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专题 07 抛物线 9 大考点
考点 01 求抛物线的标准方程
考点 02 抛物线定义的判断及应用
考点 03 抛物线的筒单性质
考点 04 抛物线的轨迹方程
考点 05 直线与抛物线的位置关系
考点 06 抛物线的弦长问题
考点 07 抛物线的中点弦问题
考点 08 抛物线的最值范围问题
考点 09 直线与抛物线的综合问题
考点 01 求抛物线的标准方程
1．抛物线
的焦点为
，点
在 上，
，则
（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．若抛物线
上一点
到其焦点的距离为 ，则该抛物线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知正方形
的边长为 2，其中三个顶点在抛物线
上，则
.
4．已知点
在抛物线
上，则该抛物线的准线方程为
.
考点 02 抛物线定义的判断及应用
5．已知抛物线
的焦点为
，点
在 上.若
到直线
的距离为 5，则
.
6．抛物线
上的一点 到 轴的距离为 12，则 与焦点
间的距离
．
7．设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l．P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作
于 Q，则线段
FQ 的垂直平分线（
）
A．经过点 O
B．经过点 P
C．平行于直线 OP
D．垂直于直线 OP
8．已知抛物线
的焦点为
，准线为
为抛物线上一点，作
于点
，若
为等边
三角形，则 点的横坐标为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点 03 抛物线的筒单性质
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9．已知抛物线 ：
与圆 ：
（
）交于 ， 两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
上，则这个等边三角形的
边长为
.
11．已知抛物线
的焦点为
，
是 上一点，且 到
的距离与 到 的对称轴的
距离之差为 2，则
（
）
A．
B．1
C．2 或 4
D．4 或 36
12．抛物线
上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为 10 和 6，则该点的横坐标
是
．
13．在同一坐标系中，方程
与
的曲线大致是（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知点
关于 轴的对称点在曲线
上，且过点 的直线
与曲线 相交于点
，则
.
考点 04 抛物线的轨迹方程
15．若圆 与 轴相切且与圆
外切，则圆 的圆心的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
16．已 知 是直线
上的一个动点，过点 作抛物线
的两条切线
，
，切点分别为
， ，则
的重心
的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
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17．已知 A，B 两点的坐标分别是
，
，直线
，
相交于点 M，且
，则点 M 的
轨迹方程为
．
18．在平面内，到定点
的距离比到定直线
的距离大 1 的动点
的轨迹方程是
．
19．已知抛物线
，过点
的直线与抛物线交于 ， 两点，则线段
中点
的轨迹方程
为
.
20．设抛物线
的焦点为
，过点
作直线 交抛物线于 ， 两点，再以
，
为邻边作平
行四边形
，求动点 的轨迹方程．
考点 05 直线与抛物线的位置关系
21．已知抛物线
的焦点为
，过点
且与抛物线 有唯一公共点的直线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
22．已知直线
和抛物线
，则“
”是“直线 与抛物线 恰有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
23．已知抛物线 C 的方程为
，过点
和点
的直线 l 与抛物线 C 没有公共点，则实数 t
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
24．（多选）已知抛物线
过点
，则（
）
A．拋物线 的标准方程可能为
B．抛物线 的标准方程可能为
C．过点 与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点 与抛物线只有一个公共点的直线有两条
25．若抛物线
图像上一点到直线
距离的最小值为
，则
（
）
A．
B．8
C．8 或
D．
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26．已知抛物线
的焦点为
，以
和 的准线上的两点为顶点可以构成边长为
的等
边三角形．
(1)求 的方程；
(2)讨论过点
的直线 与 的交点个数．
考点 06 抛物线的弦长问题
27．已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交抛物线于 ， 两点，若
，则
（ ）
A．12
B．10.5
C．9
D．7.5
28．设抛物线
的焦点为
，不经过
的直线与 交于 、 两点，与 轴交于点 ，已
知点 的坐标为
，且
与
的面积之比是
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
29．已知抛物线
的焦点为
，斜率为 的直线 与抛物线 交于
，
两点，则
的值为
．
30．已知抛物线
的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 交于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点
的纵坐标为 1，且
，则
.
31．已知
是抛物线
的焦点， 是准线，过
作圆
的切线，与抛物线 交于
点
、
两点（
在
的上方），过
作 的垂线，垂足为 ，则
的面积为
．
32．已知 为坐标原点，
为抛物线 ：
的焦点， 是 上异于 的一点，且点 到
的
距离比到 轴的距离大 1.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若经过点
的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且
，求 的方程.
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33．已知抛物线 的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若抛物线 的焦点在 x 轴上，一条斜率为
的直线过该抛物线 C 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，求弦
的长度.
考点 07 抛物线的中点弦问题
34．直线
被抛物线
截得的线段
的中点坐标是（
）．
A．
B．
C．
D．
35．已知抛物线
，直线
与抛物线相交于
，且
的中点为
，则
．
36．若直线 经过抛物线
焦点，且与抛物线相交于
两点，且
，则
的中点横坐标
为
.
37．在平面直角坐标系
中，点 到点
的距离比它到直线
的距离小 3，记动点 的轨迹为曲线
．
(1)求曲线 的方程；
(2)已知直线 与曲线 交于
两点，且
的中点为
，求证：以
为直径的圆过点 ．
38．在抛物线
中，若直线 与抛物线相交于
两点，
是弦
的中点，弦
所
在直线的斜率为
，求证：
．
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39．已知抛物线
的准线方程为
，焦点为 F，
是抛物线上的一点，O 为坐标
原点.
(1)求抛物线 C 的方程及
；
(2)已知直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，使点
恰为
的重心，求直线 l 的斜率 k.
40．已知圆
的圆心
是抛物线 的焦点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 于 、 两点，是否存在直线 ，使得点
是弦
的中点？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.
考点 08 抛物线的最值范围问题
41．过抛物线
的焦点
作两条互相垂直的弦
，
，设 为抛物线上的一个动点，
，若
，则
的最小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．4
42．在平面直角坐标系
中，已知两点
，点
在直线
上 ，若
为抛物线
上一点，
则
的最小值为（
）
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A．
B．
C．
D．
43．已知
是抛物线
上的动点，
是圆
上的动点，若 的焦点为
，则
的最小值为
.
44．如图所示点
是抛物线
的焦点，点 、 分别在抛物线
及圆
的实线部分
上运动，且
总是平行于 轴，则
的周长的取值范围是
．
45．若点 是抛物线
上的一动点，点 是直线
上的一动点，则线段
的长度的最小
值为
．
46．已知抛物线
的焦点为
，准线为 ，点 在抛物线上，
于点 ．若
是锐角三角形，
则
的取值范围是
．
考点 09 直线与抛物线的综合问题
47．（多选）已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
在 的准线上，过 的
直线与 交于不同的两点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
48．在平面直角坐标系
中，已知抛物线
上一点
到焦点
的距离为 5.过
点
的直线 与抛物线交于不同的两点 、 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若
的面积为 20，求直线 的方程；
(3)若直线
交 轴于点 ，直线
交 轴于点 ，且
，
，求证：
为定值.
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49．在平面直角坐标系
中，直线
与 轴交于点 ，直线 与抛物线
有且
只有一个交点 ．
(1)求交点 的坐标及抛物线 的标准方程；
(2)在 轴上是否存在一点
异于点 )，使过该点的直线与抛物线 交于不同的两点
（异于点 ），
与直线
交于 点，且满足
，若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
50．已知抛物线
，过焦点 F 的动直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M.
(1)当直线 l 的倾斜角为 时，
，求抛物线 G 的方程；
(2)对于（1）问中的抛物线 G，若点
，求证：
为定值，并求出该定值.
51．已知抛物线
的焦点为 F，过点 F 的直线 与 C 交于 A，B 两点，且
，O
为坐标原点．
(1)求 C 的方程；
(2)若直线 与 C 的准线交于点 P，过点 P 作直线 交 C 于 M，N 两点，且直线 与 的倾斜角互补．
（ⅰ）求直线 所过定点的坐标；
（ⅱ）证明：A，B，M，N 四点共圆．
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52．已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
是抛物线 上的动点（点 P 不在
x 轴上）．当
时，
．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若
的角平分线与 y 轴相交于点
，直线 PQ 与抛物线 C 的准线相交于点 T．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）证明：
．
53．已知
是抛物线
的焦点，过焦点的最短弦长为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过动点
作抛物线 的两条切线，切点为
，
，直线
与抛物线交于
在第一象限）.
①求证：点 在定直线上；
②记
的面积分别为
，当
时，求点 的坐标.
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