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第08 讲 正弦型函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1．能正确使用“五点法”“图像变换法”
作出函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像，并熟悉
其变换过程．
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率
与振幅．
3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的
实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的
参数A，ω，φ 对函数图像变化的影响以及
它们的物理意义．
1．会用“五点法”画函数
的图
象，重点提升直观想象核心素养；
2．掌握
与
图象间的变换
关系，并能正确地指出其变换步骤；
3．掌握正弦型函数的性质，并能利用正弦型函数的性
质解决简单问题。
知识点01 正弦型函数的概念及图象
1、正弦型函数的定义：一般地，形如
的函数，在物理，工程等学科的研究中经常
遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中
都是常数，且
.
2、
对函数正弦型函数图象的影响
（1）A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅.
（2）φ 决定了x=0 时的函数值，通常称φ 为初相，ωx＋φ 为相位.
（3）ω 决定了函数的周期
3、
的实际意义
（1）
的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；
（2）
在决定
时小球的位置中起关键性作用，称为初相；
（3）周期
表示小球完成一次运动所需要的时间，
表示1s 内能完成的运动次数，称为频率.
4、“五点法”画正弦型函数的图象
用五点法画
一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
0
A
0
－A
0
【即学即练1】
1．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）函数
的周期、振幅、初相分别是（ ）
A．
，2，
B．
，
，
C．
，2，
D．
，2，
2．（24-25 高一上·天津南开·期末）函数
，其中
，（
），（a，
），它的图象如图所示，则
的解析式为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
知识点02 正弦型函数的性质
1、定义域与值域：定义域为R，值域为
2、周期：
3、奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下，
对于
当
时，函数
是奇函数；
当
时，函数
是偶函数；
当
时，函数
是非奇非偶函数；
4、单调性：确定函数
的单调区间的思想是把
看作一个整体。
由
解出
的范围，可得单调递增区间；
由
解出
的范围，可得单调递减区间.
【即学即练2】（多选）（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．点
是
图象的一个对称中心
B．直线
是
图象的一条对称轴
C．
在
上单调递增
D．
知识点03 三角函数图象变换
1、振幅变换：要得到函数
的图象，只要将函数
的图象上所有点的
纵坐标伸长（当A＞1 时）或缩短（当0＜A＜1 时）到原来的A 倍（横坐标不变）即可得到．
2、平移变换：要得到函数
的图象，只要将函数
的图象上所有点向左（当φ＞
0 时）或向右（当φ＜0 时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
3、周期变换：要得到函数
（其中
且
）的图象，可以把函数
上所有点的横坐标缩短（当ω＞1 时）或伸长（当0＜ω＜1 时）到原来的
倍（纵坐标不变）即可得到．
4、从
到
的两种变换途径
【即学即练3】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）为了得到
图像，需要将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
题型01 求正弦型函数的周期
【典例1】（24-25 高一上·吉林白城·期末）
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数
，则f (x)为（ ）
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，最小正周期为2π
D．非周期函数
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）设函数
，若对于任意的
，都有
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
题型02 根据周期性求值
【典例2】（24-25 高一上·江苏盐城·阶段练习）已知
，函数
的最小正周期是
，则正
数
的值为 .
【变式1】（23-24 高一下·河南驻马店·期末）函数
的最小正周期为T，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一上·四川绵阳·期末）已知函数
的最小正周期为
，则函
数
在区间
上的最大值与最小值的和等于（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【变式3】（23-24 高一下·上海·阶段练习）已知
，若
、
满足
，且
的最小值为
，则
.
题型03 正弦型函数的奇偶性及应用
【典例3】（24-25 高一上·甘肃平凉·期末）函数
为
上的奇函数，则
的值可以是
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
【变式2】（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数
的奇偶性为 .
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
图象为
上的奇函数，则
的值可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 求正弦型函数的单调区间
【典例4】（24-25 高一上·山东济宁·阶段练习）下列区间为函数
的增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·陕西榆林·期末）已知函数
，则（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
在区间
上单调递减
C．
在区间
上单调递增
D．
在区间
上单调递减
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）关于函数
，下列说法正确的有（ ）
A．在区间
内单调递减
B．在区间
内单调递增
C．在区间
内单调递减
D．在区间
内单调递增
【变式3】（24-25 高一上·吉林·期末）函数
的单调增区间为 .
【变式4】（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）函数
在区间
上的单调减区间是
.
【变式5】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间为 ．
题型05 由正弦型函数单调性求参数
【典例5】（24-25 高一上·山东枣庄·阶段练习）已知函数
在区间
上单调递增，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数
（
）的图象过
点
，且
在区间
上具有单调性，则
的最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．8
【变式2】（24-25 高一上·山东·阶段练习）已知函数
，若
为函数
的一
个零点，且函数
在
上是单调函数，则
的最大值为 .
【变式3】（24-25 高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数其中
．若
，
在区
间
上单调递增，则
的取值范围是 .
题型06 正弦型函数的值域与最值
【典例6】（23-24 高一上·安徽·期末）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024 高三·天津·专题练习）已知函数
的最小正周期为
.则函数在
的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．
【变式2】（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知函数
（
）的最小正周期为
，
则
在
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【变式3】（24-25 高二上·海南海口·阶段练习）对于
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·河北衡水·期中）函数
的最大值为 .
题型07 由正弦型函数的值域求参数
【典例7】（24-25 高一上·江苏南京·期末）设
为实数，若函数
在区间
上既有最大值，
又有最小值，则
的最小值为 .
【变式1】 （23-24 高一上·江苏盐城·期末）若函数
在区间
上恰有两个最
大值，则实数
的取值范围是 ．
【变式2】 （24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）函数
在区间
上的值域为
则
实数a 的取值范围是 ．
【变式3】 （24-25 高一上·甘肃白银·阶段练习）设函数
，若
对任
意的实数
都成立，则
的最小值为 ．
【变式4】 （24-25 高三上·安徽·期中）已知函数
在
上的最小值为-1，则
．
题型08 判断正弦型函数的对称性
【典例8】（24-25 高一上·新疆阿克苏·阶段练习）函数
的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）下列函数中，最小正周期是π 且图象关于直线
对称的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，若
是偶函数，则
图象对称轴方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·北京延庆·期中）函数
图象的对称轴方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·山东青岛·期中）已知函数
的最小正周期为
，则
的图
象（ ）
A．关于点
对称
B．关于
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
题型09 根据正弦型函数的对称性求参数
【典例9】（24-25 高一上·山东泰安·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单
位，所得的函数图象关于
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·天津武清·期末）若函数
在区间
上有且仅有2 条
对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·安徽·期末）函数
的图象在区间
上恰有一条对称
轴和一个对称中心，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数
在区间
上单调，其中
为正整数，
，且
．则
图象的一个对称中心是 ；若
，则
的值为 ．
题型10 根据函数图像求解析式
【典例10】（24-25 高一上·山东·阶段练习）函数f (x)= A sin (ωx +φ)（其中
，
，
）的部
分图象如图所示，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
的部分图
象如图所示，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·天津西青·期末）函数
的部分图象如图
所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数
（其中
，
）的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．函数
的图象的对称轴为直线
D．函数
的单调递增区间为
【变式4】（24-25 高一上·甘肃·期末）已知函数
的部分图象如图
所示，则
等于（ ）
A．
B．0
C．
D．
题型11 正弦型函数间的图像变换
【典例11】（24-25 高一上·全国·课后作业）如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称
为“和谐”函数．下列函数中与
能构成“和谐”函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·吉林长春·期末）要得到
的图象，需要将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【变式2】（24-25 高一上·江苏南京·期末）将函数
的图象上各点的横坐标变为原来的2
倍，再将得到的图象向右平移
个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·江苏无锡·期末）函数
的图象经过怎样的平移可得到函数
的图象（ ）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动
个单位长度
D．向右平行移动
个单位长度
【变式4】（24-25 高一上·河南郑州·期末）要得到函数
的图象，需（ ）
A．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
B．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）
C．将函数
图象上所有点向左平移
个单位长度
D．将函数
图象上所有点向左平移
个单位长度
题型12 正弦型函数的零点问题
【典例12】（24-25 高一上·天津河西·期末）设函数
，若函数
在
上
恰有3 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一上·浙江杭州·期末）已知函数
在区间
有且仅有3 个零
点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·北京顺义·阶段练习）如果函数
的一个零点是
，那么φ 可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·甘肃兰州·期末）已知函数
，若
在区间
内恰好有198 个零点，则
的取值可以为（ ）
A．132
B．133
C．198
D．199
题型13 正弦型函数性质的综合问题
【典例13】（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知
(1)求
的最小正周期和单调递减区间；
(2)若
，
，求
的值;
(3)若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围
【变式1】（多选）（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数
在区间
上单调递增，则（ ）
A．
的最大值为2
B．若
，则
C．若
，则
D．若函数
两个零点间的最小距离为
，则
【变式2】（24-25 高一·上海·随堂练习）已知函数
，下列说法正确的是 ．
①函数
为偶函数；
②函数
的最小正周期为2；
③所有的整数都是函数
的零点；
④函数
在
上为严格增函数．
【变式3】（24-25 高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数
，
(1)求
的最小正周期及单调递增区间；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值；
(3)若
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围.
一、单选题
1．（24-25 江苏省连云港期末）设
为正数，若函数
的最小正周期为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（23-24 高一上·北京平谷·期末）如果函数
的一个零点是
，那么
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
的相邻两个零点之间的距离为
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 江苏省连云港期末）将函数
图象上每个点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变），再
将得到的图象向右平移
个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·上海·期中）已知函数
为偶函数，则
的对称中心为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知函数
，则
在
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高一上·吉林长春·期末）定义在
上的函数
既是偶函数，又是周期函数，若
的最小
正周期为
，且当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一下·四川绵阳·阶段练习）若函数
在区间
上有且仅有两个零点，则实
数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高一上·宁夏银川·期末）已知函数
，则下列关于函数
的说法正确的是
（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
的图象可以由
图象向左平移
个单位长度得到
C．
D．若函数
在
上至少有11 个零点，则
的最小值为
10．（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
的图象关于点
中心
对称，则（ ）
A．
B．
在区间
有两个零点
C．直线
是曲线
的对称轴
D．
在区间
单调递增
11．（23-24 高一上·安徽·期末）函数
的部分图象如图所示，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的一个单调递增区间为
C．函数
的图象关于点
对称
D．若函数
在
上没有零点，则
三、填空题
12．（24-25 高二上·上海·阶段练习）若函数
的最小正周期是 .
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上有两个不同的零点
，
则
.
14．（24-25 高三上·天津·期中）函数
的图象向左平移
个单位后关于
轴对称，
则函数
在
上的最小值为 .
四、解答题
15．（24-25 高一上·山东·阶段练习）已知
.
(1)求函数
的最小正周期：
(2)求函数
在
上的单调区间.
16．（23-24 高一下·广东阳江·阶段练习）函数
在区间
单调，其中
为正整数，
，且
.
(1)求
图象的一条对称轴；
(2)
，求
.
17．（24-25 高一上·甘肃定西·期末）已知函数
的部分图象如图所
示.
(1)求函数y = f (x)的解析式；
(2)将y = f (x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到
y = g(x)的图象，求函数
在
上的值域.
18．（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ)<π
2 )的最小正周期为
的一个零点是
．
(1)求
的解析式；
(2)当
时，
的最小值为
，求
的取值范围．
