专题08
抛物线压轴题
1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的
焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上．它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离
心率e）不同，当e＝1 时为抛物线，当0<e<1 时为椭圆，当e>1 时为双曲线．
抛物线的标准方程：
0
2
2
p
px
y
其焦点F 的坐标
0,
2
p
，准线方程
2
p
x
；或
0
2
2
p
py
x
其
焦点F 的坐标
2
,0 p
，准线方程
2
p
y
．
2．抛物线图像及其性质：
标准方程
2
2
(
0)
y
px
p
2
2
(
0)
y
px
p
2
2
(
0)
x
py
p
2
2
(
0)
x
py
p
图形
o F
x
y
l
o
x
y
F
l
x
y
o
F
l
焦点坐标
(
,0)
2
p
(
,0)
2
p
(0,
)
2
p
(0,
)
2
p
准线方程
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
焦半径
0
|
|
2
p
MF
x
0
|
|
2
p
MF
x
0
|
|
2
p
MF
y
0
|
|
2
p
MF
y
范围
0
x
0
x
0
y
0
y
对称性
x 轴
x 轴
y 轴
y 轴
顶点
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
离心率
1
e
1
e
1
e
1
e
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3．直线和抛物线的位置关系：
（1）将直线的方程y
kx
m
与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一
元二次方程，其判别式为Δ．
2
2
2
0
ky
py
pm
若
0
k
，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
0
k
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和抛物线相离，无公共点．
（2）直线与抛物线的相交弦
设直线y
kx
m
交抛物线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
于点
1
1
1
2
2
2
( ,
) ,
(
,
),
P x y
P x
y
两点，则
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
PP
x
x
y
y
=
2
2
1
2
1
2
1
2
(
) [1
(
) ]
y
y
x
x
x
x
=
2
1
2
1
|
|
k
x
x
同理可得
1
2
1
2
2
1
|
|
1
|
| (
0)
PP
y
y
k
k
这里
1
2
|
|,
x
x
1
2
|
|,
y
y
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
y
y
y
y
y y
（3）已知过抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点F 的直线交抛物线于A、B 两点。
设A（x1,y1），B（x2,y 2），则：
①焦点弦长
1
2
2
2
|
|
|
|
(
)
sin
p
AB
x
x
p
AB
AB
或
为
的倾斜角
②
2
2
1
2
1
2
-
4
p
x x
y y
p
，
焦半径
0
2
x
p
PF
0
2
x
p
PF
0
2
y
p
PF
0
2
y
p
PF
焦点弦公式
)
(
2
1
x
x
p
AB
)
(
2
1
x
x
p
AB
)
(
2
1
y
y
p
AB
)
(
2
1
y
y
p
AB
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③
1
1
2
|
|
|
|
FA
FB
p
，其中|AF|叫做焦半径，
1
|
|
2
p
FA
x
④焦点弦长最小值为2p。根据
2
2
|
|
sin
2
p
AB
可见，当为
时，即AB 垂直于x 轴时，弦AB 的长最短
⑤过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．
题型一
抛物线的标准方程
例1（1）点
(5,3)
M
到抛物线
2
x
ay
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（
）
A．
2
1
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
D．
2
1
36
x
y
【答案】C
【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数a 的值.
【详解】当
0
a
时，抛物线开口向上，准线方程
4
a
y
，
点
(5,3)
M
到准线的距离为3
6
4
a
，解得
12
a
，
所以抛物线方程为
2
12
x
y
；
当
0
a
时，抛物线开口向下，准线方程
4
a
y
，
点
(5,3)
M
到准线的距离为3
6
4
a
，解得
36
a
或
12
a
（舍去），
所以抛物线方程为
2
36
x
y
．
所以抛物线的方程为
2
12
x
y
或
2
36
x
y
．
故选：C
（2）设双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，O 为坐标原点．以
1
2
F F 为直径的圆
与双曲线的右支交于P 点，且以
2
OF 为直径的圆与直线
1
PF 相切，若
1
8
PF ，若双曲线C 与抛物线
2
2
y
px
有共同的右焦点
2
F ，则抛物线的标准方程为（
）
A．
2
12 2
y
x
B．
2
12
y
x
C．
2
6 2
y
x
D．
2
6
y
x
【答案】A
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【分析】设以
2
OF 为直径的圆与直线
1
PF 相切于点N，圆心为M，则
1
MN
PF
，因此
1
2
1
Rt
Rt
PF F
NF M
∽
，
所以
1
2
1
2
|
|
F M
NM
PF
F F
，由此可求出
2
2
3
c
PF
，而
1
2
PF
PF
，再由勾股定理可得
1
4 2
3
c
PF
，而已知
1
8
PF ，
从而可求出c 的值，即可得到结果.
【详解】
依题意知
1
2
PF
PF
，设以
2
OF 为直径的圆与直线
1
PF 相切于点N，圆心为M，则
1
MN
PF
，因此
1
2
1
Rt
Rt
PF F
NF M
∽
，所以
1
2
1
2
|
|
F M
NM
PF
F F
．
设双曲线的焦距为2c，则
2
3
2
2
2
c
c
PF
c
，解得
2
2
3
c
PF
，
由勾股定理可得
2
2
2
2
1
1
2
2
2
4 2
(2 )
3
3
c
c
PF
F F
PF
c
，
于是4 2
8
3
c
，
3 2
c
，
又因为双曲线C 与抛物线
2
2
y
px
有共同的右焦点
2
F ，
则
3 2
2
p
，所以2
12 2
p
，
即抛物线方程为
2
12 2
y
x
故选:A
（3）抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点为F ，准线是l ，O是坐标原点，P 在抛物线上满足OP
PF
，连
接FP 并延长交准线l 与Q 点，若OFQ
的面积为8 2 ，则抛物线C 的方程是（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
4 2
y
x
D．
2
8
y
x
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【答案】D
【分析】根据题意，抛物线的准线l 的方程为
2
p
x
，则焦点
,0
2
p
F
到准线的距离为p ，根据条件可知P
在线段OF 的中垂线上，从而得出
1
4
P
x
p
，
2
2
P
y
p
，进而求得
2 2
Q
y
p
，最后根据
1
8 2
2
OFQ
Q
S
OF
y
求出p 的值，即可得出抛物线C 的方程.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线l 的方程为
2
p
x
，则焦点
,0
2
p
F
到准线的距离为p ，
已知OP
PF
，所以P 在线段OF 的中垂线上，
因为P 在抛物线
2
2
0
y
px p
上，Q 在准线l 上，设
,
,
,
2
P
P
Q
p
P x
y
Q
y
，
故
1
4
P
x
p
，
2
2
P
y
p
，
可知tan
1
4
Q
P
y
y
OFP
p
p
，即
2
2
1
4
Q
p
y
p
p
，得
2 2
Q
y
p
，
8 2
OFQ
S
，即1
1
2 2
8 2
2
2 2
Q
p
OF
y
p
，
解得：
2
16
p
，
4
p
，
故抛物线C 的方程是
2
8
y
x
.
故选：D.
练习题
（1）已知抛物线C ：
2
2
y
px
（
0
p
）的焦点为F ，点T 在C 上，且
5
2
FT
，若点M 的坐标为
0,1 ，
且MF
MT
，则C 的方程为（
）
A．
2
2
y
x
或
2
8
y
x
B．
2y
x
或
2
8
y
x
C．
2
2
y
x
或
2
4
y
x
D．
2y
x
或
2
4
y
x
【答案】A
【分析】设T 为
0
0
,
x
y
，得到
0
0
,
1
MT
x
y
，
, 1
2
p
MF
，得到
0
0
1
0
2
p x
y
，由
2
0
0
2
y
px
，联立
方程组求得
2 ,2
T
p
，结合
0
5
2
2
p
FT
x
，求得p 的值，即可求解.
【详解】设T 为
0
0
,
x
y
，则
0
0
,
1
MT
x
y
，
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又由
,0
2
p
F
，所以
, 1
2
p
MF
，
因为MF
MT
，所以
0
MF MT
，可得
0
0
1
0
2
p x
y
，
由
2
0
0
2
y
px
，联立方程组，消去
0x ，可得
2
0
0
4
4
0
y
y
，所以
0
2
y
，故
2 ,2
T
p
，
又由
0
5
2
2
p
FT
x
，所以5
2
2
2
p
p
，即
2
5
4
0
p
p
，解得
1
p 或
4
p
，
所以C 的方程为
2
2
y
x
或
2
8
y
x
．
故选：A．
（2）已知抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点为F，准线l 上有两点A，B，若FAB
为等腰直角三角形且面
积为8，则抛物线C 的标准方程是（
）
A．
2
4 2
y
x
B．
2
8
y
x
C．
2
4 2
y
x
或
2
8
y
x
D．
2
4
y
x
【答案】C
【分析】分
2
AFB
或
2
FAB
（
2
FBA
）两种情况讨论，由面积列方程即可求解
【详解】由题意得，当
2
AFB
时，
1
2
8
2
AFB
S
p
p
△
，解得
2 2
p
；
当
2
FAB
或
2
FBA
时，
2
1
8
2
AFB
S
p
△
，解得
4
p
，所以抛物线的方程是
2
4 2
y
x
或
2
8
y
x
.
故选：C.
（3）已知抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点为F ，准线为l，过点F 且斜率为
3 的直线交抛物线于点M ( M 在
第一象限)，MN
l
，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|
| 2 3
MD
，则抛物线的方程是（
）
A．
2y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
4
y
x
D．
2
8
y
x
【答案】C
【解析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形NMF 是正三角形，结合已知条件求出MN ，结合F 在MN
上的射影是MN 是中点，然后求解抛物线方程．
【详解】由题意如图，过点F 且斜率为
3 的直线交抛物线于点
(
M M 在第一象限），
可知，
60
NMF
，
MN
l
，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，准线与x 轴的交点为A ，
所以MN
FM
，则三角形NMF 是正三角形，
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因为O是AF 的中点，
/ /
AN
OD ，所以D 是NF 的中点，
所以MD
NF
，
30
DMF
，
|
| 2 3
MD
，所以
|
|
|
|
4
cos30
MD
MF
，则|
| 4
MN
，
由三角形NMF 是正三角形可知F 在MN 上的射影是MN 是中点，
所以
2
AF
BN
，则
(1,0)
F
，
可得
2
p
，
所以抛物线方程为：
2
4
y
x
．
故选：C ．
（4）点
5,3
M
到抛物线
2
y
ax
的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（
）
A．
2
12
y
x
B．
2
36
y
x
C．
2
12
y
x
或
2
36
y
x
D．
2
1
12
y
x
或
2
1
36
y
x
【答案】D
【分析】根据点M 到准线的距离为
1
| 3
| 6
4a
，分
0
a
和a<0两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程．
【详解】当
0
a
时，开口向上，准线方程为
1
4
y
a
，则点M 到准线的距离为
1
3
6
4a
，求得
1
12
a
，抛
物线方程为
2
1
12
y
x
，
当a<0时，开口向下，准线方程为
1
4
y
a
，点M 到准线的距离为
1
| 3
| 6
4a
解得
1
36
a
，抛物线方程为
2
1
36
y
x
．
故选：D．
题型二
抛物线的最值问题
例2（1）已知直线
1
2
0
mx
y
m
恒过定点A ，抛物线E ：
2
2
0
y
px p
的焦点坐标为
1,0
F
，P 为
抛物线E 上的动点，则PA
PF
的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】由条件求出
,
A P 的坐标，结合抛物线的定义求PA
PF
的最小值.
【详解】方程
1
2
0
mx
y
m
可化为
1
2
y
m x
，
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所以直线
1
2
0
mx
y
m
恒过定点
(2,1)
A
，
因为抛物线E ：
2
2
0
y
px p
的焦点坐标为
1,0
F
，
所以
1
2
p ，即
2
p
，
所以
2
4
y
x
，
过点P 作
1
PP 准线= 1
x ，垂足为
1P ，则
1
PP
PF
，
过点A 作
1
AA 准线= 1
x ，垂足为
1A ，
所以
1
1
3
PA
PF
PA
PP
AA
，当且仅当
1
, ,
A P A 三点共线时取等号，
所以PA
PF
的最小值为3，
故选：C.
（2）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点F 到其准线的距离为2，过点
(4,0)
E
的直线l 与抛物线C 交于A ，
B 两点，则|
| 2 |
|
AF
BF
的最小值为（
）
A．2 2
3
B．8 2
3
C．17
8
D．9
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线方程.设出直线l 的方程，并与抛物线方程联立，化简写
出根与系数关系，结合基本不等式求得|
| 2 |
|
AF
BF
的最小值.
【详解】因为抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点F 到其准线的距离为2，
所以
2
p
，抛物线C 的方程为
2
4
y
x
．设直线l 的方程为
4
x
my
，
将此方程代入
2
4
y
x
，整理得
2
4
16
0
y
my
．
设
2
1
1
,
4
y
A
y
，
2
2
2
,
4
y
B
y
，则
1
2
16
y y
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
| 2 |
|
1
2
1
3
2
3
8 2
3
4
4
4
2
8
y
y
y
y
y y
AF
BF
，
当且仅当
2
2
1
2
4
2
y
y
，即
2
2
1
2
2
y
y
时等号成立．
故选：B．
（3）已知抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为2，点P 是直线l 上的动点.若点A 在抛物线C 上，且|
|
5
AF ，
过点A 作直线PF 的垂线，垂足为H ，则|
| |
|
PH
PF
的最小值为（
）
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A．2 5
B．6
C．
41
D．2 13
【答案】B
【分析】首先求抛物线方程和点A 的坐标，再分别表示直线PF 和AH 方程，求点
,
P H 的坐标，并利用两点
间的距离求PH
PF
，并利用换元法求函数的最小值.
【详解】F 到准线的距离为
2
2
2
p
p
，设抛物线方程为
2
4
y
x
，焦点
1,0
F
，准线= 1
x ，
5
AF
，
根据抛物线的定义有
5
2
A
p
x
，得
4
A
x
，
不妨设
4,4
A
，设直线
:
1
PF x
my
，①
2
1,
P
m
，
直线
:
4
4
AH y
m x
，②
联立方程①②得：
2
4
3
1
H
m
y
m
，
2
2
2
4
3
1
1
m
PH
m
m
m
，
2
2
1
0
PF
m
m
，
2
2
2
2 1
4
3
2
1
1
m
m
m
PH PF
m
m
m
m
2
4
2
2 5
m
m
，
设1
t
m ，则
2
2
2 2
4
5
4
1
6
PH PF
t
t
t
，
所以当
1
t 时，PH PF 取得最小值6.
故选：B
练习题
（1）已知以圆C ：
2
2
(
1)
4
x
y
的圆心为焦点的抛物线
1
C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线
2
C ：
2
8
x
y
上任意一点，BM 与直线=
2
y
垂直，垂足为M ，则|
|
|
|
BM
AB
的最大值为（
）
A．1
B．2
C．1
D．8
【答案】A
【分析】由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线
1
C 方程，利用运用抛物线的定义可得
1
BM
AB
BF
AB
AF
，从而可得结果.
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【详解】因为
2
2
:
1
4
C
x
y
的圆心
1,0
所以以
1,0 为焦点的抛物线方程为
2
4
y
x
，
由
2
2
2
4
1
4
y
x
x
y
，解得
1,2
A
，
抛物线
2
2 :
8
C
x
y
的焦点为
0,2
F
，准线方程为=
2
y
，如图，即有
1
BM
AB
BF
AB
AF
，
当且仅当
,
,
(
A B F A 在
,
B F 之间）三点共线，可得最大值1，
故选：A
（2）设P 为抛物线C：
2
4
y
x
上的动点，
2,4
A
关于P 的对称点为B，记P 到直线
1,
3
x
x
的距离
分别
1d ，
2
d ，则
1
2
d
d
AB
的最小值为（
）
A．2 17
2
B．2 13
2
C．17
2
D．13
17
2
【答案】A
【分析】根据题意得到
1
2
1
1
2
2
2
2
2
d
d
AB
d
PA
d
PA
，再利用抛物线的定义结合三角不等式
求解.
【详解】解：如图，
因为
2
1
2
d
d
，且
2,4
A
关于P 的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点
1,0
F
，所以
1
2
1
1
2
2
2
2
2
d
d
AB
d
PA
d
PA
2
2
PF
PA
2
2
AF
2 17
2
.
当P 在线段AF 上时，
1
1
d
d
AB
取得最小值，且最小值为2 17
2
.
故选：A
（3）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点
,
A B 的距离之比为定值
1
的点的轨迹是圆”.
后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，点
3 1
,
2 2
A
，
3 ,2
2
B
，若点P 是满足
1
2
的阿氏圆上的任意一点，点Q 为抛物线
2
:
6
C
y
x
上的动点，Q
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在直线
3
2
x
上的射影为R ，则
2
2
PB
PQ
QR
的最小值为（
）
A．34
B．
37
C．
42
D．3 5
【答案】B
【分析】先求出点P 的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得
|
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
|
PB
PQ
QR
PA
PQ
QF
，从而可得出答案.
【详解】设
,
P x y ，则
2
2
2
2
3
1
2
2
1
2
3
2
2
x
y
PA
PB
x
y
，
化简整理得
2
2
3
1
2
x
y
，
所以点P 的轨迹为以
3,0
2
为圆心1 为半径的圆，
抛物线
2
:
6
C y
x
的焦点
3 ,0
2
F
，准线方程为
3
2
x
，
则|
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
|
PB
PQ
QR
PA
PQ
QF
2
1
2 |
|
|
|
|
|
2
2 3
37
4
PA
PQ
QF
AF
，
当且仅当
, ,
,
A P Q F （
,
P Q 两点在
,
A F 两点中间）四点共线时取等号，
所以|
| 2|
| 2|
|
PB
PQ
QR
的最小值为
37 .
故选：B.
（4）已知抛物线
2
:
4
C y
x
，焦点为F，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线
1
2
1
0
a
x
y
a
的
垂线，垂足为P，则MF
MP
的最小值为（
）
A．5
2
2
B．3
2
2
C．5
D．3
【答案】A
【分析】由条件确定点P 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求MF
MP
的最小值.
【详解】∵抛物线C 的方程为
2
4
y
x
，
∴
(1,0)
F
，抛物线C 的准线方程为= 1
x ，
∵方程
1
2
1
0
a
x
y
a
可化为
1
(1
)
2
y
a
x
，
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∴
1
2
1
0
a
x
y
a
过定点
(2,1)
B
，
设
( , )
P x y ，设
,
F B 的中点为A ，则
3 1
,
2 2
A
，因为FP
BP
，P 为垂足，
∴
1
2
2
2
PA
FB
，所以
2
2
3
1
1
2
2
2
x
y
，
即点P 的轨迹为以A 为圆心，半径为
2
2
的圆，
过点M 作准线= 1
x 的垂线，垂足为
1
M ，则
1
MM
MF
,
∴
1
=
MF
MP
MM
MP
,，又
2
2
MP
MA
，当且仅当
, ,
M P A 三点共线且P 在
,
M A 之间时等号成立，
∴
1
2
2
MF
MP
MM
MA
，
过点A 作准线= 1
x 的垂线，垂足为
1A ，则
1
1
5
= 2
MM
MA
AA
,当且仅当
1,
,
A M A三点共线时等号成立，
∴
5
2
2
MF
MP
，当且仅当
1,
, ,
A M P A 四点共线且P 在
,
M A 之间时等号成立，
所以MF
MP
的最小值为5
2
2
，
故选：A.
（5）已知点
1,
(
1)
P
a
a
在抛物线C ：
2
2
(
0)
y
px p
上，过P 作圆
2
2
1
1
x
y
的两条切线，分别交C
于A ，B 两点，且直线AB 的斜率为1
，若F 为C 的焦点，点
,
M x y 为C 上的动点，点N 是C 的准线与坐
标轴的交点，则
MN
MF 的最大值是（
）
A．
2
B．2
C．2 3
3
D．
3
2
【答案】A
【分析】根据题意，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
,
P
P
P x
y
，分析可得直线
,
PA PB 关于直线
1
x 对称，则
0
PA
PB
k
k
，
变形可得
1
2
2
P
y
y
y
，又由
1
2
2
2
1
2
AB
P
p
p
k
y
y
y
，可得
P
y
p
，代入
1, p 求得
2
p
，设
MNF
，
作
1
MM 垂直准线于
1
M ，由抛物线性质可得
1
MM
MF
，进而
1
1
cos
MN
MN
MF
MM
，当cos最小时，
MN
MF
的值最大，设切线MN 的方程为
1
x
my
，联立方程组
2
1
4
x
my
y
x
，由判别式等于0 可得直线的参数值，代
入整理的方程求出M 点坐标，进而求出答案.
【详解】由题意可知，过P 所作圆的两条切线关于直线
1
x 对称，所以
0
PA
PB
k
k
．
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设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
,
P
P
P x
y
，则
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
P
P
PA
P
P
P
y
y
y
y
p
k
y
y
x
x
y
y
p
p
，
同理可得
2
2
PB
P
p
k
y
y
，
1
2
2
AB
p
k
y
y
，则
1
2
2
2
0
P
P
p
p
y
y
y
y
，
得
1
2
2
1
2
2
0
P
P
P
y
y
y
y
p
y
y
y
，所以
1
2
2
P
y
y
y
，
由
1
2
2
2
1
2
AB
P
p
p
k
y
y
y
，得
P
y
p
．
将
1, p 代入抛物线C 的方程，得
2
2
p
p
，解得
2
p
，
故抛物线C 的方程为
2
4
y
x
．
设
MNF
，作
1
MM 垂直准线于
1
M ，
由抛物线的性质可得
1
MM
MF
，
所以
1
1
cos
MN
MN
MF
MM
，
当cos最小时，
MN
MF 的值最大，
所以当直线MN 与抛物线C 相切时，最大，即cos最小．
由题意可得
1,0
N
，
设切线MN 的方程为
1
x
my
，
联立方程组
2
1
4
x
my
y
x
消去x ，得
2
4
4
0
y
my
，
由
2
16
16
0
m
，可得
1
m ，
将
1
m 代入
2
4
4
0
y
my
，可得
2
y ，
所以
1
x ，即M 的坐标为
1, 2
，所以
2
2
2
2
2 2
MN
，
1
1
1
2
MM
，所以
MN
MF 的最大值为
2 2
2
2
．
故选：A
题型三抛物线性质综合题
例3：（1）（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是抛物线C ：
2
4
x
y
的焦点，点P 是C 上异于原
点O的动点，过点P 且与C 相切的直线l 与y 轴交于点Q ，设抛物线C 的准线为m ，PH
m
，H 为垂足，
则（
）
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A．当点P 的坐标为
2,1 时，直线l 的方程为
1
0
x
y
B．设
2,2
M
，则PM
PF
的最小值为4
C．
2
4
PQ
OQ
HQ
D．
2
FPH
FPQ
【答案】ACD
【分析】由导数的几何意义可判断A；由抛物线的定义结合图象可判断B；由题意求出
,
,
P Q H 的坐标，由
两点间的距离公式可判断C；证明四边形PHQF 是菱形可判断D.
【详解】对于A，点P 的坐标为
2,1 时，
则
2
4
x
y
，
2
x
y
，所以直线l 的斜率为
2
1
2
k
，
所以直线l 的方程为
1
1
2
y
x
，化简可得：
1
0
x
y
，故A 正确；
对于B，
2
4
x
y
的准线为
1
y ，
过点M 作MN
m
，交m 于点N ，与抛物线交于点K ，
当P 点与K 点重合时，PM
PF
的最小值，所以PM
PF
的最小值为
2 1
3
MN
，
故B 错误；
对于C，不妨设点P 在一象限，则点
2
0
0
0
,
0
4
x
P x
x
，
所以
2
x
y
，所以直线l 的斜率为
0
2
x
k
，
所以直线l 的方程为
2
0
0
0
4
2
x
x
y
x
x
，化简可得：
2
0
0
2
4
0
x x
y
x
，
令
0
x
，则
2
0
4
x
y
，所以
2
0
4
0,
Q
x
，
因为PH
m
，所以
0, 1
H x
，
所以
2
2
4
2
2
2
0
0
0
0
2
4
x
x
PQ
x
x
，
2
0
4
x
OQ
，
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
1
4
4
4
x
x
x
HQ
x
，
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所以
2
2
4
2
0
0
0
0
4
4
1
4
4
4
x
x
x
OQ
HQ
x
，所以
2
4
PQ
OQ
HQ
，故C 正确.
对于D ，因为
2
0
4
0,
Q
x
，
0, 1
H x
，
0,1
F
，
2
0
0
0
,
0
4
x
P x
x
，
所以
2
0
1
4
x
PH
FQ
，因为
/ /
PH
FQ ，
所以四边形PHQF 是平行四边形，
又由抛物线的定义可得：PF
PH
，
所以四边形PHQF 是菱形，所以PQ 平分FPH
，
所以
2
FPH
FPQ
，故D 正确.
故选：ACD.
（2）
（多选题）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.
在平面直角坐标系xOy 中，动点
,
P x y 到两个定点
1
1,0
F
，
2 1,0
F
的距离之积等于3，化简得曲线C：
2
2
2
1
4
9
x
y
x
.则下列结论正确的是（
）
A．曲线C 关于y 轴对称
B．
1
2
PF
PF
的最小值为2 3
C．
1
2
F PF
△
面积的最大值为3
2
D．OP 的取值范围为
2,2
【答案】ABD
【分析】根据条件得到
2
2
4
9
1
0
x
x
，从而求得
2,2
x
，利用换元法，令
2
4
9
3,5
x
t
，得
到
2, 2
y
，对于A 选项：令x
x
即可判断；对于B 选项：结合条件利用基本不等式得到
1
2
1
1
1
1
3
3
2
PF
PF
PF
PF
PF
PF
即可判断；对于C 选项：由
1
2
F PF
△
面积为
1
2
1
2
P
F F
y
即可判断；
对于D 选项：根据两点间的距离公式和条件得到
2
2
2
2
4
9
1
OP
x
y
x
即可判断.
【详解】由题意得：
2
2
2
4
9
1
0
y
x
x
≥
，
即
2
2
4
9
1
0
x
x
，则
4
2
2
8
0
x
x
，解得：2
2
x
，
令
2
4
9
3,5
x
t
，则
2
2
5
1
4
4
4
t
y
t
2
9
2
0,2
4
t
，所以
2, 2
y
.
对于A 选项：方程中的x 换成
x
方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，A 选项正确；
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对于B 选项：
1
2
1
1
1
1
3
3
2
PF
PF
PF
PF
PF
PF
，当且仅当
1
3
PF
，
即
0,
2
P
时等号成立，所以B 选项正确；
对于C 选项：
1
2
F PF
△
面积为
1
2
1
2
P
P
F F
y
y
，
则
1
2
F PF
△
面积的最大值为
2 ，所以C 选项错误；
对于D 选项：因为
2
2
2
2
4
9
1
OP
x
y
x
2,4
，
则OP 的取值范围为
2,2
，所以D 选项正确，
故选：ABD.
（3）（多选题）已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，点
,
M N 为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有
2
1
M
F
N
M
x
x
x
x
．直线
,
MF NF 与准线分别交于
,
A B 两点，则下列说法正确的是（
）
A．当
9
N
x
时，MF
FA
B．当
2
M
x
时，
:
4:5
MFN
ABF
S
S
△
△
C．当
2
M
x
时，
:
9:5
AF
BF
D．当
3
M
x
时，延长NM 交准线于,
:
5:6
CBM
ANF
C S
S
△
△
【答案】ACD
【分析】易得抛物线的焦点为
1,0
F
，准线为= 1
x ，则
1
A
B
x
x
，
2
1
M
N
M
x
x
x
，求出
,
M N 的坐标
即可判断A；根据
1
sin
2
1
sin
2
MFN
ABF
FM FN
MFN
S
S
FA FB
AFB
即可判断B；结合B 选项即可判断C；结合A 选项，求出
,
,
B
MC
MF
NC
F
NF
F
A
，即可判断D.
【详解】抛物线的焦点为
1,0
F
，准线为= 1
x ，则
1
A
B
x
x
，
由
2
1
M
F
N
M
x
x
x
x
，得
2
1
M
N
M
x
x
x
，
对于A，当
9
N
x
时，
3
M
x
，
则
3 1
1
1
1
MF
AF
，
MF
AF
，故A 正确；
对于B，当
2
M
x
时，可得
2,2 2
M
，
4,4
N
，
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则
1 8
3,
9 16
5
FM
FN
，
设直线
:
1
MF x
my
，把
2,2 2
M
代入，可得
2
2
,
1
4
4
m
x
y
，
令= 1
x ，则
4
2 ,
1, 4
2
y
A
，
同理
8
1,
3
B
，
则
64
10
4
32
6,
4
9
3
FA
FB
，
因为
AFB
MFN
，所以sin
sin
AFB
MFN
，
所以
1
sin
3 5
3
2
1
10
4
sin
6
2
3
MFN
ABF
FM FN
MFN
S
S
FA FB
AFB
，故B 错误；
对于C，由B 选项知，
10
:
6:
9:5
3
AF
BF
，故C 正确；
对于D，当
3
M
x
时，
9
N
x
，则
9,6
N
，
:
3 1 : 9
1
2 :5
MC
NC
，
2
3
2
,
5
CB
CBM
CBM
NBM
N
S
S
S
S
，
由选项A 知
,
MFN
NFA
MF
AF
S
S
△
△
，
:
9 1 : 1
1
4:1
NF
FB
，
4
5
MFN
NBM
S
S
△
△
，
2
4
:
:
5 : 6
3
5
CBM
NFA
NBM
NBM
S
S
S
S
△
△
△
△
，故D 正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：求三角形面积的比值可转化为边长的比值，进而可转化为相似比问题.
（4）
（多选题）已知抛物线C：2
4
y
x
的焦点为F，过点F 的直线与抛物线C 交于A、B 两点，直线l：= 1
x ，
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M 为l 上一动点，则下列结论正确的是（
）
A．4 AF
BF
的最小值为10．
B．若
1
AA
l
，
1A 为垂足，且MA为
1A AB
的平分线，则MF ⊥AB
C．对任意点M，均有
0
MA MB
D．当ABM
为等边三角形时，ABM
的面积为36 3
【答案】BCD
【分析】A 选项，设AB ：
1
x
ty
，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合焦半径公式得到
1
1
1
AF
BF
，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；B 选项，证明三角形全等，得到结论；C 选项，设
1,
M
m
，
表达出
2
1
2
1
2
1
1
2
0
MA MB
x
x
y
m
y
m
m
t
；D 选项，设AB 中点为G，表达出
2
2
1,2
G
t
t
，
分当
0
t
和
0
t
时，先求出
1
AB
k
t
，进而表达出
2
2
(2
2)
1
MG
t
t
，
2
2
2
AG
t
，利用两者数量关系
得到方程，求出
2
2
t
，得到等边三角形的边长和高，求出面积.
【详解】设AB ：
1
x
ty
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，联立
2
1
4
x
ty
y
x
，得
2
4
4
0
y
ty
，
则
1
2
4
y
y
t
，
1
2
4
y y ，
2
1
2
1
2
2
4
2
x
x
t y
y
t
，
对于A，∵
2
2
1
2
1
2
1
16
y y
x x
，则
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
AF
BF
x
x
x x
x
x
，
∴
4
1
1
4
5
4
AF
BF
AF
BF
BF
AF
AF
BF
AF
BF
4
5
2
9
AF
BF
BF
AF
，
当且仅当4 AF
BF
BF
AF
，即
2
BF
AF
时，等号成立，A 错误；
对于B，∵
1
AA
AF
，MA 为
1A AB
的平分线，则
1A AM
≌
FAM
△
，
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∴
1
90
AFM
AA M
，B 正确；
对于C，设
1,
M
m
，
则
1
2
1
2
1
1
MA MB
x
x
y
m
y
m
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x x
x
x
y y
m y
y
m
2
2
4
2
1
4
4
1
t
t
m
m
2
2
4
4t
m
mt
2
2
0
m
t
，C 正确；
对于D，设AB 中点为G，
由于
2
1
2
2
1
2
x
x
t
，
1
2
2
2
y
y
t
，
则
2
2
1,2
G
t
t
，
当
0
t
时，显然AMB
为直角三角形，不合题意，
当
0
t
时，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
AB
y
y
y
y
k
x
x
ty
ty
t
，
∴
MG
k
t
，
2
2
2
1
(2
2)
1
G
M
MG
t
x
x
t
t
，
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
AG
AB
x
x
t
，
又
3
MG
AG
，解得
2
2
t
，
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6 3
MG
，
6
AG
，
1
36 3
2
ABM
S
AB
MG
，D 正确．
故选：BCD．
练习题
（1）（多选题）平面直角坐标系中xOy 中，已知抛物线
2
:
2
(
0)
y
px p
，焦点为F，准线为l，顶点为A。
则下列说法正确的有：（
）.
A．抛物线上两点P、G 与顶点A 为正三角形三顶点，PG 与的对称轴交于N，则AN=6p.
B．过上两点Q、Q’的切线交于T，作TK⊥l,直线QQ’与的对称轴交于N’，则TK=2FN’.
C．过焦点F 作三条弦
',
',
'
XX YY ZZ ，则
'
'
'
' '
'
XYZ
X
Y
Z
X Y Z
X
Y
Z
S
y y y
S
y y y
△
△
.
D．任意作一条直线'l 与抛物线相交于
,
'
R R （设R 在R’上方）,在直线'l 取两点,
'
T T 使得
'
'
RR
TT
（设
T 在R 上方，T’在R’下方），分别过,
'
T T 作的切线，切点为,
'
S S ，直线SS’和RR’交于M，则M 为RR’
中点.
【答案】ACD
【分析】根据等边三角形及抛物线的对称性可求A 选项，利用切线求出T 的坐标可得B 选项，表示出两个
三角形的面积作商可得C 选项，根据相切求出交点M 可得D 选项.
【详解】对于A，由抛物线的对称性可知，
,
P Q 关于x 轴对称，且
30
PON
，
设PN
l
,则
3 ,
AN
l
3 , .
P
l l
又由P 在抛物线
2
2
y
px
上，故
2
2
3 ,
2 3
l
p
l l
p
(舍去0 根) ，
3
6
AN
l
p
, A 正确;
对于B，设
2
2
2
,2
,
2
,2
,
Q
pt
pt
Q
pu
pu
过点
,
Q Q的切线分别为
2
1
2
2
y
pt
k
x
pt
，
2
2
2
2
y
pu
k
x
pu
，
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联立
2
1
2
2
2
2
y
pt
k
x
pt
y
px
得
2
2
1
2
2
0
2
k
y
pt
pk t
p y
，
由
2
1
1 4
2
2
0
2
k
pt
pk t
p
得
1
1
2
k
t
，即切线为
1
2
y
x
pt
t
；
同理可求过Q的切线为
1
2
y
x
pu
u
，联立可得
2
Tx
ptu
；
,
2
K
p
x
2
.
2
p
KT
ptu
由Q,Q,N 共线得
2
2
4
0
N
p t
u x
p tu t
u
；
2
2
2
N
N
F
p
x
ptu FN
x
x
ptu
KT
，
，B 错误;
对于C，设
2
2
2
2
2
,2
,
2
,2
,
2
,2
,
2
,2
,
X
pt
pt
X
pt
pt
Y
pu
pu
Y
pu
pu
2
2
2
,2
,
2
,2
.
Z
pv
pv
Z
pv
pv
由
,
,
F X X 共直线得,
4
0
t
t
tt t
t
；
因为
0,
t
t
故
1
1
4
0,
.
4
tt
t
t
同理
1
1
,
.
4
4
u
v
u
v
2
2
2
2
2
XYZ
S
p t
u
v
u
v
t
v
t
u
；
同理
2
2
2
2
2
X Y Z
S
p t
u
v
u
v
u
v
t
u
3
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
16
4
4
16
4
4
16
4
4
p
t
u
v
u
v
t
t
t
u
2
2
2
2
32
p
uv u
v
vt v
t
tu t
u
t u v
,
易见二式最后两绝对值相等，
故
2
2
2
64
1
1
1
4
4
4
XYZ
X
Y
Z
X Y Z
X
Y
Z
S
y y y
t
u
v
t
u
v
t u v
S
t
u
v
y y y
t
u
v
，C 正确;
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对于D，设
2
2
2
,2
,
2
,2
,
R
pu
pu
R
pu
pu
2
2
2
,2
,
2
,2
.
Q
pt
pt
Q
pt
pt
则直线RR:
2
x
u
u
y
puu
,
过Q 的切线
2
2
2
ty
x
pt
，
解得交点T，
2
2
2
T
p uu
t
y
u
u
t
，
从而
2
2
2
2
2
2
2
T
R
p uu
t
p
y
y
pu
t
u
u
u
t
u
u
t
，
同理
2
2
2
T
R
p
y
y
t
u
u
u
t
由两共直线线段
RT
R T
知，
T
R
R
T
y
y
y
y
，
0
T
R
T
R
y
y
y
y
，
从而
2
2
(
) (
2 )
2
0
t
u
u
u
t
t
u
u
u
t
(1)，
又直线QQ:
2
x
t
t
y
ptt
，与直线RR：
2
x
u
u
y
puu
，
方程联立解得交点M，
2
M
p uu
tt
y
u
u
t
t
，
要证共直线的线段
RM
R M
，只要证
2
R
R
M
y
y
y
，
即证
2
2
2
2
p uu
tt
pu
pu
u
u
t
t
，
即证
²
2
2
u
u
u
u
t
t
uu
tt
，
即证
²
²
2
u
u
u
u
t
t
tt
，
即证
2
2
2
0
u
u
t t
ut
u t
u
u
(2)，
把已证的式(1)的左边写成t 的方程
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2
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2
2
2
2
2
2
2
4
4
u
u
t t
u
uu
t
u
t u
t u t
2
2
2
0
u
u
u
t
u
u
t
u
，
证其左边有式(2)左边为其因式，得
2
2
2
0
u
u
t t
ut
u t
u
u
t
u
u
t
，
但
0
t
t
u
u
(否则从
2
M
p uu
tt
y
u
u
t
t
知不存在交点M)，从而式(2)成立.D 正确.
故选:ACD
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二个：一是利用直线与抛物线相切的结论；二是通过繁琐运算求
出交点坐标.
（2）（多选题）已知抛物线C 的标准方程为
2
4
y
x
，O 为坐标原点，直线l 为其准线，点A，B 是C 上的
两个动点（不是原点O），线段AB 与x 轴交于点M，连接AO 并延长交准线于点D，则（
）
A．若点M 为C 的焦点，则直线BD 平行于x 轴
B．若点M 为C 的焦点，则线段AB 的长度的最小值为4
C．若OA
OB
，则点M 为C 的焦点
D．若AOM
与BOM
的面积之积为定值，则点M 为C 的焦点
【答案】AB
【分析】利用设而不求得到
1
1
1
4
y
x
y
，对于A，
1
m ，则
2
2
1
4
D
y
y
y
y
m
，A 正确；对于B，求出
2
2
2
1
16
16
4 1
4
AB
t
t
t
，B 正确；对于C，由OA
OB
得到
1
2
1
2
0
x x
y y
，从而得到方程
2
4
0
m
m
，求出
4
m
，C 错误；对于D，表达出AOM
与BOM
的面积之积为
3
m ，得到D 错误.
【详解】直线AB 的斜率不为0，设点
,0
M m
，设直线AB 的方程为x
ty
m
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，因为点M 在线段AB 上，所以
0
m
，
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联立直线和抛物线方程得
2
4
4
0
y
ty
m
，则
2
2
16
4
4
16
16
0
t
m
t
m
，
所以
1
2
4
y
y
t
，
1
2
4
y y
m
，
直线OA 的方程为
1
1
y
y
x
x
，得
1
1
1,
y
D
x
，
又因为
2
1
1
4
y
x
，故
1
1
1
4
y
x
y
，
对于A，若
,0
M m
为焦点，则
1
m ，
因为
1
2
4
y y
m
，所以
2
2
1
4
D
y
y
y
y
m
，A 选项正确；
对于B，若
,0
M m
为焦点，则
1
m ，
1
2
4
y y ，
则
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
1
16
16
4 1
4
AB
t
y
y
y y
t
t
t
，B 选项正确；
对于C，若OA
OB
，有
1
2
1
2
0
x x
y y
，即
2
2
1
2
2
1
2
4
16
16
y y
m
x x
m
，
所以
2
4
0
m
m
，解得
4
m
或0（舍去），C 选项错误；
对于D，
3
1
2
1
1
2
2
AOM
BOM
S
S
OM y
OM y
m
△
△
，只需M 横坐标为定值即可，故D 错误.
故选：AB
（3）（多选题）已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为
, ,
F A B 是抛物线上的两点，则下列说法中正确的是：（
）
A．若线段AB 的中点为
2,2 ，则直线AB 的方程为y
x
B．若线段AB 过焦点F ，且
16
3
AB
，则直线AB 的斜率为
3
k
C．已知A 为抛物线C 上在第一象限内的一个动点，
1,0
M
，若
2 2
tan
3
AMO
，则直线AF 的斜率
为2 2
D．抛物线上一动点N 到直线1 : 4
3
8
0
l
x
y
和2 :
3
l
x 的距离之和的最小值为22
5
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【答案】ABD
【分析】对于选项A，当直线AB 的斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意. 当直线AB 的斜率
存在时，由点差法可得
1
2
4
AB
k
y
y
，由此可得直线AB 的斜率，进而可判断A 正确.
对于选项B，
16
3
AB
，直线AB 的斜率一定存在，设出直线AB 的方程与抛物线联立，可得
1
2
x
x
，再
由抛物线的定义可得
1
2
2
AB
x
x
，可求出k 的值，可判断B 正确.
对于选项C，设点
2
1
1
,
4
y
A
y
，利用
2 2
tan
3
AMO
，可求得
1y ，从而确定点A 的坐标，可求出直线AF 的
斜率，进而判断C 错误.
对于选项D，设点N 到1 : 4
3
8
0
l
x
y
的距离为
1d ，N 到直线= 1
x 的距离为
2
d ，由抛物线定义，则
1
2
1
d
d
d
NF
，根据平面几何知识，
1d
NF
可得当三点共线时，有最小值，进而可判断D 正确.
【详解】对于A，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，若
1
2
x
x
，则直线
:
2
AB x
，由抛物线的对称性可知，线段AB 的
中点为
2,0 ，显然不符合题意，故
1
2
x
x
，
因为
,
A B 是抛物线
2
:
4
C y
x
上的两点，所以
2
1
1
2
2
2
4
4
y
x
y
x
，
两式相减得，
2
2
1
2
1
2
4
4
y
y
x
x
，整理得
1
2
1
2
1
2
4
y
y
x
x
y
y
，
因为线段AB 的中点为
2,2 ，所以
1
2
2
2
y
y
，即
1
2
4
y
y
，
又
1
2
1
2
AB
y
y
k
x
x
，所以
4
1
4
AB
k
，
所以直线AB 的方程为
2
2
y
x
，即y
x
. 故A 正确；
对于B，
2
1
4
0
y
k x
y
x
消去y 整理得
2
2
2
2
2
4
0,
k x
k
x
k
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∵直线与抛物线交于
,
A B 两点，
2
2
2
0
Δ
2
4
4
0
k
k
k
解得
0
k
.
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
则
2
1
2
2
2
4
k
x
x
k
，
1
2
16
2
3
AB
x
x
，
2
1
2
2
2
4
10
3
k
x
x
k
，
2
3
k
即
3
k
.
检验知
3
k
满足条件. 故B 正确；
对于C，设
2
1
1
,
4
y
A
y
，则
1
2
1
0
2 2
tan
3
1
4
AM
y
AMO
k
y
，
解得
1
2
y
或
1
2 2
y
，所以
1 ,
2
2
A
或
2,2 2
A
，
又
1,0
F
，所以
2
0
2 2
1
1
2
AF
k
或
2 2
0
2 2
2 1
AF
k
，故C 错误；
对于D，设N 到1 : 4
3
8
0
l
x
y
的距离为
1,
d N 到直线= 1
x 的距离为
2
d ，
则
1
2
1
d
d
d
NF
，根据平面几何知识，可得当三点共线时，
1
2
1
d
d
d
NF
有最小值，
因为抛物线焦点
1,0
F
到直线1 : 4
3
8
0
l
x
y
的距离为12
5 ，所以
1
2
1
d
d
d
NF
的最小值是12
5 ，
所以抛物线上一动点N 到直线1 : 4
3
8
0
l
x
y
和2 :
3
l
x 的距离之和的最小值为12
22
2
5
5
. 故D 正确.
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故选：ABD.
（4）（多选题）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
是抛物线
2
4
x
y
上的两点，O是坐标原点，下列结论正确的是（
）
A．若直线AB 过抛物线的焦点F ，则
4
AB
OF
B．若直线AB 过抛物线的焦点F ，则
1
2
4
x x
C．若OA
OB
，则
32
OA OB
D．若OA
OB
，则O到直线AB 的距离不大于4
【答案】BCD
【分析】当直线AB 过抛物线的焦点F 时，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可及焦半径公式可判断A，
B；
当OA
OB
时，由
1
2
1
2
0
x x
y y
，可得
1
2
16
x x
，
1
2
16
y y
，由两点间的距离公式及基本不等式判断C；
当OA
OB
时，设直线AB 的方程为
(
0)
y
mx
n n
，联立直线与抛物线方程，结合向量的数量积、韦达定
理及点到线的距离公式判断D.
【详解】解：当直线AB 过抛物线
2
4
x
y
的焦点
(0,1)
F
时，直线AB 的斜率存在，
设直线AB 的方程为
1
y
kx
，
联立直线与抛物线的方程得
2
1
4
y
kx
x
y
，
所以
2
4
4
0
x
kx
，
所以
1
2
1
2
4 ,
4
x
x
k x x
，故B 正确；
1
2
1
1
y
y
AB
AF
BF
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
(
)
4
4
4
4
y
y
kx
kx
k x
x
k
，
当
0
k
时，等号成立，
又因为4
4
OF
，所以
4
AB
OF
，故A 错误；
对于C，当OA
OB
时，则有
0
OA OB
，
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即
1
2
1
2
0
x x
y y
，
1
1
2
2
2
2
0
4
4
x
x
x
x
,
解得
1
2
0
x x
(舍)或
1
2
16
x x
，
所以
1
2
16
y y
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
4
4
(4
) (4
)
OA OB
x
y
x
y
y
y
y
y
y
y
y
y
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
16
4
(
)
(
)
2 16
4 16(
)
y y
y y
y
y
y y
y
y
2
1
1
16
2 16
4 16(
)
y
y
，
又因为
1
2
,
0
y y
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
16
16
2 16
4 16(
)
2 16
4 16 2
2 16
4 16 8
32
y
y
y
y
，
当且仅当
1
1
16
y
y
，即
1
2
4
y
y
时，等号成立，故C 正确；
对于D，设直线AB 的方程为
(
0)
y
mx
n n
，
联立直线与抛物线方程得：
2
4
y
mx
n
x
y
，
得
2
4
4
0
x
mx
n
，
所以
1
2
1
2
4 ,
4
x
x
m x x
n
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
4
4
y y
x
x
n
，
因为OA
OB
，
所以
0
OA OB
，
即
2
4
0
n
n
，
解得
0
n
(舍)或
4
n
，
则原点O到直线AB 的距离
2
4
4
1
d
m
，当
0
m
时，等号成立，
即O到直线AB 的距离不大于4，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：对于过抛物线焦点的弦长，可以采用焦半径公式求解；对于没有过焦点的弦长，则利
用韦达定理及弦长公式求解.
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（5）如图，已知直线与抛物线
2
2
0
x
py p
交于A，B 两点，且OA
OB
，OD
AB
于点D，点M 为弦
AB 的中点，则下列说法正确的是（
）
A．A，B 两点的横坐标之积为
2
2p
B．当点D 的坐标为
1,3 时，
5
3
p
C．直线AB 过定点
0,2 p
D．点M 的轨迹方程为
2
2
x
p y
p
【答案】BCD
【分析】对于ACD，设直线AB 为y
kx
m
，设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，将直线方程代入抛物线方程化简，利用
根与系数的关系，然后逐个分析判断，对于B，先求出
OD
k
，再由OD
AB
可求出
AB
k
，从而可求出直线AB
的方程，再结合前面得的方程可求出p 的值.
【详解】对于ACD，设直线AB 为y
kx
m
，设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，由
2
2
x
py
y
kx
m
，得
2
2
2
0
x
pkx
pm
，
由
2
2
Δ
4
8
0
p k
pm
，得
2
2
0
pk
m
，则
1
2
1
2
2
2
x
x
pk
x x
pm
，
因为OA
OB
，所以
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
0
OA OB
x x
y y
x x
kx
m kx
m
，
所以
2
2
1
2
1
2
(
1)
(
)
0
k
x x
km x
x
m
，所以
2
2
(
1)( 2
)
2
0
k
pm
km
pk
m
，
得
(
2 )
0
m m
p
，由题意可知
0
m
，所以
2
m
p
，所以
2
1
2
4
x x
p
，所以A 错误，
因为
2
m
p
，直线AB 为
2
y
kx
p
，所以直线AB 过定点
0,2 p ，所以C 正确，
设
0
0
(
,
)
M x
y
，则
1
2
0
2
2
2
x
x
pk
x
pk
，
2
0
0
2
2
y
kx
p
pk
p
，
所以
2
0
0
2
x
y
p
p
p
，
2
2
0
0
2
py
x
p
，即
2
0
0
(
2 )
x
p y
p
，
所以点M 的轨迹方程为
2
2
x
p y
p
，所以D 正确，
对于B，因为点D 的坐标为
1,3 ，所以
3
OD
k
，因为OD
AB
，所以
1
3
AB
k
，
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所以直线AB 的方程为
1
3
(
1)
3
y
x
，即
1
10
3
3
y
x
= -
+
，
由前面的计算可知直线AB 为
2
y
kx
p
，所以
10
2
3
p
，所以
5
3
p
，所以B 正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是设出直线方程代入抛物线方程化
简，再利用根与系数的关系，然后结合题意求解，考查计算能力，属于较难题.
题型四定点定值问题
例4（1）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为1
2 ，E 的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，P 是椭圆上任意
一点，满足
1
2
4
PF
PF
.抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点F 与椭圆E 的右焦点
2
F 重合，点M 是抛物线C
的准线上任意一点，直线MA，MB 分别与抛物线C 相切于点
,
A B .
(1)若直线l 与椭圆E 相交于D ，N 两点，且DN 的中点为
1
1, 2
Q
，求直线l 的方程；
(2)设直线MA，MB 的斜率分别为
1k ，
2k ，证明：
1
2
k k
为定值.
【答案】(1)3
2
4
0
x
y
(2)证明见解析
【分析】（1）已知条件待定, ,
a b c ，得到椭圆方程.已知弦中点
1
1, 2
Q
，结合点差法求出直线l 的斜率，进而
得到直线方程；
（2）根据焦点求出抛物线C 的方程为
2
4
y
x
，设过点
1,
M
t
的直线方程为
1
y
k x
t
，与抛物线方
程联立，利用相切得出Δ
0
，可得
2
1
0
k
tk
，再利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）由
1
2
4
PF
PF
，得2
4
a
，则
2
a
.
又椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
1
2 ，设椭圆E 的焦半径为c ，
则
1
2
2
c
c
a
，解得
1
c ，则
2
2
2
3
b
a
c
，
所以椭圆E ：
2
2
1
4
3
x
y
.
由直线l 与椭圆E 相交于D ，N 两点，设
1
1
,
D x y
，
2
2
,
N x
y
，
∴
2
2
1
1
1
4
3
x
y
，
2
2
2
2
1
4
3
x
y
，
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两式作差得：
2
2
2
2
1
2
1
2
0
4
3
x
x
y
y
，
即：
1
2
1
2
1
2
1
2
4
3
x
x
x
x
y
y
y
y
，
由DN 的中点为
1
1, 2
Q
，
可得：
1
2
2
x
x
，
1
2
1
y
y
，代入上式得
1
2
1
2
2
3
x
x
y
y
，
当
1
2
x
x
时，
1
2
y
y
，D ，N 两点重合，不合题意；
当
1
2
x
x
时，直线l 的斜率
2
1
2
1
3
2
y
y
k
x
x
，
∴直线l 的方程为：
1
3
1
2
2
y
x
，即3
2
4
0
x
y
.
（2）由（1）知
2 1,0
F
，则抛物线C 的焦点为
1,0
F
，
所以
2
p
，抛物线C 的标准方程为
2
4
y
x
，准线方程为= 1
x ，
由于点M 是抛物线C 的准线上任意一点，故可设
1,
M
t
，
由直线MA，MB 分别与抛物线C 相切于点
,
A B 可知，
直线MA，MB 的斜率存在且都不为0 ，
设过点
1,
M
t
的直线方程为
1
,
0
y
k x
t k
，
联立
2
4
1
y
x
y
k x
t
消去x ,
得关于y 的方程
2
4
4
4
0
ky
y
k
t
，
若过点
1,
M
t
的直线与抛物线相切，
则其判别式
Δ
16 16
0
k k
t
，
化简得到关于k 的二次方程
2
1
0
k
tk
，
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由题意知，直线MA，MB 的斜率即该关于k 的二次方程的两根，即为
1k 、
2k ，
则由韦达定理知
1
2
k
k
t
，
1 2
1
k k ，
故
1
2
k k
为定值，且定值为1
.
（2）已知过点
(2,0)
P
的直线l 与抛物线
2
:
2
(
0)
E
y
px
p
交于
,
A B 两点，过线段AB 的中点M 作直线
MN
y
轴，垂足为N ，且PM
PN
.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)若C 为E 上异于点
,
A B 的任意一点，且直线
,
AC BC 与直线
2
x 交于点
,
D R ，证明：以DR 为直径的圆
过定点.
【答案】(1)
2
4
y
x
(2)证明见解析
【分析】（1）设出直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M ，N 坐标，结合
PM
PN
，可求得p 的值，得解.
（2）设出点C 坐标，由点斜式方程求出直线AC 的方程，令
2
x ，求出点D 坐标，同理求出点R 坐标，
由抛物线的对称性可知，定点必在x 轴上，设该点坐标为
( ,0)
T a
，利用
0
DT RT
，可求出定点坐标.
【详解】（1）由题意，可设直线l 的方程为
2
x
my
，
将
2
x
my
代入
2
2
y
px
，消去x 得
2
2
4
0
y
pmy
p
，
设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则
1
2
2
y
y
pm
，
1
2
4
y y
p
，
M
是线段AB 的中点，
2
1
2
1
2
(
4
2
)
2
2
M
x
x
m y
y
x
pm
，
1
2
2
M
y
y
y
pm
，
即
2
(
2,
)
M pm
pm
，又MN
y
轴，
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垂足N 的坐标为(0,
)
pm ，
则
2
(
,
)
PM
pm
pm
，
( 2,
)
PN
pm
，
PM
PN
，
2
2
2
2
0
PM PN
pm
p m
对任意的
R
m
恒成立，
2
2
0
p
p
，又
0
p
，解得
2
p
，
故抛物线E 的方程为
2
4
y
x
.
（2）
设
2
(
, )
4
t
C
t ，
2
1
1
(
,
)
4
y
A
y
，
2
2
2
(
,
)
4
y
B
y
，由（1）可知，
1
2
4
y
y
m
，
1
2
8
y y ，
则
1
2
2
1
1
4
4
4
AC
y
t
k
y
t
y
t
，直线AC 的方程为
2
1
4
(
)
4
t
y
t
x
y
t
，
令
2
x ，则
2
1
1
1
8
4
( 2
)
4
ty
t
y
t
y
t
y
t
，
1
1
8
( 2,
)
ty
D
y
t
，同理
2
2
8
( 2,
)
ty
R
y
t
，
由抛物线的对称性可知，若以线段DR 为直径的圆过定点，则定点必在x 轴上，
设该点坐标为
( ,0)
T a
，
则
1
1
8
(
2,
)
ty
DT
a
y
t
，
2
2
8
(
2,
)
ty
RT
a
y
t
，且
0
DT RT
，
2
1
2
1
2
8
8
(
2)
0
ty
ty
a
y
t
y
t
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
8
8
8 (
)
64
8
32
64
(
2)
8
(
)
4
8
ty
ty
t y y
t y
y
t
mt
a
y
t
y
t
y y
t y
y
t
t
mt
，
2
2
2
a
或
2 2
2
a
，
以DR 为直径的圆过定点(2 2
2,0)
和( 2 2
2,0)
.
（3）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆C 与圆
2
2
1 :
2
0
O
x
x
y
内切，且与直线
2
x 相切，设动圆圆
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心C 的轨迹为曲线E ．
(1)求E 的方程；
(2)已知
0
0
4,
0
P
y
y
是曲线E 上一点，,
A B 是曲线E 上异于点P 的两个动点，设直线PA ､PB 的倾斜角分
别为
､
，且
3
4
，请问：直线AB 是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
2
4
y
x
(2)是，
8, 8
【分析】（1）由题意可得动圆的圆心C 到点
1,0 的距离与到直线= 1
x 的距离相等，从而可求得其轨迹方
程，
（2）当直线PA ､PB 中其中一条的斜率不存在，可求得直线AB 的方程为
0
x
y
；当直线PA ､PB 的斜率
都存在时，故设直线PA ､PB 的斜率
1
2
,
k k ，
2
2
1
2
1
2
,
,
,
4
4
y
y
A
y
B
y
，然后表示出
1
2
,
k k ，再由
3
4
可得
1
2
1
2
8
32
0
y
y
y
y
，设直线AB 方程为x
ty
n
，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合前
面的式子可求得直线过的定点.
【详解】（1）圆
2
2
1 :
2
0
O
x
x
y
的圆心为
1,0 ，半径为1，
由题意可得，动圆的圆心C 到点
1,0 的距离与到直线= 1
x 的距离相等，
所以点C 的轨迹是以
1,0 为焦点，直线= 1
x 为准线的抛物线，
所以曲线E 的方程为
2
4
y
x
；
（2）由（1）可得
4,4
P
，
当直线PA ､PB 中其中一条的斜率不存在，不妨设
π
2
，
π
4
，
易得
4, 4
A
，直线PB 的直线为y
x
，与
2
4
y
x
联立可得
0,0
B
，
故直线AB 的方程为
0
x
y
；
当直线PA ､PB 的斜率都存在时，故设直线PA ､PB 的斜率
1
2
,
k k ，
设
2
2
1
2
1
2
,
,
,
4
4
y
y
A
y
B
y
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所以
1
1
2
1
1
4
4
1
4
4
4
y
k
y
y
，同理可得
2
2
4
4
k
y
，
因为
3
4
，所以tan(
)
1
，所以tan
tan
1
1
tan
tan
，即
1
2
1
2
1
1
k
k
k
k
，
所以
1
2
1
2
1
0
k
k
k k
，
所以
1
2
1
2
4
4
4
4
1
0
4
4
4
4
y
y
y
y
，即
1
2
1
2
8
32
0
y
y
y
y
，
由题意可设AB 方程为x
ty
n
，联立
2
4
y
x
x
ty
n
，消x 整理得
2
4
4
0
y
ty
n
，
所以
2
16
16
0
t
n
，
1
2
4
y
y
t
，
1
2
4
y
y
n
，
所以32
4
32
0
t
n
即
8
8
n
t
，所以
8
8
(
8)
8
x
ty
n
ty
t
t y
，
令
8
0
y
得
8
y ，
8
x
，此时有定点
8, 8
，
综上所述，直线AB 经过定点
8, 8
【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是设直线PA
､PB 的斜率
1
2
,
k k ，再由
3
4
结合两角和的正切公式，与斜率公式可得
1
2
1
2
1
0
k
k
k k
，考查计算
能力，属于较难题.
练习题
（1）设抛物线C ：
2
2
y
px
（
0
p
）的焦点为F ，点A 的坐标为
3, 2
.已知点P 是抛物线C 上的动点，
PA
PF
的最小值为4.
(1)求抛物线C 的方程：
(2)若直线PA 与C 交于另一点Q ，经过点
3, 6
B
和点Q 的直线与C 交于另一点T ，证明：直线PT 过定点.
【答案】(1)
2
4
y
x
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(2)证明见解析
【分析】（1）根据两点
,
A F 与抛物线的位置分类讨论最值，由最小值为4 ，求解p ；
（2）由
,
,
P Q T 三点都在抛物线上，设
2
0
0
,
4
y
Q
y
，
2
1
1
,
4
y
P
y
，
2
2
2
,
4
y
T
y
.结合直线
,
,
QP QT PT 求解的同理
性，求出直线方程，再由
3, 2
A
，
3, 6
B
分别在直线QP ，QT 上，代入方程消去
0y 可得
1
2
12
y y
，代入
PT 方程化简可得定点.
【详解】（1）若A 和F 在抛物线
2
2
y
px
的同侧，则
2
( 2)
3 2p
，解得
2
3
p
.
设点P 在准线上的射影为H ，于是PF
PH
.
过A 作AH与准线垂直，垂足为H ，
故
3
4
2
p
PF
PA
PH
PA
AH
，
当且仅当A ，P ，H 三点共线时取等号，由此得
2
2
3
p
，符合题意.
若A 和F 在抛物线的异侧或A 在抛物线上，则
2
3
p
.
由
2
2
3
2
4
2
p
PF
PA
AF
，
当且仅当A ，P ，F 三点共线（或A 与P 重合）时取等号，得到
6
4 3
p =
±
（舍去）.
综上所述，抛物线C 的方程为
2
4
y
x
.
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（2）设
2
0
0
,
4
y
Q
y
，
2
1
1
,
4
y
P
y
，
2
2
2
,
4
y
T
y
.
直线QP 的斜率
0
1
2
2
0
1
0
1
4
4
QP
y
y
k
y
y
y
y
，
则其方程为
2
0
0
1
0
0
1
0
1
4
4
4
y
x
y y
y
x
y
y
y
y
y
.
同理可得直线QT 的方程为
0
2
0
2
4x
y y
y
y
y
，直线PT 的方程为
2
1
2
1
4x
y y
y
y
y
.
将
3, 2
A
，
3, 6
B
分别代入直线QP ，QT 的方程可得
0
1
0
1
0
2
0
2
12
2
12
6
y y
y
y
y y
y
y
，消去
0y 可得
1
2
12
y y
，
代入直线PT 的方程
2
1
2
1
4x
y y
y
y
y
，化简得
1
2
1
2
4
12
4
(
3)
x
y
x
y
y
y
y
，
故直线PT 过定点
3,0
.
（2）已知抛物线
2
1 :
0
C
y
px p
的焦点为
1F ，抛物线
2
2 :
2
C
y
px
的焦点为
2
F ，且
1
2
1
2
F F
．
(1)求p 的值；
(2)若直线l 与
1
C 交于M，N 两点，与
2
C 交于P，Q 两点，M，P 在第一象限，N，Q 在第四象限，且
2
MP
NQ
，
证明：
MN
PQ 为定值．
【答案】(1)
2
p
(2)证明见解析
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【分析】（1）根据抛物线方程可得
1
,0
4
p
F
，
2
,0
2
p
F
，进而结合两点间的距离公式求解即可；
（2）由（1）知
2
1 :
2
C
y
x
，
2
2 :
4
C
y
x
，设直线:l x
my
t
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
3
3
,
P x
y
，
4
4
,
Q x
y
，
根据题意结合图形可知
0
m
，且
3
1
2
4
0
y
y
y
y
，联立直线l 与抛物线
1
C 和
2
C 的方程结合韦达定理可
得
1
2
2
y
y
m
，
3
4
4
y
y
m
，由
2
MP
NQ
结合向量知识可得
3
1
2
4
2
y
y
y
y
，进而得到
1
4
y
y
，进
而得到
1
1
4
x
my
，联立
1
1
2
1
1
4
2
x
my
y
x
，可得
1
8
y
m
，
2
6
y
m
，
4
8
y
m
，
3
12
y
m
，进而求证即可.
【详解】（1）由题意知
1
,0
4
p
F
，
2
,0
2
p
F
，
所以
1
2
1
2
4
4
2
p
p
p
F F
，
解得
2
p
．
（2）由（1）知
2
1 :
2
C
y
x
，
2
2 :
4
C
y
x
．
设直线:l x
my
t
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
3
3
,
P x
y
，
4
4
,
Q x
y
，
根据题意结合图形可知
0
m
，且
3
1
2
4
0
y
y
y
y
．
联立
2
2
y
x
x
my
t
，得
2
2
2
0
y
my
t
，
则
1
2
2
y
y
m
，
同理联立
2
4
y
x
x
my
t
，得
2
4
4
0
y
my
t
，
则
3
4
4
y
y
m
．
由
2
MP
NQ
可得，
2
MP
QN
，
又
3
1
3
1
,
MP
x
x y
y
，
2
4
2
4
,
QN
x
x
y
y
，
所以
3
1
2
4
2
y
y
y
y
，
即
4
1
1
4
4
2 2
m
y
y
m
y
y
，化简得
1
4
0
y
y
，即
1
4
y
y
，
又因为
2
1
1
2
y
x
，
2
4
4
4
y
x
，所以
2
2
4
1
1
4
4
4
2
y
y
x
x
，
再由
1
4
1
1
1
4
2
1
2
y
y
y
x
m
x
x
，得
1
1
4
x
my
．
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联立
1
1
2
1
1
4
2
x
my
y
x
，解得
1
8
y
m
，
所以
2
6
y
m
，
4
8
y
m
，
3
12
y
m
．
故
1
2
3
4
14
7
20
10
MN
y
y
m
PQ
y
y
m
，
所以
MN
PQ 为定值.
（3）已知抛物线
2
:
2
E x
py
（p 为常数，
0
p
）.点
0
0
,
M
x
y
是抛物线E 上不同于原点的任意一点.
(1)若直线
0
0
:
2
x
l y
x
y
与E 只有一个公共点，求p ；
(2)设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为
,
A B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两
点.
①证明：PA
PB
②试问
PC
AB
PB CD
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)2
(2)①证明见解析；②是，1
【分析】（1）联立直线l 与抛物线E 方程，利用Δ
0
即可求出
2
p
；
（2）①求出切线
,
PA PB 的方程，利用两直线交点P 在准线上可知两切点横坐标的关系，再由两直线斜率
关系即可得出证明.
②通过斜率关系可得出
PCD
PBA
，利用三角形相似即可得出
1
PC
AB
PB
CD
.
【详解】（1）将直线
0
0
:
2
x
l y
x
y
与抛物线
2
:
2
E x
py
联立，
消去y 可得
0
2
0
0
2
2
x
x x
p
y
，由题意可知该方程只有一个实数根，
所以
2
0
0
1
4
0
4
2
x
y
p
，又点
0
0
,
M
x
y
在抛物线上，即
2
0
0
2
x
py
；
可得
0
0
2
2
0
4
py
y
p
，解得
2
p
（2）①易知抛物线
2
:
2
E x
py
的准线方程为
2
p
y
；
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不妨设
,
2
P
p
P x
，切点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，如下图所示：
将
2
2
x
py
求导可得
x
y
p
，
则切线PA 的斜率
1
PA
x
k
p
，切线PA 的方程为
1
1
1
x
y
y
x
x
p
，
又
2
1
1
2
x
py
，PA 的方程可化为
2
1
1
2
0
y
x x
p
x
；
同理可得PB 的方程可化为
2
2
2
2
0
y
x x
p
x
；
又两切线交于点P ，所以
2
2
1
1
2
2
2
2
0
0
P
P
x x
p
x
x x
p
x
，
因此可得
1
2
,
x x 是方程
2
2
0
P
x
x
x
p
的两根，因此
2
1
1
2
2
,
P
x
x x
x
x
p
；
所以
1
2
1
2
2
1
PA
PB
x
x
k
x x
p
p
k
p
；
因此PA
PB
②设直线PA 和PB 的倾斜角为
1
2
,
，直线AB 的倾斜角为
0
，
所以
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
0
1
n
1
2
2
a
2
t
A
P
B
x
x
y
y
x
x
x
p
x
x
x
x
p
p
k
；
又
1
1
tan
tan
PA
x
PCD
k
p
；
2
2
tan
PB
x
k
p
；
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
2
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
2
2
2
2
1
P
P
P
P
x
x
p
PBA
p
x
p x
p
x
p
x
p
x
x
；
所以
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
t
n
2
2
an
t
2
2
2
a
P
P
P
P
P
x
x
x
x
x
PCD
P
p
B
p
p
x
p
x
p x
p
x
x
A
x
p
x
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2
2
2
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P
P
P
p
x
x
x x
x
p
x
x p
p
x
，
将
2
1
1
2
2
,
P
x
x x
x
x
p
代入可得
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
tan
tan
0
2
2
2
2
P
P
P
P
P
P
P
p
x
x p
x p
x p
x p
p
x
x
x x
PC
p
x
p
p
x
D
PBA
x
x
，
则可得tan
tan
PCD
PBA
，即
PCD
PBA
；
又PA
PB
，所以Rt
Rt
PCD
PBA
，
可得
PC
PB
CD
AB
，则
1
PC
AB
PB
CD
为定值.
题型五能力提升创新题
1.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖
的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm ，碗盖口直径为8cm ，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm ，则
盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（
）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8.25cm
【答案】C
【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为
2
2
x
py
（
0
p
），将点
5,6.25 代入求出p ，
即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h
cm ，则两抛物线在第一象
限的交点为
4,
3
h
，代入方程计算可得.
【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．
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设碗体的抛物线方程为
2
2
x
py
（
0
p
），将点
5,6.25 代入，得
25
2
6.25
p
，
解得
2
p
，则
2
4
x
y
，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h
cm ，
则两抛物线在第一象限的交点为
4,
3
h
，代入到
2
4
x
y
，解得
2
4
4
3
h
，解得
7
h
．
故选：C
2．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1 所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2 所示，其
中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距
离为（
）
A．27 cm
4
B．9 cm
2
C．27 cm
8
D．23 cm
6
【答案】C
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程
2
2
0
x
py p
，代入点9 ,3
2
的坐标求出p 即可得解.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得A 的坐标为9 ,3
2
．
设抛物线的标准方程为
2
2
0
x
py p
，则81
6
4
p
，解得
27
8
p
．
故该抛物线的焦点到准线的距离为27 cm
8
．
故选：C
3．数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽
略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线
2
y
ax
的一部分，其焦点坐标为
0, 2
，校门最高点到地面距离约为
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18 米，则校门位于地面宽度最大约为（
）
A．18 米
B．21 米
C．24 米
D．27 米
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出a 的值，即可得到抛物线方程，再令
18
y
求出x 的
值，即可得解.
【详解】解：抛物线
2
y
ax
，即
2
1
x
y
a
，
因为抛物线的焦点坐标为
0, 2
，所以1
2
4a ，所以
1
8
a
，
所以抛物线即为
2
1
8
y
x
，令
18
y
，则
2
144
x
，解得
12
x
，
所以校门位于地面宽度最大约为24 米.
故选：C
4.(多选题）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.2022 年卡塔
尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy 中，
把到定点
1
,0
F
a
、
2
,0
F
a
距离之积等于
2
0
a
a
的点的轨迹称为双纽线C .已知点
0
0
,
P
x
y
是双纽线C 上
一点，下列说法正确的有（
）
A．双纽线C 既关于x 轴对称，也关于y 轴对称
B．
1
2
F PF
△
面积的最大值为
2
2
a
C．双纽线C 上满足
1
2
PF
PF
的点P 有两个
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D．PO 的最大值为
2a
【答案】ABD
【分析】根据双纽线的定义求出曲线方程，利用曲线对称性的定义可判断A 选项；根据三角形的面积公式
可判断B 选项；由题意得
1
2
PF
PF
，从而可得点P 在y 轴上，可判断C 选项；由向量的性质结合余弦定
理分析判断D 选项.
【详解】在双纽线C 上任取一点
,
Q x y ，由题意可得
2
2
1
QF
QF
a
，
即
2
2
2
2
2
x
a
y
x
a
y
a
，化简可得
2
2
2
2
2
2
4
4
x
y
a
a x
a
，
对于A 选项，因为点P 为双纽线上一点，则
2
2
2
2
2
2
4
0
0
0
4
x
y
a
a x
a
，
点P 关于x 轴的对称点为
1
0
0
,
P x
y
，则
2
2
2
2
2
2
4
0
0
0
4
x
y
a
a x
a
，
所以，点
1P 在双纽线C 上，故双纽线C 关于x 轴对称，
同理可知，双纽线C 关于y 轴对称，A 对；
对于B 选项，当
1
2
PF
PF
时，即当
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
4
PF
PF
a
PF
PF
F F
a
时，
即当
1
6
2
2
PF
a
或
1
6
2
2
PF
a
时，
1
2
PF
PF
，
此时，
1
2
PF F
△
的面积取得最大值，即
1 2
2
1
2
1
2
2
PF F
a
S
PF
PF
△
，B 对；
对于C 选项，若双纽线C 上的点P 满足
1
2
PF
PF
，则点P 在y 轴上，即
0
0
x
，
所以
2
2
2
2
2
0
0
a
y
a
y
a
，得
0
0
y
，所以这样的点P 只有一个，C 错；
对于D 选项，因为
1
2
1
2
PO
PF
PF
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
cos
4
4
PO
PF
PF PF
PF
PF
PF
PF
F PF
PF
，
由余弦定理得
2
2
2
1
1
2
1
2
2
4
2
cos
a
PF
PF
PF
F PF
PF
，
所以
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
cos
cos
2
PO
a
PF
PF
F PF
a
a
F PF
a
，
当且仅当
0
2
x
a
时，等号成立，
所以PO 的最大值为
2a ，D 对，
故选：ABD.
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5.如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细
绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，
用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上
画出了圆锥曲线C 的一部分图象．已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，
30
FAP
，
90
AFP
．设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂
线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C 的方程；
(2)斜率为k 的直线过点
0, 3
D
，且与曲线C 交于不同的两点
,
M N ，已知k 的取值范围为
0,2 ，探究：是
否存在，使得DM
DN
，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
2
3
y
x
(2)存在
1
0,
4,
4
，使得DM
DN
【分析】（1）根据抛物线定义可知轨迹为抛物线，采用待定系数法，求得P 点坐标后代入抛物线方程即可；
（2）假设存在，将直线MN 方程与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，并将
1
表示为关于
1
t
k
的
函数的形式，结合二次函数值域求法可求得
1
的范围，由此可构造不等式求得结果.
【详解】（1）由题意知：笔尖到点F 的距离与它到直线a 的距离相等，
笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，a 为准线的抛物线，
设其方程为
2
2
0
y
px p
，则
,0
2
p
F
，
由
30
FAP
，
90
AFP
，
3
PF
PA
可得：
1
PF ，
60
FPA
，
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P
点坐标为
1
3
,
2
2
2
p
，
代入抛物线方程得：3
1
2
4
2
2
p
p
，即
2
4
4
3
0
p
p
，解得：
1
2
p
或
3
2
p
，
轨迹C 的方程为
2
3
y
x
．
（2）
假设存在，使得DM
DN
，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，直线
:
3 0
2
MN y
kx
k
，
由
2
3
3
y
kx
y
x
得：
2
2
6
3
9
0
k x
k
x
，则
2
2
6
3
36
36
9
0
k
k
k
，
1
2
2
6
3
k
x
x
k
，
1
2
2
9
x x
k
，
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
6
3
4
4
1
1
4
2
4
9
k
x
x
x
x
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
k
；
DM
DN
，
1
2
x
x
，
1
2
x
x
，
2
1
1
4
2
k
k
，
令
1
1 ,
2
t
k
，
2
2
2
1
4
1
2
4
2
2
2
2
u
t
t
t
t
k
k
，
2
1
17
2
2
2
4
u
，即
1
17
4
，
,
DM DN
同向，
0
，
2
4
17
4
0
，解得：
1
0
4
或
4
，
存在
1
0,
4,
4
，使得DM
DN
.
【点睛】思路点睛：本题考查抛物线定义的应用、直线与抛物线综合应用中的存在性问题的求解；本题求
解范围的基本思路是结合韦达定理构造出与有关的等量关系，将其表示为关于1
k 的函数的形式，根据函
数值域的求法构造不等关系求得结果.
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6．已知抛物线E ：
2
4
y
x
，过点
(1,1)
P
作斜率互为相反数的直线
,
m n ，分别交抛物线E 于
,
A B 及
,
C D 两点．
(1)若
3
PA
BP
，求直线AB 的方程；
(2)求证：
CAP
BDP
．
【答案】(1) y
x
(2)证明见解析
【分析】（1）设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，由
3
PA
BP
，得
1
2
1
2
4
3
4
3
x
x
y
y
，又
2
1
1
4
y
x
，
2
2
2
4
y
x
，解得
,
A B 两点
的坐标，进而可得答案．
（2）设直线AB ：
(
1)
1
y
k x
，则直线CD ：
(
1)
1
y
k x
，设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
3
3
(
,
)
C x y
，
4
4
(
,
)
D x
y
，
联立直线AB 与抛物线的方程，结合韦达定理由弦长公式计算AP
BP
，同理可得CP
DP
，进而可得
APC
BPD
∽
△
△
，即可得出答案．
【详解】（1）设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，∵
(1,1)
P
，∴
2
2
(1
,1
)
BP
x
y
，
1
1
(
1,
1)
PA
x
y
，
∵
3
PA
BP
，∴
2
1
2
1
3(1
)
1
3(1
)
1
x
x
y
y
，
1
2
1
2
4
3
4
3
x
x
y
y
．
又∵
2
1
1
4
y
x
，∴
2
2
2
(4
3
)
4(4
3
)
y
x
，即
2
2
2
2
3
8
4
y
y
x
，
又∵
2
2
2
4
y
x
，∴
2
2
2
4
8
0
y
y
，
2
0
y
或
2
2
y
，
当
2
0
y
时，
2
0
x
，∴
1
4
x
，
1
4
y
；
当
2
2
y
时，
2
1
x ，∴
1
1
x ，
1
2
y ，此时直线AB 的斜率不存在，舍去，
∴
(4,4)
A
，
(0,0)
B
，∴直线AB 的方程为：y
x
．
（2）设直线AB ：
(
1)
1
y
k x
，则直线CD ：
(
1)
1
y
k x
，
设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
3
3
(
,
)
C x y
，
4
4
(
,
)
D x
y
，
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由
2
(
1) 1
4
y
k x
y
x
，即
2
1 (
1) 1
4
x
y
k
y
x
，则
2
4
4
4
0
y
y
k
k
，所以
1
2
4
y
y
k
，
1
2
4
4
y y
k
，
又∵
1
2
1
|
|
1
|
1|
AP
y
k
，
2
2
1
|
|
1
|
1|
BP
y
k
，
∴
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
4
4
|
| |
|
1
(
1)(
1)
1
(
)
1
1
4
1
AP
BP
y
y
y y
y
y
k
k
k
k
k
2
1
3 1
k
，同理可证：
2
2
1
1
|
| |
| 3 1
3 1
(
)
CP
DP
k
k
，
∴|
| |
| |
| |
|
AP
BP
CP
DP
，∴
|
|
|
|
|
|
|
|
AP
CP
DP
BP
，
又∵
CPA
BPD
，∴
APC
BPD
∽
△
△
，∴
CAP
BDP
．
1.已知抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的焦点为F ，准线为l ，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M （M 在
第一象限），MN
l
，垂足为N ，直线NF 交x 轴于点D ，若|
| 2 3
MD
，则抛物线的方程是（
）
A．
2x
y
B．
2
2
x
y
C．
2
4
x
y
D．
2
8
x
y
【答案】C
【分析】如图所示，过点F 作FA
MN
，垂足为A . 先证明MNF
是等边三角形，再求出|
| 4
FM
，求出p
的值即得解.
【详解】解：如图所示，过点F 作FA
MN
，垂足为A .
由题得
30
AFM
,所以
60
NMF
.
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因为|
| |
|
MF
MN
，所以MNF
是等边三角形.
因为O是FB 的中点，所以|
| |
|
DF
DN
，
所以MD
DF
，所以
2 3
|
|
4
sin 60
FM
.
所以
4,
,
,
2
MN
MF
MN
AM
AN
AN
FB
.
所以
2.
p
所以抛物线的方程是
2
4
x
y
.
故选：C
2.以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4 的抛物线方程是（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
8
y
x
C．
2
8
y
x
或
2
8
y
x
D．
2
8
x
y
或
2
8
x
y
= -
【答案】C
【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【详解】依题意设抛物线方程为
2
2
0
y
px p
．
因为焦点到准线的距离为4，
所以
4
p
，所以2
8
p
，
所以抛物线方程为
2
8
y
x
或
2
8
y
x
．
故选：C．
3.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3
4
12
0
x
y
上的抛物线的标准方程为（
）
A．
2
16
x
y
或
2
12
y
x
B．
2
16
y
x
或
2
12
x
y
C．
2
16
y
x
或
2
12
x
y
D．
2
16
x
y
或
2
12
y
x
【答案】C
【分析】根据题意，可得直线3
4
12
0
x
y
与x 轴，y 轴的交点分别是(4,0),(0, 3)
，得出抛物线的焦点为
(4,0) 或(0, 3)
，即可求出p 的值，从而求出抛物线的标准方程.
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【详解】解：直线3
4
12
0
x
y
与x 轴，y 轴的交点分别是(4,0),(0, 3)
，
所以抛物线的焦点为(4,0) 或(0, 3)
，
即
4
2
p
或
3
2
p ，
解得：
8
p
或
6
p ，
因此，所求抛物线的标准方程为
2
16
y
x
或
2
12
x
y
．
故选：C.
4.已知A、B 是抛物线
2
2
0
y
px p
上的两点，直线AB 垂直于x 轴，F 为抛物线的焦点，射线BF 交抛物
线的准线于点C，且
4 5
5
AB
AF
，
AFC
△
的面积为2 5
2
，则p 的值为（
）
A．
2
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，即抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离．注意到
AFC
ABC
AFB
S
S
S
，
然后结合三角形的面积来列出方程解出p .
【详解】过点A 做AH 垂直于准线，垂足为H，做CG 垂直于AB，垂足为G，根据抛物线的定义AH=AF，
/ /
CE
AB ，
因此DE=AH=CG=AF，
由
AFC
ABC
AFB
S
S
S
，
1
2
ABC
S
AB CG
AD CG
，
1
2
AFB
S
AB DF
AD DF
得
(
)
(
)
AFC
S
AD CG
AD DF
AD CG
DF
AD DE
DF
AD EF
又
5
DE
AF
DF
，则
( 5
1)
EF
DF
，
2
5
1
2
2
5
1
EF
AD
DF
EF
，可得
2
5
1
2
AFC
S
EF
，又因
2 5
2
AFC
S
，所以EF=2，因为EF 正好是焦点到准线的距离，即
2
p
.故选C.
5.已知抛物线
2
1 :
0
C
y
ax a
的焦点与双曲线
2
2
2
2
:
1
0
4
x
y
C
b
b
的右焦点重合，记为F 点，点M 与点
4,6
P
分别为曲线
1
2
,
C C 上的点，则MP
MF
的最小值为（
）
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A．5
2
B．8
C．13
2
D．11
2
【答案】B
【分析】由已知求得抛物线方程，双曲线方程，求得抛物线的准线方程，作MN
l
于N ，则有
MP
MF
PM
MN
,当
,
,
P M N 共线时，PM
MN
取得最小值，由此可得结论．
【详解】由题意得
2
4
4
a
b
，
2
2
2
4
6
1
4
b
解得
2
12,
16.
b
a
抛物线方程为
2
16
y
x
，准线方程为
4
x ，
作MN
l
于N ，则MF
MN
，所以MP
MF
PM
MN
,
易知当
,
,
P M N 共线时，PM
MN
取得最小值为4
4
8
，
故选：B.
6.已知抛物线
2
1
4
y
x
的焦点为F，点
1,3
B
，若点A 为抛物线任意一点，当AB
AF
取最小值时，点A
的坐标为（
）
A．1 ,1
4
B．
1
1, 4
C．
1,4
D．
4,1
【答案】B
【分析】设点A 在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求AB
AD
取得最小值，数形结
合求解即可.
【详解】设点A 在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知|
| |
|
AF
AD
，
求AB
AF
的最小值，即求AB
AD
的最小值，
显然当D，B，A 三点共线时AB
AD
最小，
此时A 点的横坐标为1，代入抛物线方程可知
1
1, 4
A
.
故选：B.
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7.已知
, ,
A B C 是抛物线
2
12
y
x
上三个动点，且ABC
的重心为抛物线的焦点F ，若B ，C 两点均在x 轴上方，
若BC 的斜率
BC
k
m
恒成立，则m 的最大值为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．19
6
【答案】B
【分析】先利用点差法得到
2
3
12
BC
k
y
y
，再利用ABC
重心的性质与基本不等式得到
2
3
6 2
y
y
，由此
得解.
【详解】依题意，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x
y
，由B ，C 在x 轴上方，故
2y ，
3
0
y
，
因为抛物线为
2
12
y
x
，所以
3,0
F
，
则
2
2
2
2
3
3
12
,
12
y
x
y
x
，所以
3
2
3
2
3
2
12
y
y
x
y
y
x
，则
2
3
2
3
2
3
12
BC
y
y
k
x
x
y
y
，
注意到
1
2
3
9
x
x
x
，故
2
2
2
1
2
3
9
12
y
y
y
，即
2
2
2
1
2
3
108
y
y
y
，
又
1
2
3
y
y
y
，代入可得
2
2
2
3
2
3
54
y
y
y y
，
故
2
2
2
3
2
3
2
3
54
54
4
y
y
y
y
y y
，即
2
2
3
3
54
4 y
y
，解得
2
3
6 2
y
y
，
当且仅当
2
3
3 2
y
y
时，等号成立，
因而
2
3
12
12
2
6 2
BC
k
y
y
，则m 的最大值为
2
故选：B.
8.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，准线为l，过点F 作斜率为4 2
7
的直线与C 在第一象限内相交
于点P，过点P 作PM
l
于点M，连接MF 交C 于点N，若MF
NF
，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
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【分析】如图，过点N 作准线l 的垂线，垂足为Q，则由已知条件结合抛物线的定义可得
PFM
PMF
MFO
MNQ
，设直线PF 的倾斜角为，则
2
2tan
4 2
tan
1
7
MNQ
MNQ
，求出tan MNQ
，
再结QN
NF
可求得结果.
【详解】如图，过点N 作准线l 的垂线，垂足为Q，
则NF
NQ
，PM
NQ
x
∥
∥
轴．
因为PM
PF
，所以
PFM
PMF
MFO
MNQ
．
设直线PF 的倾斜角为，则
π
π
2
PFM
MFO
MNQ
，
所以
2
2tan
4 2
tan
tan2
tan
1
7
MNQ
MNQ
MNQ
，
2
2 2 tan
7 tan
2 2
0
MNQ
MNQ
解得tan
2 2
MNQ
或
1
tan
2 2
MNQ
（舍去），
所以
2 2
MQ
NQ
，
所以
3
3
MN
NQ
NF
，
所以
4
MF
NF
，即
4
．
故选：C
9.已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点F 关于直线x
y
m
的对称点为
2,1 ，O 为坐标原点, 点
,
M N 在
C 上且满足
0
OM ON
（
,
M N 均不与O重合），则
MON
△
面积的最小值为（
）
A．4
B．8
C．16
D．20
【答案】C
【分析】求出抛物线方程，设出
,
M N 点坐标，将直线MN 和抛物线联立，求出直线MN 的方程，进而写出
MON
△
面积的表达式，即可求出最小值.
【详解】在
2
:
2
0
C y
px p
中，焦点为
,0
2
p
F
，
焦点F 关于直线:l x
y
m
+
=
即y
x
m
的对称点为
2,1
A
，
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1
1
2
2
2
1
2
2
2
p
p
m
，解得
2
2
p
m
，
∴抛物线的方程为
2
4
y
x
,
显然直线MN 的斜率不为0 , 设直线MN 的方程为x
my
t
, 且
0
t
,
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
,
联立
2
4
x
my
t
y
x
, 整理可得
2
4
4
0
y
my
t
,
2
16
16
0
m
t
, 即
2
0
m
t
, 且
1
2
4
y
y
m
,
2
1
2
2
1
2
1
2
4 ,
16
y y
y y
t x x
t
,
又因为
0
OM ON
, 即
2
1
2
1
2
4
0,
0
x x
y y
t
t
t
,
∴
4
t
,
∴即直线MN 的方程为
4
x
my
，
∴直线MN 恒过(4,0) 点，
∴
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
2
4
2 16
16
8
4
8 2
16
2
OMN
S
y
y
y
y
y y
m
t
m
，
当且仅当
0
m
时, 等号成立.
故选：C.
10.（多选题）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
与圆
2
2
:
5
O x
y
交于A 、B 两点，且AB
4
，直线l 过C 的
焦点F ，且与C 交于M 、N 两点，则下列说法中正确的是（
）
A．
2
p
B．
1
1
1
MF
NF
C．存在某条直线l ，使得
2
5
MF
NF
D．若点
2,2
G
，则
GFM
△
周长的最小值为3
5
【答案】ABD
【分析】由AB
4
则A 、B 两点坐标(1,2),(1, 2)
且在抛物线
2
:
2
C y
px
上，代入方程进而判断选项A ；
直线方程为
1
x
my
与抛物线联立，再根据韦达定理代入
1
1
MF
NF
可求其值则可判断选项B；利用选项
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B 中
1
1
1
MF
NF
代入
2
MF
NF
利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点M 作准
线的垂线，垂足为M ，交y 轴于
1
M ，过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，结合
GFM
△
的周长为
5
5
3
5
MG
MF
GF
MG
MM
GH
，进而判断选项D 即可．
【详解】由对称性得点(1,2) 在抛物线
2
:
2
C y
px
上，
所以
2
2
2 p
，解得
2
p
，故A 选项正确；
设直线l 和双曲线交于
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x y
N x
y
两点，
设直线方程为
1
x
my
，
代入抛物线方程可得：
2
4
4
0
y
my
，
2
16
16
0
m
，
所以
1
2
1
2
4,
4
y y
y
y
m
，
所以：
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(
)
4
1
1
1
1
4
4
1
(
)
1
1
1
4
4
(
)
3
16
x
x
m y
y
m
y y
MF
NF
x
x
x x
x
x
m
m y
y
故B 选项正确；
则
2
1
1
2
(
2
) (
)
3
3
2 2
NF
MF
MF
NF
MF
NF
MF
NF
MF
NF
，
当且仅当
2
1
2,
1
2
MF
NF
时等号成立，故C 错误；
如图，过点M 作准线的垂线，垂足为M ，交y 轴于
1
M ，取MF 的中点为D ，过点D 作y 轴的垂线，
过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，
所以
GFM
△
的周长为
5
5
3
5
MG
MF
GF
MG
MM
GH
，
当且仅当点M 的坐标为(1,2) 时取等号，故D 选项正确．
故选：ABD．
11.（多选题）已知抛物线
2
:
4
C y
x
，过焦点F 的直线交抛物线于
,
A B 两点，分别过
,
A B 作准线l 的垂线，
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垂足为
1
1
,
A B ，O为坐标原点，
( 1,0)
Q
，则（
）
A．
1
1
A F
B F
B．若
3
AF
，则
AOF
的面积为2 2
C．若M 为抛物线C 上的动点，则
MF
MQ 的取值范围为
2 ,1
2
D．若
60
AQB
，则直线AB 的倾斜角的正弦值为
3
3
【答案】ACD
【分析】对于A，由抛物线的性质可知
1
1
A FA
A FO
，
1
1
B FB
B FO
，可得
1
1
90
A FB
，即可判定；
对于B，由
3
AF
，及
1
1
·
1 2 2
2
2
2
AOF
A
S
OF y
，即可判定；
对于C，当直线MQ 与抛物线相切时，
MQO
最大，此时cos
MQO
最小，设直线MQ 的方程为
1
x
my
，
代入抛物线的方程可得
2
4
1)
y
my
（
，由
2
16
16
0
m
，即可求解；
对于D，连接
,
AQ BQ ，可得
1
1
120
AQA
BQB
，则
1
1
tan
3
AQA
BQB
，设出直线AB 方程，联
立抛物线方程，即可求解．
【详解】对于A，由抛物线的性质可知
1
1
,
AA
AF BB
BF
，所以
1
1
AA F
A FA
，
1
1
BB F
B FB
，
又因为
1
1
//
//
AA BB
x 轴，所以
1
1
AA F
A FO
，
1
1
BB F
B FO
，
所以
1
1
A FA
A FO
，
1
1
B FB
B FO
，
则有
1
1
90
A FB
，得证
1
1
A F
B F
，所以A 正确；
对于B，设
,
A
A
A x
y
，由
3
AF
，可得
1
3
A
x
，所以
2
A
x
，
代入抛物线的方程可得
2
2
4
A
y
，可得|
2
|
2
A
y
，所以
1
1
·
1 2 2
2
2
2
AOF
A
S
OF y
，所以B 不正
确；
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对于C，过M 作MM垂直于准线于M ，
M MQ
MQO
由抛物线的性质可得MF
MM
，所以
MF
MM
MQ
MQ
，则
cos
cos
MF
MM
M MQ
MQO
MQ
MQ
，
当直线MQ 与抛物线相切时，
MQO
最大，此时cos
MQO
最小，
设直线MQ 的方程为
1
x
my
，代入抛物线的方程可得
2
4
1
y
my
，即
2
4
4
0
y
my
，由
2
16
16
0
m
，可得
1
m ，即直线MQ 的倾斜角为45或135，
当点M 与原点重合时cos
1
MQO
，此时MF
MQ
，
1
MF
MQ ，
则
2
cos
1
2
MQO
，所以
2 ,
cos
1
2
MF
MQO
MQ
．所以C 正确；
对于D，由焦点
1,0
F
，设直线AB 的方程为
1
x
ty
，代入抛物线的方程可得
2
4
1
y
ty
（
），即
2
4
4
0
y
ty
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，其中
1
0
y
，
2
0
y
，
则
1
2
4
y
y
t
，
1
2
4
y y ，
2
1
2
1
2
1
16
y y
x x
，
2
1
2
1
2
2
4
2
x
x
t y
y
t
，
连接
,
AQ BQ ，可得
1
1
120
AQA
BQB
，
则
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
tan
3
1
1
1
x
x
y
y
AQA
BQB
x
x
y
y
整理可得
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
3
2
2
y
y
y y
y
y
t
t
即
2
2
1
2
3
t
t
，解得
2
t
，
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则直线AB 的斜率为
2
2
k
，即
2
tan
2
，所以
3
sin
3
，故D 正确．
故选：ACD．
12.已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
，
0
4,
P
y
为E 上位于第一象限的一点，点P 到E 的准线的距离为5．
(1)求E 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，F 为E 的焦点，A，B 为E 上异于P 的两点，且直线PA 与PB 斜率乘积为4
．
（i）证明：直线AB 过定点；
（ii）求FA FB
的最小值．
【答案】(1)
2
4
y
x
(2)证明见解析；36
5
【分析】（1）由题可知4
5
2
p
，求解即可得到抛物线的方程；
（2）（i）先求解
(4,4)
P
，设
2
2
1
2
1
2
,
,
,
4
4
y
y
A
y
B
y
，根据斜率公式结合题意可得
1
2
1
2
4
20
0
y
y
y y
，
分斜率存在和不存在分别求得直线AB 的方程，从而可确定过定点(5, 4)
；（ii）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，当直
线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为
(
5)
4
5
4
y
k x
kx
k
，联立方程组，结合韦达定理求得
|
| |
|
FA
FB
的最小值为36
5 ；当直线AB 斜率不存在时，由抛物线定义知
1
2
|
| |
|
1
1
36
FA
FB
x
x
，从
而可求解.
【详解】（1）由题可知4
5
2
p
，解得
2
p
.
所以E 的标准方程为
2
4
y
x
；
（2）（i）由（1）知，
2
0
4
4
y
，且
0
0
y
，解得
0
4
y
，所以
(4,4)
P
.
设
2
2
1
2
1
2
,
,
,
4
4
y
y
A
y
B
y
，则
1
2
1
1
4
4
4
4
4
PA
y
k
y
y
，同理可得，
2
4
4
PB
k
y
，
则
1
2
4
4
4
4
4
PA
PB
k
k
y
y
，即
1
2
1
2
4
20
0
y
y
y y
.
当直线AB 斜率存在时，直线AB 的方程为
2
2
1
2
1
1
2
1
2
4
4
4
y
y
y
y
y
x
y
y
，
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整理得
1
2
1
2
4
0
x
y
y
y
y y
.
所以
1
1
4
20
(
4)
0
x
y
y
y
，即
1
2
4
4
5
y
x
y
y
，
所以直线AB 过定点(5, 4)
；
当直线AB 的斜率不存在时
1
2
0
y
y
，可得
1
1
2
20,
5
y
x
.
综上，直线AB 过定点(5, 4)
.
（ii）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，当直线AB 斜率存在时，
设直线AB 的方程为
(
5)
4
5
4
y
k x
kx
k
，
与抛物线E 联立得
2
4 ,
5
4
y
x
y
kx
k
，消去x 得
2
2
2
2
10
8
4
(5
4)
0
k x
k
k
x
k
，
由题意
0
，所以
2
2
2
1
2
1
2
2
10
8
4
(5
4)
,
k
k
k
x
x
x x
k
k
.
所以
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
(5
4)
10
8
4
|
| |
|
1
1
1
1
k
k
k
FA
FB
x
x
x x
x
x
k
k
2
2
48
20
1
6
36
36
36
20
5
5
5
k
k
k
，
所以当1
6
5
,
5
6
k
k
时，|
| |
|
FA
FB
的最小值为36
5 ；
当直线AB 斜率不存在时，
1
2
5
x
x
.
由抛物线定义知
1
2
|
| |
|
1
1
36
FA
FB
x
x
.
故|
| |
|
FA
FB
的最小值为36
5 .
13. 已知直线1l
x
轴，垂足为x 轴负半轴上的点E，点E 关于原点O 的对称点为F，且
4
EF
，直线1
2
l
l
，
垂足为A，线段AF 的垂直平分线与直线2l 交于点B，记点B 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知点
2,4
P
，不过点P 的直线l 与曲线C 交于M，N 两点，以线段MN 为直径的圆恒过点P，点P 关
于x 轴的对称点为Q，若QMN
的面积是64 2 ，求直线l 的斜率.
【答案】(1)
2
8
y
x
(2)1或
1
3
.
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【分析】（1）分析给定的条件，结合抛物线的定义求出曲线C 的方程，即可求解；
（2）设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出弦长，结合三角形面积及向量的垂直的坐
标表示，即可求解.
【详解】（1）解：由线段AF 的垂直平分线与直线2l 交于点B ，可得AB
BF
，
即点B 到点F 的距离等于点B 到直线1l 的距离，
又因为
4
EF
，1l 的方程为
2
x ，所以
(2,0)
F
，
所以点B 的轨迹C 是以F 为焦点，直线:
2
l x 为准线的抛物线，
所以点B 的轨迹C 的方程为
2
8
y
x
.
（2）解：根据题意，直线的斜率不为0 ，设直线:l x
my
n
，且
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x y
N x
y
，
联立方程组
2
8
x
my
n
y
x
，可得
2
8
8
0
y
my
n
，则
2
64
32
0
m
n
，
所以
1
2
1
2
8 ,
8
y
y
m y y
n
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
1
64
32
MN
m
y
y
m
y
y
y y
m
m
n
，
又点
(2, 4)
Q
，点Q 到直线l 的距离为
2
2
4
1
m
n
d
m
，
所以
2
1
1 2
4
64
32
2
2
QMN
S
MN d
m
n
m
n
，
又以线段MN 为直径的圆恒过点P ，所以
0
PM PN
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
2)(
2)
(
4)(
4)
2(
)
2(
)
20
0
x
x
y
y
x x
x
x
y y
y
y
，
又
2
2
1
2
1
2
,
8
8
y
y
x
x
，所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
4(
)
20
0
64
4
y y
y
y
y y
y
y
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
2
4(
)
20
0
64
4
y y
y
y
y y
y y
y
y
，
所以
2
2
16
12
32
20
0
n
m
n
m
，所以
2
2
(
6)
16
32
16
n
m
m
，
即
2
2
(
6)
16(
1)
n
m
，所以
6
4(
1)
n
m
，
所以
4
10
n
m
或
4
2
n
m
，
又直线l 不经过点P ，所以
4
2
n
m
，所以
4
10
n
m
，此时满足
0
，
所以
2
2
1 2
4
64
32
32 (
1)
4
64 2
2
S
m
n
m
n
m
，
解得
1
m 或
3
m ，所以直线l 的斜率为1或
1
3
.
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