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期中测试压轴题考点训练（1-4 章）
一、单选题
1．如图是由一些棱长为1 的小正方体搭成的几何体的三视图.若在所搭几何体的基础上(不
改变原几何体中小正方体的位置)，继续添加相同的小正方体，以搭成一个长方体，至少还
需要小正方体的个数为( )
A．24
B．25
C．26
D．27
【答案】C
【分析】首先根据该几何体的三视图确定需要的小立方块的块数分布情况，然后确定搭成
一个大长方体需要的块数.
【详解】解：由俯视图易得最底层有7 个小立方体，第二层有2 个小立方体，第三层有1
小立方体，其小正方块分布情况如下：
那么共有7+2+1=10 个几何体组成．若搭成一个大长方体，共需3×4×3=36 个小立方体，所
以还需36-10=26 个小立方体．
故选C.
【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力
方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得
到答案．
2．某厂今年3 月的产值为40 万元，5 月上升到72 万元，这两个月平均每月增长的百分率
是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是( )
A．40(1+x)＝72
B．40(1+x)+40(1+x)2＝72
C．40(1+x)×2＝72
D．40(1+x)2＝72
【答案】D
【分析】可先表示出4 月份的产值，那么4 月份的产量×（1+增长率）=5 月份的产值，把相
应数值代入即可．
【详解】4 月份的产量为40×（1+x），5 月份的产量在4 月份产量的基础上增长x，为40×
（1+x）×（1+x），则列出的方程是40（1+x）
2=72．
故选D．
【点睛】本题考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变
化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）
2=b．
3．如图，在
中，∠ACB＝90°，分别以其三边向外作正方形，过点C 作CK⊥AB
交ID 于点K，延长EB 交AG 于点L，若点L 是AG 的中点，
的面积为20，则CK 的
值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】延长KC 交AB 于点M，分别延长HI、CK，并相交于点N，连接DN；根据正方形
和平行线的性质，得
，通过证明
，根据相似三角形性质得
，结合题意计算得
、
；通过证明
，得
，根据矩形性
质，得
，再根据直角三角形斜边中线和勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，延长KC 交AB 于点M，分别延长HI、CK，并相交于点N，连接DN
根据题意，得四边形ABFG、BCDE、AHIC 均为正方形
∴
，
，
，
，
，
∴
∵∠ACB＝90°
∴
∴
∵点L 是AG 的中点
∴
∴
∵
的面积为20
∴
，即
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∵
，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
，∴
∵
，
，即
，∴四边形
为矩形
∴点
为矩形
对角线交点，∴
∵
∴
，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线、正方形、矩形、直角三角形、相似三角形的知识；解题的关
键是熟练掌握相似三角形、直角三角形斜边中线、正方形、勾股定理的性质，从而完成求
解．
4．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A-D-B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B，
图2 是点F 运动时，
FBC 的面积（cm2）随时间x（s）变化的关系图像，则a 的值为
（ ）
A．5
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】通过分析图像，点F 从点A 到D 用as，此时，△FBC 的面积为2a，依此可求菱形
的高DE，再由图像可知，BD=5，应用勾股定理分别求BE 和a 即可．
【详解】解：过点D 作DE⊥BC 于点E，
由图像可知，点F 由点A 到点D 用时为as，△FBC 的面积为2acm2．
∴AD=a
∴
DE•AD＝2a
∴DE=4
点F 从D 到B，用了5s
∴BD=5，
Rt△DBE 中，
BE=
=
=3，
∵ABCD 是菱形，∴EC=a-1，DC=a
Rt△DEC 中，a2=42+(a-3)2
解得a=
．
故选D．
【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图像性质，解答过程中要注意函数图像变化
与动点位置之间的关系是解题的关键．
5．如图，点
是菱形对角线
上一动点，点
是线段
上一点，且
，连接
、
，设
的长为
，
，点
从点
运动到点
时，
随
变化的关系
图象，图象最低点的纵坐标是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数图象可知：
，
，连接AC 交BD 于点O，连接FA，证明当A，
E，F 三点共线时，y 取最小值为AE，作
交于点P，利用
求出
，
，进一步求出
再利用勾股定理即可求出
．
【详解】解：由函数图象可知：当F 与B 重合时，
，即
，
∵
，∴
，
，
，
当F 与D 重合时，
，
连接AC 交BD 于点O，连接FA，
∵ABCD 是菱形，
∴AC 和BD 互相垂直平分，
∴
，
∴
，
当A，E，F 三点共线时，y 取最小值为AE，
作
交于点P，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
，
，
∴
．
故选：B
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，解题的挂件是根据
函数图象求出
，
，再证明当A，E，F 三点共线时，y 取最小值为AE．
6．如图，P 为等腰
的斜边
上的一动点，连接
，
，
，垂
足分别为点E、F，已知
，以下结论错误的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．若
时，
．
【答案】D
【分析】先证明
，可得
，
，可判断A，C 选项；当
时，
，可得
，再根据
，可得
，
从而得到
，可判断B 选项；当
时，
是等腰
直角三角形，可得
，从而得到
，再由
，可判断D 选
项，即可．
【详解】解：等腰
中，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，故A 选项正确，不符合题意；
∴
，故C 选项正确，不符合题意；
当
时，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
即
，
，
，故B 选项正确，不符合题意；
当
时，
，
此时
是等腰直角三角形，
∴
，
，
即
，
∵
，
，
，故D 选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角
三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等
腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
7．在矩形ABCD 中，BC＝2，DC＝
，取AD 中点E，连接BD、BE，将
BDE 沿BE 翻
折至
BEF，过点A 作AG⊥BF 于G，则AG 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接DF 并延长BC 交DF 于点M，根据等腰三角形三线合一得出EM⊥DF，FM＝
DM，利用勾股定理求出BE，再根据△ABE∽△MDE 得出EM，连接AF，根据EM 是△ADF
的中位线得出AF，利用勾股定理求BG，再用勾股定理得出AG 即可．
【详解】解：连接DF 并延长BE 交DF 于点M，如图所示，
∵△BDE 沿BE 翻折得到△BEF，
∴BF＝BD，∠FBE＝∠DBE，
∴BM 为等腰三角形FBD 的中线，高线，角平分线，
∴EM⊥DF，FM＝DM，
∵BC＝AD＝2，E 为AD 的中点，
∴DE＝EA＝1，
∴
，
∴
，
∵∠BAE＝∠DME＝90°，∠AEB＝∠MED，
∴△BAE∽△DME，
∴
，
即
，
∴
，
连接AF，
∵M 是DF 的中点，E 是AD 的中点，
∴ME 是△ADF 的中位线，
∴
，
∴
，
∵
，
设BG＝x，则FG＝
，
由勾股定理得：BA2﹣BG2＝AF2﹣FG2＝AG2，
即
，
解得
，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的翻折，矩形的性质，三角形的中位线，等腰三角形三线合一，
勾股定理等知识点，熟练应用三角形形似得线段比例求值是解题的关键．
8．如图有两张等宽的矩形纸片，矩形EFGH 不动，将矩形ABCD 按如下方式缠绕：如图
所示，先将点B 与点E 重合，再先后沿FG、EH 对折，点A、点C 所在的相邻两边不重叠、
无空隙，最后点D 刚好与点G 重合，则图中
，则FG 的长度为（ ）
A．12
B．10
C．
D．
【答案】B
【分析】先证明△ABN≌△FBM，结合折叠性质证得△BMN 为等边三角形，再证明
△BFM≌△GHP 得到FM=PH，设BN=a，AN=b，可求得EH=2a+b，AD=3a+b，在△ABN 中，
利用含30°的直角三角形的性质可得到a=2b，进而可求得EH=5b，AD=7b，由AD=14 可求
得b=2，进而求得EH 即可求解．
【详解】解：如图，
∵两张纸片是矩形且等宽，
∴AB=EF=HG，EH=FG，∠F=∠ABM=∠FBH=∠H=90°，BM∥NQ∥PG，EH∥FG，
∴∠ABN+∠NBM=∠FBM+∠NBM=90°，
∴∠ABN=∠FBM，
∴△ABN≌△FBM（ASA），
∴BN=BM，
由折叠性质得：MN=NQ=PQ，BN=MQ=NP，
∴BN=BM=MN，则△BMN 是等边三角形，
∴∠NBM=60°，则∠FBM=∠ABN=30°，
∵BM∥NQ∥PG，EH∥FG，
∴∠HPG=∠NBM=∠FMB，又∠F=∠H=90°,BF=HG，
∴△BFM≌△GHP（AAS），
∴FM=PH，
设BN=a，AN=b，
则EH=2a+b，AD=3a+b，
在△ABN 中，∠ABN=30°，∠A=90°，
则BN=2AN，即a=2b，
∴EH=5b，AD=7b，
∵AD=14，
∴b=2，则EH=10，
∴FG=EH=10，
故选:B.
【点睛】本题考查折叠性质、矩形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质、含30°的直角三角形的性质、平行线性质等知识，理解折叠过程，找准对应边的关系，
证得△BMN 为等边三角形是解答的关键．
9．如图，点P，Q 分别是菱形ABCD 的边AD，BC 上的两个动点，若线段PQ 长的最大值为
8
，最小值为8，则菱形ABCD 的边长为( )
A．4
B．10
C．12
D．16
【答案】B
【分析】当点P 和点A 重合时，当点C 和点Q 重合时，PQ 的值最大，当PQ BC
⊥
时，PQ 的
值最小，利用这两组数据，在Rt
ABQ
△
中，可求得答案．
【详解】当点P 和点A 重合时，当点C 和点Q 重合时，PQ 的值最大，
当PQ BC
⊥
时，PQ 的值最小，∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ 中，
在Rt△ABQ 中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
AQ
∴
2+BQ2=AB2即82+（16-x）
2=x2，解之：x=10.
故答案为：B．
【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ
最大和最小的情况．
10．如图，在
中，点E、F 在BC 的延长线上，连接AE、DF，
，则下列式
子错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据题目意思证明
，根据相似得到线段的比例，再证明
，利用相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，点E、F 在BC 的延长线上，
∴
，
，CD=AB，
∴
，
∴
，故A 正确；
又∵
，
∴
，
,
∴
，
∴
，
又∵CD=AB，
∴
，故B 正确；
又由题意可知四边形
是平行四边形,
AD=EF=BC
∴
，
CF=BE
∴
，
又∵
，
∴
,
故：
（等量替换），故C 正确；
不能得到
，故D 错误，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握
判定方法与熟记相关性质是解题的关键．
二、填空题
11．如果x2-2x-m=0 有两个相等的实数根，那么x2-mx-2=0 的两根和是 ．
【答案】-1
【分析】本题是一元二次方程根的判别式和根与系数关系的综合试题，本题可以通过根的
情况求出m 的取值，然后利用根与系数的关系求解即可．
【详解】∵x2-2x-m=0 有两个相等的实数根，
=b
∴△
2-4ac=0，
即（-2）
2-4×（-m）=0，
解得m=-1，
所以方程x2-mx-2=0 为x2+x-2=0，
则两根的和是－1，
故答案为：－1．
【点睛】此题考查根的判别式和根与系数的关系，解题关键在于掌握运算公式．
12．如图是由几个相同的小正方体组成的几何体，从三个方向看到的图形如下，则组成该
几何体的小正方体有 个．
【答案】6
【分析】根据主视图和左视图确定每个位置小正方体的个数，即可得出结果．
【详解】解：根据俯视图定位置，主视图和左视图确定个数，可知每个位置上的小正方体
的个数，如图所示：
∴组成该几何体的小正方体有：
个；
故答案为：6．
【点睛】本题考查根据三视图确定几何体中小正方体的个数．熟练掌握俯视图定位置，主
视图和左视图确定个数，是解题的关键．
13．如图，△ABC 中，AB＝AC，P 是BC 延长线上一点，CF⊥AP 干F，D，E 分别为BC 和
AC 的中点，连ED，EF，若∠APB＝40°，则∠DEF＝ 度．
【答案】100
【分析】根据邻补角的性质可得∠BCF=∠CFP+∠P=130°，再根据三角形中位线定理得到
DE//AB，则∠EDC=∠ABC，然后由直角三角形的性质得到EF=EC，得到∠ECF=∠EFC，
最后结合图形计算即可．
【详解】解：∵CF⊥AP，∠APB=40°
∴∠BCF=∠CFP+∠P=130°，即 ∠ECD+∠ECF=130°
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵D、E 分别为BC 和AC 的中点
∴DE//AB
∴∠EDC=∠ABC
∴∠EDC=∠ACB
∴∠DEC=180°-2∠ACB
∵CF⊥AP，E 为AC 的中点，
∴EF=EC，
∴∠ECF=∠EFC
∴∠CEF=180°-2
∠ECF
∴∠DEF=∠DEC+∠CEF=180°-2∠ACB+180°-2∠ECF=360°-2×130=100°．
故填100．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三
角形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的
关键．
14．若关于x 的方程
无解，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①
时，有
此时
方程无解，可求出m 的值；②
时，由根的判别式
，即可求出m 的取值
范围．
【详解】解：根据题意，
∵关于x 的方程
无解，
①当
时，则原方程是一元一次方程，即
；
则有：
，解得：
；
②当
时，则原方程为一元二次方程，∴
，
，
∴
，解得：
；
综合上述，m 的取值范围是
；故答案为：
．
【点睛】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程，
解题的关键是熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题．
15．已知点
，
在双曲线
上，且满足
，
．若
，则
．
【答案】
【详解】试题解析：根据题意可知：
是双曲线
与一次函数
的两个交点，联立方程
消去
得，
由韦达定理得，
故答案为
16．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设
正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝ ．
【答案】
；
【分析】连接AO、BO、CO，过O 作FO AO
⊥
，交AB 的延长线于F，判定△AOC
FOB
≌△
（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据
AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】解：连接AO、BO、CO，过O 作FO AO
⊥
，交AB 的延长线于F，
O
∵
是正方形DBCE 的对称中心，
BO=CO
∴
，∠BOC=90°，
FO
AO
∵
⊥
，
AOF=90°
∴∠
，
BOC= AOF
∴∠
∠
，
即∠AOC+ BOA= FBO+ BOA
∠
∠
∠
，
AOC= FBO
∴∠
∠
，
BAC=90°
∵∠
，
∴在四边形ABOC 中，∠ACO+ ABO=180°
∠
，
FBO+ ABO=180°
∵∠
∠
，
ACO= FBO
∴∠
∠
，
在△AOC 和△FOB 中，
，
AOC
FOB
∴△
△
≌
（ASA），∴AO=FO，FB=FC=6，
AF=8+6=14
∴
，∠FAO= OFA=45°
∠
，
AO=AF×cos45°=14×
∴
=
．故答案为
．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助
线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
17．如图，在菱形
中，
，
，
分别为
，
的中点，
，
分别为线
段
，
的中点．若线段
的长为8，则
的长为 ．
【答案】
【分析】连接
并延长，交
于点M，连接
，根据菱形的性质证明
，
再根据三角形中位线定理可得
，在
中，根据等腰三角形的性质、30 度
角的直角三角形性质以及勾股定理可求出
的长度，即可求出
的长度．
【详解】解∶ 连接
并延长，交
于点M，连接
，
∵四边形
为菱形，
，
∴
，
，
∴
，
，
∵点G 为
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴点G 为
的中点，点M 为
的中点，
∵F，G 分别为
和
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∵E，M 分别为
和
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
过A 作
于点O，
∵
，
∴
，
，
根据勾股定理，得
，
∴
，
又
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三
角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
18．如图，正方形
中，
为其外面一点，且
，
，
分别交
于
，
，若
，
，则
．
【答案】
【分析】作
交BG 于点I，交BC 于点H，连接HF，延长CB 至点J，使
，
连接JA．利用十字架模型证
，得
．由
，
得
．利用SAS 证明
（半角模型），推出
，
设正方形
的边长为x，利用勾股定理解
即可求出x，进而利用勾股定理求
AF．
【详解】解：如图所示，作
交BG 于点I，交BC 于点H，连接HF，延长CB 至点
J，使
，连接JA．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，即
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
，
设正方形
的边长为x，
则
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
解得
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，用到了十字架
模型、半角模型，有一定难度，正确作辅助线，熟练运用几何模型是解题的关键．
19．已知a、b 是方程2x2
2
﹣x
1
﹣＝0 的两个根，则
的值是 ．
【答案】4
【分析】根据根与系数的关系得a+b=1,因为a 为方程的解，根据解的定义得2a2-2a-1=0，两
式结合即可求解.
【详解】解：由题意知， a+b=1，2x2=2x+1，即2a2=2a+1，
2a
∴
2+a+3b=2a+1+a+3b=3（a+b）+1=3×1+1=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，掌握用根与系数的关系与代数
式变形相结合进行解题是解答此题的关键.
20．如图，四边形
，对角线
，
，点E 为
上一点，
，连接
并延长交
于点F，交
延长线于点G，
，则
的
长为 ．
【答案】2
【分析】首先证明
，再证明
，设DF=x，运用勾股定理可得
，从而得
，证明
，根据相
似三角形的性质可得
，从而可求出AB，BD 的值，进一步得出结论．
【详解】解：∵
∴∠
∵∠
，
∴∠
，
∴
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴∠
,
∵∠
,
∴∠
,
∵
,
∴∠
,
∴∠
,
∴
设
∴
∵
∴∠
，
在
中，
，
∴
∴
，
∴
，
∵
，
∴△
∴
即
，
整理，得：
∴
设
则上式变形为：
，
解得，
（舍去）
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
∴
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，
证明
是解答本题的关键．
21．如图，E、F 是□ABCD 的边AD 上的两点，△EOF 的面积为4，△BOC 的面积为9，四边形
ABOE 的面积为7，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】10
【分析】将△ECD 向左平移，使CD 边与AB 边重合，已知S△EFO S∶△BOC=4 9∶，且△EFO
CBO
∽△
，
根据相似三角形的性质可得BO：OF=3 2∶，从而得OF BF=2 5
∶
∶，继而得O'F' BF=2 5
∶
∶，所以
S△E'F'O' S∶△E'BF=4 25
∶
，再由△E'F'O'的面积为4，可得
，再求得S 四边形O'F'AB=10，由S 四边形
FOCD=S 四边形O'F'AB即可得图中阴影部分的面积．
【详解】如图，将△ECD 向左平移，使CD 边与AB 边重合，
S
∵△EFO
S
∶△BOC=4 9∶，且△EFO
CBO
∽△
，
BO
∴
：OF=3 2∶，
OF BF=2 5
∴
∶
∶，
O'F' BF=2 5
∴
∶
∶，
S
∴△E'F'O' S∶△E'BF=4 25
∶
，
∴
，
S
∴
四边形O'F'AB=25-2×4-7=10，
S
∴
四边形FOCD=S 四边形O'F'AB=10．
故答案为：10．
【点睛】本题为相似三角形和平行四边形的综合题，利用平移的性质做出辅助线是解题的
关键．
22．如图，四边形
是边长为4 的正方形，点E 在边
上，PE=1；作EF∥BC，分别
交AC、AB 于点G、F，M、N 分别是AG、BE 的中点，则MN 的长是 ．
【答案】2.5
【分析】先判断四边形
的形状，再连接
，利用正方形的性质得出
是
等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出
即可．
【详解】∵四边形
是边长为4 的正方形，
，
∴四边形
是矩形，
∵
，
∴
，
连接
，如图所示：
∵四边形
是正方形，
∴
，
是等腰直角三角形，
∵
是
的中点，即有
，
∴
，
是直角三角形，
又∵
是
中点，
，
∵
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题
的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
23．矩形ABCD 中，E、F、G 分别为边AD、AB、BC 上一点，且AF=4，BF=3，
，
∠EFG=135°，则线段AE 的长为 ．
【答案】
【分析】在AB 上作AH=AE，BI=BG，易知△AHE 与△BIG 是等腰直角三角形，易证
△GIF
FHE
∽△
，
设AE=x，利用等腰直角三角形性质与相似三角形性质，用x 表示出IB 与FI，列出方程
IB+FI=FB=3，解出x 即可
【详解】在AB 上作AH=AE，BI=BG，如图
易知△AHE 与△BIG 是等腰直角三角形
故∠AHE=45°，又因为∠AHE= HFE+ HEF
∠
∠
因为∠EFG=135°，所以∠HFE+ IFG=45°
∠
得到∠HEF= IFG
∠
，又∠GIF= EFG=135°
∠
所以△GIF
FHE
∽△
则有
故设AE=x，则HE=
，HF=4-x，IG=
（4-x），IB=
（4-x），FI=
因为FB=3，所以
+
（4-x）=3，解得x=
【点睛】本题主要考查相似三角形性质与等腰直角三角形性质，属于较难题型，本题关键
是能够构造出相似三角形
24．在正方形
中，
=6，连接
，
，
是正方形边上或对角线上一点，若
=2
，则
的长为 .
【答案】2 或
或
【分析】根据题意分情况画出符合题意的图形，然后针对每一个图形利用勾股定理进行求
解即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，
AD=AB=6
∴
，∠BAD=90°，∠DAC=45°，
AC=BD
∴
=6
；
如图1，当点P 在AD 上时，
AP+PD=AD=6
∵
，PD=2AP，
AP=2
∴
；
如图2，当点P 在AB 上时，
PAD=90°
∵∠
，
AP
∴
2+AD2=DP2，
AD=6
∵
，PD=2AP，
AP
∴
2+36=4AP2，
AP=
∴
；
如图3，当点P 在AC 上时，作PN AD
⊥
于点N，
设AN=x，则有DN=6-x，PN=x，
由勾股定理得AP=
x，PD=
，
PD=2AP
∵
，
∴
=2
x，
x=
∴
或x=
（不符合题意，舍去），
AP=
∴
x=
，
当点P 在其余边或对角线上时，不存在可以使PD=2AP 的点，
综上，AP 的长为2，
，
，
故答案为2 或
或
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用等，难度较大，解题的关键是正确画
出符合题意的图形．
25．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，连接AE，将
沿AE 翻折，点B 的
对应点为F．若线段AF 的延长线经过矩形一边的中点，
，则BE 长为
．
【答案】
或
或2
【分析】主要分三种情况进行讨论：①当线段AF 的延长线AG 经过BC 的中点时，②当线
段AF 的延长线经过AD 的中点时，③当线段AF 的延长线AG 经过CD 的中点时，进行一一
求解即可．
【详解】解：分三种情况讨论，
①当线段AF 的延长线AG 经过BC 的中点时，如图1，此时BG=CG=2，
图1
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt△ABG 中，AB=BG=2，
∴AG=
，∠AGB=45°，
∴FG=
，EF=FG，
∴BE=EF=FG=
；
②当线段AF 的延长线经过AD 的中点时，如图2，此时BE=CE=2，
图2
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF 是正方形，
∴BE=AF=2，
③当线段AF 的延长线AG 经过CD 的中点时，如图3，此时DG=CG=1，
图3
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt△ADG 中，AD=4，DG=1，∴
，∴
，
设BE=x，则EF=x，CE=4-x，
∵
，∴
，
∴
，解得：
，∴
，
故答案为：
或
或2．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解决
本题的关键．
三、解答题
26．如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P 从A 沿AC 边向C 点以
1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在
B 点停止．
（1）如果点P，Q 分别从A、C 同时出发，经过2 秒钟后，S△QPC＝ cm2；
（2）如果点P 从点A 先出发2s，点Q 再从点C 出发，问点Q 移动几秒钟后S△QPC＝
4cm2？
（3）如果点P、Q 分别从A、C 同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
【答案】（1）8；（2）
；（3）
【分析】本题可设
出发
后，
符合已知条件：
在（1）中，
，
，
，得出
，即可求出经过2
秒钟后的面积；
在（2）中，
，
，
，进而可列出方程，求出答案；
在（3）中，
，
，
，利用勾股定理和
列出方程，
求出答案．
【详解】解：（1）
、
同时出发，经过
秒钟，
，
当
，
，
故答案是：8．
（2）设
出发
时
，则
运动的时间为
秒，由题意得：
，
，
解得：
因此经4 秒点
离
点
，点
离
点
，符合题意．
答：
先出发
，
再从
出发
后，
．
（3）设经过
秒钟后
，则
，
，
，
，
解得
，
（不合题意，舍去）
答：经过
秒钟后
．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，
另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．
27．综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次
函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或
几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数
的意义解决某些问题．
例1：把代数式
进行配方．
解：原式
．
例2：求代数式
的最大值．
解：原式
．
，
，
，
的最大值为
．
【问题解决】
(1)若
满足
，求
的值．
(2)若等腰
的三边长
均为整数，且满足
，求
的
周长．
(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中
是
和
的三边长，根据勾股定理可得
，我们把关于
的一元二次方程
称为“勾系一元二次方程”．已知实数
满足等式
，且
的最小值是“勾系一元二次方程”
的一个
根．四边形
的周长为
，试求
的面积．
【答案】(1)
(2)等腰三角形
的周长为13 或14
(3)1
【分析】（1）将等式
的右边展开，再对应相等得到
，求出
、的值即可；
（2）将式子配方可得
，由偶次方的非负性可求出
，再分
两种情况：当
为腰长时，当
为腰长时，利用等腰三角形的性质进行计算即可；
（3）由
两边同时加
可得
，求出
的最小值，从而得出
是
的一个根，得到
，由四边
形
的周长为
求出
，再由勾股定理可得
，最后由
，求出
的值即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
，
，
，
当
为腰时，
，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形
的周长为：
；
当
为腰时，
，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形
的周长为：
，
等腰三角形
的周长为13 或14；
（3）解：
，
，
，
的最小值为
，
的最小值是“勾系一元二次方程”
的一个根，
是
的一个根，
，
，
四边形
的周长为
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的性质、
勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为
．点E 的坐标为
，直线经过
点F 和点E，直线与直线
相交于点P．
(1)求直线的表达式和点P 的坐标；
(2)矩形
的边
在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段
上，边
平
行于x 轴，且
，将矩形
沿射线
的方向平移，边
始终与x 轴平
行，已知矩形
以每秒
个单位的速度匀速移动（点A 移动到点E 时止移动），设移
动时间为t 秒
．
①当
时，A 点坐标是_________，移动t 秒时，D 点坐标为_________，
②矩形
在移动过程中，B、C、D 三点中有且只有一个顶点落在直线或
上时，矩
形会发出红光，请直接写出矩形发出红光时t 的值；
③若矩形
在移动的过程中，直线
交直线于点N，交直线
于点M．当
的
面积等于18 时，请直接写出此时t 的值．
【答案】(1)
，点P 坐标为
(2)①
，
；②
或
；③
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①利用平移的性质即可求解；
②分情况讨论，当点D 在直线上
时，利用点D 与点A 的横坐标之差为9，列式计算求解
即可；当点B 在
直线上时，点A 的纵坐标比点B 的纵坐标高6 个单位，列式计算求解即
可；
③设点A 横坐标为a，则点D 横坐标为
，再用a 表示出
，
，用a 表示出
和
上的高，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设直线的表达式为
，
∵直线过点
，
，
∴
，解得
，
直线的表达式为
．
联立，得
，
解得
，
，
∴点P 坐标为
；
（2）解：①∵
，
，
∴
，
，
，
∵矩形
以每秒
个单位的速度沿射线
的方向匀速移动，相当于矩形
以每
秒1 个单位的速度沿y 的方向向下匀速移动，或以每秒2 个单位的速度沿x 的方向向右匀速
移动，
∴当
时，A 点坐标是
，即
；当时，D 点坐标是
；
故答案为：
，
；
②如图，当点D 在直线上
时，
∵
，
∴点D 与点A 的横坐标之差为9，
∴将直线与直线
的解析式变为
，
∴
，解得
，
则点A 的坐标为：
，
则
，
∵点A 速度为每秒
个单位，
∴
；
如图，当点B 在
直线上时，
∵
，
∴点A 的纵坐标比点B 的纵坐标高6 个单位，
∴直线的解析式减去直线
的解析式得
，
解得
，则点A 坐标为
，
则
，
∵点A 速度为每秒
个单位，
，
故t 值为
或
；
③如图，
设直线
交
于点H，
设点A 横坐标为a，则点D 横坐标为
，
∴
，
，
∴
，
此时点P 到
距离为：
，
∵
的面积等于18，
∴
，
解得
（舍去），
∴
，则此时t 为
，
当
时，
的面积等于18．
【点睛】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法、两直线的交点坐标、勾股定理、三
角形的面积等，综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是
解题的关键．
29．解答题
(1)如图1，
和
都是等边三角形，连接
、
，求证，
；
[类比探究]
(2)如图2，
和
都是等腰直角三角形，
，连接
．
求
的值．
[拓展提升]
(3)如图3，
和
都是直角三角形，
，
．连接
，延长
交
于点F，连接
．若
恰好等于
，请直接写出此时
之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明
，从而得出结论；
（2）证明
，从而得出结果；
（3）过点B 作
，垂足为点H，令
和
相交于点O．通过证明
以及
，根据对应边成比例，即可将
三条线段
表示出来，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，即：
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
（2）解：∵
和
都是等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，则
，
∵
，即：
，
在
和
中，
，
，
∴
，
∴
，
令
，根据勾股定理可得：
，
∴
．
（3）
过点B 作
，垂足为点H，令
和
相交于点O．
∵
，
，
∴
，
，
∴
，则
，
∴
，即：
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
，
∴
，
设
，
，则
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
30．如图，已知
中，
，
，D 为CB 边上一动点，
，
连接AD，
于点E，延长线BE 交AC 于点F．
（1）若
，则
______，
______；
（2）若
，求证：
；
（3）若F 为AC 的中点，请直接写出n 的值．
【答案】（1）3，9；（2）证明见解析；（3）
．
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质即可得；
（2）如图（见解析），先根据中位线定理得出
，
，再根据（1）的解
题过程可得
，然后根据相似三角形的判定与性质得出
，从而可得
，最后根据等量代换即可得证；
（3）先由（2）得出
，再根据平行线分线段成比例定理推论得出
，然后根据线段的中点定义得出则
，从而可得
，解分
式方程即可得．
【详解】（1）由题意得：
，
，即
，即
同理可得：
，
则当
时，
，
故答案为：3，9；
（2）如图，当
时，D 为BC 的中点，取BF 的中点G，连接DG
则
，
由（1）可知，
当
时，
又
，即
；
（3）如上图，由（2）可知，
，即
，即
若F 为AC 的中点，则
解得
或
（不符题意，舍去）
经检验，
是分式方程的解
故若F 为AC 的中点，
的值为
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理推论、中位线定
理等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
