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专题06 二面角
题型一：定义法求二面角
题型二：利用向量法求二面角
题型三：根据二面角求参数
题型四：二面角中的最值（范围）问题
题型五：二面角中的探索性问题
题型一：定义法求二面角
1．如图，在正方体
中，
是
的中点，二面角
的平面角是 ，其正
切值为 ．
2．如图，长方体
中，
是边长为1 的正方形，
与平面
所成的角为
，则
棱
的长为 ：二面角
的大小为 .
3．三棱锥
中，
，且
，则当该三棱锥的体积最大时二面角
的正切值为 .
4．如图，在正三棱柱
中，
．若二面角
的大小为
，则侧棱长为
．
5．已知正三棱锥
侧棱与底面边长都相等，则二面角
的正弦值为 .
题型二：利用向量法求二面角
6．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
平面
为棱
上的动点．
(1)当
为棱
的中点时，证明：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
7．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，
，
，点E，F 分别是棱
PA，PC 的中点．
(1)证明：
．
(2)求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值．
8．如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，
，
.
(1)证明：
.
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
9．如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E 在AB 上，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二
面角为
．
(1)证明:
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
10．如图，在三棱锥
中，
.
(1)证明：
平面
.
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
题型三：根据二面角求参数
11．如图，在四棱锥
中，已知：
平面ABCD，
，
，
，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角
的平面角大小为
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知梯形
如图（1）所示，其中
，
为线段
的中点，四边形
为正方
形，现沿
进行折叠，使得平面
平面
，得到如图（2）所示的几何体．已知当
上一点
满足
时，平面
平面
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知二面角
的大小为
，点B、C 在棱l 上，
，
，
，
，则AD 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．如图，将两个相同的四棱锥
与
对称摆放组成一个多面体，已知
平面
，四边形
是边长为2 的正方形，若平面
与平面
的夹角为
，则该多面体的体积为
.
15．如图，在四棱锥
中，
底面
，
为直角，
，
，E，F
分别为PC，CD 的中点，
，且二面角
的平面角大于
，则
的取值范围是
.
题型四：二面角中的最值（范围）问题
16．在平面五边形
中，如图1 所示，
，
，
．
将平面四边形
沿
翻折成空间图形，使D，E 分别至点
，
，连接
，
，如图2 所示，
其中
，
都为动点．
(1)若
，证明：平面
平面
；
(2)若平面四边形
沿
旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积；
(3)求二面角
的余弦值的最小值．
17．如图，在平面四边形
中，
，
，将
沿
翻折至
，
形成三棱锥
，其中为动点．
(1)设
，点
在棱
上．
（i）证明：
；
（ii）当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正弦值．
(2)求平面
与平面
夹角余弦值的最小值．
18．如图，四棱锥
中，
．
(1)当
为正三角形时，
（i）若
，证明：直线
平面PBC；
（ii）若A，B，D，P 四点在以
为半径的球面上，则四棱锥
的体积是多少？
(2)当
为等腰直角三角形时，且
，求二面角
的余弦值的最小值．
题型五：二面角中的探索性问题
19．如图所示，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE，CDEF 为两个全等的等腰梯形，
，
，
，
，点N 为线段AD 上的点（包含端点）.
(1)当点N 为线段AD 的中点时，求证：
平面
；
(2)线段AD 上是否存在点N，使得平面BFN 和平面ADE 的夹角为
．
20．如图，四棱锥
的底面是边长为
的菱形，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若点
在平面
内的投影为
的重心，且直线CP 与平面ABCD 所成角为
.
（i）求四棱锥
的体积；
（ii）若点M 为棱CP 上的动点（不包括端点），当平面
和平面
所成角的正弦值为
时，求
的值.
21．在四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
．动点
在
线段
上满足
，动点
在线段
上满足
，其中
．
(1)当
时，证明：
平面
；
(2)是否存在
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，说明理
由．
22．在四棱锥
中，已知
，
，
，
，平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
.
(2)若
，在棱
上是否存在一点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
？若存在，求
出
的长度；若不存在，请说明理由.
23．已知平行四边形
如图甲，
，沿
将
折起，使点
到达点
位
置，且
，连接
得三棱锥
，如图乙.
(1)证明：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使二面角
的余弦值为
，若存在，求出
的值，若不存
在，请说明理由.
