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2025-2026 学年高二数学上学期期中模拟卷
提升卷·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
B
C
B
B
A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9
10
11
AC
ACD
CD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
/
0
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． （13 分）
【答案】
【分析】由定点直线系方程得直线（或直线
）
的方程：
，直线
（或直线
）的方程为
，分别求出交点
和
的坐标即可求解.
由点
的坐标得直线
的方程．
【详解】由定点直线系方程得直线
（或直线
）的方程：
，
与
联立解得交点
（或
）的坐标为
．
直线
（或直线
）的方程为
，
与
联立解得交点
（或
）的坐标为
．
由点
的坐标得直线
的方程为：
，即
.
16．（15 分）
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用斜
坐标的定义及向量的线性运算可得结果；
（2）利用空间向量的线性运算表示由题可得
，
，设平面
的法向量为
，通过求解法向量方程与赋值求得法向量
，以及
平面
，表示出
，利用
平面与平面的夹角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）由题可知
，
，则
（提示：斜坐标的本质是将空间中
的向量用基底表示后的系数），
由题可知
，
，
．
平面
，
即
则
，
，
则
的斜坐标为
．
（2）由题可得
，
，
设平面
的法向量为
（提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值求
得法向量），
由
得
即
取
，可得
，
，
即
．
则
．
由（1）可知
平面
，
且
，
则
，
，
则
，
即平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
【点睛】关键点点睛：充分理解“空间斜坐标系”以及通过空间向量线性运算正确表示出向量是解题关键，
本题以新定义下的线面关系与平面与平面的夹角为背景，考查考生数学建模、数学运算核心素养．属于较
难题.
17．（15 分）
【答案】(1)3
(2)证明见解析
(3)
，证明见解析
【分析】（1）令
，解方程即可；
（2）先化简曲线
得
，则
由圆
与圆
组成.，再设
，化简计算
即可；
（3）设的方程为
，数形结合得到
，再分别与圆
和圆
联立，利用韦达定理证明即可.
【详解】（1）对于
，
令
，得
，
解得
，
所以
与
轴的公共点的个数为3.
（2）证明：由
，
得
，
所以
由圆
与圆
组成.
若点
在圆
上，
则
，
所以
上存在无数个点
，使得
为定值.
（3）由
得
则圆
：
与圆
：
的交点为
，
，如图所示
设的方程为
，若与圆
相切，则
，
得
，当
时，与
只有一个公共点，当
时，与
只有三个公共点.
当经过点
时，
，当经过点
时，
，
所以当与
有四个交点时，
的取值范围是
.
将
代入
，得
，
将
代入
，得
，
所以这四个点的横坐标的乘积为
，
因为
，所以
，所以
，则这四个点的横坐标的乘积小于
.
18．（17 分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接
交
于
，连接
，可得
，可证结论；
（2）取
的中点
，
的中点
，连接
，可证
，
，
，以
为坐标
原点，以
所以直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面
的一个法向量和底面
的
一个法向量，利用向量法可求得侧面
与底面
所成二面角的余弦值；
（3）设
，求得平面
的一个法向量，利用向量法可得
，求解即可.
【详解】（1）连接
交
于
，连接
，
因为四边形
是正方形，所以
是
的中点，
又因为
为
的中点，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）取
的中点
，
的中点
，连接
，
因为三角形
是等边三角形，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又因为四边形
是正方形，所以
，
以
为坐标原点，以
所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
，
又
是平面
的一个法向量，
所以
，
所以侧面
与底面
所成二面角的余弦值为
.
（3）设
，由（2）可得
，
所以
，
所以
，
又
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
，
又因为
，
与
所成角的正弦值为
所以
，
所以
，所以
，
所以
，解得
，
所以
.
19．（17 分）
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据离心率可得
，
，代入点
运算求解即可；
（2）（i）求切线方程分析可知直线
的方程为
，与椭圆方程联立，结合韦达定理可证
；（ii）由（i）可得
，
，直线
：
，联立方程利用韦达定理可证
三点共线，即
恒成立，结合
判别式求斜率的取值范围.
【详解】（1）因为离心率为
，则
，
，
可得椭圆方程为
，
代入点
可得
，解得
，可得
，
所以椭圆方程为
.
（2）（i）由（1）知椭圆左顶点
，右顶点
，
设切点
，
，
，显然切线
的斜率存在，
设切线
，
联立方程
，消去 y 可得
，
则
，整理可得
，
可得
，解得
，即
，
则
，可得
，
切线
，即
，
同理可得切线
，
因为
在切线
上，则
，
可得直线
的方程为
，即
，
联立方程
，消去x 可得
，
则
，
，可得
，
因为直线
的斜率
，直线
的斜率
，
则
，
所以直线
与直线
的斜率之比为定值
；
（ⅱ）若
，即
，
由（i）可得切点
，切线
的斜率为
，
且直线
的方程为
，
由图可知直线的斜率存在，
设直线
，
，则
，
因为直线
，
联立方程
，解得
，
又因为
，可知
为线段
的中点，
可得
，
，
下证
三点共线，
因为
，
联立方程
，消去y 可得：
，
则
，解得
，
由韦达定理得：
，
整理可得
，
，
则
，
即
，可知
三点共线，即
恒成立，
所以直线
的斜率的取值范围为
.
