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重难点专题 勾股定理的逆命题
模块一、直角三角形的判断
重难点一、勾股树（数）问题
熟记基础勾股数（3,4,5；5,12,13 等），其正整数倍仍是勾股数。判断时
先排序三边，验证短边平方和是否等于长边平方。看到倍数型边长直接套用基础勾股数快
速判定，排除含小数、非整数的伪勾股数组，节省计算时间。
1．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是
否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕
达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（ ）
A．天元术
B．正负术
C．勾股定理
D．杨辉三角
2．（25-26 八年级下·安徽阜阳·阶段检测）根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11 世纪，
人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（ ）
A．2 ，3，4
B．3，4 ，5
C．4 ，5，6
D．6 ，7 ，10
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3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由
正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点
AB ，CD，则线段CD的长是（ ）
A．13
B．2 5
C．
21
D．
29
4．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的
纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（ ）
A．
2
7 ，
2
24 ，
2
25
B．7 ，24 ，26
C．0.7 ，2.4，2.5
D．14，48 ，50
5．（2026·重庆·模拟预测）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个
数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有3 个正方形，第二代勾股树中有7 个正方形，第三代勾股
树中有15 个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（）
A．15
B．31
C．63
D．127
6．（24-25 八年级下·山东潍坊·期中）满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的三个正整数组成的数组(
)
, ,
a b c 叫做勾股数
组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜
边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组(
)
3,4,5 ，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：(
)
5,12,13 ，
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(
)
7,24,25 等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现：
勾股数组(
)
, ,
a b c
(
)
3,4,5
(
)
5,12,13
(
)
7,24,25
…
股与弦的和：b
c
+
9
25
49
…
股b
9
1
2
−
25 1
2
−
49
1
2
−
…
弦c
9 1
2
+
25
1
2
+
49
1
2
+
…
通过观察分析，回答下列问题：
(1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145）
(2)猜想：若m 表示比1 大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（m ，______，______）；
(3)请证明（2）中的猜想．
7．（24-25 八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题．
勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
的三个正整数a，b，c．其中a 和b 是直
角三角形的两条直角边长，c 是斜边长．
勾股数可以通过以下公式生成：
2
2
a
m
n
=
−
，
2
b
mn
=
，
2
2
c
m
n
=
+
，其中m 和n 都是正整数，且
m
n
．
例如，当
2
m =
，
1
n = 时，
2
2
2
1
3
a =
−
=
，
2 2 1
4
b = =
，
2
2
2
1
5
c =
+
=
．因此，(3,4,5) 是一组勾股
数．
(1)使用勾股数生成公式，当
4
m =
，
1
n = 时，求对应的勾股数( , , )
a b c ．
(2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数(5,12,13) ，请你计算他代入的正整数m 和(
)
n m
n
的
值．
8．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道(
)
4,3,5 ，(
)
6,8,10 ，(
)
8,15,17 ，…都是
勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：4
2 2
= ，
2
3
2
1
=
−；6
2 3
= ，
2
8
3
1
=
−；8
2 4
= ，
2
15
4
1
=
−；…分析其中的规律，解答下列问题．
(1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________．
(2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为2n （
2
n
，且n 为整数），另外两个数分别为
__________，__________时，则这三个数为勾股数．
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请你补充完整猜想并验证猜想．
9．（25-26 八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题．
主题
探索勾股数中的奇妙规律
提出问题
下面给出了四组勾股数：①(
)
3,4,5 ②(
)
5,12,13 ③(
)
7,24,25 ④(
)
8,15,17 ．问题1：请分别计
算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？
分析猜想
小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数．
推理证明
学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题：
若a 、b 、c 均为正整数，且
2
2
2
a
b
c
+
=
．则a
b
c
+ + 是偶数．
证明：（ⅰ）当a 、b 均为偶数时，设
2
a
m
=
，
2
b
n
=
（m 、n 为正整数）
则：
2
2
2
c
a
b
=
+
= ①
2
2
2
c
m
n
=
+
c
是正整数
2
2
m
n
+
是一个完全平方数
设
2
2
2
m
n
k
+
=
（k 是正整数），则
2
c
k
=
a
b
c
+ +
= ②
a
b
c
+ + 是偶数．
（ⅱ）当a 、b 均为奇数时，
设
2
1
a
m
=
+ ，
2
1
b
n
=
+ ，（m 、n 为非负整数），则：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
4
2
c
a
b
m
n
m
m
n
n
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
∵完全平方数除以4 的余数只能是0 或1
2c
不是完全平方数，这与c 是正整数相矛盾，
∴a 、b 不能均为奇数．
（ⅲ）当a 、b 为一个奇数一个偶数时，
不妨设
2
a
m
=
，
2
1
b
n
=
+ ，（m 为正整数，n 为非负整数）……
问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
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(3)解决问题2．
10．（25-26 八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
本身就是一个关于a 、b 、c 的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解
(
)
, ,
a b c 通常叫做勾股数，如：(
) (
)
3,4,5 , 5,12,13 ．
下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y 是正整数，且x
y
）：
x
y
2
2
x
y
−
2xy
2
2
x
y
+
2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
5
a
41
…
…
…
…
…
(1)a = ；
(2)求证：(
)
2
2
2
2
,2
,
x
y
xy x
y
−
+
是勾股数；
(3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用
2
5
2
1
n
n
+
+ （n 为正整数且
1
n ）表示勾股数中最大的一个
数，则另外两个数的表达式为 ， ．
11．（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式
2
2
2
a
b
c
+
=
的a，b，c 是三个正整数，我们称a，
b，c 为勾股数．
(1)已知m，n 是正整数且m
n
，证明：
2
a
mn
=
，
2
2
b
m
n
=
−
，
2
2
c
m
n
=
+
是勾股数．
(2)请写出任意一组含有68 的“勾股数”： ．
12．（25-26 八年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究
定义：一般地，若直角三角形三边长a
b
c
、、都是正整数，那么称a
b
c
、、为勾股数．
设m
n
、是两个正整数，且m
n
，直角三角形三边长a
b
c
、、都是正整数．下表中的a ，b ，c （a
b
、均
小于c ）可以组成一些有规律的勾股数．
m
n
a
b
c
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2
1
3
4
5
3
1
8
6
10
3
2
5
12
13
4
1
15
8
________
4
2
12
_________
20
4
3
________
24
25
(1)请补全表中的勾股数．
(2)对表中的数据探究发现，
2
2
a
m
n
=
−
，继续探究发现b 和c 也可以用含m
n
、的代数式表示．请你用含
m
n
、的代数式分别表示b
c
、，然后证明
2
2
2
a
b
c
+
=
．
(3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为a 米、b 米、c 米，且
a
b
c
、、满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花
之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花．
重难点二、判断三边能否构成直角三角形
先把三边长度从小到大排序，设最长边为 c，计算a
2+b
2与c
2对比，相等则
为直角三角形，不等则不是。优先平方大数，避免小数计算出错；边长含根号时先平方去
根号，简化等式验算。
1．（25-26 八年级下·新疆昌吉·期中） 几何学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形，下列给出的四
组边长数据，能够构成直角三角形的是（ ）
A．4,5,7
B．6,8,10
C．5,6,9
D．7,8,11
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2．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是
15cm、20cm 、25cm，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是
（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于180
D．勾股定理
3．（25-26 八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A 在海岛O 的北偏西40，6nmile 处，遇险渔船
B 与海警舰艇A 相距10nmile ，渔船B 与海岛O 相距8nmile，则渔船B 在海岛O 的（ ）
A．北偏东40
B．北偏东50
C．东偏北60
D．东偏北70
4．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正
确的是（ ）
A．长分别为2a，2b ，2c的三条线段一定能组成一个直角三角形
B．长分别为
2
a+
，
2
b+ ，
2
c +
的三条线段一定能组成一个直角三角形
C．长分别为a ，b ，
c 的三条线段一定能组成一个直角三角形
D．长分别为
2
a ，
2
b ，
2
c 的三条线段一定能组成一个直角三角形
5．（25-26 八年级下·全国·暑假作业）以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的
有（ ）
①7，24，25； ②
2
1
n −，2n ，
2
1(
1)
n
n
+
；
③
2
2
2
n
n
+
，
2
2
2
1
n
n
+
−，2
1
n+ ； ④1，2 ，3 ．
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
6．（25-26 八年级下·全国·周测）给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，
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10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有
____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号）
7．（25-26 八年级下·安徽淮南·阶段检测）某社区计划对一处Rt
ABC
△
地块进行绿化改造，如图，已知
90 ,
5,
13
ACB
AC
AB
=
=
=
．规划在地块内设置休闲区，其中ACD
区域作为活动空间，测得
4,
3
AD
CD
=
=
．
(1)判断ACD
的形状，并说明理由；
(2)求阴影绿化区域的面积．
8．（2026·北京丰台·二模）下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用．
尺规完成作图
．．．．．．，并将证明过程补充完整．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三角形是直角三角形．
已知：在ABC
中，BC
a
= ，AC
b
=
，AB
c
=
，且
2
2
2
a
b
c
+
=
．
求证：ABC
是直角三角形．
证明：作
90
MC N
=
，在C M
上截取C B
a
=
，C N
上截取C A
b
=
，连接A B
．
2
2
2
A B
B C
A C
=
+
（________）（填推理的依据），
即
2
2
2
A B
a
b
=
+
．
________（已知），
A B
c
= ．
在ABC
和
A B C
△
中，
BC
a
B C
=
=
，AC
b
A C
=
=
，________，
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ABC
A B C
△
≌△
（________）（填推理的依据）．
'
90
C
C
=
=
，即ABC
是直角三角形．
9．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就
尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如
图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小
正方形组成的，其中c 是直角三角形的斜边，a，b 分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方
法，给出了勾股定理的详细证明．
(1)请利用图①证明勾股定理；
(2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD的面
积为
1S ，正方形EFGH 的面积为
2
S ，正方形MNXT 的面积为
3
S ，若正方形EFGH 的边长为4，求
1
2
3
S
S
S
+
+
的值；
(3)如图③，若正方形ABCD的边长为10，
8,
6
AG
CH
BG
DH
=
=
=
=
，连接GH ，求GH 的长．
10．（25-26 八年级下·重庆·期中）如图1，四边形ABCD中，
90
ABC
ADC
=
=
，分别以线段AB ，
BD，CD，AC 边向外作正方形，正方形的面积分别为
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S ，连接AC ，利用勾股定理可以
得到：
1
2
3
4
S S
S
S
+
=
+
．根据材料提示完成下列问题：
(1)如图2，AD是ABC
中BC 边上的高，分别以线段AB ，BD，CD，AC 为边向外作正方形，正方形
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的面积分别为
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S ，请写出
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S 的等量关系___________；
(2)如图3，在ABC
中，
2
AB =
，
2 3
AC =
，点D 是BC 上一点，且
4
BC
BD
=
，若AD
BC
⊥
，求证：
ABC
是直角三角形；
(3)如图4，在ABC
中，分别以线段AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，正方形的面积分别17 24
，，49 ，
试求出ABC
的面积．
重难点三、在网格中判断直角三角形
用网格横向、纵向格数，勾股定理算出三边长度平方，再验证两短边平方和
等于最长边平方。 不用算出边长，直接比较平方值；也可观察两边横竖线段垂直，快速
直观判定直角。
1．（2021·福建厦门·二模）三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角
形．在8 8
的网格图中，若ABC
为网格直角三角形，则满足条件的C 点个数有（ ）
A．6
B．7
C．13
D．15
2．（22-23 九年级上·广东梅州·阶段检测）已知：如图，在方格图中
AOB
=_____________．
3．（23-24 七年级上·山东烟台·期中）ABC
是网格纸中的格点三角形，试判断该三角形的形状，并求其
面积．
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4．（23-24 九年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个5 5
的网格，每个小正方形的边长均为1．
(1)在图1 中，画一个以AB 为一边的等腰直角三角形．
(2)在图2 中，用一把无刻度直尺，在线段AB 中作出一点C ，使得
2
AC
BC
=
，并保留作图痕迹．
5．（25-26 七年级上·江苏·期末）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点, ,
A B C 在正
方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题：
(1)确定一个格点D，画直线CD，使得CD垂直AB ；
(2)画射线DB，则DB与AC 所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）；
(3)画线段AD，则四边形ACBD的面积是__________．
6．（23-24 九年级下·四川广元·开学考试）已知在7×7 的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方
形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
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(1)如图1，AB 与CD交于点 M；
①找格点 E，使 DE
AB
=
；
②直接写出
AMC
的度数 ．
(2)如图2，点A、B、C 均在格点上，依照（1）中方法在AB 上作点 M，使
45
CMA
=
．
7．（21-22 八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1 的网格中，线段AB 的两个端
点均在格点（正方形的顶点）上．
(1)线段AB 的长为__________；
(2)若ABC
是直角三角形，则网格中满足条件的格点C 共有__________个．
(3)在网格中以AB 为边所作格点菱形（菱形的四个顶，点都在格点上）的面积最小值为__________．
8．（2021·吉林长春·二模）如图，网格中有一条线段AB ，点A、B 都在格点上，网格中的每个小正方形
的边长为1．请在图①和图②中各画出一个格点ABC
，使ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
，并满
足以下要求：
（1）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）．
（2）在图②中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）．
（3）满足（1）、（2）的ABC
共有 个．
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模块二、勾股定理的逆定理
重难点一、利用勾股定理的逆定理求解
已知三边长，排序后验证a
2+b
2=c
2，成立则最长边对角为直角，结合直角性
质求面积、角度。 遇线段、三角形证明直角，优先用逆定理计算边长平方，比角度推导
更简便。
1．（24-25 八年级上·河北保定·阶段检测）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为
0.9dm,1.2dm,1.5dm ，则三角形零件的面积是（ ）
A．
2
1.35dm
B．0.9
2
dm
C．0.75
2
dm
D．0.54
2
dm
2．（25-26 九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片
O
，圆周被n 等分，等分点分别为
1
2
3
,
,
,
,
n
A A A
A
，
圆形纸片的部分示意图如图所示，若
O
的半径是2，弦
3
2 2
n
A A =
，则n =（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
3．（24-25 八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在ABC
中，CD
AB
⊥
于点D，
,
,
,
BC
a AC
b AB
c CD
h
=
=
=
=
，下列结论中，正确的是（ ）
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①当
2
2
2
a
b
c
+
=
时，则
90
ACB
=
．
②当
90
ACB
=
时，则a
b
c
h
+
= +
．
③当
90
ACB
=
时，则
2
2
2
1
1
1
a
b
h
+
=
．
④当
90
ACB
=
时，则ab
ch
=
．
A．①②
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
4．（24-25 八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变
形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB 和BC 的长分别为2.4m和1m，又测得点A 与点C 间的
距离为2.6m，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）．
5．（22-23 八年级下·湖北襄阳·期末）学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是8m ，17m，
15m，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50 元/
2
m ，绿化这块空地需要
______元．
6．（23-24 八年级下·陕西商洛·期末）如图，有一块三角形花圃ABC ，其中
80m,
60m,
100m
AB
AC
BC
=
=
=
，现要沿DE 搭建一条隔断，把花圃分成两个区域分别种植不同的花卉，
点D、E 分别在AB
AC
、
上，
60m,
20m
BD
CE
=
=
，请求出隔断DE 的长．
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7．（23-24 八年级上·河南洛阳·期末）某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了
精心设计．如图，四边形ABCD为休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿
插了氢能源环保电动步道AC ．经测量
9
AB = ，
12
BC =
，
8
CD =
，
17
AD =
．
(1)求氢能源环保电动步道AC 的长；
(2)证明：AC
CD
⊥
．
8．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示
意图如图所示，经测量得
0.6m
AB =
，
0.8m
BC =
，
2.6m
CD =
，
2.4m
AD =
，
90
CAD
=
．
(1)求AC 的长度；
(2)施工图纸上标明安装时
ABC
要为90，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求．
9．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）用一根长为24m 的绳子围成ABC
，已知
10m,
6m
AB
BC
=
=
．
(1) AC 的长为_____ m ．
(2)求点A到BC 的距离．
10．（25-26 八年级上·重庆·阶段检测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公
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式，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则其中三角形的面积
2
2
2
2
2
2
1
4
2
a
b
c
S
a b
+
−
=
−
.此公式与
古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么其三角形的面积
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
−
−
−
=
，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．
(1)如图1，若ABC
的三边长依次为
5
BC
a
=
= ，
6
AC
b
=
=
，
7
AB
c
=
=
．请利用以上公式（任选一
个），求该三角形的面积S；
(2)如图2 ，在四边形ABCD中，
90
B
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
13
CD =
，
12
AD =
，求该四边形的面积．
11．（25-26 八年级上·四川成都·阶段检测）第12 届世界运动会于2025 年8 月7 日至8 月17 日在四川成
都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道
进行修整．绿道分布具体如下：已知
16km
AB =
，
20km
AC =
，
13km
BD =
，点B 在点C 的正西方向，
点D 在点C 的正北方5km处．
(1)试判断AB 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A 飞到D，求线段AD的长度．
12．（21-22 八年级上·河北石家庄·期末）【问题情境】上课时，小明用4 张全等的直角三角形纸片拼成
如图1 的正方形．
（1）利用此图可以验证勾股定理吗？如果可以，请写出验证过程，如果不可以，请说明理由；
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【灵活运用】
（2）现将图1 中上方的两个直角三角形向内折叠，如图2，若
4
a =
，
6
b =
，此时空白部分的面积为 ；
（3）用三张正方形纸片，按如图3 所示方式构成图案，下面是三张正方形纸片面积的选取情况，若要使
所围成的三角形是直角三角形，可以选取 ；(填序号)
①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5．
13．（24-25 八年级下·福建南平·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E 是AB 的中点，点F 是边AD上
的一点，且
1
2
AF
AE
=
，连接CE 、EF ．
(1)求证：CE
EF
⊥
；
(2)如图2，将AEF
沿EF 翻折，得到GEF
，其中，点G 是点A 的对应点．
①连接CG ，求证：C、G、F 三点在同一条直线上；
②如图3，连接BG ，请直接写出线段BG 与线段CE 的数量关系．
14．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直
角三角形且使其周长恰好等于线段的长”．
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(1)如图1，已知线段
12
AB =
，小明在线段AB 上取点M 和N ，使得
1
4
AM
AB
=
，
1
3
MN
AB
=
，再将线段
AM ，MN ，BN 围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形；
(2)如图2，点P 为线段AB 上一点，请在线段BP上作点Q ，使AP ，PQ ，
(
)
QB PQ
QB
恰好能构成一个
直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)已知正方形A、正方形B 的边长分别为有理数m 、有理数n ，且满足1
1
2
m
n
+
，(
)(
)
1
1
1
2
m
n
−
−
=
，
若正方形C 的面积等于正方形A和正方形B 的面积之和，求证：正方形C 的边长也是有理数．
重难点二、勾股定理逆定理的拓展问题
结合折叠、动点、四边形分割，拆分图形求出各边平方，用逆定理判定隐藏
直角，再结合面积、线段长计算。不规则图形拆分为三角形，标记各段边长，统一用平方
运算，减少开方带来的计算误差。
1．（20-21 八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长a ，b ，和斜边
长c 都是含三个未知数的方程
2
2
2
x
y
z
+
=
的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）
都是这个方程的正整数解．高于二次的方程
3
3
3
x
y
z
+
=
，
4
4
4
x
y
z
+
=
，
5
5
5
x
y
z
+
=
，…是否也有正整数解
呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数
3
n
时，方程
n
n
n
x
y
z
+
=
没有正整数解．这个命题的
证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995 年完成了证明．困扰了数学家300
多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不
屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（ ）
A．费马大定理
B．怀尔斯大定理
C．勾股定理
D．勾股定理的逆定理
2．（21-22 八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M 在N 的左侧）把线段AB 分割成
AM，MN，NB．若以AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N 是线段AB 的购股分
割．
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(1)已知M、N 把线段AB 分割成AM，MN，BN，若
1.5
AM =
，
2.5
MN =
，
2.0
BN =
，则点M、N 是线段
AB 的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N 是线段AB 的勾股分割点，且AM 为直角边，若
30
AB =
，
5
AM = ，求BN 的长．
3．（22-23 八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路AB 旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路
AB 上的D 处建一座桥梁到达C 处，已知点C 与公路上的停靠站A 的直线距离为9km，与公路上另一停
靠站B 的直线距离为12km，公路AB 的长度为15km，且CD
AB
⊥
．
(1)求证：AC
BC
⊥
；
(2)求修建的桥梁CD的长．
4．（21-22 八年级下·河南省直辖县级单位·期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16 页介绍
了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积为
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．
【解决问题】：已知在ABC
中，
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
．
(1)请你用“海伦—秦九韶公式”求ABC
的面积．
(2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求ABC
的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
5．（25-26 八年级上·江苏泰州·期中）已知：
2
1
a
n
=
+ ，
2
b
n
=
，
2
1
c
n
=
−．
(1)当
299
n =
时，a
b
+
的值等于______．（结果用科学记数法表示）
(2)当
4
n =
时，以a，b，c 的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案）
(3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n 取大于1
的整数时，a，b，c 为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由．
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6．（25-26 八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c 满足方程
2
2
2
a
b
c
+
=
，则称这一组正整数(
)
, ,
a b c
为“商高数”．下面列举5 组“商高数”：(
)
3,4,5 ，(
)
5,12,13 ，(
)
6,8,10 ，(
)
7,24,25 ，(
)
12,16,20 ，注意这5 组
“商高数”的结构有如下规律：
2
2
2
2
4
2 2 1,
3
2
1 ,
5
2
1 ;
=
=
−
=
+
2
2
2
2
12
2 3 2,
5
3
2 ,
13
3
2 ;
=
=
−
=
+
2
2
2
2
6
2 3 1,
8
3
1 ,
10
3
1 ;
=
=
−
=
+
2
2
2
2
24
2 4 3,
7
4
3 ,
25
4
3 ;
=
=
−
=
+
2
2
2
2
16
2 4 2,
12
4
2 ,
20
4
2
=
=
−
=
+
．
根据以上规律，回答以下问题：
(1)写出各数都大于30 的两组“商高数”；
(2)用两个正整数
, (
)
m n m
n
表示一组“商高数”，并证明你的结论．
7．（23-24 八年级下·福建莆田·阶段检测）定义：若a，b，c 是ABC
的三边，且
2
2
2
2
a
b
c
+
=
，则称
ABC
为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图，ABC
中，
120
ABC
=
，
45
ACB
=
，P 为AC 边上一点，将ABP
沿直线BP进行折叠，点
A 落在点D 处，连接CD，AD．若ABD
为“方倍三角形”，且
2
AP =
，求PDC
的面积．
