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专题2.6 圆的标准方程
教学目标
①理解圆的定义及确定圆的几何要素。
②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。
③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。
教学重难点
教学重点：圆的标准方程、根据条件求圆的方程
教学难点：圆方程的求解和应用
知识点01 圆的定义
平面内到 的距离等于 的点的集合叫作圆，定点称为 ，定长称为
.
如图，在平面直角坐标系中，
的圆心
的坐标为
, 半径为
,
为圆上任意一点，
可用集合表示为：
知识点02 圆的标准方程
我们把方程
称为圆心为
半径为
的圆的标准方程.
【即学即练】已知点
，
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 点与圆的位置关系
判断点
与
：
位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设
到圆心
的距离为
，则
①
则点
在
②
则点
在
③
则点
在
（2）代数法
将点
带入
：
方程内
①点
在
②点
在
③点
在
【即学即练】已知圆
，则下列点在圆C 内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 圆上的点到定点的最大、最小距离
设
的方程
，圆心
，点
是
上的动点，点
为平面内一点；记
;
①若点
在
外，则
②若点
在
上，则
③若点
在
内，则
【即学即练】已知
与圆
上的动点
，则
两点间距离的取值范围是 .
题型01 求圆的标准方程
【典例1】
的三个顶点分别是
，
，
，求
的外接圆的标准方程．
【变式1】已知点
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知圆C 的圆心在直线
上，且圆C 经过点
，
，则圆C 的标准方程是
．
【变式3】已知圆
的圆心在直线
上，且圆
经过点
，
，则圆
的方程是 .
【变式4】求过两点
和
，且圆心在
轴上的圆的标准方程.
圆的标准方程的两种求法
（1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆
心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程.
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定
圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设————设所求圆的方程为
；
②列——由已知条件，建立关于
，
，
的方程组；③解———解方程组，求出
，
，
；
④代————将
，
，
代入所设方程，得所求圆的方程.
题型02 由圆的方程求圆心或半径
【典例1】已知圆M：
，则圆心坐标和半径分别为（ ）
A．
，4
B．
，4
C．
，2
D．
，2
【变式1】给定圆的方程
，则过坐标原点和圆心的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知圆
，则其圆心和半径分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】圆
的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，3
D．
，3
由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写
出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点.
题型03 点与圆的位置关系
【典例1】已知
，
是方程
的两个不等实数根，则点
与圆
：
的位置关
系是（ ）
A．
在圆内
B．
在圆上
C．
在圆外
D．无法确定
【变式1】点
与圆
的位置关系是（ ）
A．
在
外
B．
在
上
C．
在
内
D．不确定，与
的取值有关
【变式2】点
与圆
（
）的位置关系为（ ）.
A．点
在圆外
B．点
在圆上
C．点
在圆内
D．与
的取值有关，无法确定
【变式3】已知点
，圆的标准方程为
，则点P（ ）
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．与a 的取值有关
【变式4】点
与圆
的位置关系是（ ）
A．点在圆上
B．点在圆内
C．点在圆外
D．不确定
题型04 与圆有关的最值问题
【典例1】已知点
是圆
上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．5
B．6
C．25
D．36
【变式1】如果实数
满足
，那么
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知圆
上一点
，则
的最大值为 .
【变式3】设
为坐标原点，
为圆
上的动点，则
的最大值为 ．
【变式4】在圆
上与点
距离最大的点的坐标是 ．
题型05 与圆有关的对称问题
【典例1】过点
的直线将
的面积分为相等的两部分，求直线方程 .
【变式1】已知圆C:
关于直线
对称，求圆心C 坐标为 ．
【变式2】已知圆
的一条对称轴是直线
，则
.
【变式3】若直线
是圆
的一条对称轴，则
．
【变式4】圆
关于直线
对称，则
．
题型06 轨迹方程
【典例1】已知圆
：
，
为圆
上任一点，
为定点，
的中点为
.求：动点
的轨迹方程
【变式1】已知等腰三角形
的一个顶点为
，底边的一个端点为
，则底边的另一个端点
的轨迹方程为（ ）
A．
（
且
）
B．
（
且
）
C．
（
且
）D．
（
且
）
【变式2】已知点
，若点
在圆
：
上运动，则线段
的中点
的轨迹方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知点P 在圆
上运动，
为坐标原点，则线段
的中点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知线段
的中点C 的坐标是
，端点A 在圆
上运动，则线段
的端点B
的轨迹方程是 ．
1．已知圆心在
轴上的圆过点
且与
轴相切，则该圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知圆
，则下列各点在圆
上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
4．圆心为
且过原点的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．以点
为圆心，且与
轴相切的圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．以
，
为直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知圆
经过点
，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
8．若点
是圆
:
上一点,则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．（多选）已知圆
的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
在圆
的外部
C．圆
与圆
外切
D．当直线
平分圆
的周长时，
10．已知圆
的圆心在直线
上，且圆
经过点
，则圆
的标准方程是 .
11．已知圆
经过点
，
，且圆心
在
轴上.求圆
的标准方程.
12．已知圆
关于直线
对称的图形为圆
，求圆
的方程．
