文档文本内容
1 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
第09 讲 直线与平面平行
课程标准
学习目标
1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断
直线与平面的位置关系；
2.学会用图形语言、符号语言表示线面之间
的三种位置关系；
3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定
理，并能利用两个定理解决空间中的平行
关系问题.
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定
理解决问题；
2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确定理的作
用，并能初步运用定理解决问题；
3.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识点01 空间直线与平面的位置关系
1、直线在平面内：如果一条直线a 与平面α 有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记
作a⊂α.
2、直线与平面相交：直线a 与平面α 只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共
点A 叫做直线a 与平面α 的交点．
3、直线与平面平行：如果一条直线a 与平面α 没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
【即学即练1】 （24-25 高一·全国·课后作业）若直线l 在平面
外，则l 与平面
的公共点个数为
（ ）
A．0
B．0 或1
C．1
D．2
知识点02 直线与平面平行的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就
2 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
与两平面的交线平行．
2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，
，
为正方体的两个顶点，
，
，
为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线
与平面
不平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 直线与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就
与两平面的交线平行．
2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
【即学即练3】（24-25 高一下·全国·随堂练习）下列命题正确的个数为（ ）
①若直线上有无数个点不在平面
内，则
；
②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
③若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都没有公共点．
A．0
B．1
C．2
D．3
题型01 线面平行的命题判断
【典例1】（24-25 高二·上海·课堂例题）有以下四个命题：
①若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则
；
②若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则
；
③若直线a∥平面α，则
上的所有直线；
④若直线a∥平面α 上的无数条直线，则
．
其中真命题的个数是（ ）
3 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．0 个；
B．1 个；
C．2 个；
D．3 个．
【变式1】（24-25 高二下·浙江·阶段练习）下列说法中，与“直线
平面
”等价的是（ ）
A．直线
与平面
内的任意一条直线都不相交
B．直线
与平面
内的两条直线平行
C．直线
与平面
内无数条直线不相交
D．直线
上有两个点不在平面
内
【变式2】（24-25 高二上·北京·期末）已知l，m 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，且
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3】（2025·吉林·三模）若
是两条直线，
是两个平面，且
．设
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
题型02 中位线法证明线面平行
【典例2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在三棱柱
中，E，F 分别是
的中点，如图，
求证：
平面
．
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，点
在棱
上（不与端点重合），
，
分别是
，
的中点.证明：
平面
.
【变式2】（24-25 高二·上海·课堂例题）如图，点E 不在平面ABCD 上，ABCD 是正方形，F 为BE 的中点．
求证：DE∥平面ACF．
4 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式4】长方体
中，
是矩形
的中心，
是矩形
的中心．证明：
平面
.
题型03 平行四边形法证明线面平行
【典例3】（2025 高三·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形
与
均为等腰梯形，
，
，
，
，
，
、
分别为
、
的中点，
与
相交于点
．求证：
平面
．
【变式1】（2025 高三下·全国·专题练习）在四棱锥
中，四边形
为矩形，点E，F 分别在
线段CB，AP 上，且
.求证：
平面
.
5 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式2】（24-25 高一下·全国·单元测试）在多面体
中，点O 是矩形
的对角线的交点，
棱
且
．求证：
平面
．
【变式3】如图所示，四棱锥
的底面
是平行四边形，
分别是
的中点.求证：
平面
.
【变式4】（23-24 高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台
中，
，
分别为
的中点．求证：
平面
.
题型04 利用性质定理证线线平行
【典例4】（2025 高三下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥
中，点G，E，F，H 分别是棱
PB，AB，CD，PC 上共面的四点，
平面
，则GH 与EF 的位置关系为（ ）
A．相交
B．平行
C．垂直
D．异面
6 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）已知
为三条不同的直线，
为三个不同的平面．若
，
，
，
，则（ ）
A．与
相交
B．
与
相交
C．与
平行
D．
与
相交
【变式2】（24-25 高三下·辽宁抚顺·开学考试）在四棱锥
中，
分别为侧棱
上一点
（不含端点），则“
”是“
平面
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3】（2026 高三·全国·专题练习）如图所示，
均与平面
平行，
分别在
上，且
．则四边形
的形状为 ．
【变式4】（2026 高三·全国·专题练习）已知直线
平面
，
，那么过点
且平行于直线
的直线
有 条．
【变式5】（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
为棱
的中点．设平面
与直线
相交于点
，求证：
平面
．
题型05 根据线面平行求值
【典例5】（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱
中，点
在棱
上，且
分别是棱
的中点，点
在棱
上，若
平面CDE，则
（ ）
7 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，已知四棱锥
的底面是平行四边形，
交
于
点O，E 为
中点，F 在
上，
，
∥平面
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【变式2】（24-25 高二上·上海·期末）在三棱柱
，
是棱
的中点，
是棱
上一点，
，若
平面
，则
的值为 .
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形
是梯形，
，且
平面
，
，
与平面
分别交于点
，
，且点
是
的中点，
，
，则
．
题型06 线面平行中的探索性问题
【典例6】（2025·广东茂名·一模）如图，
中，
分别为
的中点，
将
沿着
翻折到某个位置得到
.线段
上是否存在点
，使得
平面
，并说明理
8 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由.
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形
中，
，
于点
，
且
．沿
把
折起到
的位置，使
．
线段
上是否存在点
，使得
平面
．若存在，指出点
的位置并证明；若不存在，请说明
理由．
【变式2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知
是
所在平面外一点，
分别是
的中点，平面
平面
，则：
(1) 与
是否平行？说明理由；
(2)
与平面
是否平行？试证明你的结论．
【变式3】（24-25 高一下·全国·课前预习）如图，矩形
所在平面与半圆弧
所在平面相交于CD，
是
上异于C，D 的点．在线段AM 上是否存在点
，使得
平面
？说明理由．
9 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式4】（24-25 高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥
中，底面
为梯形，
，点
在棱
上.
(1)求证：
平面
；
(2)若
平面
，探索平面
的哪条线与
平行，做出此线，并求
的值.
一、单选题
1．（23-24 高一下·河南周口·阶段练习）已知直线
与平面
没有公共点，直线
，则
与
的位置关
系是（ ）
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
2．（24-25 高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）l 为直线，
为平面，则下列条件能作为
的充要条件的是（ ）
A．l 平行平面
内的无数条直线
B．l 平行于平面
的法向量
C．l 垂直于平面
的法向量
D．l 与平面
没有公共点
4．（24-25 高一下·全国·课前预习）下列说法正确的是（ ）
A．若直线平行于平面
内的无数条直线，则
B．若直线
在平面
外，则
C．若直线
与直线
不相交，直线
，则
D．若直线
，
，那么直线
平行于平面
内的无数条直线
5．（23-24 高一下·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱台
中，从
中取3 个点确
定平面
，若平面
平面
，且
，则所取的这3 个点可以是（ ）
10 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知正方体
的棱
的中点分别
，则下列直线中，与平面
和平面
的交线平行的直线（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）在空间四边形
中，
分别为边
上的点，且
，又
分别为
的中点，则（ ）
A．
平面
，且四边形
是矩形
B．
平面
，且四边形
是梯形
C．
平面
，且四边形
是菱形
D．
平面
，且四边形
是平行四边形
8．（23-24 高一下·安徽六安·期末）如图，在正方体
中，
分别是
的
中点，有四个结论：
①
与
是异面直线；
②
相交于一点；
③
；
④
平面
.
其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
11 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列命题中的真命题是（ ）
A．若直线a 不在平面
内，则a∥
B．若直线l 上有无数个点不在平面
内，则l∥
C．若l∥
，则直线l 与平面
内任何一条直线都没有公共点
D．平行于同一平面的两直线可以相交
10．（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，
是四棱锥的
顶点或棱的中点，则
平面
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高二·云南昆明·期末）如图，在正方体
中，
分别是棱
的
中点，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．点
在平面
内
D．点
在平面
内
三、填空题
12．（24-25 高一下·全国·课后作业）在正方体
中，过
三点的平面与底面
的
交线为，则直线与
的位置关系为 .（填“平行”“相交”或“异面”）
12 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
13．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台
中，
，
，
分别为
，
的中点，
是
上一点，且
，设点
是平面
内一点，且
平面
，则点
的位置是 （写出一种即可）．
14．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱
中，
是棱
的中点，
是棱
上一点．若
平面
，则
的值为 ．
四、解答题
15．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在正方体
中，
，点
为AD 的中点，点
在CD 上，若
平面
，求线段EF 的长度．
16．（24-25 高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为1 的正方形，
底面
，
，点
在棱
上，
平面
．
13 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)试确定点
的位置，并说明理由；
(2)求四棱锥
的表面积．
17．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台
中，上底面边长为
，下底
面边长为
，
为
的中点，侧棱长为3.
(1)证明：
平面
；
(2)求该正四棱台的表面积.
18．（23-24 高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形
是平行四边形，点P 是平面
外一点．
(1)求证：
平面
；
(2)
是PC 的中点，在DM 上取一点G，过G 和AP 作平面交平面BDM 于HG，求证：
19．（24-25 高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥
中，在底面
中，
，E
在棱PD 上且
.
14 / 14
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：
平面
；
(2)线段
上是否存在点N，使得平面
平面
？若存在，写出
的值；若不存在，请说明理由.
