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第07 讲 三角恒等变换的应用
课程标准
学习目标
1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正
弦、余弦和正切公式的过程；
2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正
确运用这些公式进行简单的三角函数式的
化简、求值和恒等式证明；
3.能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行
恒等变换，推导出积化和差与和差化积公
式。
1.能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等
变换的基本思想方法；
2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及
三角恒等式的证明和一些简单的应用。
知识点01 半角公式
1、半角公式
＝±
，
＝±
，
其中根号前的正负号，由角
所在象限确定。
2、半角正切公式的有理化
借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到：
；
所以
上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理化。
【即学即练1】 （24-25 高一上·全国·课后作业）设3π<α<4π，cos
＝m，那么cos
等于（ ）
A．
B．－
C．－
D．
知识点02 积化和差与和差化积
1、积化和差
2、和差化积
3、积化和差公式的推导
积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如：
，①
，②
①+②，得
，则
①-②，得
，则
同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 万能公式
1、万能公式
；
；
万能公式的好处在于把角
的三角函数式转化为用
表示的式子。若设
，则三角函数
式可转化为关于的有理代数式。
2、万能公式的推导
或
【即学即练3】（24-25 高一上·山西吕梁·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 利用半角公式求值
【典例1】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
是第三象限的角，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·湖南岳阳·阶段练习）若
为第三象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角
是第二象限角，且终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【变式4】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型02 万能公式的应用
【典例2】（2025·上海高一·随堂训练）若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【变式1】（24-25 高一下·江苏南京·期中）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【变式2】（23-24 高一下·陕西西安·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习）已知
，则
．
【变式4】已知
，且角
是第二象限的角，则
.
题型03 积化和差与和差化积公式应用
【典例3】（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知角
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（ 2025 北京通州区期末测试）
．
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）设
是
的三个内角，则
的最大值为
．
【变式4】（24-25 高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，
的始边为x 轴的非负半
轴，终边与单位圆的交点分别为
为线段AB 的中点，射线OM 与单位圆交于点C，则以下结论正确
的有 .
①
；
②
；
③点
的坐标为
；
④点
的坐标为
【变式5】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，则
．
题型04 三角恒等变换的化简问题
【典例4】（24-25 高一上·全国·课后作业）以
表示
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·安徽芜湖·开学考试）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一上·重庆·期末）请运用所学三角恒等变换公式，化简计算
，并从
以下选项中选择该式子正确的值（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【变式3】（多选）（24-25 高一上·湖南益阳·期末）下列式子化简后等于
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）（24-25 高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
D．
=
题型05 三角变换中的求值问题
【典例5】（23-24 高一下·广东佛山·期中）定义：
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·四川成都·期中）求值
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式2】（2024·辽宁大连·一模）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式3】（23-24 高一下·河南南阳·阶段练习）已知
，
，且
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【变式4】（23-24 高三上·贵州·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
题型06 三角形中的恒等变换
【典例6】（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）在
中，下列等式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一·上海·假期作业）在
中，若
，则这个三角
形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【变式2】（24-25 高一上·湖北武汉·期末）在
中，
为它的三个内角，且满足
，
，则
.
【变式3】（23-24 高一下·上海·假期作业）在
中，若
，则
是 三角形；
一、单选题
1．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）若
是第三象限角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
3．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（23-24 高三下·河北张家口·开学考试）已知
，
是第四象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高一下·上海徐汇·开学考试）在
中，若
，则
一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
8．（23-24 高三上·湖北·期中）已知
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·江西·阶段练习）下列各式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高一下·辽宁·期中）下列等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高一下·江苏连云港·期中）在
中，下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
为等腰直角三角形
B．若
，则
为锐角三角形
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
，则
为正三角形
三、填空题
12．（24-25 高一上·上海·课后作业）若
，则
，
，
.
13．（23-24 高一下·上海·阶段练习）设
，化简
的结果是 .
14．（24-25 高一上·湖南邵阳·开学考试）计算
.
四、解答题
15．（2024 高一下·上海·专题练习）（1）证明：
；
（2）化简：
．
16．（24-25 高一下·四川成都·期中）已知
，
，
，
.
(1)求
的值：
(2)求
的值．
17．（24-25 高一上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系
中，角
的顶点为坐标原点，始边为
轴
的非负半轴，终边与单位圆交于点
．
(1)求
；
(2)
的值．
(3)求
的值．
18．（2025·全国·模拟预测）已知
，且
.
(1)求
和
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
19．（24-25 高二上·安徽·开学考试）对于集合
和常数
，定义：
为集合A 相对的
的“正弦标准差”．
(1)若集合
，
，求A 相对的
的“正弦标准差”；
(2)若集合
，是否存在
，
，使得相对任何常数
的“正弦标准差”是
一个与
无关的定值？若存在，求出α，β 的值；若不存在，请说明理由．
