为AD，BC 的中点，且EF＝.
求证：BD⊥平面ACD.
【变式4】（24-25 高一下·陕西商洛·阶段练习）如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M
为圆周上任意一点，AN⊥PM，N 为垂足．（1）求证：AN⊥平面PBM.
（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【典例9】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥
中，底面
是
且
边长为
的菱形，侧面
为正三角形，其所在平面垂直于底面
，
为
边的中点.求证：
(1)
平面
；
(2)
.
【变式1】（23-24 高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧面
是正三角形，侧面
底面
，
是
的中点.
求证：
平面
；
【变式2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，多面体
中，已知面
是边长为4 的正方形，
是等边三角形，
，
，平面
平面
．求证：
；
【变式3】（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥
中，底面
是
的菱形，侧面
为正三角形，其所在平面垂直于底面
，G 为AD 边的中点.求证：
平面
.
【变式4】（24-25 高一·广西·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱
垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵
中，已知
，且点
，
，
分别
是
，
，
边的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
．
题型06 面面垂直的证明
解题锦囊
（1）定义法：作出二面角的平面角，然后证明二面角是直角；
（2）面面垂直的判定定理：即证明一个平面经过另一个平面的垂线．
【典例10】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，四面体
中，
是正三角形，
是直角三
角形，
，
．证明：平面
平面
.
【典例11】（23-24 高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求证：
.
【变式1】（23-24 高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在直四棱柱
中，底面
是菱形，
是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
【变式2】（23-24 高二下·陕西西安·期中）在如图所示的四棱锥
中，已知
平面
，
，
，
，
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
(2)求证：平面
平面
【典例12】（23-24 高一下·山西运城·阶段练习）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，底面
ABCD 是正方形，
，点M 是棱PC 的中点.
(1)求证：平面
平面ABCD；
(2)求三棱锥
的体积.
【变式1】（24-25 高一下·山西·期中）如图，PA⊥平面ABC，AB 为圆O 的直径，E，F 分别为棱PC，PB
的中点．
(1)证明：EF
平面ABC．
(2)证明：平面EFA⊥平面PAC．
【变式2】如图，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝
a，PD＝a，E 为PA 的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
题型07 平行中的探索性问题
【典例13】（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，其中
，且
，点
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
上的动点，则线段
上是否存在点N，使得
平面
?若存在，请确定点N 的位置，
若不存在，请说明理由.
【变式1】（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示，在三棱柱
中，平面
平面
，
若
是棱
的中点，在棱AB 上是否存在一点
，使
平面
？证明你的结论．
【变式2】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在长方体
中，
，点
是
的中点．在棱
上是否存在一点
，使得
平面
，若存在，求
，若不存在，说明理
由.
【变式3】（22-23 高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥
中，
，
，
，
与
相交于点O，E 为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)
上是否存在点F，使平面
平面
．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
题型08 垂直中的探索性问题
【典例14】（23-24 高一下·河北衡水·期末）已知正方体
的棱长为
分别是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点H，使得
平面
?若存在，求线段
的长；若不存在，请说明理由.
【变式1】（2024 高一下·全国·专题练习）如图①，在直角梯形ABCD 中，
，
，
，
．沿DE 将
折起到
的位置．连接
，
，M，N 分别为
，BE
的中点，如图②．
(1)求证：
．
(2)求证：
平面
．
(3)在棱
上是否存在一点G，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（23-24 高一下·北京怀柔·期末）如图1，在
中，
分别为
的中点.
将
沿
折起到
的位置（
与
不重合），连
，如图2.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
交于过
的直线
，求证
；
(3)线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，指出
点位置并证明；若不存在，说明理由.
【变式3】（24-25 高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，直三棱柱
，
，
分别是
，
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，在棱
上是否存在点
，使
平面
.如果存在，求出点
的位置，如
果不存在，请说明理由.
