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专题 06 双曲线的方程 11 大考点
考点 01 求双曲线的标准方程
考点 02 双曲线定义的判断及应用
考点 03 双曲线的筒单性质
考点 04 双曲线的焦点三角形
考点 05 双曲线的轨迹方程
考点 06 双曲线的离心率问题
考点 07 双曲线的渐近线问题
考点 08 直线与双曲线的位置关系
考点 09 双曲线的弦长问题
考点 10 双曲线的中点弦问题
考点 11 双曲线的解答题综合
考点 01 求双曲线的标准方程
1．已知双曲线 经过点
，离心率为
，则双曲线 的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．从某个角度观察篮球（如图 1），可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外形形状为圆 O，
将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分，
，视 AD 所在直线为 x 轴，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
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C．
D．
3．与椭圆
共焦点且过
的双曲线方程为
．
4．已知双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，则双曲线
的标准方程
为
．
5．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在 x 轴上，经过点
，
；
(2)与双曲线
有相同的渐近线，且过点
．
考点 02 双曲线定义的判断及应用
6．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线上，
.
7．已知双曲线
的上、下焦点分别为
，
，点 P 在双曲线 C 上，若
，则
（
）
A．3
B．17
C．3 或 15
D．1 或 17
8．已知点
的坐标满足
，则动点 P 的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．两条射线
D．双曲线的一支
9．在平面直角坐标系
中，已知点
，
，点
是平面内一个动点，则下列说法正确的是（
）
A．若
，则点 的轨迹为椭圆
B．若
，则点 的轨迹为椭圆
C．若
，则点 的轨迹为直线
D．若
，则点 的轨迹为双曲线的一支
考点 03 双曲线的筒单性质
10．已知双曲线
的虚轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
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11．双曲线
的一条渐近线方程为
，则 C 的焦距为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．双曲线
与
的（
）
A．实轴长相等
B．虚轴长相等
C．渐近线方程相同
D．焦距相等
13．（多选）已知双曲线
，则（
）
A． 的虚轴长为
B． 的离心率为
C． 与直线
仅有 1 个公共点
D． 关于直线
对称
14．已知双曲线 ：
的两条渐近线的倾斜角均小于
，则 的焦距的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点 04 双曲线的焦点三角形
15．已知双曲线的两个焦点
是双曲线上一点，且
，则双曲线
的标准方程是（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知点
分别是双曲线
的左､右焦点，若点 是双曲线左支上的点，且
的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
17．已知
，
是双曲线 ：
的两个焦点， 为 上一点，且
，若
的面积是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．已知双曲线
的左､右焦点分别为
，抛物线
以
为焦点，
与 的一个交点为 ，若
的周长为
，则
.
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19．设双曲线
的左，右两个焦点分别为
， ， 是双曲线上任意一点，过
的直线与
的
平分线垂直，垂足为 ，则线段
的长度为
.
20．设双曲线
，
，
是其两个焦点，点 P 在双曲线右支上.若
，
(1)求双曲线的渐近线方程.
(2)求
的面积.
考点 05 双曲线的轨迹方程
21．已知点 到直线
和
的距离之积为 3，记 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A． 是两条互相垂直的直线
B． 是焦点在 轴上的椭圆
C． 是离心率为 2 的双曲线
D． 上的点与原点之间的距离不小于 2
22．已知圆
，点 在圆 A 上运动，设线段 PB 的垂直平分线和直线 PA 的交点为
，则 点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．已知
，一炮弹在某处爆炸，在 处听到爆炸声的时间比在 处早
，设声速为 340
．则爆炸点所在曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．动圆
过定点
，与定圆
外切，则动圆圆心
的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
25．方程
的化简结果为（
）
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A．
B．
C．
D．
考点 06 双曲线的离心率问题
26．已知椭圆
和双曲线
有公共焦点
（
为左焦点）， 与
在
第三象限交于点
，直线
交 轴于点
，且
平分
，则
的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
27．已知双曲线 C：
的左、右焦点分别为
，
，以
为圆心，
为半径的圆与
双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
28．已知双曲线
的左、右焦点分别是
，
，过点
的直线与双曲线 的右支交
于 ， 两点，若
，则双曲线 离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．已知 是双曲线
左支上的一点，
是 的左焦点，点 关于原点 的对称点
为 ，延长
交 于点
，且
，则 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
30．设
分别为双曲线
的左､右焦点，点 在 的右支上，直线
与 的右
支的另一个交点为 ，若
，则双曲线的离心率为
.
31．已知
，
是双曲线
的左、右焦点，点 在 上，
与 x 轴垂直，若
的外接圆半径是其内切圆半径的
倍，则 E 的离心率为
.
考点 07 双曲线的渐近线问题
32．双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，点 是以
为直径的圆与双曲线
的一个交点，若
，则双曲线 的渐近线为（ ）
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A．
B．
C．
D．
33．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，过
作 的两条渐近线的平行线，
与渐近线交于
、
两点.若
，则 的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
34．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线与 的左支交于 A，B 两
点，且
，则 的渐近线为（
）
A．
B．
C．
D．
35．如图，双曲线 ：
的左焦点为
，过原点 的直线与 交于 ， 两点（点 位
于第二象限），
为
的中点，直线
为 的一条渐近线，且
，则直线
的方程为
．
36．已知双曲线
的左､右焦点分别为
，一条渐近线为 ，设过点
且与 垂直
的直线为 ， 交 于点
， 交双曲线 右支于点
，若
，则双曲线 的两条渐近线方
程为
．
37．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，O 为坐标原点，以点
为圆心且与
C 的渐近线相切的圆与 C 在第一象限交于点 A，B 为
的中点，若
，则 C 的渐近线的斜率为
.
考点 08 直线与双曲线的位置关系
38．如果直线
与双曲线
的右支有两个公共点，求 的取值范围（ ）
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A．
B．
C．
D．
39．已知双曲线
与直线
无交点，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
40．双曲线
与直线 l：
(m∈R)的公共点的个数为
.
41．已知直线
与双曲线
交于异支两点，则 的取值范围为
．
42．已知双曲线
.
(1)若双曲线 的离心率为
，求 的值；
(2)若直线
与圆
相切，证明：直线 与双曲线 的左右两支各有一个公共点.
考点 09 双曲线的弦长问题
43．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，焦距为 6，离心率
．过点
且倾
斜角为
的直线 与双曲线 交于 A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
44．已知双曲线
的离心率为 2，过右焦点
作斜率为 1 的直线 与 交于
两
点，若
，则
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
45．（多选）已知双曲线
的上、下焦点分别为
，实轴长为 4，点 为 上一点，且
，则（ ）
A． 的焦距为
B．
C．
的面积为
D． 的纵坐标为
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46．双曲线
的左､右焦点分别为
，点 在双曲线右支上，直线
的斜率为 2.若
是直角三角形，且面积为 8，则双曲线的方程为
，其焦距为
.
47．已知曲线
，两条直线
均过坐标原点 O， 和曲线 C 交于 M，N 两点， 和曲线 C
交于 P，Q 两点，若
的面积为
，则四边形
的面积为
.
48．已知双曲线 ：
的离心率为
，实轴长为 2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线
被双曲线 截得的弦长为
，求实数
的值．
考点 10 双曲线的中点弦问题
49．若经过点
的直线与双曲线
相交于 ， 两点，且弦
被点
平分，则此直线方程为
（
）
A．
B．
C．
D．
50．已知双曲线
，斜率为 4 的直线与双曲线 相交于点 ， ，且弦
的中点
坐标为
，则双曲线 的离心率为（
）
A．2
B．
C．4
D．5
51．若双曲线
不存在以点
为中点的弦，则正实数
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
52．双曲线
的右焦点为
，过
的直线 与 的右支相交于
两点，点
为线段
的中点，
若
的中垂线与 轴交于点
，则
的横坐标为（
）
A．2
B．
C．3
D．
53．已知直线
与双曲线
相交于
两点.若弦
被直线
平分，则实
数 的值为
.
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54．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，且经过点
.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 相交于
两点，且线段
的中点坐标为
，求直线 的方程.
55．已知双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，其渐近线方程为
.
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)过点
作直线与曲线 C 相交于 P，Q 两点，点 N 能否是线段 PQ 的中点？若能，求直线 PQ 的方程；
若不能，请说明理由.
考点 11 双曲线的解答题综合
56．已知双曲线 :
的离心率为
，点
在双曲线 上．
(1)求 的方程；
(2)已知直线
， 交 于 ， 两点，
①是否存在直线
满足
，若存在求出直线 的方程，若不存在请说明理由；
②若
，求
的面积的最小值．
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57．已知双曲线
过点
，一条渐近线方程为
.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若点 为双曲线左支上一点，
，求
的最小值；
(3)过点
的直线与双曲线 的右支交于
，
两点，求证：
为定值.
58．在平面内，动点
到定点
的距离和它到定直线
的距离之比是常数
，记动点
的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程．
(2)设斜率为 1 的直线与曲线 交于
两点，记线段
的中点为
为坐标原点，判断直线
的斜率
是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．
59．已知双曲线
，右焦点为
，左、右顶点分别为
， ，过
垂直于 轴
的弦长为 6.
(1)求 的方程；
(2)过
的直线与 的右支交于
，
两点，直线
，
交于点 ，证明： 在定直线上.
60．已知双曲线
的离心率为
，且焦点到渐近线的距离为 2.
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(1)求双曲线 的方程；
(2)若动直线 与双曲线 恰有 1 个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点， 为坐标原点，
证明：
的面积为定值.
61．已知双曲线
的离心率为 2，右焦点为
.
(1)求 的方程.
(2)若动直线 过点
，且与 交于
，
两点（
在第一象限，
在第四象限），过点
作直线
的垂
线，垂足为
.
（i）证明：直线
恒过点
；
（ii）设 为坐标原点，
的面积为 ，求 的最小值.
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