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拓展提升03 平行与垂直的证明
题型01 线线平行的证明
解题锦囊
（1）如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行；
（2）垂直于同一平面的两个直线平行
（3）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
【典例1】（24-25 高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥
中，
，
，
，点E 在PD 上，且
，平面
平面
，证明：
.
【分析】利用线面平行的判断、性质推理得证.
【详解】由四边形
为菱形，得
，
又
平面
，
平面PCD，则
平面
，
又
平面
，平面
平面
，则
，所以
．
【变式1】（24-25 高一下·全国·随堂练习）如图所示，在空间四边形
中，F，G 分别是BC，CD 的
中点，
平面
，则EH 与FG 的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
【答案】A
【分析】由三角形的中位线及线面平行的性质定理即可选出答案.
【详解】因为
分别为
的中点，
所以
,
因为
平面
,平面
平面
,
平面
,
所以
,
由平行的传递性可知
.
故选：A.
【变式2】（24-25 高二上·广东·期末）如图，在五面体
中，四边形
是正方形，求证：
.
【分析】根据线面平行的判定定理得
平面
，再由线面平行的性质，即可证明结果.
【详解】由多面体的定义知，
四点共面，
四点共面，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，且平面
平面
=
，所以
.
【变式3】（23-24 高一下·四川眉山·期中）如图，已知四棱锥
中，底面
是平行四边形，
设平面
平面
，求证：
.
【详解】因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
.
又因为平面
平面
，
平面
，
所以
.
【变式4】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体
被一平面所截，截面
是一个平
行四边形.求证：
.
【答案】证明见解析
【分析】由线线平行得到线面平行，再由线面平行的性质得到线线平行，证明出结论.
【详解】∵四边形
为平行四边形，∴
，
又
平面
，
平面
，
∴
平面
.
而平面
平面
，
平面
，
∴
，∴
.
【变式5】（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱
中，
，
，点
、
分别为棱
、
的中点，点
是线段
上的点（不包括两个端点）．
设平面
与平面
相交于直线
，求证：
.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，由线面平行的判定定理可得
平面
，再由线面平行的性质定理可得
，
即可得到证明.
【详解】因为点
，
分别为棱
、
的中点，则
，
在三棱柱
中，四边形
为平行四边形，
所以，
，则
，
因为
平面
，
平面
，所以，
平面
，
因为
平面
，平面
平面
，所以，
，
故
．
【典例2】（2025 高一·全国·专题练习）如图，平面ABCD,
平面ADE，
．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，先证明平面
平面
，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案.
【详解】∵
，
平面ADE，
平面ADE，∴
平面ADE．
∵
平面ADE，
，
平面BCF，
∴平面
平面
．
又平面
平面
，平面
平面
，
∴
．
【变式1】（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知正方体
，平面
与平面
的交线
为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用面面平行的性质定理可得
，再逐项分析求解即可.
【详解】正方体
中，平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，所以
，
正方体中，
且
，四边形
为平行四边形，
则有
，所以
，C 选项正确；
都与
相交，则与
都不平行，ABD 选项都错误.
故选：C.
【变式2】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体
中，作截面
如图交
，
，
，
分别于
，
，
，
，则四边形
的形状为（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．梯形
【答案】A
【分析】根据题意，结合面面平行的性质，证得
和
，进而得到答案.
【详解】在正方体
中，可得平面
平面
，
且平面
平面
，平面
平面
，
所以
，同理可证：
，
所以四边形
的形状一定为平行四边形.
故选：A.
【变式3】（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知正方体
，平面
与平面
的交线
为l，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由面面平行的性质可判断.
【详解】如图，在正方体
中，
平面
平面
，
平面
平面
，
平面
平面
，
.
对于A，
，
，故A 正确；
对于B，因为
与
相交，所以与
不平行，故B 错误；
对于C，因为
与
不平行，所以与
不平行，故C 错误；
对于D，因为
与
不平行，所以与
不平行，故D 错误；
故选：A.
【变式4】如图所示，圆台的上下底面圆半径分别为
､
和
为圆台的两条不同的母线.
分别为圆台的上下底面圆的圆心，且
､
为等边三角形. 求证：
.
【答案】证明见解析.
【分析】根据圆台母线延长线交于一点，得到
四点共面，再借助圆台上、下底面平行，根据面
面平行性质得出线线平行.
【详解】证明：
圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
母线
与母线
的延长线必交于一点，
四点共面.
圆面
圆面
，且平面
圆面
，平面
圆面
.
.
【典例3】（24-25 高一·河北·期中）如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD，
AD＝AP，E 是PD 的中点，M，N 分别在AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【答案】证明见解析
【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN．
【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E 是PD 的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
【变式1】（24-25 高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体
中，
与
，
都垂直
相交，垂足分别是点
、点
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先证明
，即可得到
，再由
，即可得证；
（2）首先证明
平面
，即可得到
，同理可证
，即可得到
平面
，
结合（1）的结论，即可得证．
【详解】（1）在正方体
中，
且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
，所以
，
因为
，
，
平面
，
平面
．
所以
平面
．
（2）因为
平面
，
平面
，
所以
，
又因为
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
同理可证
，
又
，
平面
，
平面
．
所以
平面
．
又
平面
，所以
．
【变式2】（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2．
，
分别为
与
上的点，且
，
．
求证：
；
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理，证明
均与平面
垂直，进而证明
；
【详解】证明：如图，连接
，
．
∵
平面
，
平面
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
又∵
，
平面
，
∴
平面
．
又∵
平面
，
∴
．同理可得
，
又∵
，
平面
，
∴
平面
．
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
，
平面
，
∴
平面
．
∴
．
题型02 线面平行的证明
解题锦囊
（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；
（2）面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
【典例4】（24-25 高一下·安徽·期中）如图，在四棱锥
中，
和
均为正三角形，
，
，
为
上一点，设平面
与平面
的交线为．
(1)求证：
面
；
(2)求证：
面
．
【分析】（1）根据已知结合余弦定理可得出
，即
，进而得出
.然后根据线面
平行的判定定理，即可得出证明；
（2）根据已知结合线面平行的判定定理，得出
面
.根据线面平行的性质定理结合已知得出
.进而即可根据线面平行的判定定理，得出证明.
【详解】（1）由
为正三角形且
可知
.
又因为
，且
，在
中，由余弦定理得
，
所以
，所以
，所以
，即
.
所以
，又因为
平面
，
平面
，
所以
面
.
（2）因为
，
平面
，
平面
，所以
面
.
又
面
，面
面
，所以
.
又
面
，
面
，所以
面
．
【变式1】（24-25 高一下·浙江宁波·期中）如图，正四棱锥
中，
，
，E 为SC 中点.
求证：
平面BDE；
【分析】连接
，交
于点
，连接
，推导出
，即可证明
平面
．
【详解】证明：连接
，交
于点
，连接
，
四棱锥
为正四棱锥，
四边形
是正方形，
是
中点，
是
中点，
是
的中位线，
，
平面
，
平面
，
平面
．
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在长方体
中，
分别为
和
的
中点．求证：
平面
．
【分析】取
的中点O，连接OF，OE，则由三角形的中位线定理结合平行四边形的性质和判定可得四
边形
为平行四边形，则
，然后由线面平行的判定定理可证得结论.
【详解】如图，在长方体
中，取
的中点O，连接OF，OE．
在
中，因为F，O 分别是
，
中点，
所以
，且
，
因为四边形
为矩形，所以
，
，
因为
是
的中点，所以
，
所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
【典例5】（23-24 高一下·海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥
中，底面
是平行四边形，
为侧棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
为侧棱
的中点，求证：
平面
.
【分析】（1）连接AC，
，再证明
即可；
（2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面
平面
即可；
【详解】（1）连接
，设
，因为
是平行四边形，
所以
是
的中点，连接
，又
为侧棱
的中点，
所以在
中有：
，又
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）若
为侧棱
的中点，且由（1）知
是
的中点，
所以在
中有：则
，又
平面
平面
，
所以
平面
，
由（1）知
平面
平面
，
所以
平面
.
又
平面
，
所以平面
平面
，又
平面
，所以
平面
.
【变式1】（23-24 高一下·浙江杭州·期中）正方体
中，
，
分别是
，
的中点.
求证：
平面
【分析】连接
，
，即可得到
，则
或其补角为异面直线
与
所成的角，结合
正方体的性质求出
.
【详解】取
的中点
，连接
，
，
因为
，
分别是
，
的中点，
所以
，
，
而
，所以
，
又因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
所以
平面
．
【变式2】（24-25 高一·浙江杭州·期末）如图，点S 是
所在平面外一点，M，N 分别是SA，BD 上
的点，且
．求证：
平面
．
【分析】作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行，面面平行，从而证明出线面平行.
【详解】在
上取
，使得
，则
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，所以
，则
，
又
中，
，故
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
平面
，
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
.
【变式3】（24-25 高一下·天津·期中）已知在直三棱柱
中，
，且
分别是
，
的中点.证明：
平面
.
【答案】证明过程见解析
【分析】根据面面平行的判定定理、面面平行的性质，结合三角形中位线定理、棱柱的几何性质进行证明
即可.
【详解】设
是
的中点，连接
和
，
因为
是直三棱柱，
所以四边形
是矩形，
因为
是
的中点，所以
，
而
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
是
的中点，所以
，
而
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，
所以平面
平面
，而
平面
，
所以
平面
.
【变式4】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱
中，
⊥平面
，
，
是等边三角形，
分别是棱
的中点．证明：
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行；
【详解】
连接BD.
因为E，F 分别是棱AC，BC 的中点，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为D，F 分别是棱
，BC 的中点，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，则
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
平面ABD，
平面ABD，且
，
平面
所以平面
平面
，
因为
平面ABD，所以
平面
.
题型03 面面平行的证明
解题锦囊
（3）一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行
（4）一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行；
（5）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（6）平行于同一个平面的两个平面平行.
【典例6】（23-24 高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥
，底面
为矩形，
，
，
分别是
，
，
的中点.证明：
(1)平面
平面
；
(2)
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的判定定理分别证明
面
，
平面
，进而由面面平行的判定定理
即可得证；
（2）由面面平行的性质即可得证.
【详解】（1）证明：因为
，
，
分别是
，
，
的中点，所以
,
，
又因为底面
为矩形，所以
,所以
,
又
平面
,
平面
，
所以
面
.
又因为
平面
,
平面
，
所以
平面
.
因为
,
平面
,
所以平面
平面
.
（2）证明：因为
平面
，平面
平面
，
所以
平面
.
【变式1】（23-24 高二上·四川内江·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
分别是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）线面平行判定定理证明即可；
（2）先证线面平行，再证面面平行即可.
【详解】（1）∵
分别是
的中点，
∴
又∵
平面
,
平面
,
∴
平面
.
（2）∵四边形
为正方形，且
分别为
，
边的中点，
，
又∵
面
，
面
，
∴
面
，
由（1）知，
平面
，
且
,
平面
,
平面
,
∴平面
平面
【变式2】（2025 高一·全国·专题练习）在圆柱
中，等腰梯形
为底面圆
的内接四边形，且
，矩形
是该圆柱的轴截面，
为圆柱的一条母线，
．
求证：平面
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，由线面平行的判定定理分别证明
平面
，
平面
，再由面面平行的
判定定理，即可得到证明.
【详解】
在圆柱
中，
，
平面
，
平面
，
故
平面
；
连接
，因为等腰梯形
为底面圆
的内接四边形，
，
故
，
则
为正三角形，故
，则
，
平面
，
平面
，
故
平面
；
又
平面
，
故平面
平面
．
【变式3】（24-25 高一下·浙江金华·期中）在正方体
中，
分别是
和
的中点，求证
(1)
(2)
平面
．
(3)平面
平面
．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）利用三角形中位线定理进行证明即可；
（2）利用线面平行的判定定理进行证明即可；
（3）利用平行四边形的判定定理和性质，结合面面平行的判定定理进行证明即可.
【详解】（1）连接
，
因为底面
是正方形，且点
是
中点，
所以
，即点
也是
中点，
又因为点
是
中点，
所以由三角形中位线定理可得
；
（2）由（1）
，因为
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（3）连接
，
因为
分别是
和
的中点，
所以由正方体的性质可知：
，
所以四边形
是平行四边形，所以有
，而
，
所以
，因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，
所以平面
平面
.
题型04 线线垂直的证明
解题锦囊
（1）勾股定理：若直线相交且已知长度关系可以考虑勾股定理证明两直线相交；
（2）线面垂直的性质定理：两个直线是异面直线，可以考虑一条直线垂直包含另一条直线的平面，利用
线面垂直的性质证明线线垂直.
（3）证明异面直线所成角为直角.
【典例7】（2025 高一全国·专题练习）如图，
是等腰直角三角形，
都垂直于平
面
，且
为线段
的中点．证明：
.
【答案】证明见解析
【分析】取BC 中点为G，连接DG，AG，通过证明
，结合
可证明结论；
【详解】取BC 中点为G，连接DG，AG．
因
分别为
中点，则
．
则四边形
是平行四边形，故
．
因为
，则
，所以
.
【典例1】（23-24 高一下·云南丽江·期中）在三棱锥
中，
，
.
求证：
；
【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直.
【详解】证明：取
的中点
，连接
，
，如图所示.
在
中，
，
是
的中点，所以
，
在
中，
，
是
的中点，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
.
【变式2】（23-24 高一下·天津·期末）如图，在正方体
中，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）只需由中位线定理得出
，结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）先由线面垂直的判定定理证得
面
，再结合线面垂直的性质即可得证.
【详解】（1）
连接
与
交于点
，连接
，
因为四边形
是正方形，
所以
为
中点，又因为
为
，中点所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）在正方体
中，
由
面
，
面
，所以
，
又
，
面
，
面
，
，
所以
面
，
又由
面
，所以
．
【变式3】（23-24 高一下·北京·期中）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为正
方形，
，
分别是
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由三角形中位线证得
，结合线面平行的判定定理证明即可.
（2）由线面垂直性质可得
，结合线面垂直判定定理可得
平面
，再结合线面垂直性质、
线线垂直性质证明即可.
【详解】（1）
因为E，F 分别是AB，PB 的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为底面ABCD 为正方形，
，
，
、
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
由（1）知，
，
所以
．
题型05 线面垂直的证明
解题锦囊
（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；
（2）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这
条直线与另一个平面垂直；
（3）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
【典例8】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，
为
所在平面外一点，
平面
，
，
于点
．求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，即可证明；
（2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判断定理，即可证明.
【详解】（1）
平面
，
平面
，
．
，
．
又
，
，
平面
，
平面
．
（2）
平面
，
平面
，
．
，
，
，
平面
，
平面
．
【变式1】（23-24 高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，
，
，
是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接
交
于点F，再连接
，证明
，再用线面平行的判定定理即可得证；
（2）先证明
平面
，得出
，又
，再结合线面垂直的判定定理即可得证.
【详解】（1）
连接
交
于点F，再连接
，
因为四边形
是菱形，所以点F 是
的中点；
又
是
的中点.
所以在
中，
是中位线，即
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为四边形
是菱形，所以
，
又
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，又
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
.
【变式2】（23-24 高一下·云南曲靖·阶段练习）如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为
圆周上任意一点，AN⊥PM，N 为垂足.
(1)若
，Q 为PB 的中点，求三棱锥
的体积；
(2)求证：AN⊥平面PBM；
(3)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先得到
，根据Q 为PB 的中点，故
；
（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM⊥平面PAM.，故BM⊥AN，又AN⊥PM，从而得到线面垂直；
（3）由(1)知AN⊥平面PBM，故AN⊥PB，又AQ⊥PB，故PB⊥平面ANQ，得到答案.
【详解】（1）因为AB 为⊙O 的直径，所以
⊥
，
又
，故
，
又PA 垂直于⊙O 所在的平面，
，
故
，
因为Q 为PB 的中点，所以
.
（2）∵AB 为⊙O 的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM
平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵
，PA，AM
平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN
平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且
，BM，PM
平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
（3）由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ
平面ANQ，
∴PB⊥NQ.
【变式3】如图，在四面体ABCD 中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F 分别为AD，BC 的中点，且EF＝.
求证：BD⊥平面ACD.
【解析】取CD 的中点为G，连接EG，FG.
又∵E，F 分别为AD，BC 的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.
∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.
∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，
∴BD⊥EG.
∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.
又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.
【变式4】（24-25 高一下·陕西商洛·阶段练习）如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M
为圆周上任意一点，AN⊥PM，N 为垂足．（1）求证：AN⊥平面PBM.
（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【解析】（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
（2）由（1）知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
【典例9】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥
中，底面
是
且
边长为
的菱形，侧面
为正三角形，其所在平面垂直于底面
，
为
边的中点.求证：
(1)
平面
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；
（2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可.
【详解】（1）因为四边形
是菱形且
，
所以
是正三角形，因为G 为
的中点，所以
，
又平面
⊥平面
，且平面
∩平面
，
平面
，
所以
平面
，
（2）因为侧面
为正三角形，
为
边的中点，
所以
，又由（1）可知
，
又
，BG，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
.
【变式1】（23-24 高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧面
是正三角形，侧面
底面
，
是
的中点.
求证：
平面
；
【分析】根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证.
【详解】因为
是正三角形，且
是
的中点.，所以
，
又底面
是正方形，所以
，
又因为平面
平面
，
且平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
平面
，
所以
平面
.
【变式2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，多面体
中，已知面
是边长为4 的正方形，
是等边三角形，
，
，平面
平面
．求证：
；
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质定理可得
平面
，再由线面垂直的性质可得结论.
【详解】由
是正方形，得
，
而平面
平面
，平面
平面
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，于是
，
又
，
所以
.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥
中，底面
是
的菱形，侧面
为正三角形，其所在平面垂直于底面
，G 为AD 边的中点.求证：
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质可得
平面
，即可得
，结合
，即可由线面垂直
的判定求证.
【详解】由题意知
为正三角形，
是AD 的中点，
．
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
.
又
四边形
是菱形且
，
是正三角形，
.又
，
，
平面
，
平面
.
【变式4】（24-25 高一·广西·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱
垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵
中，已知
，且点
，
，
分别
是
，
，
边的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明
；
（2）利用面面垂直的性质定理，即可证明.
【详解】（1）连结
，因为
分别是
的中点，
所以
，且
，
因为点
是
的中点，所以
，且
，
所以
，且
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
且
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）因为
，
为
的中点，所以
，
由
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
又平面
平面
，
平面
，
所以
平面
；
题型06 面面垂直的证明
解题锦囊
（1）定义法：作出二面角的平面角，然后证明二面角是直角；
（2）面面垂直的判定定理：即证明一个平面经过另一个平面的垂线．
【典例10】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，四面体
中，
是正三角形，
是直角三
角形，
，
．证明：平面
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】先利用全等三角形的判定与性质得出
，取
的中点
，作出
的平面角后利
用条件及勾股定理，逆定理判定即可.
【详解】由题意知
，所以可得
,从而
，
又
为直角三角形，所以
，
取
的中点
，连接
，
，则
，
，
又由于
是正三角形，
故
，所以
为二面角
的平面角．
在
中，
，
又
，所以
，
故
，所以平面
平面
．
【典例11】（23-24 高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据线面垂直的性质得
，结合
，最后利用面面垂直的判定定理即可
证明；
（2）由（1）得
，根据
得
，最后利用线面垂直的判定与性质即可证明.
【详解】（1）在直三棱柱
中，
因为
平面
平面
，所以
.
又因为
平面
平面
，
所以
平面
.
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）连接
，由（1）可知
平面
，
因为
平面
，所以
.
因为
，所以
.
又因为在正方形
中
，
平面
，
，
所以
平面
.
又因为
平面
，所以
，即
.
【变式1】（23-24 高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在直四棱柱
中，底面
是菱形，
是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设
交
于
，连结
，可得
，即可证得
平面
；
（2）通过证明
，
即可得
平面
，进而可得平面
平面
.
【详解】（1）如图，连结
，设
交
于
，连结
，
因为底面
是菱形，所以
为
中点，
又
是
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）在直四棱柱
中，
平面
，
平面
，所以
，
又底面
是菱形，所以
，
因为
平面
，且
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
【变式2】（23-24 高二下·陕西西安·期中）在如图所示的四棱锥
中，已知
平面
，
，
，
，
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
(2)求证：平面
平面
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据中点关系可证明四边形MECB 是平行四边形，即可根据线线平行求证,
（2）根据勾股定理可证明
，根据线面垂直的性质可得
，即可根据线面垂直的判定求解.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
由于
，
为中点，则
且
．
∵
且
，
∴
且
，
∴四边形MECB 是平行四边形，
∴
.又
平面PAB，
平面
，
∴
平面
．
（2）∵
平面
，
平面
，
∴
，
又
,
故
，
∴
．
∵
，
平面
,
∴
平面
，又
平面
，
∴平面
平面
．
【典例12】（23-24 高一下·山西运城·阶段练习）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，底面
ABCD 是正方形，
，点M 是棱PC 的中点.
(1)求证：平面
平面ABCD；
(2)求三棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，交
于
，连接
，则
为
中点.可得
，结合已知可得
平
面
，可证结论.
（2）根据
，可求体积.
【详解】（1）连接
，交
于
，连接
，则
为
中点.
因为在
中，
，
分别为
，
中点，所以
.
因为
平面
，所以
平面
.
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）由（1）知
平面
，且
，
所以
.
【变式1】（24-25 高一下·山西·期中）如图，PA⊥平面ABC，AB 为圆O 的直径，E，F 分别为棱PC，PB
的中点．
(1)证明：EF
平面ABC．
(2)证明：平面EFA⊥平面PAC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用中位线定理得到EF
BC，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由AB 为圆O 的直径，得到BC⊥AC，再利用线面垂直得到BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC，结合（1）
中
，所以EF⊥平面PAC，得到面面垂直.
【详解】（1）因为E，F 分别为棱PC，PB 的中点，所以EF
BC，
因为
平面ABC，
平面ABC，
所以EF
平面ABC；
（2）因为AB 为圆O 的直径，所以BC⊥AC．
因为PA⊥平面ABC，
平面ABC，所以BC⊥PA，
又
，PA，
平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
由（1）知
，所以EF⊥平面PAC，又
平面EFA，
所以平面EFA⊥平面PAC．
【变式2】如图，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝
a，PD＝a，E 为PA 的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
【解析】设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝
CD，
∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.
又EO⊂平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
题型07 平行中的探索性问题
【典例13】（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，其中
，且
，点
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
上的动点，则线段
上是否存在点N，使得
平面
?若存在，请确定点N 的位置，
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)点
为
的中点，理由见解析.
【分析】（1）利用平行四边形截面，由线线平行即可证明线面平行；
（2）要证明动直线和另一个平面平行，只需要证明动直线所在的平面与另一个平面平行即可.
【详解】（1）
取点
为棱
的中点，又因为点
为棱
的中点，所以
，且
，
又因为
，且
，所以
则四边形
是平行四边形，即
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）
存在点
为
的中点，满足
平面
.
因为点
为
的中点，点
为棱
的中点，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
再由
平面
，
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，又因为
平面
，
所以
平面
.
【变式1】（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示，在三棱柱
中，平面
平面
，
若
是棱
的中点，在棱AB 上是否存在一点
，使
平面
？证明你的结论．
【答案】存在，证明见解析
【分析】取
的中点
，连接
，利用线面平行可得
平面
，
平面
，进而
可得平面
平面
，利用面面平行的性质可得结论.
【详解】当点
为棱
的中点时，
平面
.
证明如下：
如图所示，取
的中点
，连接
，
，
，
分别为
，
，
的中点，
，
平面
，
平面
，
平面
．
同理可证
平面
．
，
，
平面
，
平面
平面
.
平面
，
平面
.
【变式2】（2025 高一·全国·专题练习）如图，在长方体
中，
，点
是
的中点．在棱
上是否存在一点
，使得
平面
，若存在，求
，若不存在，说明理
由.
【答案】存在一点
满足
时，使得
平面
【分析】
为
的中点时，取
的中点
，通过证明
，得到
平面
.
【详解】棱
上存在一点
满足
时，使得
平面
，证明如下，
当点
满足
，即
为
的中点，取
的中点
，连接
，
在
中，有
且
,
∵在长方体
中，
是
的中点， ∴
且
，
∴
且
，∴四边形
为平行四边形，∴
，
又
平面
，
平面
，∴
平面
．
所以棱
上存在一点
，使得
平面
，此时
.
【变式3】（22-23 高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥
中，
，
，
，
与
相交于点O，E 为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)
上是否存在点F，使平面
平面
．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
，证明见解析
【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断
，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断
定理，转化为判断线线平行，即可确定点
的位置，即可证明.
【详解】（1）因为
分别是
的中点，
所以
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）存在，点
是
的中点，此时，连结
因为
分别是
的中点，
所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
由（1）可知，
平面
，且
，且
平面
，
所以平面
平面
，
所以
上存在中点
，使平面
平面
.
题型08 垂直中的探索性问题
【典例14】（23-24 高一下·河北衡水·期末）已知正方体
的棱长为
分别是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点H，使得
平面
?若存在，求线段
的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）构造中位线和平行的传递性证明线线平行，然后利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）因为
是等腰三角形，当H 为
的中点时，则满足
，所以猜想当H 为
的中点有
平面
，然后证明猜想即可.
【详解】（1）证明：连接
，因为
分别是
的中点，所以
为
的中位线，
所以
，在正方体中，
，所以
，
因为
平面
平面
，所以
平面
；
（2）取
的中点H，则满足
平面
，且
.
证明如下：取
的中点H，连接
，则
，
在
中，
，由
，得
，
由
，得
，
由
，得
，
在
中，
，所以
，又
平面
，
所以
平面
，且
.
【变式1】（2024 高一下·全国·专题练习）如图①，在直角梯形ABCD 中，
，
，
，
．沿DE 将
折起到
的位置．连接
，
，M，N 分别为
，BE
的中点，如图②．
(1)求证：
．
(2)求证：
平面
．
(3)在棱
上是否存在一点G，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据折叠过程中AE 与DE 垂直不变，DE 与BE 垂直不变，可以推出
，
，
从而
平面
，即可证明
．
（2）通过作辅助线，利用中位线证明线线平行，进而得到平面
平面MNH，然后利用面面平行的性
质可得
（3）因为
平面
，即BC 垂直平面
内任一直线，那么只要在平面
内找到一条过点E，
且垂直
的直线，则这条直线与
的交点就是点G，然后利用线面垂直的判定证明即可
【详解】（1）∵在直角梯形ABCD 中，
，沿DE 将
折起到
的位置，
∴
，
．
∵
，
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，∴
．
（2）取CD 中点H，连接NH，MH，如图．
∵M，N 分别为
，BE 的中点，
∴
，
．
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
，NH，
平面MNH，
平面
，
平面
，
∴平面
平面MNH，又
平面MNH
∴
平面
．
（3）取
的中点G，连接EG，如图．
在直角梯形ABCD 中，
，
，
所以
，又
，所以DCBE 是矩形，所以
，
因为
，所以
即是折后的
，
∴
，
由（1）知
平面
，
又∵
，∴
平面
，
又
平面
，∴
，
又
，
平面
，∴
平面
．
故棱
上存在中点G，使得
平面
，且此时
．
【变式2】（23-24 高一下·北京怀柔·期末）如图1，在
中，
分别为
的中点.
将
沿
折起到
的位置（
与
不重合），连
，如图2.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
交于过
的直线
，求证
；
(3)线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，指出
点位置并证明；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
(3)在线段
上存在点
，即为
的中点,使得
平面
.
【分析】（1）先证明
，根据线面垂直的判断定理得
平面
，再由面面垂直的
判断定理即可证明；
（2）先证明
平面
，再由
平面
，且平面
平面
，根据线面平行的性
质得
.
（3）线段
上存在点
，即为
的中点，取
中点
，连接
，证明
平面
，
再由
四点在同一个平面得到
平面
.
【详解】（1）因为在
中，
分别为
中点，
所以
，
将
翻折到
的位置后，即
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
.
（2）因为在
中，
分别为
中点，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，且平面
平面
，
所以
.
（3）在线段
上存在点
，即为
的中点，使得
平面
.
证明如下：
取
中点
，连接
，
由（1）可知，
平面
，
因为
平面
，
所以
，
因为
为
中点，
所以
，即
为等腰三角形，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
为
的中点，即
，
所以
四点在同一个平面.
所以
平面
.
【变式3】（24-25 高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，直三棱柱
，
，
分别是
，
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，在棱
上是否存在点
，使
平面
.如果存在，求出点
的位置，如
果不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)点
是
的中点时，
平面
.
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行；
（2）根据垂直关系的转化，转化为构造
.
【详解】（1）取
的中点
，连结
，
因为点
分别是
和
的中点，所以
，
，
且
，
，所以
，且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）假设存在点
，使
平面
，
因为
，且点
是
的中点，所以
，
且
平面
，
平面
，所以
，
且
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
因为
，所以四边形
是正方形，则
；
取
的中点
，连结
，则
，
则
，
，
平面
，
所以
平面
，
所以点
是
的中点时，
平面
.
