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专题2.6 圆的标准方程
教学目标
①理解圆的定义及确定圆的几何要素。
②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。
③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。
教学重难点
教学重点：圆的标准方程、根据条件求圆的方程
教学难点：圆方程的求解和应用
知识点01 圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，
的圆心
的坐标为
, 半径为
,
为圆上任意一点，
可用集合表示为：
知识点02 圆的标准方程
我们把方程
称为圆心为
半径为
的圆的标准方程.
【即学即练】已知点
，
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程.
【详解】根据题意，以
为直径的圆的圆心为
中点
，半径为
，
所以圆的方程为
.
故选：B.
知识点03 点与圆的位置关系
判断点
与
：
位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设
到圆心
的距离为
，则
①
则点
在
外
②
则点
在
上
③
则点
在
内
（2）代数法
将点
带入
：
方程内
①点
在
外
②点
在
上
③点
在
内
【即学即练】已知圆
，则下列点在圆C 内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可.
【详解】对于A，因为
，所以点
在圆外，所以A 错误，
对于B，因为
，所以点
在圆上，所以B 错误，
对于C，因为
，所以点
在圆上，所以C 错误，
对于D，因为
，所以
在圆内，所以D 正确.
故选：D
知识点04 圆上的点到定点的最大、最小距离
设
的方程
，圆心
，点
是
上的动点，点
为平面内一点；记
;
①若点
在
外，则
;
②若点
在
上，则
;
③若点
在
内，则
;
【即学即练】已知
与圆
上的动点
，则
两点间距离的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据点点距离即可求解.
到圆心
的距离,进而结合圆的半径即可求解.
【详解】由于点
在圆
外，
所以
到圆心
的距离为
，
而圆的半径为
，所以
，
故
,
故答案为：
题型01 求圆的标准方程
【典例1】
的三个顶点分别是
，
，
，求
的外接圆的标准方程．
【答案】
【分析】设圆的标准方程，将3 个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r 即可.
【详解】设所求的方程是
．①
因为
，
，
三点都在圆上，分别代入方程①．
得
即
三式两两相减，整理得
解得
代入
，得
．
所以
的外接圆的标准方程是
．
【变式1】已知点
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设
中点为O，则
，即
，
设圆半径为r，则
，
则以
为直径的圆的方程为
.
故选：B.
【变式2】已知圆C 的圆心在直线
上，且圆C 经过点
，
，则圆C 的标准方程是
．
【答案】
【分析】设圆的方程为
，由条件列方程求
可解.
【详解】因圆心在直线
上，设圆心
坐标为
，
圆
标准方程为：
，
则
，解得：
，
所以圆C 的标准方程为
．
故答案为：
【变式3】已知圆
的圆心在直线
上，且圆
经过点
，
，则圆
的方程是 .
【答案】
【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再
联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程.
【详解】点
和点
的中点为
，
点
和点
的斜率为
，
则点
和点
的垂直平分线的斜率为
，
可得点
和点
的垂直平分线的方程为
设圆心为
，由题意联立方程：
解得
，
，半径
，圆方程为
.
故答案为：
.
【变式4】求过两点
和
，且圆心在
轴上的圆的标准方程.
【答案】
【分析】利用待定系数法即可列方程求解半径和圆心，进而得解.
【详解】设所求圆的标准方程为：
，
依题意得
，即
，
解得
，
所以所求圆的标准方程为：
.
圆的标准方程的两种求法
（1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆
心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程.
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定
圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设————设所求圆的方程为
；
②列——由已知条件，建立关于
，
，
的方程组；③解———解方程组，求出
，
，
；
④代————将
，
，
代入所设方程，得所求圆的方程.
题型02 由圆的方程求圆心或半径
【典例1】已知圆M：
，则圆心坐标和半径分别为（ ）
A．
，4
B．
，4
C．
，2
D．
，2
【答案】D
【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径为
.
故选：D
【变式1】给定圆的方程
，则过坐标原点和圆心的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得圆心为
，从而可得直线方程的斜率为-4，由直线的点斜式方程即可求解.
【详解】由圆的标准方程
可知，圆心为
，
则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为：
，
由直线的点斜式可得
，即
.
故选：B.
【变式2】已知圆
，则其圆心和半径分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程的特点确定圆心和半径.
【详解】圆
的圆心
的坐标为
，半径为
.
故选：C.
【变式3】圆
的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，3
D．
，3
【答案】A
【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径为
.
故选：A
由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写
出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点.
题型03 点与圆的位置关系
【典例1】已知
，
是方程
的两个不等实数根，则点
与圆
：
的位置关
系是（ ）
A．
在圆内
B．
在圆上
C．
在圆外
D．无法确定
【答案】C
【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断.
【详解】由
是方程
的两个不等实数根，得
，
则
，
所以点
与圆
外.
故选：C
【变式1】点
与圆
的位置关系是（ ）
A．
在
外
B．
在
上
C．
在
内
D．不确定，与
的取值有关
【答案】A
【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可.
【详解】由圆心
，
可得
，
所以
在
外.
故选：A
【变式2】点
与圆
（
）的位置关系为（ ）.
A．点
在圆外
B．点
在圆上
C．点
在圆内
D．与
的取值有关，无法确定
【答案】A
【分析】求出点
与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系.
【详解】圆
（
）的圆心为
，半径为
.
因为点
与圆心
的距离为
，且
，
所以
，故
，
所以点
在圆
（
）外.
故选：A.
【变式3】已知点
，圆的标准方程为
，则点P（ ）
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．与a 的取值有关
【答案】C
【分析】由点
到圆心的距离和圆的半径比较大小即可得解.
【详解】∵
，
∴点P 在圆外.
故选：C．
【变式4】点
与圆
的位置关系是（ ）
A．点在圆上
B．点在圆内
C．点在圆外
D．不确定
【答案】C
【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.
【详解】因为
，所以点在圆外，
故选：C
题型04 与圆有关的最值问题
【典例1】已知点
是圆
上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．5
B．6
C．25
D．36
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可.
【详解】圆
的圆心
，半径
，
目标函数
表示圆
上的点
与定点
距离的平方，
而
，
所以
的最大值为36.
故选：D
【变式1】如果实数
满足
，那么
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析方程
得出圆心和半径，代数式
表示圆上的点到原点的距离，通过数
形结合得到最小值点，从而求得最小值.
【详解】
是以
为圆心，半径
的圆，
所求代数式
可以理解为求圆上的点到原点的距离，
如图：
显然最远距离和最小距离分别为圆与
轴的交点
和
，
∴
的最小值为
.
故选：C.
【变式2】已知圆
上一点
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】记原点为
，易知原点
在圆
上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得
的最大值.
【详解】记原点为
，易知原点
在圆
上，则
，
故
的最大值为圆
的直径，故
的最大值为
.
故答案为：
.
【变式3】设
为坐标原点，
为圆
上的动点，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】求出
的值，即可得出
的最大值.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
因为
，所以
的最大值为
．
故答案为：
.
【变式4】在圆
上与点
距离最大的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】由圆心坐标和点
求出距离最大时所在的直线方程，再联立圆的方程即可求得结果.
【详解】由圆
的圆心为
，
因为圆到点
距离最大时即在圆心与点
连线上，根据两点式可求得直线为
，
联立方程
，解得
或
，
经检验与点
距离最大的点的坐标是
.
故答案为：
.
题型05 与圆有关的对称问题
【典例1】过点
的直线将
的面积分为相等的两部分，求直线方程 .
【答案】
【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.
【详解】因为直线将
的面积分为相等的两部分，
所以该直线过圆心
，由两点式知该直线方程为
.
故答案为：
【变式1】已知圆C:
关于直线
对称，求圆心C 坐标为 ．
【答案】
【分析】求出
的范围，由直线过圆心可得答案.
【详解】由已知得
，解得
或
，
圆C:
，圆心为
，
若圆C 关于直线
对称，则
，
解得
，所以圆心坐标为
故答案为：
.
【变式2】已知圆
的一条对称轴是直线
，则
.
【答案】1
【分析】根据圆的对称轴经过圆心的性质，将圆心代入直线方程，即可求得答案.
【详解】由于圆
的一条对称轴是直线
，
故圆心
在直线
上，故
，
故答案为：1
【变式3】若直线
是圆
的一条对称轴，则
．
【答案】
/
【分析】直线是圆的对称轴，则直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求解.
【详解】圆
的圆心坐标为
，
因为直线
是圆
的一条对称轴，
所以圆心
在此直线上，
所以
，解得
.
故答案为：
【变式4】圆
关于直线
对称，则
．
【答案】3
【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可.
【详解】由
可得圆的标准方程为：
，
则由题意得直线
过圆心
，代入直线方程有
，解得
，
故答案为：3.
题型06 轨迹方程
【典例1】已知圆
：
，
为圆
上任一点，
为定点，
的中点为
.求：动点
的轨迹方程
【答案】
【分析】设
，则
，又
，代入即可求解.
【详解】设
，由中点坐标公式可得
，
所以
，
又点
在圆
：
上，
所以
，
将
代入得
，即
，
所以
的轨迹方程为
.
【变式1】已知等腰三角形
的一个顶点为
，底边的一个端点为
，则底边的另一个端点
的轨迹方程为（ ）
A．
（
且
）
B．
（
且
）
C．
（
且
）D．
（
且
）
【答案】B
【分析】设
，利用两点间的距离公式整理化简得
的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可.
【详解】设
，根据题意可知
且
三点不共线，
可得
，
因此
，
若
三点共线，易知
斜率存在，所以
；
即
，可得
；
联立
，解得
或
；
又因为
三点不共线，所以
且
，
因此端点
的轨迹方程为
（
且
）.
故选：B
【变式2】已知点
，若点
在圆
：
上运动，则线段
的中点
的轨迹方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据“相关动点法”求点
的轨迹方程.
【详解】设
，
，因为
为
中点，
所以
.
又
在圆
：
上，
所以
.
即为
点的轨迹方程.
故选：A
【变式3】已知点P 在圆
上运动，
为坐标原点，则线段
的中点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设线段
的中点
，由中点坐标公式得
，将其代入圆方程化简即可得
解.
【详解】设线段
的中点
，
则由题
，且
即
，
所以
即
，
所以线段
的中点的轨迹方程为
.
故选：A.
【变式4】已知线段
的中点C 的坐标是
，端点A 在圆
上运动，则线段
的端点B
的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设
，根据中点坐标得到
，代入圆中，求出轨迹方程.
【详解】设
，因为线段
的中点C 的坐标是
，
所以
，
将
代入
中得
，
化简得
.
故答案为：
1．已知圆心在
轴上的圆过点
且与
轴相切，则该圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设圆心坐标
，得到
，再由点
在圆上，代入即可求解.
【详解】设圆心坐标为：
由题意可知圆的标准方程为：
，
由圆过点
，
所以
，解得：
，
所以圆的标准方程为
，
故选：C
2．已知圆
，则下列各点在圆
上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论.
【详解】将选项中的各点代入方程
，显然ABD 均不满足该方程，
只有C 选项
满足该方程.
故选：C
3．若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果.
【详解】圆
的圆心坐标为
，
因为直线
是圆
的一条对称轴，
所以直线
过点
，所以
，解得
．
故选：C．
4．圆心为
且过原点的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程.
【详解】圆心为
的圆的方程为
，
又因为原点
在圆上，则
，
所以
.
故选：D.
5．以点
为圆心，且与
轴相切的圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题求得圆的半径，再结合圆心坐标可得出所求圆的标准方程.
【详解】以点
为圆心，且与
轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是
.
故选：A.
6．以
，
为直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．
【详解】易知该圆圆心为
的中点
，半径
，
所以该圆方程为：
．
故选：D．
7．已知圆
经过点
，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可.
【详解】由圆
经过点
，可得
，
即
，故圆心
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
又
，所以圆心到原点的距离的最大值为
.
故选：C
8．若点
是圆
:
上一点,则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.
【详解】圆
:
可化为
表示点
到点
的距离的平方,
因为
，
所以
的最小值为
.
故选：B.
9．（多选）已知圆
的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
在圆
的外部
C．圆
与圆
外切
D．当直线
平分圆
的周长时，
【答案】ABC
【分析】由已知圆半径确定参数
，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆
半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数
判断D.
【详解】根据题意得
，解得
，A 正确．
由选项A 可知，圆
，圆心为
，半径为2．因为
，所以点
在圆
的外部，B 正确．
圆
的圆心为
，半径为8，因为
，
所以圆
与圆
外切，C 正确．
若直线
平分圆
的周长，则直线
过圆心
，则
，解得
，D
错误．
故选：ABC．
10．已知圆
的圆心在直线
上，且圆
经过点
，则圆
的标准方程是 .
【答案】
【分析】设圆
的标准方程为
，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可.
【详解】设圆
的标准方程为
，
则
，解得
，
所以圆
的标准方程为
.
故答案为：
11．已知圆
经过点
，
，且圆心
在
轴上.求圆
的标准方程.
【答案】
【分析】设圆
的方程为
，代入点的坐标求出
、
，即可求出圆的方程.
【详解】题意设圆
的方程为
，
则
，
解得
，
所以圆
的方程为
.
12．已知圆
关于直线
对称的图形为圆
，求圆
的方程．
【答案】
【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程.
【详解】易知圆
的圆心为
，
设圆心
关于直线
对称的点坐标为
，
可得
，解得
，
即圆
的圆心坐标为
，对称后半径不变，
所以圆
的方程为
.
