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专题03 直线的方程
题型一：直线的点斜式方程
题型二： 直线的斜截式方程
题型三：直线的两点式方程
题型四： 直线的截距式方程
题型五：直线的一般式方程
题型六：直线与坐标轴围成三角形问题
题型七：直线过定点
题型八：直线的一般式方程与其他形式的相互转化
题型九：直线与坐标轴围成三角形最值问题
题型一：直线的点斜式方程
1．已知直线过点
，将直线绕点
逆时针旋转
与
轴重合，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案.
【详解】直线过点
，将直线绕点
逆时针旋转
与
轴重合，
所以直线的倾斜角为
，所以
，
直线的方程为：
.
故选：D.
2．写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点
，斜率为
；
(2)经过点
，倾斜角是
；
(3)经过点
且与
轴垂直．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果；
（2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；
（3）由直线与
轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程.
【详解】（1）直线的点斜式方程为：
.
（2）由倾斜角是
，则直线的斜率为
，
所以直线的点斜式方程为：
.
（3）由于直线与
轴垂直，斜率不存在，
所以该直线的方程为
．
3．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示.
(1)过点
，斜率
；
(2)经过点
，倾斜角是直线
的倾斜角的2 倍；
(3)经过点
，且平行于y 轴．
【答案】(1)
(2)
(3)不能用点斜式，
【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程；
（2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程；
（3）由于与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程；
【详解】（1）因为直线过点
，斜率
，
由直线的点斜式方程得直线方程为
．
（2）因为直线
的斜率为
，则直线
的倾斜角为
，
可知所求直线的倾斜角为
，故其斜率为
.
所以所求直线方程为
．
（3）因为直线平行于y 轴，则直线的斜率不存在，
所以不能用点斜式方程，直线方程为
.
4．根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点
，斜率
；
(2)经过点
，倾斜角为
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中给出的点和斜率即可利用直线的点斜式方程求得答案；
（2）先根据倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程求得答案.
【详解】（1）由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为
．
（2）由题意知，直线的斜率
，
故所求直线的点斜式方程为
．
5．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示．
(1)过点
，斜率
；
(2)经过点
，倾斜角是直线
的倾斜角的2 倍；
(3)经过点
，且平行于y 轴；
(4)过
两点．
【答案】(1)
(2)
(3)不能用点斜式，
(4)
【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程；
（2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程；
（3）由于与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程；
（4）由两点的坐标可求得直线斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程.
【详解】（1）因为直线过点
，斜率
，
由直线的点斜式方程得直线方程为
．
（2）因为直线
的斜率为
，则直线
的倾斜角为
，
可知所求直线的倾斜角为
，故其斜率为
.
所以所求直线方程为
．
（3）因为直线平行于y 轴，则直线的斜率不存在，
所以不能用点斜式方程，直线方程为
.
（4）过点
的直线的斜率
，
又因为直线过点
，
所以由直线的点斜式方程可得直线方程为
．
题型二： 直线的斜截式方程
6．过点
与
的直线的斜截式方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可知直线的斜率和纵截距，即可得截距式方程.
【详解】由题意可知：直线的斜率为
，且纵截距为7，
所以直线的斜截式方程是
.
故选：A.
7．倾斜角为
，在y 轴上的截距是
的直线的斜截式方程为 .
【答案】
【分析】由倾斜角求出直线斜率，得到直线的斜截式方程.
【详解】由题意得，直线斜率为
，
故直线的斜截式方程为
.
故答案为：
8．经过点
，且倾斜角为
的直线的斜截式方程为 ．
【答案】
【分析】由倾斜角为
可得斜率为1，用点斜式写出直线方程再化成斜截式方程即可.
【详解】解：因为直线的倾斜角为
，所以直线的斜率
，
所以直线的方程为
，即
，
故答案为：
.
9．已知直线在
轴上的截距为4，倾斜角为
，且
，则直线的斜截式方程为
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，即可写出直线的方程.
【详解】因为直线的倾斜角为
，且
，所以
，
所以直线的斜率
又直线在在
轴上的截距为4，所以直线方程为
.
故答案为：
.
10．将直线
绕点
按逆时针方向旋转60°后所得直线方程的斜截式是 .
【答案】
【分析】根据题意直线旋转后的倾斜角为120°，斜率为
，且过点
，写出直线方程化简可得到结
果.
【详解】因为直线
的倾斜角是60°，
所以按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为
，且过点
．
所以其方程为
，即
.
故答案为：
.
11．已知直线l 经过点
，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的斜截式方程．
【答案】
或
【分析】由直线的斜率存在，把直线方程设为点斜式，求出在两坐标轴上的截距，利用截距相等得方程求
出斜率k，可得直线方程.
【详解】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为
，
令
得纵截距为
，令
得横截距为
，
依题意得，
，解得
或
，
所以直线方程为
或
.
题型三：直线的两点式方程
12．过点
和点
的直线在
轴上的截距为（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】由直线的两点式方程可写出直线的方程，令其中
，即可求得答案.
【详解】由题意可得过点
和点
的直线方程为
，即
，
令
，则
，即过点
和点
的直线在
轴上的截距为
，
故选：C.
13．已知直线经过点
，则直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】由直线的两点式求解，然后化为一般式即可.
【详解】因为直线过点
，
所以直线的方程为
，化简得
．
故答案为：
.
14．经过两点
的直线交
轴于点
，则点
的坐标是 ．
【答案】
【分析】由两点式得直线方程，化为一般式方程即可求得直线与
轴交点
的坐标.
【详解】由直线的两点式方程，得
所在直线的方程为
，即
令
，得
，故
点坐标为
.
故答案为：
15．已知△ABC 的三个顶点是
，
，
，则BC 边的中线AD 所在的直线的方程是
.
【答案】
【分析】由中点坐标公式求得BC 中点坐标，再由两点式求得BC 边的中线AD 所在的直线方程.
【详解】∵
，
，∴BC 中点
，又
，
∴AD 直线方程为
，整理，得：
.
故答案为：
.
16．由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)在
轴和
轴上的截距分别是
；
(2)经过两点
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用截距式直接写出直线方程，进而化为一般式；
（2）应用两点式写出直线方程，进而化为一般式.
【详解】（1）因为在
轴和
轴上的截距分别是
，
所以直线方程的截距式为
，整理得
．
（2）由两点式得
，整理得
．
17．已知直线l 经过点
，求直线l 的方程，并求直线l 的截距．
【答案】
，直线l 在
轴上的截距为
，直线l 在
轴上的截距为
.
【分析】利用直线的两点式方程及直线的斜截式方程，结合截距的定义即可求解.
【详解】因为A，B 两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程为
，整理得
．
所以直线l 的方程为
，
所以直线l 在
轴上的截距为
，
令
，则
，解得
，
所以直线l 在
轴上的截距为
.
题型四： 直线的截距式方程
18．直线
的截距式方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直线的截距式方程的特点进行求解即可．
【详解】由
得
，即
，
所以直线的截距式方程为
．
故选：B.
19．过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ．
【答案】
【分析】根据已知两点可直接得出.
【详解】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x 轴、y 轴上的截距分别为－2，3.由截距
式可知，方程为
.
故答案为：
.
20．过点
作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A，B 两点.
(1)求
的最小值，及此时直线l 的截距式方程；
(2)求
的最小值，及此时直线l 的截距式方程.
【答案】(1)8，
(2)4，
【分析】（1）根据题意可设直线l 的方程为
，代入点结合基本不等式可求出结果.
（2）由（1）可得
，则可推出
，结合基本不等式可求出结果.
【详解】（1）根据题意可设直线l 的方程为
，则
，
，
因为直线l 过点
，所以
，
又
（当且仅当
，即
，
时取等号），
所以
，即
，
所以
的最小值为8，此时直线l 的截距式方程为
.
（2）由（1）可知
，
所以
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
所以
的最小值为4，此时
，
，直线l 的截距式方程为
.
21．已知
中，
，
，
.求：
(1)
中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程；
(2)BC 边的中线所在直线的截距式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
边中点坐标及直线
斜率，写出直线方程并化简；
（2）求出
边中点坐标，写出直线方程后变形即得．
【详解】（1）由题意
中点为
，
，
所求中位线所在直线方程为
，整理得
．
（2）由已知
边中点为
，直线
的斜率为
，
直线方程为
，整理得截距式方程为
．
22．（1）已知点
，
，求线段
垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为
的直线经过点
，求的截距式方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）先求得
中点的坐标，再求得线段
垂直平分线的斜率，进而得到线段
垂直平分线
的斜截式方程；
（2）先设出的截距式方程，列出关于
的方程组，解之即可求得的截距式方程.
【详解】（1）由题意可得
，
，
所以线段
的中点为
，
，
所以直线
的垂直平分线的斜率为
，
则线段
垂直平分线的方程为
，
故斜截式方程为
.
（2）设直线的截距式方程为
，
则
①，
②.
由①②解得，
，
，
故直线的截距式方程为
.
题型五：直线的一般式方程
23．已知直线
.
(1)证明：对任意实数
，直线都经过一个定点；
(2)若直线在
轴、
轴上截距相等，求直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
.
【分析】（1）令
，解方程组即可得解；
（2）由已知条件可知
，求得直线与
轴、
轴的交点分别为
，列方程
即可求解.
【详解】（1）将直线
整理得
对任意实数
都成立，
所以
，解得
所以对任意实数
，直线都经过一个定点
；
（2）由已知条件可知
，求得直线与
轴、
轴的交点分别为
，
则有
，化简得
，
当
时，直线的方程为
当
时，直线的方程为
所以直线的方程为
或
.
24．已知
的顶点为
，
，
，求：
(1)边AC 上的中线所在直线的方程；
(2)边AC 上的高所在直线的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
中点
，和
，运用点斜式得方程；（2）求出
，运用点斜式得方程.
【详解】（1）设
中点为
，所以
，即
，
所以
，直线
：
，即
，
所以边
上的中线所在的直线方程为
.
（2）由题意得
，所以边
上高的斜率为
，
所以边
上高所在直线的方程为：
，即
.
25．已知直线
．
(1)求恒过的定点
的坐标；
(2)若经过点
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数
的方程组，求解方程组即可；
（2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出
，得到直线方程..
【详解】（1）由
可得
，
由
解得
，所以直线恒过点
.
（2）若经过点
，所以
，解得
所以直线的方程为
.
26．（1）已知直线的一个方向向量为
，且经过点
，求直线的方程；
（2）求过点
且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【答案】（1）
；（2）
或
；
【分析】（1）利用点斜式由直线的方向向量和所过点求解即可；
（2）当斜率为零时，直接求出即可；当斜率不为零时设直线方程为
，代入点求解即可；
【详解】（1）因为直线的一个方向向量为
，所以直线的斜率为
，
又经过点
，
所以直线方程为：
，即
；
（2）当截距为零时，直线方程为
，
当截距不为零时，可设直线方程为
，
由直线过点
，所以
，所以直线方程为
，
综上过点
且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
或
.
27．（1）已知点
，求线段
的垂直平分线的方程；
（2）求经过点
，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）利用中点坐标公式求
的中点坐标，利用斜率公式求
的斜率，再求
的垂直平分线
的斜率，利用点斜式可得结论；
（2）分别在所求直线过原点时和不过原点条件下，求直线的斜率，利用点斜式求直线方程.
【详解】（1）因为
，
所以线段
的中点为
，
所以直线
的垂直平分线的斜率为
，
故线段
的垂直平分线的方程为
，即
.
（2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为
，
故所求直线方程为
，即
；
②当直线不过原点时，
由改直线过点
，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为
，
所求直线方程为：
，即
，
由①②知所求直线方程为
或
.
题型六：直线与坐标轴围成三角形问题
28．直线的方程为
，
.
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若直线分别交
轴、
轴的正半轴于点
、
，点
是坐标原点．若
的面积为
，求
的值.
【答案】(1)
或
(2)
或
【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令
、
列式求解即可；
（2）分别求出直线在
轴、
轴的截距，代入三角形面积公式可得
，直接解一元二次方程
求解.
【详解】（1）当
即
时，直线的方程为
，不满足题意；
当
，即
时，令
得
，令
，得
，
由截距相等得
，解得
或
，
当
时，直线的方程为
，当
时，直线的方程为
，
故综上所述，所求直线的方程为
或
．
（2）由题意知，
，
，且在
轴、
轴上的截距分别为
、
，
所以
，解得
，
所以
的面积
，
由题意知
，化简得
，解得
或
，均满足条件，
所以
或
．
29．直线过点
且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同
时满足下列条件:
①△AOB 的周长为12;
②△AOB 的面积为6.
【答案】存在，
.
【分析】假设存在满足条件的直线，由直线方程求得A，B 进而得到△AOB 的周长与△AOB 的面积，由方
程组是否有解即可判断.
【详解】解：设直线方程为
，
若满足条件（1），则
=12.①
又因为直线过点
所以
.②
由①②可得
，
解得
，
∴所求直线的方程为
=1 或
=1，
即
或
.
若满足条件（2），则
，③
由题意得
=1，④
由③④整理得
，
解得
∴所求直线的方程为
=1 或
=1，
即
或
.
综上所述，存在同时满足（1）（2）两个条件的直线，其方程为
.
30．直线过点
，且在两坐标轴上的截距之和为12．
(1)求直线的方程
(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．
【答案】(1)
或
(2)
或
【分析】（1）设直线的方程为
，将点
代入，进一步求出
和
的值，从而求出答案；
（2）借助（1）中求出的
和
，结合面积公式即可求.
【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，
因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，
故可设直线方程为：
，且
，①
又因为直线过点
，
所以
，②
由①②解得
或
，
所以直线的方程为：
或
，
即
或
.
（2）由（1）可知，当直线的方程为
时，
；
当直线的方程为
时，
，
所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为
或
.
31．已知直线过点
.
(1)若直线与直线
垂直，求直线的方程；
(2)若直线分别与
轴的正半轴，
轴的正半轴交于
、
两点，
为原点.若
的面积为
，求直线
的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）与直线
垂直的直线的方程可设为
，将点
的坐标代入直线的
方程，求出
的值，即可得出直线的方程；
（2）设直线的方程为
，根据已知条件可得出关于
、
的方程组，解出这两个量的
值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：与直线
垂直的直线的方程可设为
，
将点
的坐标代入直线的方程得
，解得
，
所以直线的方程为
.
（2）解：设直线的方程为
，
由题意可的
，解的
，
所以直线的方程为
，即
.
32．已知一条动直线
，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标；
(2)若直线不经过第二象限，求m 的取值范围；
(3)若直线与x､y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，
的面积为6，求直线的方程.
【答案】(1)证明见解析，定点
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）整理直线方程得
．由
且
可求；
（2）由（1）知，直线恒过定点
，讨论直线与y 轴是否有交点，若有交点，只需纵截距小于等于零
即可；
（3）设直线的方程
，可得
，从而可得所求直线的方程．
【详解】（1）证明：整理直线方程得
．
由
且
可得
，
，
故直线恒过定点
，
；
（2）由（1）知，直线恒过定点
，
当直线与y 轴没有交点时，
即
，此时直线方程为
，符合题意；
当直线与y 轴有交点时，
，
求出直线的纵截距，其小于等于零即可满足题意，
令
，则
，
，
若直线不经过第二象限，则
，∴
；
所以m 的取值范围为
；
（3）设直线方程为
，
，
则
，①
由题意得，
，②
由①②整理得
，
解得
，
，或
，
，
所求直线的方程为
或
即
或
，
又直线
的斜率
，
所以
不合题意，
所以直线的方程为
.
题型七：直线过定点
33．已知直线：
，则直线恒过定点 .
【答案】
【分析】把直线方程变形为关于
的方程，令
解出即可；
【详解】由题意可得
，令
，解得
，
所以直线恒过定点
，
故答案为：
34．若直线
必过一定点，则该定点坐标是 ．
【答案】
【分析】将
直线变形成为
，令
参数的系数为0,剩余部分为0,解出关
于的二元一次方程组,即可得定点.
【详解】由
得
，
要是
恒成立，只需
，解之得
，
所以
过定点
.
故答案为：
35．不论k 为任何实数，直线
恒过定点，若直线
过此定点其m，n
是正实数，则
的最小值是 .
【答案】
/
【分析】根据题意求出
的关系，然后利用基本不等式求出
的最小值.
【详解】直线
即
，
由题意
，解得
，即直线恒过点
，
因为直线
过此定点，其中m，n 是正实数，所以
，
则
，当且仅当
即
时取等号，
所以
的最小值是
.
故答案为：
36．已知动直线
和
是两直线的交点，
是两直线
和
分别过的
定点，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】先求得
的坐标，然后判断出
，根据基本不等式求得
的最大值.
【详解】直线
，即
，
所以直线
过定点
.
直线
，即
，
所以直线
过定点
.
所以
，
由于
，所以
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时等号成立.
故答案为：
37．已知直线
恒过定点A，点A 在直线
上，则
的最小值为 .
【答案】9
【分析】由直线方程分析可得定点A 为
，进而有
，根据目标式结合基本不等式“1”的代换求
最小值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，
，
∴当
时，方程恒成立，故直线恒过定点
，
∴
，则
，当且仅当
时等号成
立，
∴
的最小值为.
故答案为：
题型八：直线的一般式方程与其他形式的相互转化
38．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
(1)斜率是
，且经过点
；
(2)经过
两点；
(3)过点
且在两坐标轴上截距相等．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
.
【分析】（1）根据直线点斜式方程运算求解；
（2）根据直线的两点式方程运算求解；
（3）根据直线的截距式方程运算求解.
【详解】（1）由点斜式得直线方程为
，即
.
（2）由两点式得直线方程为
，即
.
（3）当直线截距不为0 时，由直线的截距式方程，设求直线方程为
，
代入
得
，所以直线方程为
，
当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为
，化为一般式为
，
综上直线的方程为
或
.
39．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式.
(1)斜率是
，且经过点
；
(2)过
，且在两坐标轴上的截距相等.
【答案】(1)
(2)
和
【分析】（1）利用直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）利用直线的截距式方程进行求解即可；
【详解】（1）由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为
，
化为一般式为
.
（2）当直线截距不为0 时，由直线的截距式方程，设求直线方程为
，
代入
得
，所以直线方程为
，
当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为
，
化为一般式为
，
综上直线的方程为
和
.
40．已知
为直线
的方向向量，
，A 为MN 的中点．
(1)求出点A 的坐标；
(2)若直线
过点A，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的
，求直线
的方程；
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据直线的方向向量与斜率之间的关系可得
，再结合中点坐标公式运算求解；
（2）分类讨论直线
是否过坐标原点，利用直线截距式方程求解.
【详解】（1）因为直线
的斜率
，
由题意可得：
，解得
，
则
，所以MN 的中点A 的坐标为
，即
.
（2）因为直线
过点
，设直线
在x 轴上的截距为
，则在y 轴上的截距是的
，
则当直线
过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为
，即
；
当直线
的横纵截距均不为零时，设直线
的方程为
，
代入点
，得
，解得
，
此时直线
的方程为
，即
，
综上所述：直线
的方程为
或
.
41．
的三个顶点是
，求
(1)边AB 上的中线所在直线的方程；
(2)边BC 上的高所在直线的方程；
(3)边AC 上的垂直平分线所在直线的方程；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出AB 的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解.
（2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解.
（3）根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC 的中点，列点斜式方程，即可
求解.
【详解】（1）由已知，得
的中点
的坐标为
，又因为AB 上的中线过
，
所以直线
的方程为
，即
.
（2）
边所在直线的斜率
，
因为
边上的高与
垂直，所以
边上的高所在直线的斜率为
，
又
边上的高经过点
，所以
边上的高所在的直线方程为
，
即
.
（3）由已知，得直线AC 的斜率为
，
的中点
的坐标为
，
所以边AC 上的垂直平分线所在直线斜率为
，所以边AC 上的垂直平分线所在直线方程为
，即
.
42．已知
中，
，
，
.求：
(1)
边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.
(2)
中平行于
边的中位线所在直线的一般式方程.
【答案】(1)
，
.
(2)
.
【分析】（1）求得
边的中点，结合
,可得直线的两点式方程，进而化为一般式方程和截距式方
程；
（2）求出
中点的坐标，可得两点连线的两点式方程，继而化为一般式方程.
【详解】（1）由题意知
，
，
，所以
边的中点为
，
所以
边上的中线所在直线的方程为
，
即得其一般式方程为
，截距式方程为
.
（2）平行于
边的中位线就是
中点的连线.
因为线段
中点坐标分别为
，
，
所以这条直线的方程为
，
整理得一般式方程为
.
题型九：直线与坐标轴围成三角形最值问题
43．已知直线过点
，根据下列条件分别求出直线的方程．
(1) 在
轴、
轴上的截距互为相反数；
(2) 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
【答案】(1)
或
；
(2)
【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；
（2）写出直线的截距式方程，代入点
得
，利用不等式即可求解取最值时的
，
．
【详解】（1）①当直线经过原点时，在
轴、
轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为
，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，
，
，即
．
综上所述直线的方程为
或
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为
，将
代入可
得
，
故
，故
，当且仅当
，即
时等号成立，
故此时面积最小为
,
故直线方程为
，即
44．（1）直线过点
且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）直线
过点
且与
轴正半轴分别交于
两点，
为坐标原点，求三角形
面积取最
小值时直线
的方程．
【答案】（1）
或
；（2）
.
【分析】（1）讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式及所过的点求直线方程；
（2）由题意直线斜率一定存在且不为0，设直线为
，求出与坐标轴交点坐标，并得到三角
形面积关于k 的关系式，利用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即得直线方程.
【详解】（1）若截距都为0 时，则所求直线为
；
若截距不为0 时，设直线为
，则
，
所以
；
综上，所求直线为
或
.
（2）由题意，直线斜率一定存在且小于0，
设直线为
，故
，
所以三角形
面积
，
当且仅当
时三角形
面积取最小值为4，
所以，对应直线为
.
45．已知直线
和直线
，当实数
的值在区间
内变化
时，
(1)求证直线
恒过定点，并指出此定点的坐标.
(2)求直线
与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析,直线
恒过定点
(2)
【分析】（1）将直线化为
即可求解定点，或者化为
，
（2）根据直线经过定点，分别求解两直线与坐标轴的交点坐标，即可由三角形的面积公式,结合二次函数
的性质求解.
【详解】（1）解法1
当
时，
，无论
为何值，直线
过定点
；
当
时，
，直线
过定点
；
综上：直线
恒过定点
；
解法2：将直线
化为
，
由
，得
，即直线
恒过定点
.
（2）将直线
化为
，得直线恒过定点
，
在直线
中，由于
，令
得
，
令
，故直线与
轴正半轴交于点
,
同理在直线
中，令
，得
，故
与
轴正半轴交于点
,
如图，在平面直角坐标系中取点
，连接
，当实数
的值在区间
内变化时，过点
作出直线
的大致图象，与
轴交于点
与
轴交于点
.
则点
的坐标为
，点
的坐标为
.
因为
，所以
，
在
中
边上的高为2，在
中
边上的高为2，
所以
，
所以当
时，所求四边形
的面积最小，最小值为
.
46．设直线l 的方程为
(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A，交y 轴负半轴于点B，
的面积为S，求S 的最小值并求此时直线l 的
方程.
【答案】(1)
或
.
(2)6，
【分析】（1）分截距是否为0 两种情况，求得参数a，即可得答案.
（2）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出
的面积的表达式，结合基本不等
式即可求得答案.
【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时
，解得
，此时直线方程为
.
当直线不过原点时，l 在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为
，
故
，解得
，
可得直线l 的方程为:
.
综上所述，直线l 的方程为
或
.
（2）由题意知
，
令
，解得
，解得
；
令
，解得
，解得
或
.
综上有
.
∴
，
当且仅当
，即
时取等号.
∴
（
为坐标原点）面积的最小值是6，
此时直线方程
，即
.
47．已知直线的方程为：
．
(1)求证：不论
为何值，直线必过定点
；
(2)过点
引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）列出方程
，分别令
，
可求出定点；
（2）先令
令
，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）证明：
直线的方程为：
提参整理可得：
．
令
，可得
，
不论
为何值，直线必过定点
.
（2）设直线的方程为
．
令
则
，
令
．则
，
直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积
．
当且仅当
，即
时，三角形面积最小．
此时的方程为
．
