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重难点专题02 认识一次函数
模块一、正比例函数
重难点一、正比例函数的定义
正比例函数标准形式为y=kx(k≠0，k 为常数），判断核心两点：x 次数为
1，无常数项，比例系数不能为 0。含参数题型需列条件：自变量指数等于 1，系数不等
于 0，联立不等式求解参数，算出后代回解析式验证，排除不符合定义的解。
1．（25-26 八年级下·广西钦州·期末）下列选项中，是正比例函数的是（ ）
A．
2
1
y
x
=
+
B．
1
y
x
=
C．y
x
=
D．
2
4
y
x
=
−
2．（25-26 八年级下·山东菏泽·阶段检测）若y 关于x 的函数
(
)
5
5
y
m x
m
=
+
+
−
是正比例函数，则m 的
值为（ ）
A．5
B．5
C．5
−
D．0
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
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3．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①
0.1
y
x
= −
；②
1
2
y
x
=
；③
2
5
y
x
=
；④
2
8
y
x
=
．其中表示y 是x 的正比例函数的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（25-26 八年级下·内蒙古通辽·期末）若关于变量x ，y 的函数
7
2
y
x
m
= −
+
−
是正比例函数，则m 的
值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
−
5．（25-26 八年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（ ）
A．铁的密度为
3
7.8g / cm ，铁块的质量m 随它的体积V 的变化而变化
B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y 随它邻边x 的变化而变化
C．圆的面积S随半径r 的变化而变化
D．汽车油箱中有汽油50L ，行驶过程中油箱中的油量y 随行驶路程x 的变化而变化
6．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）已知函数
(
)
1
2
3
m
y
m
x
n
−
=
−
+
−是正比例函数，则m
n
+
的值为
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．3 或5
7．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）已知y 是x 的正比例函数，当
1
4
=
x
时，
2
y = −，那么这个函数的表
达式为________．
8．（25-26 八年级下·广东江门·期末）正比例函数
2
y
x
−
=
中，比例系数为_________．
9．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）写出图象经过点(1,3)的正比例函数表达式：__________．
10．（25-26 八年级下·陕西榆林·阶段检测）若函数
(
)
2 24
5
4
m
y
m
x
n
−
=
−
+
−是y 关于x 的正比例函数，求
(
)
2026
m
n
+
．
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11．（25-26 八年级下·天津南开·阶段检测）已知y 与
1
x + 成正比例函数关系，且当
2
x =
时，
3
y =
．
(1)求出y 与x 之间的函数解析式；
(2)若点
(
)
, 3
P a −
在这个函数的图象上，求a 的值．
12．（26-27 八年级下·甘肃平凉·期末）已知正比例函数y
kx
=
的图象经过点(
)
3, 6
−
．
(1)判断点
(
)
4, 2
A
−
是否在这个函数图象上，并说明理由；
(2)已知该函数图象上有两点
(
)
1
1
,
B x y
，
(
)
2
2
,
C x
y
，如果
1
2
x
x
，比较
1y ，
2y 的大小．
重难点二、正比例函数的图像
正比例函数图象是过原点(0,0)的直线，画图只需找两组坐标，原点与
(1,k)，两点连线即可。k>0 直线经过一、三象限；k<0 经过二、四象限。看图判k 符号、
已知k 画图象是常考题型，画图规范标注坐标轴、关键点坐标。
1．（25-26 八年级下·云南玉溪·期末）正比例函数
1
2
y
x
= −
的图象经过的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
2．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）若函数y
kx
=
的图象如图所示，则k 的值可能
．．为（ ）
A．2
B．0
C．
1
2
−
D．2
−
3．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数
2
y
x
=
的图象是（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数
1
y
k x
=
，
2
y
k x
=
，
3
y
k x
=
，
4
y
k x
=
的图象如图所
示，则比例系数中最大的是（ ）
A．
1k
B．
2k
C．
3k
D．
4k
5．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y
kx
=
和y
x
k
=
−
（
0
k
）的图象
可能是（ ）
A．
B．
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C．
D．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数y
mnx
=
和y
mx
n
=
+
（m，n 为常数，且
0
mn
）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探
究，得到了甲、乙两种物质的m V
−
图象，如图（
m
V
=
，m 表示质量，表示密度，V 表示体积），下
列说法正确的是（ ）
A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2 倍
B．当乙的质量为10g 时，体积为
3
10cm
C．甲物质的密度小于乙物质的密度
D．甲物质的密度等于乙物质的密度
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8．（25-26 八年级下·四川南充·期末）若点
(
)
,
A a b 和点
(
)
,
B
a c
−
在同一正比例函数图象上，则b
c
+
=
______．
重难点三、正比例函数的性质
核心由k 决定增减性：k>0 时，y 随x 增大而增大，图象从左下向右上倾
斜；k<0 时，y 随x 增大而减小，图象从左上向右下倾斜。比较函数值大小，可借助增减
性判断，无需代入计算；同时牢记图象必过原点这一固有特征。
1．（25-26 八年级下·陕西安康·期末）若点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
都在正比例函数
2
y
x
−
=
的图象上，且
1
2
x
x
，则
1y 与
2y 的大小关系是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
D．
1
2
y
y
2．（25-26 八年级下·广东广州·期末）关于函数
2
y
x
−
=
，下列结论错误
．．的是（ ）
A．它是正比例函数
B．函数图象经过点(
)
1 2,
C．函数图象经过第二、四象限
D．y 随x 的增大而减小
3．（25-26 八年级下·山西大同·期末）
(
)
1
1
1,
P
y
、
(
)
2
2
3,
P
y
是正比例函数
1
2
y
x
= −
图像上的两点，下列判断
中正确的是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
=
D．无法确定
4．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）关于正比例函数
2
y
x
−
=
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过第二、四象限，y 随x 的增大而增大
B．经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小
C．经过第一、三象限，y 随x 的增大而减小
D．经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大
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5．（25-26 八年级下·北京石景山·期末）对于函数
2
y
x
=
，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象不经过第二象限
B．函数图象经过点(
)
1, 2
−
C．y 随x 的增大而增大
D．当
2
x
−
时，
4
y −
6．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数
3
y
x
=
经过点(
)
,
6
m m +
，则m 的值为______．
7．（25-26 八年级下·河南新乡·期末）对于正比例函数
(
)
1
y
m
x
=
−
，y 随x 的增大而增大，则m 的值可以
是__________．（写一个即可）
8．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）一物体自高处落下，是因为受到了重力作用，其受到的重力大小
(
)
N
G
与它自身的质量
(
)
kg
m
的关系式是G
mg
=
（g 取9.8N/kg ），其中m 增大时，G 将
__________．（填“增大”“减小”或“不变”）
9．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）已知y 关于x 的函数
(
)
2
y
m
x
=
+
．
(1)当m 为何值时，函数为正比例函数？
(2)当m 为何值时，y 随x 的增大而减小？
(3)当m 为何值时，函数的图像经过点(
)
1,1 ？
10．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）已知y 关于x 的函数
(
)
2
2
6
9
y
m
x
m
=
−
+
−
，且该函数是正比例函
数．
(1)求m 的值；
(2)若点(
)
1
,a y
，(
)
2
1,
a
y
+
在该函数的图象上，请比较
1y ，
2y 的大小关系．
11．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）已知关于x 的函数
(
)
2
1
1
y
m
x
m
=
−
+
−．
(1)若此函数为正比例函数，求m 的值，并求出函数的解析式；
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(2)在第（1）问的条件下，若点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
在函数图象上，且
1
2
y
y
，求
1x 、
2x 的大小关系．
模块二、一次函数
重难点一、识别一次函数
一次函数标准式y=kx+b(k≠0，k、b 为常数），识别要点：自变量x 最高次
数为 1，x 系数不为 0，允许存在常数项b。正比例函数是b=0 的特殊一次函数。区分易
错题型：含x
2、分式x 的式子都不属于一次函数。
1．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A．
2
2
y
x
=
+
B．
1
y
x
=
+
C．
2
3
y
x
=
−
D．
1
y
x
=
2．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．
1
y
x
=
B．
2
π
S
r
=
C．
50
0.1
y
x
=
−
D．y
kx
b
=
+
3．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A．
2
2
1
y
x
=
+
B．
4
y
x
= −
C．
3
1
y
x
=
+
D．
6
y
x
=
4．（25-26 八年级下·福建莆田·期末）下列函数关系中，y 是x 的一次函数的是（ ）
A．
2
y
x
x
=
-
B．
1
1
y
x
=
+
C．
)
(
2
1
y
x
=
+
D．
1
y
x
=
+
5．（25-26 八年级下·上海·期末）下列函数中，一次函数的是（ ）
A．
1
y
ax
=
−
B．
1
1
2
y
x
=
−
C．
2
2
y
x
=
+
D．
1
2
y
x
=
6．（25-26 八年级下·河北秦皇岛·期末）下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（ ）
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A．正方形的面积与边长的关系
B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系
C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系
D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系
7．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（ ）
A．y 不是x 的函数
B．y 是x 的函数，且是正比例函数
C．y 是x 的函数，且是一次函数
D．当
2
x =
时，
10
y =
8．（25-26 八年级下·全国·周测）如果y 是z 的正比例函数，z 是x 的一次函数，则y 是x 的（ ）
A．正比例函数
B．一次函数
C．其他函数
D．不是函数关系
9．（25-26 八年级下·上海·期中）新定义：
,a b 为一次函数y
ax
b
=
+
（
0，，
a
a
b为实数）的“关联
数”．若“关联数”
3
5
m −
,
所对应的一次函数是正比例函数，则m 的值是___________．
重难点二、根据一次函数的定义求参数
解题列出双重限制条件：自变量x 的指数等于 1，一次项系数k≠0，联立
方程与不等式求解参数。算出参数后，代入原式检验，确认式子符合y=kx+b 形式，排除
使系数为 0 的参数解，避免忽略k≠0 这个关键隐藏条件导致失分。
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1．（25-26 八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．
24
y
x
= −
是正比例函数，也是一次函数
B．
5π
y =
是一次函数，也是正比例函数
C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比
D．如果
(
)
2
4
9
y
m
x
=
−
+
是一次函数，那么
2
m
2．（25-26 八年级下·北京门头沟·期末）如果函数
(
)
2
1
y
m
x
=
−
−是关于x 的一次函数，那么m 的取值范
围是（ ）
A．
0
m
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
3．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）若函数
(
)1
9
m
y
m
x
=
−
+
是一次函数，则m 的值为（ ）
A．1
B．2
C．1
−
D．1
4．（25-26 八年级下·上海青浦·期末）直线
3
y
x
= −−
的截距是________．
46．（25-26 七年级下·山东东营·期末）已知函数
(
)
2
3
9
y
m
x
m
=
−
−
+
（m 是常数）是正比例函数，则m =
_________．
5．（25-26 八年级下·云南曲靖·阶段检测）函数
(
)1
2
m
y
m
x
−
=
+
是一次函数，则m 的值为______．
6．（25-26 八年级下·江苏南通·期中）当k =_____时，一次函数
(
)
2
1
1
y
k
x
k
−
+
−
=
的图象经过原点．
7．（25-26 八年级下·上海·期中）当k =_____．时，函数
(
)
1
2
y
k x
=
+
−
是正比例函数．
8．（25-26 八年级下·上海·期中）若函数
2(
1)
y
kx
x
=
+
−
是关于x 的一次函数，那么k 的取值范围是
______．
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9．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）已知：
(
)
2 8
3
k
y
x
k
−
=
+
−
是y 关于x 的一次函数，则k =________．
10．（25-26 八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数
2
(
1)
(
2)
(
5)
y
n
x
n
x
n
=
+
+
−
+
+
．
(1)当n 为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当
4
3
x =
的函数值．
11．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数
(
)
2 3
2
4
m
y
m
x
n
−
=
−
+
+
．
(1)当m ，n 为何值时，y 是x 的一次函数？
(2)当m ，n 为何值时，y 是x 的正比例函数？
重难点三、求一次函数自变量或函数值
已知x 求y，直接将数值代入解析式，化简计算得到函数值；已知y 反求
x，把函数值代入式子，解一元一次方程得出自变量。计算结束后带回原式验算，实际应
用题还要核对自变量取值范围，超出范围的解直接舍去，保证取值有实际意义。
1．（25-26 八年级下·江西上饶·期末）点(
)
2,m 在一次函数
3
1
y
x
=
−的图象上，则m 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（25-26 八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数
2
1
y
x
=
−，下列各点在函数
2
1
y
x
=
−的图象上
的是（ ）
A．(
)
2.5,4
−
B．(
)
1,3
C．(
)
2.5,4
D．(
)
3,2
3．（25-26 八年级下·山东德州·期末）
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
是一次函数
2
y
x
m
=
+
图象上的不同的两点，
则（ ）
A．(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
B．(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
=
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C．(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
D．(
)(
)
1
2
1
2
x
x
y
y
−
−
的符号无法判断
4．（25-26 八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若点(
)
,2
P m
在一次函数
1
y
x−
=
的图象上，则m = ______．
5．（25-26 八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点(
)
,
m n 在函数
1
1
2
y
x
=
+ 的图象上，则代数式2
4
1
m
n
−
−的
值是______．
6．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）根据图中的程序，当输入
4
x = 时，输出结果y =____．
7．（25-26 八年级下·河南驻马店·期末）定义：对于给定的一次函数y
kx
b
=
+
（k，b 为常数，且
0
k
），把形如
(
)
(
)
0
0
kx
b x
y
kx
b x
+
= −
+
的函数称为一次函数y
kx
b
=
+
的“衍生函数”．已知一次函数
3
6
y
x
=
−
，若点
(
)
,2
1
P m
m −
在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m 的值为_____________．
8．（25-26 八年级下·湖南张家界·期末）已知y 与
1
x + 成正比例关系，且当
2
x =
时，
6
y =
．
(1)求出y 与x 之间的函数解析式；
(2)若点
(
)
, 4
P a −
在这个函数的图象上，求a 的值．
(3)若y 的取值范围为4
4
y
−
，求x 的取值范围．
9．（25-26 八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点M ，给出如下定义：点M 到
x 轴、y 轴的距离中的较小值叫做点M 的短距，如果点P 和点Q 的短距相等，那么称两点为等距点．例
如点
(
)
2,5
P −
与点
(
)
4,2
Q −
为等距点．已知点A的坐标为
3 1
,
2
2
，如果点B 在直线
1
1
2
y
x
= −
+ 上，且
A、B 两点为等距点，求点B 的坐标．
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重难点四、列一次函数解析式并求值
实际应用题先梳理题干等量关系，梳理两个变量间的数量联系，结合
y=kx+b(k≠0，k、b 为常数）列出解析式，写完标注自变量取值范围。若给出两组对应数
值，用待定系数法，代入坐标构建二元一次方程组，解出k、b，得到完整解析式后，再
代入数值完成求值计算。
1．（26-27 八年级下·甘肃平凉·期末）阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，
若每台饮水机800 元，安装费一次性收取1000 元，则所需总金额y （元）与购买台数x （台）之间的关
系式为（ ）
A．
800
y
x
=
B．
1800
y
x
=
C．
800
1000
y
x
=
+
D．
1000
800
y
x
=
+
2．（25-26 八年级下·河北承德·期末）水池原有水300 L ，水匀速从排水管排出，12 min 全部排完．剩余
水量
( )
L
Q
与排水时间(
)
min
t
的函数解析式和自变量取值范围正确的是（ ）．
A．
(
)
25
300 0
12
Q
t
t
= −
+
B．
(
)
25
300 0
300
Q
t
t
= −
+
C．
(
)
25
300 0
12
Q
t
t
=
+
D．
(
)
25
300 0
12
Q
t
t
= −
−
3．（25-26 八年级上·陕西西安·期中）子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中
有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（ ）
x
…
3
−
2
−
1
−
0
1
…
y
…
14
11
8
5
3
…
A．(
)
1,3
B．(
)
0,5
C．(
)
1,8
−
D．(
)
2,11
−
4．（24-25 八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯
中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始
记数，水面高度h 与投入的石子个数x 之间满足的函数关系是（ ）
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A．正比例函数关系
B．一次函数关系
C．反比例函数关系
D．其他函数
关系
5．（10-11 八年级上·江苏·阶段检测）我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入高于800 元但不超
过1300 元的部分征收5%的所得税……如某人某月收入1160 元，他应缴个人工资薪金所得税为
(
)
1160
800
5%
18
−
=
（元）
①当月收入大于800 元而又小于1300 元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式
______；
②某人某月收入为960 元，他应缴所得税______元；
③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是______元．
6．（25-26 六年级下·山东烟台·期末）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构
成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与
双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为cm
x
，单层部分
的长度为cm
y
．经测量，得到下表中数据．
双层部分长
(
)
x cm
0
2
8
14
20
单层部分长度
(
)
y cm
152
148
136
a
112
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(1)a = ；
(2)根据表中数据规律，试写出y 与x 之间的表达式；
(3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为120cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度．
7．（25-26 八年级下·全国·课后作业）小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介
绍当地山区地理环境时说，海拔每增加100m，气温下降0.6℃．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，
气温为34℃．试写出山上气温T（℃）与该处距山脚垂直高度h（m ）之间的函数关系式．当小华乘缆车
到达山顶时，发现温度为29.8℃，求山高．
8．（24-25 八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有
甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620 元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲
旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20 人，每人都按九折收费，超过20
人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x 人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y 与x 之间的函数关系式；
(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取
总费用较少的一家．
