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重难点专题 勾股定理的逆命题
模块一、直角三角形的判断
重难点一、勾股树（数）问题
熟记基础勾股数（3,4,5；5,12,13 等），其正整数倍仍是勾股数。判断时
先排序三边，验证短边平方和是否等于长边平方。看到倍数型边长直接套用基础勾股数快
速判定，排除含小数、非整数的伪勾股数组，节省计算时间。
1．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是
否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕
达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（ ）
A．天元术
B．正负术
C．勾股定理
D．杨辉三角
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】勾股树（数）问题
【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成．
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2．（25-26 八年级下·安徽阜阳·阶段检测）根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11 世纪，
人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（ ）
A．2 ，3，4
B．3，4 ，5
C．4 ，5，6
D．6 ，7 ，10
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是
勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果．
【详解】∵A 选项，最大数为4 ，且
2
2
2
3
13
+
=
，
2
4
16
=
，13
16
，
∴A 不是勾股数；
∵B 选项，最大数为5，且
2
2
3
4
25
+
=
，
2
5
25
=
，25
25
=
，
∴B 是勾股数；
∵C 选项，最大数为6 ，且
2
2
4
5
41
+
=
，
2
6
36
=
，41
36
，
∴C 不是勾股数；
∵D 选项，最大数为10，且
2
2
6
7
85
+
=
，
2
10
100
=
，85
100
，
∴D 不是勾股数；
综上，选B．
3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由
正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点
AB ，CD，则线段CD的长是（ ）
A．13
B．2 5
C．
21
D．
29
【答案】D
【难度】0.65
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【知识点】勾股树（数）问题、以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形
【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正
方形的面积及边长，过点D 作DF
CE
⊥
交CE 的延长线于点F ，证明
(
)
AAS
ACE
DFE
≌
，得到
3
AC
EF
=
= ，
2
CE
DF
=
=
，再在Rt CDF
中，根据勾股定理计算CD即可．
【详解】解：如图，过点D 作DF
CE
⊥
交CE 的延长线于点F ，
由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和，
∴AC 为边长的正方形面积为
2
7
9
S
S
+
=
+
=
①
②
，边长
9
3
AC =
=
；CE 为边长的正方形面积为
1 3
4
S
S
+
= +
=
③
④
，边长
4
2
CE =
=
；
∵图形由正方形和直角三角形构成，
∴AE
DE
=
，
90
AED
ACE
F
=
=
=
，
∴
90
EDF
AEC
FED
=
=
−
，
∴
(
)
AAS
ACE
DFE
≌
，
∴
3
AC
EF
=
= ，
2
CE
DF
=
=
，
∴
3 2
5
CF
CE
EF
=
+
= +
= ，
∴Rt CDF
中，
2
2
2
2
2
5
29
CD
CF
DF
=
+
=
+
=
．
4．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的
纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（ ）
A．
2
7 ，
2
24 ，
2
25
B．7 ，24 ，26
C．0.7 ，2.4，2.5
D．14，48 ，50
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】勾股树（数）问题、判断三边能否构成直角三角形
【分析】勾股数是指满足
2
2
2
a
b
c
+
=
（c 为三个数中的最大数）的三个正整数，逐项判断即可．
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【详解】解：对于选项A：(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
7
24
334177
25
+
=
，故A 不满足勾股数的定义；
对于选项B：
2
2
2
7
24
625
26
+
=
，故B 不满足勾股数的定义；
对于选项C：0.7 ，2.4，2.5 都不是正整数，故C 不满足勾股数的定义；
对于选项D：
2
2
2
14
48
2500
50
+
=
=
，且14，48 ，50都是正整数，满足勾股数的定义，故D 正确．
5．（2026·重庆·模拟预测）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个
数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有3 个正方形，第二代勾股树中有7 个正方形，第三代勾股
树中有15 个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（）
A．15
B．31
C．63
D．127
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】图形类规律探索、勾股树（数）问题、用代数式表示数、图形的规律
【分析】由已知图形观察规律，结合有理数的乘方运算即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有
2
2
1
3
−= （个），
第二代勾股树中正方形有
3
2
1
7
−=
（个），
第三代勾股树中正方形有
4
2
1
15
−=
（个），
∴第四代勾股树图形中正方形的个数有
5
2
1
31
−=
（个）；
∴第五代勾股树图形中正方形的个数有
6
2
1
63
−=
（个）；
∴第六代勾股树图形中正方形的个数有
7
2
1
127
−=
（个）．
6．（24-25 八年级下·山东潍坊·期中）满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的三个正整数组成的数组(
)
, ,
a b c 叫做勾股数
组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜
边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组(
)
3,4,5 ，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：(
)
5,12,13 ，
(
)
7,24,25 等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现：
勾股数组(
)
, ,
a b c
(
)
3,4,5
(
)
5,12,13
(
)
7,24,25
…
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股与弦的和：b
c
+
9
25
49
…
股b
9
1
2
−
25 1
2
−
49
1
2
−
…
弦c
9 1
2
+
25
1
2
+
49
1
2
+
…
通过观察分析，回答下列问题：
(1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145）
(2)猜想：若m 表示比1 大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（m ，______，______）；
(3)请证明（2）中的猜想．
【答案】(1)60；61；17；144
(2)
2
1
2
m −，
2
1
2
m +
(3)
证明：
2
2
2
1
2
m
m
−
+
4
2
2
2
1
4
m
m
m
−
+
=
+
4
2
2
2
1
4
4
m
m
m
−
+ +
=
4
2
2
1
4
m
m
+
+
=
(
)
2
2
1
4
m +
=
2
2
1
2
m
+
=
，
∴
2
2
1
1
,
,
2
2
m
m
m
−
+
是勾股数组．
【难度】0.85
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键．
（1）观察表格可知
2
+
=
b
c
a ，
2
2
1
1
2
2
a
a
b
c
−
+
=
=
，
，据此求解即可；
（2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可；
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（3）求出
2
2
2
1
2
m
m
−
+
的结果，看是否与
2
2
1
2
m
+
相等即可．
【详解】（1）解：由表格可知
2
+
=
b
c
a ，
2
2
1
1
2
2
a
a
b
c
−
+
=
=
，
，
∴当
11
a =
时，
2
11
121
b
c
+
=
=
，
∴
121 1
121 1
60
61
2
2
b
c
−
+
=
=
=
=
，
；
当
145
c =
时，则
2
1
145
2
a +
=
，
∴
2
289
a =
，
∴
17
a =
或
17
a = −
（舍去），
289
1
144
2
b
−
=
=
；
（2）解：∵m 为最小的数，
∴另外两个数的和为
2
m ，
∴股为
2
1
2
m −，弦为
2
1
2
m + ；
（3）略
7．（24-25 八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题．
勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
的三个正整数a，b，c．其中a 和b 是直
角三角形的两条直角边长，c 是斜边长．
勾股数可以通过以下公式生成：
2
2
a
m
n
=
−
，
2
b
mn
=
，
2
2
c
m
n
=
+
，其中m 和n 都是正整数，且
m
n
．
例如，当
2
m =
，
1
n = 时，
2
2
2
1
3
a =
−
=
，
2 2 1
4
b = =
，
2
2
2
1
5
c =
+
=
．因此，(3,4,5) 是一组勾股
数．
(1)使用勾股数生成公式，当
4
m =
，
1
n = 时，求对应的勾股数( , , )
a b c ．
(2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数(5,12,13) ，请你计算他代入的正整数m 和(
)
n m
n
的
值．
【答案】(1)(15,8,17)
(2)
3
m =
，
2
n =
【难度】0.85
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键．
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（1）当
4
m =
，
1
n = 时，代入勾股数生成公式计算即可得解；
（2）由题意求出
6
mn =
，从而可得
6
m =
，
1
n = 或
3
m =
，
2
n =
，再结合题意验证即可得解．
【详解】（1）解：当
4
m =
，
1
n = 时，代入勾股数生成公式，
得
2
2
4
1
15
a =
−
=
，
2 4 1
8
b =
= ，
2
2
4
1
17
c =
+
=
．
对应的勾股数是(15,8,17)．
（2）解：根据题意得
2
2
5
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
13
m
n
+
=
．
6
mn
=
．
又
m
n
，m，n 都是正整数，
6
m
=
，
1
n = 或
3
m =
，
2
n =
．
当
6
m =
，
1
n = 时，
2
2
5
m
n
−
，不符合题意；
当
3
m =
，
2
n =
时，
2
2
5
m
n
−
=
，
2
2
13
m
n
+
=
，符合题意．
∴
3
m =
，
2
n =
．
8．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道(
)
4,3,5 ，(
)
6,8,10 ，(
)
8,15,17 ，…都是
勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：4
2 2
= ，
2
3
2
1
=
−；6
2 3
= ，
2
8
3
1
=
−；8
2 4
= ，
2
15
4
1
=
−；…分析其中的规律，解答下列问题．
(1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________．
(2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为2n （
2
n
，且n 为整数），另外两个数分别为
__________，__________时，则这三个数为勾股数．
请你补充完整猜想并验证猜想．
【答案】(1)（10，24，26）
(2)
2
1
n −，
2
1
n + ，
证明：∵
2
2
2
4
2
2
4
2
(
1)
(2 )
2
1 4
2
1
n
n
n
n
n
n
n
−
+
=
−
+ +
=
+
+ ，(
)
2
2
4
2
1
2
1
n
n
n
+
=
+
+ ，
∴
2
2
2
2
2
(
1)
(2 )
(
1)
n
n
n
−
+
=
+
，
∴
2
2
2 ,
1,
1
n n
n
−
+ 是勾股数．
【难度】0.62
【知识点】勾股树（数）问题、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、运用完全平方公式进
行运算
【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为5 2
10
=
，52 1
24
−=
，利用勾股定理计算或
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者通过规律得到第三个数是26；
（2）由观察归纳得到两个数与n 之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性．
【详解】（1）略
（2）略
9．（25-26 八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题．
主题
探索勾股数中的奇妙规律
提出问题
下面给出了四组勾股数：①(
)
3,4,5 ②(
)
5,12,13 ③(
)
7,24,25 ④(
)
8,15,17 ．问题1：请分别计
算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？
分析猜想
小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数．
推理证明
学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题：
若a 、b 、c 均为正整数，且
2
2
2
a
b
c
+
=
．则a
b
c
+ + 是偶数．
证明：（ⅰ）当a 、b 均为偶数时，设
2
a
m
=
，
2
b
n
=
（m 、n 为正整数）
则：
2
2
2
c
a
b
=
+
= ①
2
2
2
c
m
n
=
+
c
是正整数
2
2
m
n
+
是一个完全平方数
设
2
2
2
m
n
k
+
=
（k 是正整数），则
2
c
k
=
a
b
c
+ +
= ②
a
b
c
+ + 是偶数．
（ⅱ）当a 、b 均为奇数时，
设
2
1
a
m
=
+ ，
2
1
b
n
=
+ ，（m 、n 为非负整数），则：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
4
2
c
a
b
m
n
m
m
n
n
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
∵完全平方数除以4 的余数只能是0 或1
2c
不是完全平方数，这与c 是正整数相矛盾，
∴a 、b 不能均为奇数．
（ⅲ）当a 、b 为一个奇数一个偶数时，
不妨设
2
a
m
=
，
2
1
b
n
=
+ ，（m 为正整数，n 为非负整数）……
问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程．
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(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
【答案】(1)12；30；56；40 ；发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数
(2)
①
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
c
a
b
m
n
m
n
=
+
=
+
=
+
②
(
)
2
2
2
2
a
b
c
m
n
k
m
n
k
+
+
=
+
+
=
+
+
(3)
当a 、b 为一个奇数一个偶数时，
不妨设
2
a
m
=
，
2
1
b
n
=
+ （m 为正整数，n 为非负整数）
则：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
c
a
b
m
n
m
n
n
=
+
=
+
+
=
+
+
+
c
为奇数，又
2
2
1
a
b
c
m
n
c
+ + =
+
+ +
a
b
c
+ + 是偶数．
综上所述，a
b
c
+ + 是偶数．
【难度】0.65
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】（1）观察规律发现各组勾股数之和为偶数；
（2）①将
2
a
m
=
，
2
b
n
=
代入计算即可求解；②代入
2
a
m
=
，
2
b
n
=
，
2
c
k
=
即可求解；
（3）仿照例题证明即可．
【详解】（1）解：3 4 5 12
+ + =
；5 12 13
30
+
+
=
；
7
24
25
56
+
+
=
；8 15 17
40
+
+
=
；
发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数；
（2）略；
（3）略．
10．（25-26 八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理
2
2
2
a
b
c
+
=
本身就是一个关于a 、b 、c 的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解
(
)
, ,
a b c 通常叫做勾股数，如：(
) (
)
3,4,5 , 5,12,13 ．
下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y 是正整数，且x
y
）：
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x
y
2
2
x
y
−
2xy
2
2
x
y
+
2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
5
a
41
…
…
…
…
…
(1)a = ；
(2)求证：(
)
2
2
2
2
,2
,
x
y
xy x
y
−
+
是勾股数；
(3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用
2
5
2
1
n
n
+
+ （n 为正整数且
1
n ）表示勾股数中最大的一个
数，则另外两个数的表达式为 ， ．
【答案】(1)9
(2)见解析
(3)
2
2
3
2
1,4
4
n
n
n
n
−
−
+
【难度】0.65
【知识点】勾股树（数）问题、整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键．
（1）根据表格信息，列式求解即可；
（2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
−
+
=
+
即可；
（3）根据题意将
2
5
2
1
n
n
+
+ 变形得到
(
)
2
2
4
1
n
n
+
+
，则
2 ,
1
x
n y
n
=
=
+ ，结合（2）的结论计算即可求
解．
【详解】（1）解：根据表格信息，当
2,
1
x
y
=
= 时，
2
2
2
2
2
1
3
x
y
−
=
−
= ，2
2 2 1
4
xy =
=
，
2
2
2
2
2
1
5
x
y
+
=
+
=
，
∵(
)
3,4,5 是勾股数，即
2
2
2
3
4
5
+
=
，
∴
2
2
2
2
5
,5
41
y
a
y
−
=
+
=
，
∴
2
25
y
a
=
−
，代入得，25
25
41
a
+
−
=
，
解得，
9
a =
，
故答案为：9；
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（2）证明：(
)
(
)
2
2
2
2
2
x
y
xy
−
+
4
2
2
4
2
2
2
4
x
x y
y
x y
=
−
+
+
4
2
2
4
2
x
x y
y
=
+
+
(
)
2
2
2
x
y
=
+
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
−
+
=
+
，
∴(
)
2
2
2
2
,2
,
x
y
xy x
y
−
+
是勾股数；
（3）解：∵
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
5
2
1
4
2
1
4
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+ =
+
+
+
=
+
+
=
+
+
，
∵
(
)
2
1
1
n
n
n
−
−
=
+ ，
1
n ，
∴
(
)
2
1
1
0
n
n
n
−
+
=
−
，
∴2
1
n
n
+ ，
又∵x
y
，
∴
2 ,
1
x
n y
n
=
=
+ ，
∴
2
2
x
y
−
(
)
(
)
2
2
2
1
n
n
=
−
+
(
)
2
2
4
2
1
n
n
n
=
−
+
+
2
2
4
2
1
n
n
n
=
−
−
−
2
3
2
1
n
n
=
−
−，
(
)
2
2
2 2
1
4
4
xy
n
n
n
n
=
+
=
+
，
故答案为：
2
3
2
1
n
n
−
−，
2
4
4
n
n
+
．
11．（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式
2
2
2
a
b
c
+
=
的a，b，c 是三个正整数，我们称a，
b，c 为勾股数．
(1)已知m，n 是正整数且m
n
，证明：
2
a
mn
=
，
2
2
b
m
n
=
−
，
2
2
c
m
n
=
+
是勾股数．
(2)请写出任意一组含有68 的“勾股数”： ．
【答案】(1)见解析
(2)68,285,293（答案不唯一）
【难度】0.65
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【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键：
（1）证明
2
2
2
a
b
c
+
=
，即可；
（2）由（1）将68分解为2 2 17
，由（1）得到
2
2
2
2
17
2 ,17
2
−
+
与68，可以构成勾股数，进行求解即
可．
【详解】（1）解：∵m，n 是正整数且m
n
，
∴
2
a
mn
=
，
2
2
b
m
n
=
−
，
2
2
c
m
n
=
+
均是正整数，
∵
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
4
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
a
b
mn
m
n
m n
m
m n
n
m
m n
n
m
n
c
+
=
+
−
=
+
−
+
=
+
+
=
+
=
；
故
2
a
mn
=
，
2
2
b
m
n
=
−
，
2
2
c
m
n
=
+
是勾股数．
（2）68
2 2 17
=
，
由（1）可知，
2
2
2
2
17
2
285,17
2
293
−
=
+
=
与68可以构成勾股数；
故答案为：68,285,293（答案不唯一）．
12．（25-26 八年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究
定义：一般地，若直角三角形三边长a
b
c
、、都是正整数，那么称a
b
c
、、为勾股数．
设m
n
、是两个正整数，且m
n
，直角三角形三边长a
b
c
、、都是正整数．下表中的a ，b ，c （a
b
、均
小于c ）可以组成一些有规律的勾股数．
m
n
a
b
c
2
1
3
4
5
3
1
8
6
10
3
2
5
12
13
4
1
15
8
________
4
2
12
_________
20
4
3
________
24
25
(1)请补全表中的勾股数．
(2)对表中的数据探究发现，
2
2
a
m
n
=
−
，继续探究发现b 和c 也可以用含m
n
、的代数式表示．请你用含
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m
n
、的代数式分别表示b
c
、，然后证明
2
2
2
a
b
c
+
=
．
(3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为a 米、b 米、c 米，且
a
b
c
、、满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花
之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花．
【答案】(1)
补全表中的勾股数如下：
m
n
a
b
c
2
1
3
4
5
3
1
8
6
10
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
4
2
12
16
20
4
3
7
24
25
(2)
解：根据表格信息可知，
2
2
a
m
n
=
−
，
2
b
mn
=
，
2
2
c
m
n
=
+
，
证明：∵
(
)
2
2
2
2
4
2
2
4
2
a
m
n
m
m n
n
=
−
=
−
+
，
2
2
2
4
b
m n
=
，
(
)
2
2
2
2
4
2
2
4
2
c
m
n
m
m n
n
=
+
=
+
+
，
∴
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
a
b
m
m n
n
m n
m
m n
n
c
+
=
−
+
+
=
+
+
=
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
；
(3)56．
【难度】0.4
【知识点】勾股树（数）问题、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算
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【分析】本题考查了勾股数，数字规律，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据表格中提供的数据可得答案；
（2 ）根据表格中规律可得
2
2
a
m
n
=
−
，
2
b
mn
=
，
2
2
c
m
n
=
+
，然后通过完全平方公式即可求解；
（3）设a
b
c
，由于最短边可种8株花，则有
2
2
7
4
3
a =
=
−
，从而求出
25
c =
，
24
b =
，从而求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：设a
b
c
，
∵最短边可种8株花，
∴
2
2
7
4
3
a =
=
−
，
由（2 ）可得
2
2
4
3
25
c =
+
=
，
2 4 3
24
b = =
，
∴该直角三角形上一共可以种植花7
24
25
56
+
+
=
（株），
故答案为：56．
重难点二、判断三边能否构成直角三角形
先把三边长度从小到大排序，设最长边为 c，计算a
2+b
2与c
2对比，相等则
为直角三角形，不等则不是。优先平方大数，避免小数计算出错；边长含根号时先平方去
根号，简化等式验算。
1．（25-26 八年级下·新疆昌吉·期中） 几何学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形，下列给出的四
组边长数据，能够构成直角三角形的是（ ）
A．4,5,7
B．6,8,10
C．5,6,9
D．7,8,11
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】利用勾股定理的逆定理求解，只需验证三角形中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，
即可判断能否构成直角三角形.
【详解】解：选项A：∵
2
2
2
4
5
16
25
41
7
+
=
+
=
，∴不能构成直角三角形；
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选项B：∵
2
2
2
6
8
36
64
100
10
+
=
+
=
=
，∴可以构成直角三角形；
选项C：∵
2
2
2
5
6
61
9
+
=
，∴不能构成直角三角形；
选项D：∵
2
2
2
7
8
113
11
+
=
，∴不能构成直角三角形；
故选：B.
2．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是
15cm、20cm 、25cm，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是
（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于180
D．勾股定理
【答案】B
【难度】0.9
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可.
【详解】解：∵ 三角形三边长为15cm、20cm 、25cm，
而
2
2
2
15
20
225
400
625
25
+
=
+
=
=
，
即两条较短边的平方和等于最长边的平方，
这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理.
∴B 符合题意.
3．（25-26 八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A 在海岛O 的北偏西40，6nmile 处，遇险渔船
B 与海警舰艇A 相距10nmile ，渔船B 与海岛O 相距8nmile，则渔船B 在海岛O 的（ ）
A．北偏东40
B．北偏东50
C．东偏北60
D．东偏北70
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】方向角的表示、判断三边能否构成直角三角形
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【分析】根据勾股定理的逆定理判断AOB
为直角三角形，得出
90
AOB
=
，再结合方位角的定义计算
即可.
【详解】解：由题意，
6,
8,
10
OA
OB
AB
=
=
=
，
2
2
2
2
6
8
36
64
100
OA
OB
+
=
+
=
+
=
，
2
2
10
100
AB =
=
，
2
2
2
OA
OB
AB
+
=
，
AOB
是直角三角形，且
90
AOB
=
，
舰艇A在海岛O的北偏西40方向
OA
与正北方向的夹角为40，
OB
与正北方向的夹角为90
40
50
−
=
，
渔船B 在海岛O的北偏东50方向 上.
4．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正
确的是（ ）
A．长分别为2a，2b ，2c的三条线段一定能组成一个直角三角形
B．长分别为
2
a+
，
2
b+ ，
2
c +
的三条线段一定能组成一个直角三角形
C．长分别为a ，b ，
c 的三条线段一定能组成一个直角三角形
D．长分别为
2
a ，
2
b ，
2
c 的三条线段一定能组成一个直角三角形
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
，
A、∵(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
a
b
a
b
a
b
c
c
+
=
+
=
+
=
=
∴长为2 ,2 ,2
a
b
c 的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形；
B、举反例，取原直角三角形三边为3,4,5，则新三边为5,6,7 ，
∵
2
2
5
6
25
36
61
+
=
+
=
，
2
7
49
=
，61
49
，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形；
C、举反例，取原直角三角形三边为3,4,5，则新三边为3, 4, 5 ，
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∵(
)
(
)
2
2
3
4
3
4
7
+
=
+
=
，(
)
2
5
5
=
，7
5
，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形．
D、举反例，取原直角三角形三边为3,4,5，则新三边为9,16,25，
∵
2
2
9
16
81
256
337
+
=
+
=
，
2
25
625
=
，337
625
，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形．
故选：A．
5．（25-26 八年级下·全国·暑假作业）以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的
有（ ）
①7，24，25； ②
2
1
n −，2n ，
2
1(
1)
n
n
+
；
③
2
2
2
n
n
+
，
2
2
2
1
n
n
+
−，2
1
n+ ； ④1，2 ，3 ．
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
【答案】C
【难度】0.45
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】对四组边长分别判断，找出最长边，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可求
解
【详解】解：① 对边长7,24,25 ，最长边为25 ，
计算得
2
2
2
7
24
49
576
625
25
+
=
+
=
=
，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
② 对边长
2
2
1,2 ,
1(
1)
n
n n
n
−
+
，比较可得
2
1
n + 是最长边．
计算得
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
(
1)
(2 )
2
1 4
2
1
(
1)
n
n
n
n
n
n
n
n
−
+
=
−
+ +
=
+
+ =
+
，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
③ 对边长
2
2
2
2 ,2
2
1,2
1
n
n
n
n
n
+
+
−
+ ，最长边为
2
2
2
n
n
+
．
展开计算得
2
2
2
4
3
2
(2
2
1)
(2
1)
4
8
4
2
n
n
n
n
n
n
+
−
+
+
=
+
+
+
，
2
2
4
3
2
(2
2 )
4
8
4
n
n
n
n
n
+
=
+
+
，两者不相等，不满足条件，不是直角三角形；
④ 对边长1,
2, 3 ，最长边为3 ，
计算得
2
2
2
1
( 2)
1 2
3
( 3)
+
= +
=
=
，满足勾股定理逆定理，是直角三角形．
综上，共有①②④3 组符合条件．
6．（25-26 八年级下·全国·周测）给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，
10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有
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____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号）
【答案】 ①③④⑥⑦ ①④⑥⑦
【难度】0.85
【知识点】构成三角形的条件、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的三边关系定理的应用，注意：如果一个三角形的两边
a 、b 的平方和等于第三边c 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
根据三角形三边关系定理和勾股定理逐一判断每组数据．
【详解】解：根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，可判断：
①3
4
5
+
，3 5
4
+
，4
5
3
+
，能构成三角形；
②1 3
4
+ =
，不大于，不能构成三角形；
③4
4
6
+
，4
6
4
+
，4
6
4
+
，能构成三角形；
④6 8
10
+
，6 10
8
+
，8 10
6
+
，能构成三角形；
⑤5
2
7
+
=
，不大于，不能构成三角形；
⑥5 12
13
+
，5 13 12
+
，12 13
5
+
，能构成三角形；
⑦7
24
25
+
，7
25
24
+
，24
25
7
+
，能构成三角形.
故可构成三角形的有①③④⑥⑦.
对于能构成三角形的组，应用勾股定理判断：
①
2
2
2
3
4
5
+
=
，是直角三角形；
③
2
2
2
4
4
6
+
，不是直角三角形；
④
2
2
2
6
8
10
+
=
，是直角三角形；
⑥
2
2
2
5
12
13
+
=
，是直角三角形；
⑦
2
2
2
7
24
25
+
=
，是直角三角形，
故可构成直角三角形的有①④⑥⑦.
故答案为：①③④⑥⑦；①④⑥⑦．
7．（25-26 八年级下·安徽淮南·阶段检测）某社区计划对一处Rt
ABC
△
地块进行绿化改造，如图，已知
90 ,
5,
13
ACB
AC
AB
=
=
=
．规划在地块内设置休闲区，其中ACD
区域作为活动空间，测得
4,
3
AD
CD
=
=
．
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(1)判断ACD
的形状，并说明理由；
(2)求阴影绿化区域的面积．
【答案】(1) ACD
是直角三角形，理由如下：
2
2
2
2
3
4
25
CD
AD
+
=
+
=
，
2
2
5
25
AC =
=
，
2
2
2
CD
AD
AC
+
=
∴
，
ACD
是直角三角形．
(2)24
【难度】0.62
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）根据勾股定理求出
12
BC =
，再由阴影部分的面积是
ABC
ADC
S
S
-
，即可得到答案．
【详解】（1）解：略；
（2）解：在Rt
ABC
△
中，
13,
5
AB
AC
=
=
，
由勾股定理，得
2
2
2
2
13
5
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
1
1
1
1
12 5
4 3
24
2
2
2
2
S
BC AC
AD CD
=
−
=
−
=
阴影绿化区域
．
8．（2026·北京丰台·二模）下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用．
尺规完成作图
．．．．．．，并将证明过程补充完整．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三角形是直角三角形．
已知：在ABC
中，BC
a
= ，AC
b
=
，AB
c
=
，且
2
2
2
a
b
c
+
=
．
求证：ABC
是直角三角形．
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证明：作
90
MC N
=
，在C M
上截取C B
a
=
，C N
上截取C A
b
=
，连接A B
．
2
2
2
A B
B C
A C
=
+
（________）（填推理的依据），
即
2
2
2
A B
a
b
=
+
．
________（已知），
A B
c
= ．
在ABC
和
A B C
△
中，
BC
a
B C
=
=
，AC
b
A C
=
=
，________，
ABC
A B C
△
≌△
（________）（填推理的依据）．
'
90
C
C
=
=
，即ABC
是直角三角形．
【答案】解：如图
勾股定理；
2
2
2
a
b
c
+
=
；
AB
c
A B
=
=
；
SSS ．
【难度】0.65
【知识点】用SSS 证明三角形全等（SSS）、判断三边能否构成直角三角形、作线段(尺规作图)
【分析】先作一个直角
A B C
△
，使其两条直角边与已知ABC
的两边对应相等，利用勾股定理算出新三
角形斜边长度等于c ，再通过SSS 证明两个三角形全等，从而推出ABC
有直角，完成逆定理证明．
【详解】略
9．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就
尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如
图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小
正方形组成的，其中c 是直角三角形的斜边，a，b 分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方
法，给出了勾股定理的详细证明．
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(1)请利用图①证明勾股定理；
(2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD的面
积为
1S ，正方形EFGH 的面积为
2
S ，正方形MNXT 的面积为
3
S ，若正方形EFGH 的边长为4，求
1
2
3
S
S
S
+
+
的值；
(3)如图③，若正方形ABCD的边长为10，
8,
6
AG
CH
BG
DH
=
=
=
=
，连接GH ，求GH 的长．
【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为
2
c ，也可表示为
(
)
2
1
4
2 ab
a
b
+
−
，
∴
(
)
2
2
1
4
2
c
ab
a
b
=
+
−
，
∴
2
2
2
2
2
c
ab
a
ab
b
=
+
−
+
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
．
(2)48
(3)2 2
【难度】0.45
【知识点】勾股定理的证明方法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、用勾股定理解三角
形、全等的性质和SSS 综合（SSS）、判断三边能否构成直角三角形、运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可
求解；
（2）设八个全等的直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，即AE
BF
ET
a
=
=
=
，BE
EN
b
=
=
，可
得
(
)
2
1S
a
b
=
+
，
2
2
2
16
S
a
b
=
+
=
，
(
)
2
3
S
a
b
=
−
，即可求解；
（3）延长DH 交AG 于点E ，证明ABG
CDH
≌
，可得
BAG
DCH
=
，可得
90
DCH
DAE
+
=
，
在DCH
中，
8
CH = ，
6
DH =
，
10
CD =
，可得
90
CHD
=
，再证明
DCH
ADE
△
≌△
，可得
90
DEA
CHD
=
=
，
8
DE
CH
=
= ，
6
AE
DH
=
=
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，即AE
BF
ET
a
=
=
=
，
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BE
EN
b
=
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
1S
AE
BE
a
b
=
+
=
+
，
2
2
2
2
2
2
2
4
16
S
EF
BF
BE
a
b
=
=
+
=
+
=
=
，
(
)
(
)
2
2
2
3
S
MT
ET
EM
a
b
=
=
−
=
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
1
2
3
16
S
S
S
a
b
a
b
+
+
=
+
+
+
−
2
2
2
2
2
16
2
a
ab
b
a
ab
b
=
+
+
+
+
−
+
(
)
2
2
2
16
a
b
=
+
+
2 16 16
=
+
48
=
．
（3）解：如图，延长DH 交AG 于点E ，
∵正方形ABCD的边长为10，
∴
10
AD
DC
BA
=
=
=
，
90
ADC
BAD
=
=
，
在ABG
和
CDH
△
中，
AB
CD
AG
CH
BG
DH
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
ABG
CDH
≌
，
∴
BAG
DCH
=
，
∵
90
BAG
DAE
BAD
+
=
=
，
∴
90
DCH
DAE
+
=
，
∵在DCH
中，
8
CH = ，
6
DH =
，
10
CD =
，
∴
2
2
2
2
2
2
8
6
100
10
CH
DH
CD
+
=
+
=
=
=
，
∴
90
CHD
=
，
∴
90
DCH
CDH
+
=
，
∴
CDH
DAE
=
，
∵
90
CDH
ADE
ADC
+
=
=
，
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∴
DCH
ADE
=
，
在DCH
和ADE
中，
DCH
ADE
DC
AD
CDH
DAE
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
DCH
ADE
≌
，
∴
90
DEA
CHD
=
=
，
8
DE
CH
=
= ，
6
AE
DH
=
=
，
∴
180
90
HEG
DEA
=
−
=
，
8 6
2
EH
DE
DH
=
−
= −=
，
8 6
2
EG
AG
AE
=
−
= −=
，
∴在Rt
EHG
△
中，
2
2
2
2
2
2
2 2
GH
EH
EG
=
+
=
+
=
．
10．（25-26 八年级下·重庆·期中）如图1，四边形ABCD中，
90
ABC
ADC
=
=
，分别以线段AB ，
BD，CD，AC 边向外作正方形，正方形的面积分别为
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S ，连接AC ，利用勾股定理可以
得到：
1
2
3
4
S S
S
S
+
=
+
．根据材料提示完成下列问题：
(1)如图2，AD是ABC
中BC 边上的高，分别以线段AB ，BD，CD，AC 为边向外作正方形，正方形
的面积分别为
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S ，请写出
1S ，
2
S ，
3
S ，
4
S 的等量关系___________；
(2)如图3，在ABC
中，
2
AB =
，
2 3
AC =
，点D 是BC 上一点，且
4
BC
BD
=
，若AD
BC
⊥
，求证：
ABC
是直角三角形；
(3)如图4，在ABC
中，分别以线段AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，正方形的面积分别17 24
，，49 ，
试求出ABC
的面积．
【答案】(1)
1
3
2
4
S S
S
S
+
=
+
(2)证明：∵
4
BC
BD
=
，
∴设BD
x
=
，则
3
CD
x
=
，
∵AD
BC
⊥
∴
90
ADB
ADC
=
=
，
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∵
2
AB =
，
2 3
AC =
，
∴在Rt ABD
和Rt
ADC
△
中，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2 3
3
x
x
−
=
−
，
解得
1
x = 或
1
x = −（不符合题意，舍去），
∴
4
4
BC
BD
=
=
，
∵
(
)
2
2
2
2
2
2 3
16
AB
AC
+
=
+
=
，
2
2
4
16
BC =
=
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
∴ABC
是直角三角形；
(3)7 2
【难度】0.49
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关
系、判断三边能否构成直角三角形
【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示
2
AD ，得出各边平方的关系，将正方形面积转
化为边长平方，即可得出四个面积的等量关系；
（2）设BD
x
=
表示出CD，利用双直角三角形共高列方程求出BC ，再用勾股定理逆定理证明ABC
是
直角三角形即可；
（3）由正方形面积得三边平方与BC 长，作高AE 设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算
ABC
的面积即可．
【详解】（1）解：在Rt ABD
和Rt ADC
中，
2
2
2
AB
BD
AD
−
=
，
2
2
2
AC
CD
AD
−
=
，
∴
2
2
2
2
AB
BD
AC
CD
−
=
−
，
∴
2
2
2
2
AB
CD
BD
AC
+
=
+
，
∵
2
1S
AB
=
，
2
2
S
BD
=
，
2
3
S
CD
=
，
2
4
S
AC
=
，
∴
1
3
2
4
S S
S
S
+
=
+
；
（2）略
（3）解：如图，过点A作AE
BC
⊥
于点E ，
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设BE
y
=
，则
7
CE
y
=
−
，
∵AE
BC
⊥
，
∴
90
AEB
AEC
=
=
，
∵
2
2
17
24
AB
AC
=
=
，
，
∴Rt
ABE
△
和Rt ACE
中，
(
)
2
2
17
24
7
y
y
−
=
−
−
，
解得
3
y =
，
∴
2
17
9
8
AE =
−
=
，
∴
2 2
AE =
，
∴
1
1
7 2 2
7 2
2
2
ABC
S
BC AE
=
=
=
△
．
重难点三、在网格中判断直角三角形
用网格横向、纵向格数，勾股定理算出三边长度平方，再验证两短边平方和
等于最长边平方。 不用算出边长，直接比较平方值；也可观察两边横竖线段垂直，快速
直观判定直角。
1．（2021·福建厦门·二模）三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角
形．在8 8
的网格图中，若ABC
为网格直角三角形，则满足条件的C 点个数有（ ）
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A．6
B．7
C．13
D．15
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】在网格中判断直角三角形
【分析】根据题意，分别以A，B，C 三个点为直角顶点构造网格直角三角形即可得解．
【详解】根据题意，分别以A，B，C 三个点为直角顶点构造网格直角三角形，满足条件的C 点如下图所
示：
则满足条件的C 点个数有13 个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的构造，熟练掌握分情况构造的方法是解决本题的关键．
2．（22-23 九年级上·广东梅州·阶段检测）已知：如图，在方格图中
AOB
=_____________．
【答案】45/45 度
【难度】0.85
【知识点】在网格中判断直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：连接AB ，
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∵
2
2
1
3
10
OA =
+
=
，
2
2
1
2
5
AB =
+
=
，
2
2
1
2
5
OB =
+
=
，
∴
2
2
2
.OA
AB
OB
=
+
，
∴ABO
是等腰直角三角形，
∴
45
AOB
=
，
故答案为：45．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是得出ABO
是等腰直角三角形．
3．（23-24 七年级上·山东烟台·期中）ABC
是网格纸中的格点三角形，试判断该三角形的形状，并求其
面积．
【答案】ABC
是直角三角形，
5
ABC
S
=
【难度】0.85
【知识点】在网格中判断直角三角形
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及求三角形的面积，解题的关键是掌握勾股定理逆定理．根据
勾股定理逆定理判断三角形的形状，再求其面积即可．
【详解】
解：
2
2
2
2
2
2
1
2
5,
2
4
20
AB
AC
=
+
=
=
+
=
，
2
2
2
3
4
25
AB =
+
=
，
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
ABC
是直角三角形，
2
2
5,
20
AB
AC
=
=
，
5,
2 5
AB
AC
=
=
，
1
1
5 2 5
5
2
2
ABC
S
AB AC
=
=
=
．
4．（23-24 九年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个5 5
的网格，每个小正方形的边长均为1．
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(1)在图1 中，画一个以AB 为一边的等腰直角三角形．
(2)在图2 中，用一把无刻度直尺，在线段AB 中作出一点C ，使得
2
AC
BC
=
，并保留作图痕迹．
【答案】(1)如图所示，ABC
即为所求；
(2)如图所示，点C 即为所求；
【难度】0.85
【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、在网格中判断直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，灵活运用所学知识
是解题的关键．
（1）如图所示，取格点C，连接AC
BC
，
，则ABC
即为所求；
（2）如图所示，取格点D、E，连接DE 交AB 于C，点C 即为所求．
【详解】（1）解：利用勾股定理和勾股定理的逆定理易证明，
2
2
2
AC
BC
AC
BC
AB
=
+
=
，
，则ABC
为
等腰直角三角形；
（2）解；易证明ACD
BCE
∽
，则
2
AC
AD
BC
BE
=
=
，则点C 即为所求．
5．（25-26 七年级上·江苏·期末）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点, ,
A B C 在正
方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题：
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(1)确定一个格点D，画直线CD，使得CD垂直AB ；
(2)画射线DB，则DB与AC 所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）；
(3)画线段AD，则四边形ACBD的面积是__________．
【答案】(1)如图：
(2)相交
(3)14.5
【难度】0.65
【知识点】在网格中判断直角三角形、格点作图题、平面内两直线的位置关系、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质，平移性质，三角形面积公式，是解题的关
键．
（1）取格点D，画直线CD，使得CD垂直AB ；
（2）画射线DB，DB与AC 所在直线的位置关系是相交；
（3）画线段AD，四边形ACBD的面积等于5 5
的正方形面积减去周围３个三角形面积．
【详解】（1）解：取格点D ，画直线CD，使得CD垂直AB ．
理由：如下图，∵ABE
CDF
≌
，
∴
ABE
CDF
=
，
∴
90
AGD
ABE
BCD
ABE
BCE
=
+
=
+
=
，
∴CD
AB
⊥
．
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（2）解：画射线DB，DB与AC 所在直线的位置关系是相交，
理由：把线段AC 平移到线段DH 的位置，
则
ACD
CDH
=
，
∵点H 在
CDB
外，
∴
CDB
CDH
，
∴射线DB与直线AC 在直线CD的右下方相交．
故答案为：相交．
（3）解：画线段AD，
∵四边形ACBD在一个5 5
的正方形中，
∴四边形ACBD的面积为
1
1
1
9
5 5
3 3
2 5
2 1
25
5 1 14.5
2
2
2
2
−
−
−
=
−
−−=
．
故答案为：14.5．
6．（23-24 九年级下·四川广元·开学考试）已知在7×7 的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方
形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
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(1)如图1，AB 与CD交于点 M；
①找格点 E，使 DE
AB
=
；
②直接写出
AMC
的度数 ．
(2)如图2，点A、B、C 均在格点上，依照（1）中方法在AB 上作点 M，使
45
CMA
=
．
【答案】(1)①见解析 ②45
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、格点作图题、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）①根据格点特点把AB 向上平移1 格即可；②先证明
CDE
△
为等腰直角三角形，再利用
平行线的性质可得答案；
（2）如图2 中，取格点W ，连接CW ， 把CW 向左边平移2 格得到线段BG ，再以BG 为底边构造等腰
直角三角形AGB，记CW 与AB 的交点为M ，
AMC
即为所求．
【详解】（1）解∶ ①如图1 中， 直线DE 即为所求；
②∵
2
2
2
2
4
20
DE =
+
=
，
2
2
2
2
1
3
10
DC
CE
=
+
=
=
，
∴DC
CE
=
，
2
2
2
CD
CE
DE
+
=
，
∴
90
ECD
=
，
45
CDE
=
，
∵DE
AB
∥
，
∴
45
EDC
AMC
=
=
；
（2）解：如图2 中，取格点W ，连接CW ， 把CW 向左边平移2 格得到线段BG ，再以BG 为底边构造
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等腰直角三角形AGB，记CW 与AB 的交点为M ，
AMC
即为所求．
理由：同理可得：
90
GAB
=
，
45
ABG
=
，
而BG
CW
∥
，
∴
45
AMC
ABG
=
=
．
【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三
角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键．
7．（21-22 八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1 的网格中，线段AB 的两个端
点均在格点（正方形的顶点）上．
(1)线段AB 的长为__________；
(2)若ABC
是直角三角形，则网格中满足条件的格点C 共有__________个．
(3)在网格中以AB 为边所作格点菱形（菱形的四个顶，点都在格点上）的面积最小值为__________．
【答案】(1) 5
(2)6
(3)3
【难度】0.65
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用菱形的性质求面积
【分析】（1）构造直角三角形，勾股定理可求得．
（2）△ABC 是直角三角形，可知图中画出6 个点．
（3）分别求出三个菱形面积，比较大小．
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【详解】（1）
勾股定理得
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
AB= 5
故答案为：5
（2）如图所示共有6 个
故答案为：6
（3）
第一个菱形面积33- 1
2 214=5
第二个菱形面积：1
2 24=4
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第三个菱形面积：33- 1
2 214-2=3
故答案为：3
【点睛】此题考查了网格中作图，解题关键是构造直角三角形和能求面积的规则图形．
8．（2021·吉林长春·二模）如图，网格中有一条线段AB ，点A、B 都在格点上，网格中的每个小正方形
的边长为1．请在图①和图②中各画出一个格点ABC
，使ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
，并满
足以下要求：
（1）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）．
（2）在图②中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）．
（3）满足（1）、（2）的ABC
共有 个．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6．
【难度】0.65
【知识点】在网格中判断直角三角形
【分析】（1）根据要求作出图形即可，有两种情形,任意一种即可；
（2）根据要求作出图形即可，有四种情形,任意一种即可；
（3）根据（1）（2）的图形即可解答．
【详解】解：（1）点C 的位置如图①所示，△ABC、△ABC1中任意一个即为所求；
（2）点C 的位置如图②所示，△ABC、△ABC1、△ABC2、△ABC 中任意一个即为所求；
（3）如图可得：满足（1）的ABC
共有2 个，满足（2）的ABC
有4 个，则满足（1）、（2）的
ABC
共有共有6 个．
【点睛】本题主要考查了基本作图、无理数、直角三角形等知识，掌握数形结合的思想成为解答本题的
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关键．
模块二、勾股定理的逆定理
重难点一、利用勾股定理的逆定理求解
已知三边长，排序后验证a
2+b
2=c
2，成立则最长边对角为直角，结合直角性
质求面积、角度。 遇线段、三角形证明直角，优先用逆定理计算边长平方，比角度推导
更简便。
1．（24-25 八年级上·河北保定·阶段检测）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为
0.9dm,1.2dm,1.5dm ，则三角形零件的面积是（ ）
A．
2
1.35dm
B．0.9
2
dm
C．0.75
2
dm
D．0.54
2
dm
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理逆定理可得此三角形为直角三角形，两直角边
分别为0.9dm,1.2dm ，即可求解面积．
【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为0.9dm,1.2dm,1.5dm ，
∴
2
2
2
0.9
1.2
2.25
1.5
+
=
=
，
∴该三角形零件为直角三角形，
∴面积为：
2
1
d
0.9 1.2
m
0.54
2
=
，
故选：D．
2．（25-26 九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片
O
，圆周被n 等分，等分点分别为
1
2
3
,
,
,
,
n
A A A
A
，
圆形纸片的部分示意图如图所示，若
O
的半径是2，弦
3
2 2
n
A A =
，则n =（ ）
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A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接
3,
n
OA OA ，先根据勾股定理的逆定理可得
3
90
n
A OA
=
，再根据圆的性质求出圆心角
3
1080
n
A OA
n
=
，则
1080
90
n
=
，由此即可得．
【详解】解：如图，连接
3,
n
OA OA ，
∵
O
的半径是2，
∴
3
2
n
OA
OA
=
=
，
∵弦
3
2 2
n
A A =
，
∴
2
2
2
3
2
3
2
2
2
8
n
n
A
A
O
A O
A
+
=
+
=
=
，
∴
3
n
A OA
是直角三角形，
3
90
n
A OA
=
，
∵圆形纸片
O
被n 等分，
∴
3
360
1080
3
n
A OA
n
n
=
=
，
∴1080
90
n
=
，
解得
12
n =
，经检验，是所列分式方程的解．
故选：C．
3．（24-25 八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在ABC
中，CD
AB
⊥
于点D，
,
,
,
BC
a AC
b AB
c CD
h
=
=
=
=
，下列结论中，正确的是（ ）
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①当
2
2
2
a
b
c
+
=
时，则
90
ACB
=
．
②当
90
ACB
=
时，则a
b
c
h
+
= +
．
③当
90
ACB
=
时，则
2
2
2
1
1
1
a
b
h
+
=
．
④当
90
ACB
=
时，则ab
ch
=
．
A．①②
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到1
1
2
2
ab
ch
=
进行求解．
【详解】解：①当
2
2
2
a
b
c
+
=
时，则
90
ACB
=
，正确，故①符合题意；
②当
90
ACB
=
时，
1
1
2
2
ABC
S
ab
ch
=
=
，则ab
ch
=
，
∵(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
c
ch
+
=
+
+
=
+
，(
)
2
2
2
2
c
h
c
ch
h
+
=
+
+
，
a
b
c
h
+
= +
不成立，故②不符合题意，④符合题意；
③∵CD
AB
⊥
于点D，
,
,
,
BC
a AC
b AB
c CD
h
=
=
=
=
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
，1
1
2
2
ab
ch
=
，
∴
2
2
2
2
a b
c h
=
，
∴
2
2
2
2
1
c
a b
h
=
，
∴
2
2
2
2
2
1
a
b
a b
h
+
=
，
∴
2
2
2
1
1
1
a
b
h
+
=
，故④正确，符合题意，
∴正确的有①③④，
故选：C．
4．（24-25 八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变
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形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB 和BC 的长分别为2.4m和1m，又测得点A 与点C 间的
距离为2.6m，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）．
【答案】没有变形
【难度】0.85
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解．
【详解】解：
AB
和BC 的长分别为2.4m和1m，又测得点A 与点C 间的距离为2.6m，
2
2
2
2
2
2
2.4
1
6.76
2.6
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
=
，
90
ABC
=
，
则小红家的木门没有变形，
故答案为：没有变形．
5．（22-23 八年级下·湖北襄阳·期末）学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是8m ，17m，
15m，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50 元/
2
m ，绿化这块空地需要
______元．
【答案】3000
【难度】0.85
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解
【分析】根据勾股定理的逆定理得出这块空地是直角边为8m 和15m的直角三角形，求出这块空地的面
积，然后再计算需要的费用即可．
【详解】解：∵
2
2
2
8
15
17
+
=
，
∴这块空地是直角边为8m 和15m的直角三角形，
∴这块空地的面积为
2
1 8 15
60m
2
=
，
∴绿化这块空地需要的费用为50 60
3000
=
元，
故答案为：3000．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c 满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三
角形是直角三角形．
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6．（23-24 八年级下·陕西商洛·期末）如图，有一块三角形花圃ABC ，其中
80m,
60m,
100m
AB
AC
BC
=
=
=
，现要沿DE 搭建一条隔断，把花圃分成两个区域分别种植不同的花卉，
点D、E 分别在AB
AC
、
上，
60m,
20m
BD
CE
=
=
，请求出隔断DE 的长．
【答案】20 5m
【难度】0.85
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形
【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理，理解题意，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．
根据勾股定理逆定理得出ABC
是直角三角形，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵
80m,
60m,
100m
AB
AC
BC
=
=
=
，
∴
2
2
2
80
60
100
+
=
，即
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
∴ABC
是直角三角形，且
90
A
=
．
∵
60m,
20m
BD
CE
=
=
，
∴
20m,
40m
AD
AE
=
=
，
∴
2
2
20 5m
DE
AD
AE
=
+
=
．
7．（23-24 八年级上·河南洛阳·期末）某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了
精心设计．如图，四边形ABCD为休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿
插了氢能源环保电动步道AC ．经测量
9
AB = ，
12
BC =
，
8
CD =
，
17
AD =
．
(1)求氢能源环保电动步道AC 的长；
(2)证明：AC
CD
⊥
．
【答案】(1)15
(2)
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证明：∵
8
CD =
，
17
AD =
，
15
AC =
，
∴
2
2
2
AD
CD
AC
=
+
，
∴ACD
是直角三角形，且
90
ACD
=
，
∴AC
CD
⊥
．
【难度】0.85
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明
2
2
2
AD
CD
AC
=
+
，进而得到
90
ACD
=
即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
9
AB = ，
12
BC =
，
90
ABC
=
，
∴在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
9
12
15
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∴氢能源环保电动步道AC 的长是15．
（2）略
8．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示
意图如图所示，经测量得
0.6m
AB =
，
0.8m
BC =
，
2.6m
CD =
，
2.4m
AD =
，
90
CAD
=
．
(1)求AC 的长度；
(2)施工图纸上标明安装时
ABC
要为90，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求．
【答案】(1)1m
(2)符合图纸上的安装要求
【难度】0.62
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由勾股定理直接求解即可；
（2）由勾股定理逆定理求解即可．
【详解】（1）解：在Rt ACD
中，根据勾股定理可得
2
2
2
2
2
2.6
2.4
1
AC
CD
AD
=
−
=
−
= ，
因此
1m
AC =
，即AC 的长度为1m；
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（2）解：在ABC
中，
2
2
2
0.36
0.64
1
AB
BC
AC
=
=
=
，
，
，
∴
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
∴ABC
是直角三角形，
90
ABC
=
，即该车棚符合图纸上的安装要求．
9．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）用一根长为24m 的绳子围成ABC
，已知
10m,
6m
AB
BC
=
=
．
(1) AC 的长为_____ m ．
(2)求点A到BC 的距离．
【答案】(1)8
(2)8 m
【难度】0.74
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1）由题意得ABC
的周长为24m ，再根据
10m,
6m
AB
BC
=
=
即可求解；
（2）先证明ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得ABC
的周长为24m ，
∵
10m,
6m
AB
BC
=
=
，
∴
(
)
24
8 m
AC
AB
BC
=
−
−
=
；
（2）解：在ABC
中，
10m,
6m,
8m
AB
BC
AC
=
=
=
，且
2
2
2
100,
100
AC
BC
AB
+
=
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
，
点A到BC 的距离为8 m ．
10．（25-26 八年级上·重庆·阶段检测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公
式，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则其中三角形的面积
2
2
2
2
2
2
1
4
2
a
b
c
S
a b
+
−
=
−
.此公式与
古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么其三角形的面积
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
−
−
−
=
，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．
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(1)如图1，若ABC
的三边长依次为
5
BC
a
=
= ，
6
AC
b
=
=
，
7
AB
c
=
=
．请利用以上公式（任选一
个），求该三角形的面积S；
(2)如图2 ，在四边形ABCD中，
90
B
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
13
CD =
，
12
AD =
，求该四边形的面积．
【答案】(1)6 6
(2)36
【难度】0.65
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算．
（1）利用题干给出的海伦公式即可求解；
（2）连接AC ，先利用勾股定理求出
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，再结合题干的海伦公式计算即可作答．
【详解】（1）解：选择海伦提出的公式，
∵
5,
6,
7
a
b
c
=
=
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
5
6
7
9
2
2
p
a
b
c
=
+ +
=
+ +
=
，
∴
(
)(
)(
)
9
9
5
9
6
9
7
216
6 6
ABC
S
=
−
−
−
=
=
；
（2）解：连接AC ，如图
∵
90
B
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
∴
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∴
1
3 4
6
2
ABC
S
=
=
，
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∵
13
CD =
，
12
AD =
，
∴在ACD
中，
(
)
1
5 13 12
15
2
P =
+
+
=
，
即：
(
)(
)(
)
15
15
5 15 13 15 12
30
S =
−
−
−
=
，
∴该四边形的面积
6
30
36
ABC
ACD
S
S
=
+
=
+
=
．
11．（25-26 八年级上·四川成都·阶段检测）第12 届世界运动会于2025 年8 月7 日至8 月17 日在四川成
都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道
进行修整．绿道分布具体如下：已知
16km
AB =
，
20km
AC =
，
13km
BD =
，点B 在点C 的正西方向，
点D 在点C 的正北方5km处．
(1)试判断AB 与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A 飞到D，求线段AD的长度．
【答案】(1)
解：AB 与BC 的位置关系为AB
BC
⊥
，理由：
根据题意可知，
13km
BD =
，
5
CD
km
=
，
90
BCD
=
，
∴
(
)
2
2
13
5
12
BC
km
=
−
=
，
又∵
16km
AB =
，
20km
AC =
，
∴
2
2
2
2
2
2
16
12
20
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
，
∴ABC
是直角三角形，
90
ABC
=
，
∴AB
BC
⊥
．
(2)线段AD的长度为3 65km．
【难度】0.65
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形
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【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理．
（1）由勾股定理可得BC ，根据勾股定理的逆定理可得
90
ABC
=
，从而可得AB 与BC 的位置关系；
（2）作AP
CD
⊥
，交DC 延长线于点P ，则四边形ABCP是长方形，根据勾股定理即可得线段AD的长
度．
【详解】（1）略
（2）解：作AP
CD
⊥
，交DC 延长线于点P ，则四边形ABCP是长方形，
∴
90
P
=
，
16
CP
AB
km
=
=
，
12
AP
BC
km
=
=
，
∴
(
)
5 16
21
DP
km
=
+
=
，
∴
(
)
2
2
21
12
3 65
AD
km
=
+
=
∴线段AD的长度为3 65km．
12．（21-22 八年级上·河北石家庄·期末）【问题情境】上课时，小明用4 张全等的直角三角形纸片拼成
如图1 的正方形．
（1）利用此图可以验证勾股定理吗？如果可以，请写出验证过程，如果不可以，请说明理由；
【灵活运用】
（2）现将图1 中上方的两个直角三角形向内折叠，如图2，若
4
a =
，
6
b =
，此时空白部分的面积为 ；
（3）用三张正方形纸片，按如图3 所示方式构成图案，下面是三张正方形纸片面积的选取情况，若要使
所围成的三角形是直角三角形，可以选取 ；(填序号)
①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5．
【答案】（1）利用此图可以验证勾股定理；理由见解析；（2）28；（3）①②④
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【难度】0.65
【知识点】勾股定理的证明方法、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证及应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形
中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么
2
2
2
a
b
c
+
=
．
（1）根据空白部分的面积的两种表示方法即可求解；
（2）用边长为c 的正方形减去两个三角形的面积即可得出答案；
（3）根据三角形为直角三角形，则面积最大的正方形的面积等于其他两个正方形的面积和，据此逐一判
断即可．
【详解】解：（1）空白部分可以看作边长为c 的正方形，则正方形的面积为
2
c ，
空白部分的面积可以用边长为(
)
a
b
+
的正方形的面积减去周围4 个直角三角形的面积，即中间空白部分
面积为：(
)
2
2
2
1
4
2
a
b
ab
a
b
+
−
=
+
，
∴
2
2
2
c
a
b
=
+
；
（2）根据勾股定理得：
2
2
2
2
2
4
6
52
c
a
b
=
+
=
+
=
，
∵两个直角三角形向内折叠后没有重叠部分，
∴空白部分的面积为：
2
1
1
2
52
2
4 6
28
2
2
c
ab
−
=
−
=
；
故答案为：28；
（3）若三角形为直角三角形，则面积最大的正方形的面积等于其他两个正方形的面积和，
①当三张纸片面积为1，2，3 时，
∵1 2
3
+
= ，
∴中间所围成的三角形是直角三角形；
②当三张纸片面积为2，2，4，
∵2
2
4
+
=
，
∴中间所围成的三角形是直角三角形；
③当三张纸片面积为3，4，5，
∵3
4
5
+
，
∴中间所围成的三角形不是直角三角形；
④当三张纸片面积为2，3，5，
∵2
3
5
+
=
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∴中间所围成的三角形是直角三角形；
故答案为：①②④．
13．（24-25 八年级下·福建南平·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E 是AB 的中点，点F 是边AD上
的一点，且
1
2
AF
AE
=
，连接CE 、EF ．
(1)求证：CE
EF
⊥
；
(2)如图2，将AEF
沿EF 翻折，得到GEF
，其中，点G 是点A 的对应点．
①连接CG ，求证：C、G、F 三点在同一条直线上；
②如图3，连接BG ，请直接写出线段BG 与线段CE 的数量关系．
【答案】(1)
连接FC ，
∵正方形ABCD，点E 是AB 的中点，
1
2
AF
AE
=
，
∴设AF
a
=
，则
2
AE
a
=
，
4
AB
AD
BC
CD
a
=
=
=
=
，
4
3
FD
AD
AF
a
a
a
=
-
=
-
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
2
5
EF
AF
AE
a
a
a
=
+
=
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
20
EC
BE
BC
a
a
a
=
+
=
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
3
4
25
FC
FD
DC
a
a
a
=
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
25
FC
EF
EC
a
=
+
=
，
∴CE
EF
⊥
，
(2)①根据翻折的性质，得到
AEF
GEF
△
≌△
，
∴AE
GE
=
，
AEF
GEF
=
，
A
EFG
=
，
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由（1）得AE
BE
=
，
90
A
B
= =
，
90
CEF
=
，
∴GE
BE
=
，
90
GEF
GEC
?
?
? ，
∴
90
= =
F
A
EG
，
∴GEC
BEC
?
?
，
∴
(
)
SAS
GCE
BCE
≌
，
∴
90
EGC
B
= =
，
∴
90
90
180
CGF
EGF
EGC
?
?
?
?
?
? ，
∴C、G、F 三点在同一条直线上，
②
4
5
BG
CE
=
【难度】0.4
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称
综合题)
【分析】（1）设AF
a
=
，根据正方形的性质，点E 是AB 的中点，
1
2
AF
AE
=
，在AEF
，EBC
FCD
中应用勾股定理，得到
2
2
2
2
25
FC
EF
EC
a
=
+
=
，即可得证，
（2）①根据翻折的性质，得到
AEF
GEF
△
≌△
，通过
(
)
SAS
GCE
BCE
≌
，得到
90
EGC
B
= =
，即
可得证，②由
2
BE
EG
a
=
=
，
4
BC
GC
a
=
=
，
2 5
EC
a
=
，
90
EGC
B
= =
，得到
2
8
EBC
EGC
EBCG
S
S
S
a
=
+
=
四边形
，根据翻折的性质得到GB
EC
^
，结合
2
1
8
2
EBCG
S
EC BG
a
=
?
四边形
，求出
8
5
5
BG
a
=
，即可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，翻折的性质，全等三角形的性质与判定，解题
的关键是：熟练掌握全等三角形与勾股定理．
【详解】（1）略
（2）解：① 略
②由（1）（2）得
2
BE
EG
a
=
=
，
4
BC
GC
a
=
=
，
2 5
EC
a
=
，
90
EGC
B
= =
，
∴
2
1
1
1
1
2
4
2
4
8
2
2
2
2
EBC
EGC
EBCG
S
S
S
BE BC
EG GC
a
a
a
a
a
=
+
=
?
?
创
+ 创
=
四边形
，
∵
(
)
SAS
GCE
BCE
≌
，
∴GB
EC
^
，
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∴
2
1
1 2 5
8
2
2
EBCG
S
EC BG
a BG
a
=
?
鬃
=
四边形
，解得：
8
5
5
BG
a
=
，
∴
8
4
4
5
2 5
5
5
5
BG
a
a
CE
=
=
?
．
14．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直
角三角形且使其周长恰好等于线段的长”．
(1)如图1，已知线段
12
AB =
，小明在线段AB 上取点M 和N ，使得
1
4
AM
AB
=
，
1
3
MN
AB
=
，再将线段
AM ，MN ，BN 围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形；
(2)如图2，点P 为线段AB 上一点，请在线段BP上作点Q ，使AP ，PQ ，
(
)
QB PQ
QB
恰好能构成一个
直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)已知正方形A、正方形B 的边长分别为有理数m 、有理数n ，且满足1
1
2
m
n
+
，(
)(
)
1
1
1
2
m
n
−
−
=
，
若正方形C 的面积等于正方形A和正方形B 的面积之和，求证：正方形C 的边长也是有理数．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【难度】0.4
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、通过对完全平方公式变形求值、作线段(尺规作图)
【分析】（1）分别算出每个线段的长度，再运用勾股逆定理进行验证，即可作答．
（2）以点P 为圆心，AP 的长为半径，画弧交线段BP于一点A，即A P
AP
=
，再分别以点A和A为圆
心，画弧，交于一点D，连接DP，直线DP是AA的垂直平分线，即在AB 的上方的l 处取一点E，使得
PE
PB
=
，连接AE ，再作AE 的垂直平分线，与PE交于一点F，再以点P 为圆心，PF 为半径画弧，交
线段PB于一点，即为点Q ，则AF
EF
QB
=
=
，AF
FA
=
，在Rt FPA
，则
2
2
2
A F
PF
A P
=
+
，所以
2
2
2
QB
PQ
AP
=
+
，即可作答．
（3）先设正方形C 的边长为x ，则
2
2
2
x
m
n
=
+
，因为(
)(
)
1
1
1
2
m
n
−
−
=
，所以
1
2
n
m
mn
+
=
+
，则
(
)
2
2
1
2
n
m
mn
+
=
+
，整理得
2
2
2
1
2
n
m
mn
+
=
−
，结合
2
2
2
x
m
n
=
+
，故
2
2
1
2
x
mn
=
−
，因为
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1
1
2
m
n
+
，所以
1
2
x
mn
=
−
，结合
,
m n都是有理数，即正方形C 的边长为有理数．
本题考查了完全平方公式以及勾股逆定理，垂直平分线的性质，第（2）问难度较大，对学生的尺规作图
能力有一定的要求，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
12
AB =
，
1
4
AM
AB
=
，
1
3
MN
AB
=
，
∴
1
3
4
AM
AB
=
=
，
1
4
3
MN
AB
=
=
∴
12 3 4
5
BN =
−−
=
∵
2
2
9 16
25
AM
MN
+
=
+
=
，
2
25
BN =
∴
2
2
2
BN
AM
MN
=
+
∴以线段AM ，MN ，BN 围成三角形，所围成的三角形是直角三角形；
（2）解：依题意，使AP ，PQ ，
(
)
QB PQ
QB
恰好能构成一个直角三角形，如图所示：
（3）解：设正方形C 的边长为x ，
∴
2
2
2
x
m
n
=
+
，
∵(
)(
)
1
1
1
2
m
n
−
−
=
，
∴
(
)
1
1
1
2
n
m
mn
n
m
mn
−−
+
= −
+
+
=
，
∴
1
2
n
m
mn
+
=
+
，
∴(
)
2
2
1
2
n
m
mn
+
=
+
，
则
2
2
2
2
1
2
4
n
nm
m
mn
m n
+
+
=
+
+
，
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∴
2
2
2
2
2
1
1
4
2
n
m
mn
m n
mn
+
=
−
+
=
−
，
∵
2
2
2
x
m
n
=
+
，
∴
2
2
1
2
x
mn
=
−
，
∵1
1
2
m
n
+
，
∴
1
2
x
mn
=
−
，
∵
,
m n都是有理数，
∴
1
2
x
mn
=
−
也是有理数，
即正方形C 的边长为有理数．
重难点二、勾股定理逆定理的拓展问题
结合折叠、动点、四边形分割，拆分图形求出各边平方，用逆定理判定隐藏
直角，再结合面积、线段长计算。不规则图形拆分为三角形，标记各段边长，统一用平方
运算，减少开方带来的计算误差。
1．（20-21 八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长a ，b ，和斜边
长c 都是含三个未知数的方程
2
2
2
x
y
z
+
=
的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）
都是这个方程的正整数解．高于二次的方程
3
3
3
x
y
z
+
=
，
4
4
4
x
y
z
+
=
，
5
5
5
x
y
z
+
=
，…是否也有正整数解
呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数
3
n
时，方程
n
n
n
x
y
z
+
=
没有正整数解．这个命题的
证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995 年完成了证明．困扰了数学家300
多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不
屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（ ）
A．费马大定理
B．怀尔斯大定理
C．勾股定理
D．勾股定理的逆定理
【答案】A
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【难度】0.94
【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数
3
n
时，方程
n
n
n
x
y
z
+
=
没有正整数解，”
即可得到答案．
【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数
3
n
时，方程
n
n
n
x
y
z
+
=
没有正整数解．
∴这个定理指的是费马大定理
故选：A．
【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知
识．
2．（21-22 八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M 在N 的左侧）把线段AB 分割成
AM，MN，NB．若以AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N 是线段AB 的购股分
割．
(1)已知M、N 把线段AB 分割成AM，MN，BN，若
1.5
AM =
，
2.5
MN =
，
2.0
BN =
，则点M、N 是线段
AB 的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N 是线段AB 的勾股分割点，且AM 为直角边，若
30
AB =
，
5
AM = ，求BN 的长．
【答案】(1)
是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N 是线段AB 的勾股分割点．
(2)BN＝12 或13
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N 是线段AB 的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM 为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋
BN2，②当MN 为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN 为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋
MN2，分别列出方程即可解决问题．
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【详解】（1）略
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，
①当MN 为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25−x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN 为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25−x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12 或13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏
解．
3．（22-23 八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路AB 旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路
AB 上的D 处建一座桥梁到达C 处，已知点C 与公路上的停靠站A 的直线距离为9km，与公路上另一停
靠站B 的直线距离为12km，公路AB 的长度为15km，且CD
AB
⊥
．
(1)求证：AC
BC
⊥
；
(2)求修建的桥梁CD的长．
【答案】(1)
证明：由题可知
9km
AC =
，
12km
BC =
，
15km
AB =
．
∵
2
2
2
9
12
225
15
+
=
=
，
即
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
，
∴AC
BC
⊥
．
(2) 36 km
5
【难度】0.85
53 / 58
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【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证；
（2）根据
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CD
=
=
△
即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CD
=
=
△
，
9km
AC =
，
12km
BC =
，
15km
AB =
，
∴
(
)
36 km
5
AC BC
CD
AB
=
=
．
答：修建的桥梁CD 的长为36 km
5
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的
平方，则这个三角形是直角三角形．
4．（21-22 八年级下·河南省直辖县级单位·期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16 页介绍
了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积为
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．
【解决问题】：已知在ABC
中，
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
．
(1)请你用“海伦—秦九韶公式”求ABC
的面积．
(2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求ABC
的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【答案】(1)15
(2)有，见解析
【难度】0.85
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、以直角三角形三边为边长的图形面积、判断三边能否构成直角
三角形
【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可；
(2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC 为直角三角形，直接两直角边的积除以2 求面积，
【详解】（1）∵
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
∴
4
7.5 8.5
10
2
p
+
+
=
=
∴
(
) (
) (
)
10
10
4
10
7.5
10
8.5
10 6 2.5 1.5
225
15
ABC
S
=
−
−
−
=
=
=
△
（2）证明：∵
4
AC =
，
7.5
BC =
，
8.5
AB =
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∴
2
2
64
4
16
4
AC =
=
=
，
2
2
15
225
2
4
BC
=
=
，
2
2
17
289
2
4
AB
=
=
∴
2
2
2
64
225
289
4
4
4
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
∴
90
C
=
所以∆ABC 为直角三角形；
∴
1
1
4 7.5
15
2
2
ABC
S
AC BC
=
=
=
△
【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键．
5．（25-26 八年级上·江苏泰州·期中）已知：
2
1
a
n
=
+ ，
2
b
n
=
，
2
1
c
n
=
−．
(1)当
299
n =
时，a
b
+
的值等于______．（结果用科学记数法表示）
(2)当
4
n =
时，以a，b，c 的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案）
(3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n 取大于1
的整数时，a，b，c 为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
4
9 10
(2)60
(3)正确，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】整式的混合运算、勾股定理逆定理的拓展问题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定
理是解题的关键．
（1）根据题意可得
2
2
(
1
2 )
(
1)
a
b
n
n
n
+
=
+ +
=
+
，把
299
n =
代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即
可；
（2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且a 是斜边，再利用三角形的面积公式计算
即可；
（3）先计算
2
2
2
2
2
(2 )
(
1)
b
c
n
n
+
=
+
−
，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】（1）解：
(
)
2
2
1 2
1
a
b
n
n
n
+
=
+ +
=
+
，
当
299
n =
时，
2
2
4
(299 1)
300
90000
9 10
a
b
+
=
+
=
=
=
；
故答案为：
4
9 10
；
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（2）解：
2
1
a
n
=
+
，
2
b
n
=
，
2
1
c
n
=
−，
当
4
n =
时，
2
4
1
17
a =
+ =
，
2 4
8
b = = ，
2
4
1
15
c =
−=
，
2
2
2
289
b
c
a
+
=
=
，
这个三角形是直角三角形，且a 是斜边，
这个三角形的面积是1 8 15
60
2
=
，
故答案为：60 ；
（3）解：小明的发现正确，理由如下：
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
(2 )
(
1)
4
(
)
2
1
(
1)
b
c
n
n
n
n
n
n
a
+
=
+
−
=
+
−
+ =
+
=
，
2
2
2
b
c
a
+
=
，
当n 取大于1 的整数时，a 、b 、c 为一组勾股数．
6．（25-26 八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c 满足方程
2
2
2
a
b
c
+
=
，则称这一组正整数(
)
, ,
a b c
为“商高数”．下面列举5 组“商高数”：(
)
3,4,5 ，(
)
5,12,13 ，(
)
6,8,10 ，(
)
7,24,25 ，(
)
12,16,20 ，注意这5 组
“商高数”的结构有如下规律：
2
2
2
2
4
2 2 1,
3
2
1 ,
5
2
1 ;
=
=
−
=
+
2
2
2
2
12
2 3 2,
5
3
2 ,
13
3
2 ;
=
=
−
=
+
2
2
2
2
6
2 3 1,
8
3
1 ,
10
3
1 ;
=
=
−
=
+
2
2
2
2
24
2 4 3,
7
4
3 ,
25
4
3 ;
=
=
−
=
+
2
2
2
2
16
2 4 2,
12
4
2 ,
20
4
2
=
=
−
=
+
．
根据以上规律，回答以下问题：
(1)写出各数都大于30 的两组“商高数”；
(2)用两个正整数
, (
)
m n m
n
表示一组“商高数”，并证明你的结论．
【答案】(1)两组数为：(
)
42,40,58 (
)
48,55,73
(2)“商高数”可表示为由2mn ,
2
2
m
n
−
,
2
2
m
n
+
三个数构成的数组，证明见解析
【难度】0.4
【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数m
n
，则“商高数”可表示为由2mn ,
2
2
m
n
−
,
2
2
m
n
+
三个
数构成的数组，取适当的值代入即可；
（2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可.
【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数m
n
，则“商高数”可表示为由2mn ,
2
2
m
n
−
,
2
2
m
n
+
三个数构成的数组，通过选择合适的
, ,
m n 使用
2
2
2
2
2
,
,
mn m
n m
n
−
+
均大于30；
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第一组：取
7,
3
m
n
=
= ，
2
2
2
2
2 7 3
42,
7
3
40,
7
3
58,
a
b
c
= =
=
−
=
=
+
=
即(
)
42,40,58 .
第二组：取
8,
3
m
n
=
=
，
2
2
2
2
2 8 3
48,
8
3
55,
8
3
73,
a
b
c
= =
=
−
=
=
+
=
即(
)
48,55,73 .
（2）解：用两个正整数m
n
，则“商高数”可表示为由2mn ,
2
2
m
n
−
,
2
2
m
n
+
三个数构成的数组，
设
2
2
2
2
2
,
,
a
mn b
m
n c
m
n
=
=
−
=
+
，
证明：
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
a
b
mn
m
n
+
=
+
−
，
2
2
4
2
2
4
4
2
m n
m
m n
n
=
+
−
+
，
4
2
2
4
2
m
m n
n
=
+
+
，
(
)
2
2
2
m
n
=
+
.
2
2
2
a
b
c
+
=
.
即：“商高数”可表示为由2mn ,
2
2
m
n
−
,
2
2
m
n
+
三个数构成的数组”．
【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关
键.
7．（23-24 八年级下·福建莆田·阶段检测）定义：若a，b，c 是ABC
的三边，且
2
2
2
2
a
b
c
+
=
，则称
ABC
为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图，ABC
中，
120
ABC
=
，
45
ACB
=
，P 为AC 边上一点，将ABP
沿直线BP进行折叠，点
A 落在点D 处，连接CD，AD．若ABD
为“方倍三角形”，且
2
AP =
，求PDC
的面积．
【答案】(1)A
(2) 3
1
−
【难度】0.4
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【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”
进而可以判断；
（2）根据题意可得
ABP
DBP
≌
△
△
，根据“方倍三角形”定义可得ABD
为等边三角形，从而证明APD
为等腰直角三角形，可得
2
AP
DP
=
=
，延长BP交AD于点E ，根据勾股定理求出BE的长，根据
PBC
△
为等腰直角三角形，可得
2
6
2
PC
PB
=
=
−
，进而可以求PDC
的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a ，
则
2
2
2
2
a
a
a
+
=
，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
2
2
2
a
b
c
+
=
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）由题意可知：
ABP
DBP
≌
△
△
，
BA
BD
=
，
ABP
DBP
=
，
根据“方倍三角形”定义可知：
2
2
2
2
2
2
BA
BD
AD
BA
+
=
=
，
AD
AB
BD
=
=
，
ABD
△
为等边三角形，
60
BAD
=
，
30
ABP
DBP
=
=
，
90
PBC
=
，
45
CPB
=
，
180
45
135
APB
=
−
=
，
90
DPC
=
，
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120
ABC
=
，
45
ACB
=
，
15
BAC
=
，
45
CAD
=
，
APD
为等腰直角三角形，
2
AP
DP
=
=
，
2
AD
=
，
延长BP交AD于点E ，如图，
ABP
PBD
=
，
BE
AD
⊥
，
1
1
2
PE
AD
AE
=
=
= ，
2
2
4 1
3
BE
AB
AE
=
−
=
−=
，
3
1
PB
BE
PE
=
−
=
−，
45
CPB
PCB
=
=
，
PBC
为等腰直角三角形，
2
6
2
PC
PB
=
=
−
，
1
1
( 6
2)
2
3
1
2
2
PDC
S
PC PD
=
=
−
=
−
．
