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专题6.2.1 向量基本定理
教学目标
1．深入理解共线向量定理的核心内涵，准确把握“存在唯一一个实数λ”的充要条
件，熟练掌握三点共线的两个向量表示结论，能结合具体情境运用定理判定向量共线
及三点共线。
2．全面掌握平面向量基本定理的完整内容，明确“同一平面内”“两个不共线向
量”“有且只有一对实数”的关键限定，深刻理解定理所体现的向量分解思想。
3．能精准判断一组向量是否满足基底的“不共线”要求，熟练运用平面向量基本定
理，将平面内任意给定向量规范分解为指定基底的线性组合，确保分解结果准确。
教学重难点
重点：
共线向量定理的双向性，三点共线两个向量结论的逻辑推导与适用场景，以及实际应
用方法。
难点：
1．共线向量定理中实数λ 的求解方法，尤其是结合图形或已知向量关系时精准计算
λ，避免忽略“唯一性”和“非零向量”的隐含条件。
2．针对具体问题情境合理选择合适的基底，深刻理解“基底确定则分解式唯一”的
内涵，灵活解决复杂图形中向量的分解与线性表示问题。
知识点01 共线向量定理
1.共线向量定理的内容：向量
与
共线的充要条件是存在________一个实数
,使
.
2.三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点
共线的充要条件是存在________实数，使得
.
结论2：设
是平面内的任意一点，点A，B，C 共线的充要条件是存在________实数
使得
.
【即学即练】
1．设
，
是平面内两个不共线的非零向量，已知
，
，
，若
，
，
三点共线，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
是两个不共线的向量，若向量
，
共线，则
（ ）
A．6
B．4
C．
D．
知识点02 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
，
________一对实数
，使
.
2.基底:我们把________的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
3.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底
下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．
是被
唯一确定的数值．
【即学即练】
1．（多选）若
是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在平行四边形ABCD 中，E 是CD 中点，F 是BC 上靠近C 的三等分点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 共线向量定理
例1．已知非零向量
，则“
与
共线”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例2．已知
，
，
，
是平面中四个不同的点，则“
（
）”是“
，
，
三点
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
变式1-1．设
、
为平面向量，则“存在实数
，使得
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
变式1-2．已知点A、B、C 是平面上不共线的三点，点
为
的外心，动点
满足条件：
(
，
)，则点
的轨迹一定通过
的（ ）．
A．内心
B．垂心
C．重心
D．
边的中点
变式1-3．已知
是平面上两个不共线的向量，且
，
，
.
(1)若
方向相反，求k 的值；
(2)若A，C，D 三点共线，求k 的值．
题型02 共线向量定理的推论
例3．如图，在
中，点
是
边上的点，满足
，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，
，若
，
，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．8
C．9
D．18
例4．如图，在
中，点A 是BC 的中点，点D 是OB 上靠近点B 的一个三等分点，DC 和OA 交于点
E．设
．
(1)用向量
表示
；
(2)若
，求实数
的值．
变式2-1．如图，设
，
，线段
与
交于点F，且
，则
（ ）
A．4
B．3
C．
D．5
变式2-2．如图，在
中，点
是线段
上靠近点
的三等分点，过点
的直线分别交直线
、
于点
、
.设
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．若在直线上存在不同的三点
，使得关于实数
的方程
有解（点
不
在上），则此方程的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
结论2：设
是平面内的任意一点，点A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数
使
得
的使用：
解题时先通过向量线性运算（加、减、数乘）将已知向量关系化简，目标凑出
关
于
的线性组合形式；若判定三点共线，只需验证组合中
与
的系数和是否为
1；若求参数，则根据“系数和为1”列方程求解，
题型03 基底的判断
例5．下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内
有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是
.（填序号）
例6．设
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
变式3-1．（多选）O 为▱ABCD 的对角线AC 和BD 的交点，下列各组向量中能作为平面ABC 上所有向量
的一组基底的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
变式3-2．若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
基底即为“同一平面内两个不共线向量”
题型04 用基底表示向量
例7．如图，平行四边形
中，
与
交于点
，
为
的中点，
为
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．如图，
为等边
的重心，
为
边上靠近
的四等分点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．在平行四边形
中，点
是
边上的点，
，点
是线段
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
变式4-2．在如图所示的方格里，向量
与
均为单位向量，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．在
中，记
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题时先结合图形分析目标向量与基底的关联，通过向量加法、减法或数乘运算，将目标向量转化为基
底的线性组合，必要时利用共线向量定理确定系数
题型05 根据向量基本定理求参数
例9．如图，已知在
中，
为
的中点，
与
相交于点
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例10．如图，在矩形
中，E，F 分别为
，
的中点，G 为线段
上的一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．如图，在梯形
中，点
在线段
上，
．若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
变式5-2．如图，已知正六边形
，
和
分别是
和
的中点，
交
于点
，则
．
变式5-3．在
中，
为
中点，
在
上，且
，
与
交于点O
(1)用
表示
.
(2)过O 作直线交线段
于点
，交线段
于
，
，求
的值
题型06 平面向量基本定理的综合问题
例11．已知
是
的外心，
，若
，则
．
例12．如图，点G 是
的重心，P，Q 分别是边
，
上的动点，且P，G，Q 三点共线．
(1)设
＝λ
，将
用λ，
表示．
(2)设
是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
变式6-1．如图，第一象限内的点M 和第二象限内的点N 分别在直线
与
上，阴影部分
（不含边界）内的点P 满足
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．已知
的边
的中点为
，点
在
所在平面内，且
，若
，则
.
变式6-3．已知
不共线，
，设
，如果
，是否存在实数t 使
三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不
存在，请说明理由．
一、单选题
1．
是平面内不共线的两个向量，已知
，
，
，若A，B，D 三点
共线，则k 的值是（ ）
A．3
B．－3
C．－2
D．2
2．在
中，点
是边
上一点，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．在
中，
，
.若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
为
所在平面内一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
5．在
中，
为三角形所在平面内一点，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，已知在
中，
，
，
和
交于点E，若
，则以
为
基底表示
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．设
，
是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
9．在
中，点
，
分别在
和
上，且满足
，
，点
在线段
上，且
，则下列各组数据适合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．在
中，
为线段
上一点，且有
，则下列命题正确
的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最小值为
三、填空题
11．已知等腰
中，
分别为
的中点，若
，则
．
12．设
，
是两个不共线的非零向量，向量
，
，若向量
，
的方向相反，则实
数
．
13．如图，在
中，
，
，
，
，
交
于点
，过点
的
直线分别交
于点
，则
．
四、解答题
14．已知
不共线．
(1)若
，求证：
三点共线；
(2)若向量
与
共线，求实数的值．
15．如图，在△ABC 中，
＝4
，
. 求证：B，T，E 三点共线．
16．如图，在
中，点
满足
，
是线段
的中点，过点
的直线与线段
分别交
于点
．
(1)若
，请用向量
来表示向量
；
(2)若
，求
的最小值．
17．如图，已知平行四边形ABCD 边AB 的中点为E，F 为AD 上的一点，且
，BF、CE 交于点K，
求
的值．
18．在
中，
是边
的中点，
是边
上靠近点
的一个三等分点，
与
交于点
.设
.
(1)用
表示
；
(2)过点
的直线与边
分别交于点
.设
，求
的值.
