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专题04 函数与方程、不等式之间的关系
题型一：解二次（可化为二次）函数不等式
题型二：求函数零点
题型三：求函数零点个数
题型四：判断函数零点所在区间
题型五：根据函数零点（零点个数）求参数
题型六：用二分法求零点近似值
题型一：解二次（可化为二次）函数不等式
1．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】将不等式化为
，应用一元二次不等式、绝对值不等式解法求解集.
【详解】不等式可化为
，即
，解得
．
故选：B
2．“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先解不等式，再根据充分，必要条件与集合的关系，即可判断选项.
【详解】
，解得：
，
不等式“
”的一个充分不必要条件应是
的真子集，
选项中只有
是
的真子集.
故选：D
3．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解出不等式
和
，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】由
，得
，解得
；
由
，得
，得
，
当
时，一定可以推出
，而当
时，不能推出
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
4．解下列不等式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
；
(2)
或
；
(3)
.
【分析】（1）（2）由不含参的一元二次不等式的解法求解集；
（3）由分式不等式得
，解不含参的一元二次不等式求解集.
【详解】（1）由
，得不等式的解集为
．
（2）
，得不等式的解集为
或
（3）不等式
等价于
，解得
，解集为
.
5．解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示）
(1)
；
(2)
(3)
．
【答案】(1)
或
，
(2)
(3)
或
【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解，
（3）根据分式不等式的性质即可求解.
【详解】（1）由
可得
，解得
或
，
故不等式的解为
或
，
（2）由
可得
，
即
，解得
，
故不等式的解为
（3）由
得
，
故
或
，
故不等式的解为
或
题型二：求函数零点
6．函数
的零点为（ ）
A．1，
B．
，
C．2，
D．
，
【答案】B
【分析】解一元二次方程，利用方程根与零点的关系即可求解.
【详解】令
，即
，解得：
，
，
所以函数
的零点为
和
.
故选：B
7．函数
的零点是 .
【答案】
【分析】令
解得
，从而
即为
的零点.
【详解】由题意可知
的定义域为
，
令
，可得
，解得
（舍去）或
，所以
.
故答案为：.
8．求下列函数的零点．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
和2．
(2)答案见解析．
【分析】（1）解一元二次方程求零点即可；
（2）分类讨论函数的零点即可.
【详解】（1）由
得
，
∴
或
．
所以函数
的零点为
和2．
（2）①当
时，
，由
得
，
所以函数的零点为
．
②当
时，由
得
，
当
，即
时，相应的方程无实数根，函数无零点；
当
，即
时，
，函数有唯一的零点
．
当
，即
且
时，
由
得
或
，
函数有两个零点
和
．
综上，当
时，函数的零点为
；
当
时，函数无零点；
当
时，函数的零点为
；
当
且
时，函数有两个零点
和
．
9．求下列函数的零点.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】根据一元二次方程的根，结合求根公式或者因式分解即可求解.
【详解】（1）令
，
，
所以方程有两个不相等的实数根为
，
所以函数
的零点为
.
（2）令
，即
，
得
或
，
当
即
时，方程有两个相等的实数根
，
当
时，方程有两个不相等的实数根
和
，
所以当
时，函数的零点为
，当
时，函数的零点为
和
．
10．求函数
的零点．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，令
，通过解方程，即可求解.
【详解】由
，得到
，所以函数的定义域为
，
由
，得到
，两边平方并化简得到
，解得
（舍）或
，
所以函数的零点为
.
题型三：求函数零点个数
11．函数
的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】分解因式求解方程的根即可.
【详解】函数
的零点，即方程
的实数根.
由
解得，
或
.
故函数
的零点个数是.
故选：D
12．已知分段函数
，则方程
的解的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】根据给定函数，分段解方程即可得解.
【详解】函数
，由
，得
或
，
解
得
或
，解
得
，
所以方程
有3 个解.
故选：B
13．函数
的零点个数为 .
【答案】1
【分析】判断函数的单调性，分类讨论k 的取值范围，结合零点存在定理，即可求得答案.
【详解】由题意知
在
上单调递减，
当
时，
，此时函数有1 个零点；
当
时，
，
，此时函数在
上有唯一零点，
当
时，
，
，此时函数在
上有唯一零点，
综合可得函数
的零点个数为1，
故答案为：1
14．已知函数
．
(1)在图中的平面直角坐标系中画出函数
的图象．
(2)设
，讨论
的零点个数．
【答案】(1)图象见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意结合函数图象变换分析作图；
（2）根据题意分析可得
的零点个数即为
与
两图象的交点个数，进而结合图象求解即
可.
【详解】（1）将
的图象向下平移2 个单位，得到
，
再将
位于x 轴下方的部分对称至x 轴上方，得到
.
所以函数
的图象如图所示：
（2）令
，可得
，
可得
的零点个数即为
与
两图象的交点个数．
由（1）中图可知：当
，即
时，两图象无交点；
当
或
，即
或
时，有一个交点；
当
，即
时，有两个交点．
综上所述：当
时，
无零点；
当
或
时，
的零点个数为1；
当
时，
的零点个数为2．
15．判断下列函数的零点个数．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)两个零点
(2)只有一个零点
【分析】（1）由
，解方程，利用方程根的个数判断函数零点的个数；
（2）方法一：由
，解方程，利用方程根的个数判断函数零点的个数；方法二：由
，得
，令
，
，在同一坐标系中画出
和
的图象，由图象交点的个数判
断零点的个数.
【详解】（1）由
，即
得
，
∴方程
有两个不相等的实数根，分别为3、4，
∴函数
有两个零点，分别是3、4．
（2）（方法一）由
，得
，∴
，∴
且
，
∴
．故函数
只有一个零点．
（方法二）由
，得
．令
，
，
在同一坐标系中画出
和
的图象，由图可知两函数图象只有一个交点，
故函数
只有一个零点．
题型四：判断函数零点所在区间
16．方程
的根所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用零点存在定理可得出结果.
【详解】令
，
故函数
为定义在
上的连续函数，且显然为增函数，
因为
，
，
，
由零点存在定理可知，方程
的根所在的区间为
.
故选：C.
17．已知函数
．下列区间中包含
零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断得解.
【详解】函数
，
当
时，
，则
，
，
，因此在区间
内有函数
的零点，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以数
的零点在区间
内.
故选：B
18．函数
的一个零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
、
、
与
、
，根据零点存在定理即可求解.
【详解】由题意知函数
在R 上单调递增，
，
，
，
，
，
则函数
的一个零点所在的区间是
.
故选：C.
199．函数
的一个零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先判断
在
上的单调性，再由零点存在性定理判断即可.
【详解】因为
与
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
，所以
，所以
在
上存在一个零点.
故选：B
题型五：根据函数零点（零点个数）求参数
20．已知函数
若函数
有五个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
的范围，又
即可将问题转化为
，
共有
四个零点，结合函数的图象即可求解.
【详解】当
时，
则
，此时
，则
或
，
当
时，
则
，此时
，则
，
故问题转为
，
共有四个零点，
画出函数图象如下可知：则
，
故选：D
21．已知函数
，若函数f(x)恰有2 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
的图象进行分析，由
的零点个数确定
的取值范围.
【详解】画出函数
的图象如下图所示，
依题意
有
个零点，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
22．已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在
上有三个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性以及
时的表达式，即可求出函数
的解析式；
（2）利用（1）中的解析式可画出函数图象，由函数与方程的思想利用数形结合即可求得
的取值范围是
．
【详解】（1）令
，则
，又
是定义在
上的奇函数，
所以可得
．
又
，
故函数
的解析式为
（2）根据题意作出
的图象如下图所示：
，
，
若函数
在
上有三个零点，即方程
有三个不等的实数根，
所以函数
与
有三个不同的交点，
由图可知当
，即
时，函数
与
有三个不同的交点，即函数
有三个零
点．
故
的取值范围是
．
23．已知
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在[1,+∞）上的单调性，并说明理由；
(3)若方程
有四个不同的实数根，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)偶函数
(2)增函数，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断，
（2）根据单调性的定义即可判断，
（3）利用函数图象，即可由图象求解.
【详解】（1）
的定义域为
，关于原点对称，
∵
∴
为偶函数.
（2）
上是增函数，理由如下：
设
，且
，则
，
∵
；
，
，
∴
＞
∴
在
上是增函数
（3）∵
有四个不同的实数根，
当
时，
，故对称轴为
，且当
时，
取最小值
，
，又
为偶函数，
∴
图象与直线
有四个不同的交点，作出
的草图如下.
如图可得：直线
与
图象有四个不同交点时m 的取值范围为：
24．已知函数
.
(1)用分段函数的形式表示函数
，并作出函数
的草图；
(2)结合图象列出它的单调递增区间；
(3)若方程
有2 个不等的实数根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
和
.
(3)
或
【分析】（1）将函数解析式写成分段函数，即可画出函数图象；
（2）结合图象得到函数的单调递增区间；
（3）依题意函数
的图象与直线
有
个交点，结合函数图象即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
所以
，
所以函数图象如图：
（2）因为函数
的图象对称轴为
，开口向上，
函数
的图象的对称轴为
，开口向上，
由函数图象可知，函数的单调递增区间为
和
.
（3）因为方程
有2 个不等的实数根，
所以函数
的图象与直线
有
个交点，
又
，所以
或
，
所以实数
的取值范围是
或
.
题型六：用二分法求零点近似值
25．设函数
，用二分法求方程
近似解的过程中，计算得到
，则方程的近似解落在区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得
，得到
，结合零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由函数
，且
，可得
，
所以
，根据零点的存在性定理，
可得方程
的近似解落在区间为
.
故选：A.
26．设函数
．则
在区间
内零点的近似解为 ．（精确到
0.1）
【答案】
（不唯一）
【分析】应用二分法求零点的近似解区间，即可得答案.
【详解】由
，而
，则
，
，则
，
，则
，
，则
，
由
，所以区间
内零点的近似解为
.
故答案为：
27．已知函数
在
上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1 时，至少
需要进行 次函数值的计算.
【答案】4
【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的
，根据精度要求即可求解.
【详解】设对区间
二等分
次，初始区间长度为1，
第1 次计算后区间长度为
；
第2 次计算后区间长度为
；
第3 次计算后区间长度为
；
第4 次计算后区间长度为
；
故至少计算4 次.
故答案为：4.
28．求方程
在区间
内的实根，取区间中点
，那么下一个有根区间是 ．
【答案】
【分析】利用零点存在定理可得出结果.
【详解】令
，则
，
，
由因为
，
因此，下一个有根的区间为
.
故答案为：
.
29．若用二分法求方程
在初始区间
内的近似解，则第三次取区间的中点
.
【答案】
/0.625
【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.
【详解】设
，
则
，
，
∴第一次取区间
的中点
，
，∴
，∴
的零点所在的区间为
，
∴第二次取区间
的中点
，
，∴
，∴
的零点所在的区间为
，
∴第三次取区间
的中点
.
故答案为：
.
