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重难点专题02 认识一次函数
模块一、正比例函数
重难点一、正比例函数的定义
正比例函数标准形式为y=kx(k≠0，k 为常数），判断核心两点：x 次数为
1，无常数项，比例系数不能为 0。含参数题型需列条件：自变量指数等于 1，系数不等
于 0，联立不等式求解参数，算出后代回解析式验证，排除不符合定义的解。
1．（25-26 八年级下·广西钦州·期末）下列选项中，是正比例函数的是（ ）
A．
2
1
y
x
=
+
B．
1
y
x
=
C．y
x
=
D．
2
4
y
x
=
−
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】先明确正比例函数的定义，再根据定义逐一判断各选项即可得到答案，正比例函数定义为：形
如y
kx
=
（k 为常数，且
0
k
）的函数叫做正比例函数．
【详解】解： 选项A
2
1
y
x
=
+ 含常数项，不符合y
kx
=
的形式，不是正比例函数；
选项B
1
y
x
=
的自变量在分母上，不符合正比例函数定义，不是正比例函数；
选项C y
x
=
符合y
kx
=
（
1
0
k =
）的形式，满足正比例函数定义，是正比例函数；
选项D
2
4
y
x
=
−自变量的次数是2，不符合定义，不是正比例函数．
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2．（25-26 八年级下·山东菏泽·阶段检测）若y 关于x 的函数
(
)
5
5
y
m x
m
=
+
+
−
是正比例函数，则m 的
值为（ ）
A．5
B．5
C．5
−
D．0
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不为0，据此列出条件计算即可得到m 的值．
【详解】解：
(
)
5
5
y
m x
m
=
+
+
−
是正比例函数，
5
0
m
+
，
5
0
m -
=
，
解5
0
m
+
得
5
m −，
解
5
0
m -
=
，得
5
m =
或
5
m
−
=
，
综上可得，m 的值为5．
3．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①
0.1
y
x
= −
；②
1
2
y
x
=
；③
2
5
y
x
=
；④
2
8
y
x
=
．其中表示y 是x 的正比例函数的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【详解】解：①
0.1
y
x
= −
；②
1
2
y
x
=
，都是y 关于x 的正比例函数；
③
2
5
y
x
=
中的x 的次数为2，不符合正比例函数的定义，不是y 关于x 的正比例函数；
④
2
8
y
x
=
中的y 的次数为2，不是y 关于x 的正比例函数；
综上，表示y 是x 的正比例函数的有2 个．
4．（25-26 八年级下·内蒙古通辽·期末）若关于变量x ，y 的函数
7
2
y
x
m
= −
+
−
是正比例函数，则m 的
值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
−
【答案】A
【难度】0.95
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【知识点】正比例函数的定义
【分析】形如y
kx
=
（k 为常数且
0
k
）的函数是正比例函数，要求常数项为0，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵函数
7
2
y
x
m
= −
+
−
是正比例函数，
∴常数项满足
2
0
m−
=
，
解得
2
m =
．
5．（25-26 八年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（ ）
A．铁的密度为
3
7.8g / cm ，铁块的质量m 随它的体积V 的变化而变化
B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y 随它邻边x 的变化而变化
C．圆的面积S随半径r 的变化而变化
D．汽车油箱中有汽油50L ，行驶过程中油箱中的油量y 随行驶路程x 的变化而变化
【答案】A
【难度】0.8
【知识点】正比例函数的定义
【详解】解：选项A，由质量公式m
V
=
，得
7.8
m
V
=
，符合正比例函数定义，符合题意；
选项B，矩形周长为10m，可得(
)
2
10
x
y
+
=
，整理得
5
y
x
=
−
，不符合正比例函数定义，不符合题意；
选项C，由圆的面积公式得
2
π
S
r
=
，不符合正比例函数定义，不符合题意；
选项D，设单位路程耗油量为常数k ，可得
50
y
kx
=
−
，不符合正比例函数定义，不符合题意．
6．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）已知函数
(
)
1
2
3
m
y
m
x
n
−
=
−
+
−是正比例函数，则m
n
+
的值为
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．3 或5
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的定义
【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n 的条件，求解后代入计算即可得到结果．
【详解】∵
(
)
1
2
3
m
y
m
x
n
−
=
−
+
−是正比例函数，
根据正比例函数定义可得
2
0
1
1
3
0
m
m
n
−
−
=
−
=
，
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解
1
1
m −
= 得：
1 1
m−= 或
1
1
m−= −，即
2
m =
或
0
m =
，
∵
2
0
m−
，即
2
m
，
∴
0
m =
，
解
3
0
n−= 得：
3
n = ，
∴
0 3
3
m
n
+
=
+ = ．
7．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）已知y 是x 的正比例函数，当
1
4
=
x
时，
2
y = −，那么这个函数的表
达式为________．
【答案】
8
y
x
−
=
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】先设正比例函数的一般形式，代入已知的x ，y 的值求解比例系数，即可得到函数表达式．
【详解】解：设该正比例函数表达式为 y
kx
=
（
0
k
），
将
1
4
=
x
，
2
y = − 代入得 1
2
4 k = −，
解得
8
k = −，
因此这个函数的表达式为
8
y
x
−
=
．
8．（25-26 八年级下·广东江门·期末）正比例函数
2
y
x
−
=
中，比例系数为_________．
【答案】2
−
【难度】0.95
【知识点】正比例函数的定义
【分析】根据正比例函数的定义，即可确定该函数的比例系数．
【详解】解：形如y
kx
=
（k 是常数，
0
k
）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 正比例函数
2
y
x
−
=
符合正比例函数的形式，对应可得比例系数
2
k
−
=
．
9．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）写出图象经过点(1,3)的正比例函数表达式：__________．
【答案】
3
y
x
=
【难度】0.95
【知识点】正比例函数的定义
【分析】用待定系数法求解正比例函数解析式，先设出正比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入
解析式求解比例系数k 即可．
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【详解】解：设该正比例函数的表达式为
(
)
0
y
kx k
=
，
将点(
)
1,3 代入解析式得：3
1
k
= ，
解得
3
k = ，
因此该正比例函数的表达式为
3
y
x
=
．
10．（25-26 八年级下·陕西榆林·阶段检测）若函数
(
)
2 24
5
4
m
y
m
x
n
−
=
−
+
−是y 关于x 的正比例函数，求
(
)
2026
m
n
+
．
【答案】1
【难度】0.7
【知识点】正比例函数的定义
【分析】先根据正比例函数的定义求解出m 与n 的值，再计算即可．
【详解】解：
(
)
2 24
5
4
m
y
m
x
n
−
=
−
+
−
是y 关于x 的正比例函数，
2
24
1
4
0
5
0
m
n
m
−
=
−
=
−
，解得
5
4
m
n
= −
=
，
(
)
(
)
2026
2026
5
4
1
m
n
+
= −+
= ．
11．（25-26 八年级下·天津南开·阶段检测）已知y 与
1
x + 成正比例函数关系，且当
2
x =
时，
3
y =
．
(1)求出y 与x 之间的函数解析式；
(2)若点
(
)
, 3
P a −
在这个函数的图象上，求a 的值．
【答案】(1)
1
y
x
=
+
(2)
4
a = −
【难度】0.75
【知识点】正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值
【分析】（1）根据正比例的定义设
(
)1
y
k x
=
+
，将把
2
x =
，
3
y =
代入求出k 即可；
（2）把点
(
)
, 3
P a −
代入
1
y
x
=
+ 即可求解．
【详解】（1）解：∵y 与
1
x + 成正比例函数关系，
∴设
(
)1
y
k x
=
+
，
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把
2
x =
，
3
y =
代入得，
(
)
3
2
1
k
=
+
，
解得
1
k = ，
∴
1
y
x
=
+ ；
（2）解：把
(
)
, 3
P a −
代入
1
y
x
=
+ ，得3
1
a
−=
+
解得
4
a = −．
12．（26-27 八年级下·甘肃平凉·期末）已知正比例函数y
kx
=
的图象经过点(
)
3, 6
−
．
(1)判断点
(
)
4, 2
A
−
是否在这个函数图象上，并说明理由；
(2)已知该函数图象上有两点
(
)
1
1
,
B x y
，
(
)
2
2
,
C x
y
，如果
1
2
x
x
，比较
1y ，
2y 的大小．
【答案】(1)点
(
)
4, 2
A
−
不在这个函数图象上，理由如下：
∵正比例函数y
kx
=
的图象经过点(
)
3, 6
−
，
∴3
6
k = −，
∴
2
k
−
=
，
∴正比例函数的解析式为
2
y
x
−
=
，
当
4
x = 时，
2 4
8
2
y = −
= −−，
∴点
(
)
4, 2
A
−
不在这个函数图象上；
(2)
1
2
y
y
【难度】0.75
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】（1）先求出正比例函数的解析式，再求出当
4
x = 时，y 的值，比较即可得出结果；
（2）根据正比例函数的性质判断即可得出结果．
【详解】（1）略；
（2）解：由（1）可得正比例函数的解析式为
2
y
x
−
=
，
∵2
0
−
，
∴y 随着x 的增大而减小，
∵
1
2
x
x
，
∴
1
2
y
y
．
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重难点二、正比例函数的图像
正比例函数图象是过原点(0,0)的直线，画图只需找两组坐标，原点与
(1,k)，两点连线即可。k>0 直线经过一、三象限；k<0 经过二、四象限。看图判k 符号、
已知k 画图象是常考题型，画图规范标注坐标轴、关键点坐标。
1．（25-26 八年级下·云南玉溪·期末）正比例函数
1
2
y
x
= −
的图象经过的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象
【分析】本题考查正比例函数的性质，只需根据正比例函数y
kx
=
（
0
k
）中比例系数k 的符号，即可
判断图象经过的象限．
【详解】解：∵正比例函数
1
2
y
x
= −
中，比例系数
1
0
2
k = −
，
∴根据正比例函数的性质，当
0
k
时，函数图象经过第二、四象限．
2．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）若函数y
kx
=
的图象如图所示，则k 的值可能
．．为（ ）
A．2
B．0
C．
1
2
−
D．2
−
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象
【分析】根据正比例函数的图象解答即可．
【详解】解：根据图象得：函数y
kx
=
的图象过一、三象限，
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∴
0
k ，
∴k 的值可能为2．
3．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数
2
y
x
=
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.95
【知识点】正比例函数的图象
【分析】根据正比例函数y
kx
=
的图象性质：图象必过原点，当
0
k
时经过第一、三象限，并结合特殊
点坐标进行判断．
【详解】解：函数
2
y
x
=
是正比例函数，
其图象是一条经过原点(0,0) 的直线，故排除D，
2
0
k =
，
图象经过第一、三象限，故排除A，
又当
1
x = 时，
2 1
2
y =
=
，
图象必经过点(1,2) ，
观察选项可知，B 选项经过点(2,1) ，C 选项经过点(1,2) ，
C 选项符合题意．
4．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数
1
y
k x
=
，
2
y
k x
=
，
3
y
k x
=
，
4
y
k x
=
的图象如图所
示，则比例系数中最大的是（ ）
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A．
1k
B．
2k
C．
3k
D．
4k
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象
【分析】根据正比例函数的图像与系数的关系及直线越陡，k 越大，可得答案．
【详解】解：∵正比例函数
1
y
k x
=
，
2
y
k x
=
经过一、三象限，
3
y
k x
=
，
4
y
k x
=
经过二、四象限，
∴
1
0
k
，
2
0
k
，
3
0
k
，
4
0
k
，
∵直线越陡，k 越大，
∴
1
2
k
k
，即比例系数中最大的是
1k ．
5．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y
kx
=
和y
x
k
=
−
（
0
k
）的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
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【知识点】正比例函数的图象、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数y
kx
b
=
+
的性质是解题的关键．分别
根据函数y
kx
=
和y
x
k
=
−
经过的象限判断y
kx
=
中k 的符号和y
x
k
=
−
中k 的符号是否一致，符号一致
则正确，符号不一致则不正确．
【详解】解：A、由y
kx
=
的图像过二、四象限可知
0
k
，由y
x
k
=
−
的图像过二、三、四象限可知，
0
k
−
，则
0
k ，故本选项不符合题意；
B、由y
kx
=
的图像过一、三象限可知
0
k ，由y
x
k
=
−
的图像过一、二、四象限可知，
0
k
−
，则
0
k
，故本选项不符合题意；
C、由y
kx
=
的图像过二、四象限可知
0
k
，由y
x
k
=
−
的图像过一、三、四象限可知，
0
k
−
，则
0
k ，故本选项不符合题意；
D、由y
kx
=
的图像过一、三象限可知
0
k ，由y
x
k
=
−
的图像过一、三、四象限可知，
0
k
−
，则
0
k ，故本选项符合题意．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数y
mnx
=
和y
mx
n
=
+
（m，n 为常数，且
0
mn
）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的图象、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】根据正比例函数图象判断mn 的正负，根据一次函数图象判断m，n 的正负，逐项判断是否存在
矛盾即可．
【详解】解：A．由正比例函数y
mnx
=
图象经过第一、三象限，得
0
mn
，
由一次函数图象y
mx
n
=
+
经过二、三、四象限，得
0
m
，
0
n
，满足
0
mn
，
故该选项符合题意；
B．由正比例函数y
mnx
=
图象经过第一、三象限，得
0
mn
，
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由一次函数图象y
mx
n
=
+
经过一、二、四象限，得
0
m
，
0
n
，不满足
0
mn
，
故该选项不合题意；
C．由正比例函数y
mnx
=
图象经过第二、四象限，得
0
mn
，
由一次函数图象y
mx
n
=
+
经过一、二、三象限，得
0
m
，
0
n
，不满足
0
mn
，
故该选项不合题意；
D．由正比例函数y
mnx
=
图象经过第二、四象限，得
0
mn
，
由一次函数图象y
mx
n
=
+
经过二、三、四象限，得
0
m
，
0
n
，不满足
0
mn
，
故该选项不合题意．
7．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探
究，得到了甲、乙两种物质的m V
−
图象，如图（
m
V
=
，m 表示质量，表示密度，V 表示体积），下
列说法正确的是（ ）
A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2 倍
B．当乙的质量为10g 时，体积为
3
10cm
C．甲物质的密度小于乙物质的密度
D．甲物质的密度等于乙物质的密度
【答案】A
【难度】0.77
【知识点】从函数的图象获取信息、正比例函数的图象
【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式
m
V
=
分别计算两者的密度，再结
合图象特征逐项判断；
【详解】解：由图象可知，当
3
20
V
V
cm
=
=
甲
乙
时，
20g
m =
甲
，
10g
m =
乙
，即
2
m
m
=
甲
乙，
A 正确；
当
10g
m =
乙
时，由图象可知
3
20
V
cm
=
乙
，
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B 错误；
当
3
20
V
cm
=
甲
时，
20g
m =
甲
；当
3
20
V
cm
=
乙
时，
10g
m =
乙
；
3
3
20
1 /
20
m
g
g cm
V
cm
=
=
=
甲
甲
甲
，
3
3
10
0.5
/
20
m
g
g cm
V
cm
=
=
=
乙
乙
乙
，
甲
乙，
C、D 错误．
8．（25-26 八年级下·四川南充·期末）若点
(
)
,
A a b 和点
(
)
,
B
a c
−
在同一正比例函数图象上，则b
c
+
=
______．
【答案】0
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象
【分析】设出正比例函数的一般形式，将两点坐标分别代入解析式，得到b 和c 的表达式，计算b
c
+
的值
即可.
【详解】解：设该正比例函数的解析式为
(
)
0
y
kx k
=
，
点
(
)
,
A a b 和点(
)
,
B
a c
−
在该正比例函数图象上，
将
(
)
,
A a b 代入解析式得：b
ka
=
，
将
(
)
,
B
a c
−
代入解析式得：
(
)
c
k
a
ka
=
−
= −
，
(
)
0
b
c
ka
ka
+
=
+ −
=
.
重难点三、正比例函数的性质
核心由k 决定增减性：k>0 时，y 随x 增大而增大，图象从左下向右上倾
斜；k<0 时，y 随x 增大而减小，图象从左上向右下倾斜。比较函数值大小，可借助增减
性判断，无需代入计算；同时牢记图象必过原点这一固有特征。
1．（25-26 八年级下·陕西安康·期末）若点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
都在正比例函数
2
y
x
−
=
的图象上，且
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1
2
x
x
，则
1y 与
2y 的大小关系是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
D．
1
2
y
y
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质
【详解】解：∵正比例函数
2
y
x
−
=
中，2
0
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
又∵点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
都在正比例函数
2
y
x
−
=
的图象上，且
1
2
x
x
，
∴
1
2
y
y
．
2．（25-26 八年级下·广东广州·期末）关于函数
2
y
x
−
=
，下列结论错误
．．的是（ ）
A．它是正比例函数
B．函数图象经过点(
)
1 2,
C．函数图象经过第二、四象限
D．y 随x 的增大而减小
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】根据正比例函数的定义和性质逐一判断即可．
【详解】解：A、形如y
kx
=
（k 为常数，
0
k
）的函数是正比例函数，
2
y
x
= −
中
2
0
k = −
，符合该形
式，是正比例函数，结论正确；
B、把
1
x = 代入
2
y
x
= −
，得
2 1
2
2
y = −= −
，故函数图象不经过点(
)
1,2 ，结论错误；
C 和D、∵
2
0
k = −
，
∴函数图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小，故C、D 结论正确；
3．（25-26 八年级下·山西大同·期末）
(
)
1
1
1,
P
y
、
(
)
2
2
3,
P
y
是正比例函数
1
2
y
x
= −
图像上的两点，下列判断
中正确的是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
=
D．无法确定
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质
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【分析】根据函数解析式可得该函数的增减性，再根据增减性可得对应函数值的大小．
【详解】解：∵在
1
2
y
x
= −
中，
1
0
2
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵
(
)
1
1
1,
P
y
、
(
)
2
2
3,
P
y
是正比例函数
1
2
y
x
= −
图像上的两点，且1
3
，
∴
1
2
y
y
．
4．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）关于正比例函数
2
y
x
−
=
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过第二、四象限，y 随x 的增大而增大
B．经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小
C．经过第一、三象限，y 随x 的增大而减小
D．经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质
【详解】解：∵正比例函数
2
y
x
−
=
中，
2
0
k = −
，
∴函数图象经过第二、四象限，且y 随x 的增大而减小．
5．（25-26 八年级下·北京石景山·期末）对于函数
2
y
x
=
，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象不经过第二象限
B．函数图象经过点(
)
1, 2
−
C．y 随x 的增大而增大
D．当
2
x
−
时，
4
y −
【答案】B
【难度】0.75
【知识点】正比例函数的性质
【分析】根据正比例函数
2
y
x
=
中系数
2
0
k =
，结合函数性质逐个判断选项，即可找出错误说法．
【详解】解：
2
y
x
=
是正比例函数，其中
2
0
k =
对A 选项，∵
2
0
k =
，函数图象经过第一、三象限，不经过第二象限，∴A 说法正确
对B 选项，将
1
x = 代入
2
y
x
=
，得
2 1
2
2
y =
=
−，∴函数图象不经过点(
)
1, 2
−
，B 说法错误
对C 选项，∵
2
0
k =
，∴y 随x 的增大而增大，C 说法正确
对D 选项，由
2
y
x
=
得
2
y
x =
，当
2
x −时，
2
2
y −，解得
4
y −，∴D 说法正确
综上，说法错误的是B．
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6．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数
3
y
x
=
经过点(
)
,
6
m m +
，则m 的值为______．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质
【分析】将点(
)
,
6
m m +
代入函数
3
y
x
=
的解析式，得到关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的
值．
【详解】解：函数
3
y
x
=
经过点(
)
,
6
m m +
，
将x
m
=
，
6
y
m
=
+ 代入解析式得3
6
m
m
=
+ ，
移项得 3
6
m
m
−
=
，
合并同类项得2
6
m =
，
系数化为1得
3
m =
．
7．（25-26 八年级下·河南新乡·期末）对于正比例函数
(
)
1
y
m
x
=
−
，y 随x 的增大而增大，则m 的值可以
是__________．（写一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质
【分析】根据正比例函数的性质，当比例系数大于0 时，y 随x 的增大而增大，据此列出关于m 的不等
式，求解得到m 的取值范围，在取值范围内任取一个值即可．
【详解】解：在正比例函数
(
)
1
y
m
x
=
−
中，比例系数
1
k
m
=
−，
由y 随x 的增大而增大，得
1
0
m−
，
解得
1
m ，
任取满足
1
m 的值即可，例如
2
m =
（答案不唯一）．
8．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）一物体自高处落下，是因为受到了重力作用，其受到的重力大小
(
)
N
G
与它自身的质量
(
)
kg
m
的关系式是G
mg
=
（g 取9.8N/kg ），其中m 增大时，G 将
__________．（填“增大”“减小”或“不变”）
【答案】增大
【难度】0.95
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【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查正比例函数的性质，先判断G 与m 是正比例函数关系，再根据正比例函数的性质判断
G 随m 的变化趋势.
【详解】解：由题意得，关系式G
mg
=
中，
9.8N/kg
g =
是大于0 的定值，
因此G 是关于m 的正比例函数，
根据正比例函数的性质，当比例系数大于0 时，函数值随自变量的增大而增大，
因此当m 增大时，G 将增大.
9．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）已知y 关于x 的函数
(
)
2
y
m
x
=
+
．
(1)当m 为何值时，函数为正比例函数？
(2)当m 为何值时，y 随x 的增大而减小？
(3)当m 为何值时，函数的图像经过点(
)
1,1 ？
【答案】(1)
2
m
−
(2)
2
m
−
(3)
1
m = −
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】（1）根据正比例函数y
kx
=
中的
0
k
求解即可；
（2）根据正比例函数y
kx
=
中的
0
k
时，y 随x 的增大而减小求解即可；
（3）将点(
)
1,1 代入
(
)
2
y
m
x
=
+
中求解即可．
【详解】（1）解：∵函数
(
)
2
y
m
x
=
+
为正比例函数，
∴
2
0
m+
，解得
2
m
−
；
（2）解：∵函数
(
)
2
y
m
x
=
+
中，y 随x 的增大而减小，
∴
2
0
m+
，解得
2
m
−
；
（3）解：∵函数
(
)
2
y
m
x
=
+
的图像经过点(
)
1,1 ，
∴将点(
)
1,1 代入函数
(
)
2
y
m
x
=
+
中，得1
2
m
=
+
，
解得
1
m = −．
10．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）已知y 关于x 的函数
(
)
2
2
6
9
y
m
x
m
=
−
+
−
，且该函数是正比例函
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数．
(1)求m 的值；
(2)若点(
)
1
,a y
，(
)
2
1,
a
y
+
在该函数的图象上，请比较
1y ，
2y 的大小关系．
【答案】(1) m 的值为3
−
(2)
1
2
y
y
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】（1）根据正比例函数定义建立等式与不等式求解，即可解题；
（2）根据（1）得到正比例函数解析式，再根据正比例函数性质分析求解，即可解题．
【详解】（1）解：∵函数
(
)
2
2
6
9
y
m
x
m
=
−
+
−
是正比例函数，
2
2
6
0
9
0
m
m
−
−
=
，
解得
3
m
−
=
，
m
的值为3
−；
（2）解：由（1）中
3
m
−
=
，得
12
y
x
= −
，
12
0
k = −
，
y
随x 的增加而减少，
1
a
a
+
，
1
2
y
y
．
11．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）已知关于x 的函数
(
)
2
1
1
y
m
x
m
=
−
+
−．
(1)若此函数为正比例函数，求m 的值，并求出函数的解析式；
(2)在第（1）问的条件下，若点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
在函数图象上，且
1
2
y
y
，求
1x 、
2x 的大小关系．
【答案】(1)
1
m = −，函数解析式为
2
y
x
−
=
(2)
1
2
x
x
【难度】0.75
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】（1）根据正比例函数的定义得到
1
0
−
m
，
2
1
0
m −=
，然后求解即可；
（2）根据函数的增减性求解即可．
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【详解】（1）解：∵函数
(
)
2
1
1
y
m
x
m
=
−
+
−为正比例函数，
∴
1
0
−
m
，
2
1
0
m −=
，
∴
1
m 且
1
m = ，
∴
1
m = −，
∴函数的解析式为
2
y
x
−
=
；
（2）解：∵
2
y
x
−
=
中2
0
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
在函数图象上，且
1
2
y
y
，
∴
1
2
x
x
．
模块二、一次函数
重难点一、识别一次函数
一次函数标准式y=kx+b(k≠0，k、b 为常数），识别要点：自变量x 最高次
数为 1，x 系数不为 0，允许存在常数项b。正比例函数是b=0 的特殊一次函数。区分易
错题型：含x
2、分式x 的式子都不属于一次函数。
1．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A．
2
2
y
x
=
+
B．
1
y
x
=
+
C．
2
3
y
x
=
−
D．
1
y
x
=
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】识别一次函数
【分析】一次函数的定义为：形如y
kx
b
=
+
（k ，b 为常数，且
0
k
）的函数叫做一次函数．
【详解】解：A、
2
2
y
x
=
+
中，自变量x 的次数为2 ，不符合一次函数定义；
B、
1
y
x
=
+ ，符合y
kx
b
=
+
的形式，其中
1
k = ，
1
b = ，满足
0
k
，符合一次函数定义；
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C、
2
3
y
x
=
−不是整式形式，不符合一次函数定义；
D、
1
y
x
=
不是整式形式，不符合一次函数定义．
2．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．
1
y
x
=
B．
2
π
S
r
=
C．
50
0.1
y
x
=
−
D．y
kx
b
=
+
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】识别一次函数
【分析】根据一次函数的定义：形如y
kx
b
=
+
（k ，b 为常数，且
0
k
）的函数为一次函数，逐一分析
选项即可求解．
【详解】解：A、
1
y
x
=
，不是一次函数，不符合题意；
B、
2
π
S
r
=
中，不是一次函数，不符合题意；
C、
50
0.1
y
x
=
−
，符合y
kx
b
=
+
的形式，其中
0.1
0
k = −
，符合题意；
D、y
kx
b
=
+
未明确
0
k
，若
0
k =
则不是一次函数，不符合题意．
3．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A．
2
2
1
y
x
=
+
B．
4
y
x
= −
C．
3
1
y
x
=
+
D．
6
y
x
=
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数
【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如y
kx
b
=
+
（k ，b 为常数，
0
k
，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如y
kx
=
（k 为常数，
0
k
）的函数，即常数项
0
b =
的一次函数，根据定义逐一判断选项即可．
【详解】解：
选项A 中，
2
2
1
y
x
=
+ 自变量x 的次数为2 ，不是一次函数，不符合要求；
选项B 中，
4
y
x
= −
是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求；
选项C 中，
3
1
y
x
=
+ 符合一次函数定义，且常数项1
0
，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要
求；
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选项D 中，
6
y
x
=
分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求；
故选C．
4．（25-26 八年级下·福建莆田·期末）下列函数关系中，y 是x 的一次函数的是（ ）
A．
2
y
x
x
=
-
B．
1
1
y
x
=
+
C．
)
(
2
1
y
x
=
+
D．
1
y
x
=
+
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】识别一次函数
【分析】形如y
kx
b
=
+
（k 、b 为常数，
0
k
）的函数是一次函数．
【详解】解：A 选项
2
y
x
x
=
-
最高次数为2，不符合一次函数的定义；
B 选项
1
1
y
x
=
+ 分母含有未知数，不符合一次函数的定义；
C 选项展开得
2
2
1
y
x
x
=
+
+ ，最高次数为2，不符合一次函数的定义；
D 选项
1
y
x
=
+ 符合y
kx
b
=
+
形式，其中
1
k = ，
1
b = ，满足
0
k
，符合一次函数的定义．
5．（25-26 八年级下·上海·期末）下列函数中，一次函数的是（ ）
A．
1
y
ax
=
−
B．
1
1
2
y
x
=
−
C．
2
2
y
x
=
+
D．
1
2
y
x
=
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】识别一次函数
【分析】本题根据一次函数的定义判断各选项即可，一次函数的定义为：形如y
kx
b
=
+
（,k b 为常数，
0
k
）的函数．
【详解】解：选项A：
1
y
ax
=
−中未说明
0
a
，当
0
a =
时，该函数不是一次函数，故A 选项错误；
选项B：
1
1
2
y
x
=
−中，
1
0
2
k =
，
1
b = −，符合一次函数定义，故B 选项正确；
选项C：
2
2
y
x
=
+
中x 的次数为2 ，不符合一次函数定义，故C 选项错误；
选项D：
1
2
y
x
=
中x 的次数不是1，不符合一次函数定义，故D 选项错误．
6．（25-26 八年级下·河北秦皇岛·期末）下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（ ）
A．正方形的面积与边长的关系
B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系
C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系
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D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系
【答案】A
【难度】0.75
【知识点】识别一次函数
【分析】均匀变化的本质是两个变量满足一次函数关系，即自变量每增加1 个单位，因变量的变化量恒
定，据此分析各选项的函数关系即可得出答案．
【详解】解：首先明确，均匀变化要求自变量每增加1 个单位时，因变量的变化量始终相等，对应函数
为一次函数，
对各选项分析如下：
A：设正方形边长为x ，面积为S，可得
2
S
x
=
，当x 从1 增加到2，S增加4 1
3
−= ，当x 从2 增加到3，
S增加9
4
5
−
= ，变化量不相等，不是均匀变化；
B：设作业本单价为a （a 为常数），购买数量为x ，总花费为y ，可得y
ax
=
，是一次函数，自变量每增
加1，因变量增加a ，变化量恒定，是均匀变化；
C：设汽车速度为v （v 为常数），行驶时间为t ，路程为s，可得s
vt
=
，是一次函数，变化量恒定，是均
匀变化；
D：设书总页数为m ，每天读n 页（
,
m n为常数），读书天数为t ，剩余页数为y ，可得y
m nt
=
−
，是一
次函数，自变量每增加1，因变量减少n ，变化量恒定，是均匀变化；
因此选A．
7．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（ ）
A．y 不是x 的函数
B．y 是x 的函数，且是正比例函数
C．y 是x 的函数，且是一次函数
D．当
2
x =
时，
10
y =
【答案】C
【难度】0.65
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【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数
【分析】先根据按键操作列出关系式
3
4
y
x
= −
−
，依据函数定义可知y 是x 的函数，该式符合
(
0)
y
kx
b k
=
+
的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将
2
x =
代入计算得
10
y = −
，即可解
答．
【详解】根据操作流程：输入x ，乘以3
−，再减4 得到y ，
∴
3
4
y
x
= −
−
，
A．对于任意一个x ，都有唯一确定的y 与之对应，所以y 是x 的函数，故本选项错误，不符合题意．
B．正比例函数形式为y
kx
=
（无常数项），而
3
4
y
x
= −
−
存在常数项4
−，不是正比例函数，故本选项错
误，不符合题意．
C．
3
4
y
x
= −
−
符合一次函数标准形式
(
0)
y
kx
b k
=
+
，因此y 是x 的一次函数，故本选项正确，符合题
意．
D．将
2
x =
代入解析式：
3 2
4
10
10
y = −−
= −
，故本选项错误，不符合题意．
8．（25-26 八年级下·全国·周测）如果y 是z 的正比例函数，z 是x 的一次函数，则y 是x 的（ ）
A．正比例函数
B．一次函数
C．其他函数
D．不是函数关系
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义和正比例函数的定义，理解以上知识点是解题的关键．
根据正比例函数和一次函数的定义，通过代入推导y 与x 的关系.
【详解】解：∵y 是z 的正比例函数，
∴
(
)
0
y
kz k
=
.
∵z 是x 的一次函数，
∴
(
)
0
z
mx
b m
b
m
=
+
、为常数，
.
将z 代入y ，得
(
)
y
k mx
b
kmx
kb
=
+
=
+
.
其中km和kb为常数，且
0
km
，
∴y 是x 的一次函数.
故选：B.
9．（25-26 八年级下·上海·期中）新定义：
,a b 为一次函数y
ax
b
=
+
（
0，，
a
a
b为实数）的“关联
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数”．若“关联数”
3
5
m −
,
所对应的一次函数是正比例函数，则m 的值是___________．
【答案】5
【难度】0.75
【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数
【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为0 ，列方程求解即可得到
m 的值．
【详解】解：根据新定义可知，“关联数”
3
5
m −
,
对应的一次函数为
(
)
3
5
y
x
m
=
+
−
，其中
3
0
a =
，符
合一次函数定义．
∵该一次函数是正比例函数，
∴
5
0
m−
=
，
解得：
5
m =
．
重难点二、根据一次函数的定义求参数
解题列出双重限制条件：自变量x 的指数等于 1，一次项系数k≠0，联立
方程与不等式求解参数。算出参数后，代入原式检验，确认式子符合y=kx+b 形式，排除
使系数为 0 的参数解，避免忽略k≠0 这个关键隐藏条件导致失分。
1．（25-26 八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．
24
y
x
= −
是正比例函数，也是一次函数
B．
5π
y =
是一次函数，也是正比例函数
C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比
D．如果
(
)
2
4
9
y
m
x
=
−
+
是一次函数，那么
2
m
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键．
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一般地，形如y
kx
b
=
+
（
0
k
，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，当
0
b =
时，y
kx
=
(
)
0
k
叫正
比例函数；根据定义进行判断即可．
【详解】解：A、
24
y
x
= −
中，
24
0
k = −
，
0
b =
，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合
题意；
B、
5
y
=
无变量x ，即
0
k =
，不满足
0
k
，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意；
C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为y
kx
=
（k 为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正
确，不符合题意；
D、
(
)
2
4
9
y
m
x
=
−
+ 是一次函数时，需
2
4
0
m −
，即
2
m ，∴ 说法正确，不符合题意；
故选：B．
2．（25-26 八年级下·北京门头沟·期末）如果函数
(
)
2
1
y
m
x
=
−
−是关于x 的一次函数，那么m 的取值范
围是（ ）
A．
0
m
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】根据一次函数定义，自变量x 的系数不为0，据此列不等式即可求出m 的取值范围．
【详解】解：由题意
2
0
m−
，
解得
2
m
．
3．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）若函数
(
)1
9
m
y
m
x
=
−
+
是一次函数，则m 的值为（ ）
A．1
B．2
C．1
−
D．1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】一次函数要求自变量的次数为1，且一次项系数不为0 ，据此列出条件计算即可．
【详解】解：∵
(
)1
9
m
y
m
x
=
−
+
是一次函数，
∴
1
0,
1
m
m
−
= ，
解得
1
m = −．
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4．（25-26 八年级下·上海青浦·期末）直线
3
y
x
= −−
的截距是________．
【答案】3
−
【难度】0.95
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【详解】已知直线解析式为
3
y
x
= −−
，对应可得
3
b = −，因此直线的截距为3
−．
46．（25-26 七年级下·山东东营·期末）已知函数
(
)
2
3
9
y
m
x
m
=
−
−
+
（m 是常数）是正比例函数，则m =
_________．
【答案】3
−
【难度】0.85
【知识点】求一个数的平方根、根据一次函数的定义求参数
【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的形式为
(
)
0
y
kx k
=
，据此列出式子即可求解m 的值．
【详解】解：由正比例函数的定义得：
2
9
0
m
−
+
=
且
3
0
m−
，
解方程
2
9
0
m
−
+
=
得
2
9
m =
，即
3
m = ，
由
3
0
m−
得
3
m
，
因此
3
m = −．
5．（25-26 八年级下·云南曲靖·阶段检测）函数
(
)1
2
m
y
m
x
−
=
+
是一次函数，则m 的值为______．
【答案】1
−
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】根据一次函数的定义，列出关于m 的方程和不等式，即可求解m 的值．
【详解】解：∵函数
(
)1
2
m
y
m
x
−
=
+ 是一次函数，
∴
1
m = 且
1
0
−
m
，
由
1
m = 可得
1
m = ，
由
1
0
−
m
可得
1
m ，
∴
1
m = −．
6．（25-26 八年级下·江苏南通·期中）当k =_____时，一次函数
(
)
2
1
1
y
k
x
k
−
+
−
=
的图象经过原点．
【答案】1
−
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【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为0 ，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析
式，代入求解即可得到k 的值．
【详解】解：∵一次函数
(
)
2
1
1
y
k
x
k
−
+
−
=
的图象经过原点(
)
0,0 ，
∴将
0
x =
，
0
y =
代入函数解析式得
(
)
2
0
1
0
1
k
k
=
−
+
−，
解得：
1
k = ，
∵该函数为一次函数，一次项系数不能为0 ，
1
0
k
−
，
∴
1
k ，
1
k
= −．
7．（25-26 八年级下·上海·期中）当k =_____．时，函数
(
)
1
2
y
k x
=
+
−
是正比例函数．
【答案】
2
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数
【分析】先将函数解析式整理为一般形式，再根据正比例函数的定义列关系式求解即可
【详解】解：先整理函数解析式，
(
)
1
2
2
y
k x
kx
k
=
+
−
=
+
−
，
函数
(
)
1
2
y
k x
=
+
−
是正比例函数，
0
{
2
0
k
k
−
=
，
解得
2
k =
8．（25-26 八年级下·上海·期中）若函数
2(
1)
y
kx
x
=
+
−
是关于x 的一次函数，那么k 的取值范围是
______．
【答案】
2
k −
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为0 ，列
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不等式求出k 的取值范围即可．
【详解】解：
(
)
(
)
2
1
2
2
y
kx
x
k
x
=
+
−
=
+
−
，
∵函数
2(
1)
y
kx
x
=
+
−
是关于x 的一次函数，
∴
2
0
k +
，
∴
2
k −．
9．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）已知：
(
)
2 8
3
k
y
x
k
−
=
+
−
是y 关于x 的一次函数，则k =________．
【答案】3
±
【难度】0.75
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【详解】解：由一次函数的定义得
2
8
1
k −
= ,解得
3
k = ．
10．（25-26 八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数
2
(
1)
(
2)
(
5)
y
n
x
n
x
n
=
+
+
−
+
+
．
(1)当n 为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当
4
3
x =
的函数值．
【答案】(1)当
1
n = −时，函数是一次函数
(2)0
【难度】0.75
【知识点】根据一次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值
【分析】（1）根据一次函数的定义得到 1
0
n+ =
，且 2
0
n−
，求出n 即可；
（2）求出一次函数解析式，再把
4
3
x =
代入求解函数值．
【详解】（1）解：根据题意，得 1
0
n+ =
，且 2
0
n−
，
解得
1
n = −，
当
1
n = −时，函数
2
(
1)
(
2)
(
5)
y
n
x
n
x
n
=
+
+
−
+
+
是一次函数；
（2）将
1
n = −代入函数
2
(
1)
(
2)
(
5)
y
n
x
n
x
n
=
+
+
−
+
+
，
得
3
4
y
x
−
=
+
，
当
4
3
x =
时，得
4
3
4
0
3
y
= −
+
=
，
当
4
3
x =
的函数值为0 ．
11．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数
(
)
2 3
2
4
m
y
m
x
n
−
=
−
+
+
．
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(1)当m ，n 为何值时，y 是x 的一次函数？
(2)当m ，n 为何值时，y 是x 的正比例函数？
【答案】(1)
2
m = −，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数；
(2)当
2
m = −，
4
n = −时，y 是x 的正比例函数
【难度】0.62
【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数
【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“ x 的次数为1 且x 的系数不为0”
的要求列出条件，求解得到m 的值，n 无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增
加常数项为0 的条件，求解得到n 的值即可．
【详解】（1）解：若y 是x 的一次函数，需满足
2
3
1
2
0
m
m
−
=
−
由
2
3
1
m −
= 得
2
4
m =
，
解得
2
m =
或
2
m = −
由
2
0
m−
得
2
m
因此
2
m = −，此时n 可以为任意实数
即当
2
m = −，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数．
（2）解：若y 是x 的正比例函数，需满足 {
𝑚2 −3 = 1
𝑚−2 ≠0
4 + 𝑛= 0
解得{𝑚= −2
𝑛= −4
即当
2
m
−
=
，
4
n
−
=
时，y 是x 的正比例函数．
重难点三、求一次函数自变量或函数值
已知x 求y，直接将数值代入解析式，化简计算得到函数值；已知y 反求
x，把函数值代入式子，解一元一次方程得出自变量。计算结束后带回原式验算，实际应
用题还要核对自变量取值范围，超出范围的解直接舍去，保证取值有实际意义。
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1．（25-26 八年级下·江西上饶·期末）点(
)
2,m 在一次函数
3
1
y
x
=
−的图象上，则m 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】若点在一次函数图象上，则点的横纵坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出
纵坐标m 的值.
【详解】解：∵ 点(
)
2,m 在一次函数
3
1
y
x
=
−的图象上，
∴ 将
2
x =
代入
3
1
y
x
=
−，可得
3 2 1
5
m = −=
，
因此m 的值为5．
2．（25-26 八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数
2
1
y
x
=
−，下列各点在函数
2
1
y
x
=
−的图象上
的是（ ）
A．(
)
2.5,4
−
B．(
)
1,3
C．(
)
2.5,4
D．(
)
3,2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析
式，将各选项点的横坐标代入解析式计算出y 值，和点的纵坐标对比即可得到答案.
【详解】将各选项坐标依次代入
2
1
y
x
=
−验证：
选项A，把
2.5
x = −
代入得
(
)
2
2.5
1
6
y =
−
−= −，
6
4
−
，该点不在函数图象上；
选项B，把
1
x = 代入得
2 1 1
1
y =
−= ，1
3
，该点不在函数图象上；
选项C，把
2.5
x =
代入得
2 2.5 1
4
y =
−=
，
4
4
=
，该点在函数图象上；
选项D，把
3
x = 代入得
2 3 1
5
y =
−=
，
5
2
，该点不在函数图象上．
3．（25-26 八年级下·山东德州·期末）
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
是一次函数
2
y
x
m
=
+
图象上的不同的两点，
则（ ）
A．(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
B．(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
=
C．(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
D．(
)(
)
1
2
1
2
x
x
y
y
−
−
的符号无法判断
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【答案】A
【难度】0.75
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号．
【详解】解：∵
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
是一次函数
2
y
x
m
=
+
图象上不同的两点，
∴
1
1
2
y
x
m
=
+
，
2
2
2
y
x
m
=
+
，
∴
(
) (
)
(
)
1
2
1
2
1
2
2
2
2
y
y
x
m
x
m
x
x
−
=
+
−
+
=
−
，
∴(
)(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
x
x
y
y
x
x
x
x
x
x
−
−
=
−
−
=
−
，
∵A、B 是不同两点，
∴
1
2
x
x
，
∴(
)
1
2
2
0
x
x
−
，
∴(
)
2
1
2
2
0
x
x
−
，
即(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
．
4．（25-26 八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若点(
)
,2
P m
在一次函数
1
y
x−
=
的图象上，则m = ______．
【答案】3
【难度】0.95
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】已知点在一次函数图象上，把点(
)
,2
P m
代入
1
y
x−
=
，列一元一次方程求解m 的值．
【详解】解：将点(
)
,2
P m
代入
1
y
x−
=
，得2
1
m
=
−，
解得
3
m =
．
5．（25-26 八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点(
)
,
m n 在函数
1
1
2
y
x
=
+ 的图象上，则代数式2
4
1
m
n
−
−的
值是______．
【答案】5
−
【难度】0.85
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值
【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点(
)
,
m n 代入函数解析式，得到m 与n 的关系
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式，再整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：点(
)
,
m n 在函数
1
1
2
y
x
=
+ 的图象上，
将
,
x
m y
n
=
=
代入解析式得：
1
1
2
n
m
=
+ ，
整理得：
2
2
m
n
−
= −，
∴
(
)
2
4
2
2
4
m
n
m
n
−
=
−
= −，
代入2
4
1
m
n
−
−得：2
4
1
4 1
5
m
n
−
−= −−= −．
6．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）根据图中的程序，当输入
4
x = 时，输出结果y =____．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】程序流程图与代数式求值、求一次函数自变量或函数值
【详解】解：输入
4
x = ，且4
2
，
应选择
5
y
x
−
=
+ 进行计算，
4
5
1
y
= −+
= ．
7．（25-26 八年级下·河南驻马店·期末）定义：对于给定的一次函数y
kx
b
=
+
（k，b 为常数，且
0
k
），把形如
(
)
(
)
0
0
kx
b x
y
kx
b x
+
= −
+
的函数称为一次函数y
kx
b
=
+
的“衍生函数”．已知一次函数
3
6
y
x
=
−
，若点
(
)
,2
1
P m
m −
在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m 的值为_____________．
【答案】5或1
−
【难度】0.56
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查新定义分段函数的求值问题，先根据题目给出的“衍生函数”定义写出一次函数
3
6
y
x
=
−
的衍生函数，再根据点P 横坐标m 的取值范围分两种情况代入计算，验证解的合理性后即可得
到m 的值.
【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数
3
6
y
x
=
−
的“衍生函数”为
(
)
(
)
3
6
0
3
6
0
x
x
y
x
x
−
= −
−
，
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点
(
)
,2
1
P m
m −
在这个“衍生函数”的图象上，
分两种情况讨论：
当
0
m
时，将点坐标代入
3
6
y
x
=
−
得 2
1
3
6
m
m
−=
−
，
解得
5
m =
，满足
0
m
，符合题意.
当
0
m
时，将点坐标代入
3
6
y
x
= −
−
得 2
1
3
6
m
m
−= −
−
解得
1
m = −，满足
0
m
，符合题意.
综上：m 的值为5或1
−.
8．（25-26 八年级下·湖南张家界·期末）已知y 与
1
x + 成正比例关系，且当
2
x =
时，
6
y =
．
(1)求出y 与x 之间的函数解析式；
(2)若点
(
)
, 4
P a −
在这个函数的图象上，求a 的值．
(3)若y 的取值范围为4
4
y
−
，求x 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
y
x
=
+
(2)
3
a = −
(3) 3
1
x
−
【难度】0.65
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查正比例函数及一次函数．
（1）根据题意用待定系数法设
(
)
1
y
k x
=
+
，代入(
)
2,6 即可；
（2）将点
(
)
, 4
P a −
代入
2
2
y
x
=
+
即可得出a 的值；
（3）将y 的临界值4 与4
−分别代入
2
2
y
x
=
+
，即可得到x 的临界值，从而得到x 的取值范围．
【详解】（1）解：设
(
)(
)
1
0
y
k x
k
=
+
，
当
2
x =
时，
6
y =
，
(
)
6
2 1 k
=
+
∴
，解得
2
k =
，
(
)
2
1
2
2
y
x
x
=
+
=
+
∴
，
y 与x 之间的函数解析式为
2
2
y
x
=
+
；
（2）解：由（1）知，y 与x 之间的函数解析式为
2
2
y
x
=
+
，
把点
(
)
, 4
P a −
代入
2
2
y
x
=
+
，得4
2
2
a
−=
+
，
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解得
3
a = −；
（3）解：由（2）知，当
3
x
−
=
时，
4
y
−
=
，
当
4
y =
时，2
2
4
x +
=
，
解得
1
x = ，
当y 的取值范围为4
4
y
−
时，x 的取值范围为3
1
x
−
．
9．（25-26 八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点M ，给出如下定义：点M 到
x 轴、y 轴的距离中的较小值叫做点M 的短距，如果点P 和点Q 的短距相等，那么称两点为等距点．例
如点
(
)
2,5
P −
与点
(
)
4,2
Q −
为等距点．已知点A的坐标为
3 1
,
2
2
，如果点B 在直线
1
1
2
y
x
= −
+ 上，且
A、B 两点为等距点，求点B 的坐标．
【答案】1 3
,
2 4
或
1 5
,
2 4
−
或
1
1, 2
或
1
3,
2
−
．
【难度】0.65
【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值
【分析】根据定义可得点A 的“短距”为1
2 ，则点B 到x 轴的距离为1
2 或点B 到y 轴的距离为1
2 ，据此求出
点B 的坐标．
【详解】解：由题意得，点A的短距为1
2 ，
设
1
,
1
2
B x
x
−
+
，
∵A
B
、两点为等距点，
∴点B 到x 轴的距离为1
2 或点B 到y 轴的距离为1
2 ，
当
1
1
1
2
2
x
−
+
=
时，则
1
1
2
x
x
−
+ ，即
2
3
x
，
∴
1
1
1
2
2
x
−
+ =
或
1
1
1
2
2
x
−
+ = −
，
∴
1
x = 或
3
x = ，
当
1
x = 时，
1
1
1
2
2
x
−
+ =
，当
3
x = 时，
1
1
1
2
2
x
−
+ = −
，
∴
1
1, 2
B
或
1
3,
2
B
−
；
当
1
2
x =
时，则
1
1
2
x
x
−
+ ，即
2
3
x
时，
∴
1
2
x =
或
1
2
x = −
，
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当
1
2
x =
时，
1
3
1
2
4
x
−
+ =
，当
1
2
x = −
时，
1
5
1
2
4
x
−
+ =
，
∴
1 3
,
2 4
B
或
1 5
,
2 4
B
−
；
综上，点B 的坐标1 3
,
2 4
或
1 5
,
2 4
−
或
1
1, 2
或
1
3,
2
−
．
重难点四、列一次函数解析式并求值
实际应用题先梳理题干等量关系，梳理两个变量间的数量联系，结合
y=kx+b(k≠0，k、b 为常数）列出解析式，写完标注自变量取值范围。若给出两组对应数
值，用待定系数法，代入坐标构建二元一次方程组，解出k、b，得到完整解析式后，再
代入数值完成求值计算。
1．（26-27 八年级下·甘肃平凉·期末）阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，
若每台饮水机800 元，安装费一次性收取1000 元，则所需总金额y （元）与购买台数x （台）之间的关
系式为（ ）
A．
800
y
x
=
B．
1800
y
x
=
C．
800
1000
y
x
=
+
D．
1000
800
y
x
=
+
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】列一次函数解析式并求值
【分析】总金额等于购买饮水机的总费用加上固定的一次性安装费．
【详解】解：∵每台饮水机800 元，购买x 台饮水机的费用为800x 元，安装费为一次性固定收取1000
元，
∴总金额y 与购买台数x 之间的关系式为
800
1000
y
x
=
+
．
2．（25-26 八年级下·河北承德·期末）水池原有水300 L ，水匀速从排水管排出，12 min 全部排完．剩余
水量
( )
L
Q
与排水时间(
)
min
t
的函数解析式和自变量取值范围正确的是（ ）．
A．
(
)
25
300 0
12
Q
t
t
= −
+
B．
(
)
25
300 0
300
Q
t
t
= −
+
C．
(
)
25
300 0
12
Q
t
t
=
+
D．
(
)
25
300 0
12
Q
t
t
= −
−
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【答案】A
【难度】0.85
【知识点】列一次函数解析式并求值
【分析】先计算每分钟排水速度，再根据剩余水量等于原有水量减去排出水量得到函数解析式，最后根
据实际意义确定自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵水池原有水300 L ，12min全部排完，
∴每分钟排水量为 300
25L
12 =
，
∵剩余水量Q = 原有水量
t
−分钟排出的水量，
∴
300
25
Q
t
=
−
，整理得
25
300
Q
t
= −
+
，
又∵排水时间t 最小为0 ，最多12min排完全部水，
∴自变量t 的取值范围为0
12
t
，即函数解析式为
(
)
25
300 0
12
Q
t
t
= −
+
．
3．（25-26 八年级上·陕西西安·期中）子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中
有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（ ）
x
…
3
−
2
−
1
−
0
1
…
y
…
14
11
8
5
3
…
A．(
)
1,3
B．(
)
0,5
C．(
)
1,8
−
D．(
)
2,11
−
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】列一次函数解析式并求值
【分析】根据一次函数的性质可求出x 的值每增加1，y 的值就增加k，再结合表格中的数据可得答案．
【详解】解：设该一次函数的解析式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
当x
a
=
时，y
ka
b
=
+
，
当
1
x
a
=
+ 时，
(
)
1
y
k a
b
ka
b
k
=
+
+
=
+
+
，
∵
(
)
ka
b
k
ka
b
k
+
+
−
+
=
，
∴x 的值每增加1，y 的值就增加k，
由表格可知，当3
0
x
−
时，x 的值每增加1，y 的值就减少3，
而
1
x = 时的函数值相对于
0
x =
时的函数值减少2，
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∴点(
)
1,3 不在该一次函数的图象上，
故这组错误的数据是(
)
1,3 ．
故选：A．
4．（24-25 八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯
中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始
记数，水面高度h 与投入的石子个数x 之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系
B．一次函数关系
C．反比例函数关系
D．其他函数
关系
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】列一次函数解析式并求值
【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，
可以得到
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，即可得出结论．
【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x 枚石子后水面高度为y，
则
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，符合一次函数解析式，
故选B．
5．（10-11 八年级上·江苏·阶段检测）我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入高于800 元但不超
过1300 元的部分征收5%的所得税……如某人某月收入1160 元，他应缴个人工资薪金所得税为
(
)
1160
800
5%
18
−
=
（元）
①当月收入大于800 元而又小于1300 元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式
______；
②某人某月收入为960 元，他应缴所得税______元；
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③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是______元．
【答案】
(
)
0.05
40 800
1300
y
x
x
=
−
8 1184
【难度】0.85
【知识点】求一次函数自变量或函数值、列一次函数解析式并求值、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值和自变量的值，解题的关键是求出一次函数解析式．
①根据所得税的计算方法，超过800 元的部分乘以5%，即可写出函数解析式；
②把
960
x =
代入函数解析式即可求得；
③把
19.2
y =
代入函数解析式即可求得x 的值即可．
【详解】①解：根据题意得：
(
)
(
)
800
5%
0.05
40 800
1300
y
x
x
x
=
−
=
−
，
即应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式为：
(
)
0.05
40 800
1300
y
x
x
=
−
；
故答案为：
(
)
0.05
40 800
1300
y
x
x
=
−
；
②当
960
x =
时，
0.05 960
40
8
y =
−
=
，
即他应缴所得税8 元；
故答案为：8；
③当
1300
x =
时，
0.05 1300
40
25
19.2
y =
−
=
，
∴800
1300
x
，
当
19.2
y =
时，0.05
40
19.2
x−
=
，
解得：
1184
x =
，
即此人本月工资、薪金1184 元．
故答案为：1184．
6．（25-26 六年级下·山东烟台·期末）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构
成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与
双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为cm
x
，单层部分
的长度为cm
y
．经测量，得到下表中数据．
双层部分长
(
)
x cm
0
2
8
14
20
单层部分长度
152
148
136
a
112
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(
)
y cm
(1)a = ；
(2)根据表中数据规律，试写出y 与x 之间的表达式；
(3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为120cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度．
【答案】(1)124
(2)
2
152
y
x
= −
+
(3)32cm
【难度】0.62
【知识点】列一次函数解析式并求值
【分析】（1）观察表格可得，双层部分长度每增加1cm，单层部分长度就减少2cm ，由此计算即可得出
结果；
（2）由表格可知，单层部分长度最长为152cm ，双层部分长每增加1cm，单层部分长度就减少2 cm ，则
当双层部分长增加cm
x
时，单层部分长度就减少2 cm
x
，由此即可得出结果；
（3）设双层部分的长度为cm
b
，则单层部分长度为(
)
2
152 cm
b
−
+
，根据背带的长度等于单层部分与双层
部分长度的和，列出关于b 的一元一次方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加1cm，单层部分长度就减少2cm ，
∴
(
)
136
14
8
2
124
a =
−
−
=
；
（2）解：由表格可知，单层部分长度最长为152cm ，双层部分长每增加1cm，单层部分长度就减少
2 cm ，则当双层部分长增加cm
x
时，单层部分长度就减少2 cm
x
，
∴
152
2
y
x
=
−
，
即y 与x 之间的关系式为
2
152
y
x
= −
+
．
（3）解：设双层部分的长度为cm
b
，则单层部分长度为(
)
2
152 cm
b
−
+
，
背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，
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(
)
2
152
120
b
b
+ −
+
=
∴
，
解得
32
b =
，
故此时双层部分的长度32cm．
7．（25-26 八年级下·全国·课后作业）小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介
绍当地山区地理环境时说，海拔每增加100m，气温下降0.6℃．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，
气温为34℃．试写出山上气温T（℃）与该处距山脚垂直高度h（m ）之间的函数关系式．当小华乘缆车
到达山顶时，发现温度为29.8℃，求山高．
【答案】函数关系式为
(
)
34
0.006
0
T
h h
=
−
，山高为700m
【难度】0.75
【知识点】列一次函数解析式并求值
【分析】先求出每升高1m ，气温下降0.006℃，再根据山上气温T 等于山脚气温减去高度h 对应的总降温
求出函数关系式，将
29.8
T =
℃代入函数关系式计算即可．
【详解】解：已知海拔每增加100m，气温下降0.6℃，
因此每升高1m ，气温下降0.6
0.006
100 =
℃．
山脚气温为34℃，山上气温T 等于山脚气温减去高度h 对应的总降温，
因此函数关系式为：
(
)
34
0.006
0
T
h h
=
−
，
将山顶温度
29.8
T =
℃代入函数关系式得：29.8
34 0.006h
=
−
，
解得
m
4.2
0.0
0
06
70
h =
=
．
8．（24-25 八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有
甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620 元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲
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旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20 人，每人都按九折收费，超过20
人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x 人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y 与x 之间的函数关系式；
(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取
总费用较少的一家．
【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用y 与x 之间的函数关系式为
620 0.85
527
y
x
x
=
=
甲
，乙旅行
社收取组团两日游的总费用y 与x 之间的函数关系式为
(
)
(
)
558
0
20
465
1860
20
x
x
y
x
x
=
+
乙
；
(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，选择乙旅行社．
【难度】0.65
【知识点】列一次函数解析式并求值
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意．
（1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式；
（2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
甲旅行社收取组团两日游的总费用
620 0.85
527
y
x
x
=
=
甲
当0
20
x
时，乙旅行社收取组团两日游的总费用
620 0.9
558
y
x
x
=
=
乙
，
当
20
x
时，乙旅行社收取组团两日游的总费用
(
)
620 0.9 20
620 0.75
20
465
1860
y
x
x
=
+
−
=
+
乙
，
∴乙旅行社收取组团两日游的总费用
(
)
(
)
558
0
20
465
1860
20
x
x
y
x
x
=
+
乙
，
答：甲旅行社收取组团两日游的总费用y 与x 之间的函数关系式为
620 0.85
527
y
x
x
=
=
甲
，乙旅行社收取
组团两日游的总费用y 与x 之间的函数关系式为
(
)
(
)
558
0
20
465
1860
20
x
x
y
x
x
=
+
乙
．
（2）解：当
32
x =
时，
甲旅行社收取总费用
527 32
16864
y =
=
甲
（元）
乙旅行社收取总费用
465 32 1860
16740
y =
+
=
乙
（元）
∵16864
16740
，
∴乙旅行社收取总费用较少，
答：若王老师组团参加两日游的共有32人，选择乙旅行社．
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