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2025-2026 学年高一数学上学期第一次月考卷
强化卷·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
A
C
C
B
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
题号
9
10
11
答案
AB
ABC.
BC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13． 12
14．
/
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（14 分）
15．（13 分）
【详解】（1）若A 是空集，则方程
无实根，（1 分）
当
时，
，解得
，此时
，不符合题意；（3 分）
所以
，
，解得
，（5 分）
故实数a 的取值范围为
；（6 分）
（2）当
时，
.
所以方程
至少有一个正实根.（7 分）
①当
时，
，解得
，
所以
，符合题意；（9 分）
②当
时，由
，则
且
，
若
时，
，此时
，符合题意；（10 分）
当
且
时，方程
有两个不相等实根，设为
，
且方程
有两正根或一正根和－负根，
所以
或
，（11 分）
解得
或
.（12 分）
综上，实数a 的取值范围为
.（13 分）
16．（15 分）
【详解】（1）当
时，
，则
或
，
而
，
所以
.（7 分）
（2）当
时，
，（9 分）
由（1）知
，由“
”是“
”成立的必要不充分条件，（11 分）
得集合
是集合
的真子集，则
或
，解得
或
，（14 分）
所以正实数m 的取值范围中
.（15 分）
17．（15 分）
【详解】（1）
故当
时，
取得最大值，最大值为45，所以这批机器
运转第7 年时，可获得最大利润45 万元；（7 分）
（2）记年平均利润为
，则
14
当且仅当
，即
时，等号成立.（15 分）
18．（17 分）
【详解】（1）因为关于
的不等式
的解集为
，（1 分）
所以
，即
（2 分）
所以不等式
可转化为
，（3 分）
又
，所以
，即
，
当
，即
时，解得
;（4 分）
当
，即
时，解得
;（5 分）
当
，即
时，解得
，（6 分）
综上所述:当
时，不等式的解集为
;
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.（7 分）
（2）因为当
时，
，所以
，（8 分）
即
，所以
，（9 分）
①若存在正实数a，b，使不等式
有解，则
，（10 分）
，（11 分）
当且仅当
，即
时，
，（12 分）
所以
，解得
或
，
即的取值范围是
.（13 分）
②由
，可得
，（14 分）
所以
，（16 分）
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为36.（17 分）
19．（17 分）
【详解】（1）因为
时，
且
，所以集合
不具有性质
.
因为
时
，
，总有
，
所以集合
具有性质
，其相应的集合
和
是
，
.（4 分）
（2）首先，由中元素构成的有序数对
共有
个.
因为
，所以
；
又因为当
时，
，
所以当
时，
.
从而，集合
中元素的个数最多为
，
即
.（10 分）
（3）
，证明如下：
当
时，根据定义，
，
，且
，从而
.
如果
与
是
的不同元素，
那么
与
中至少有一个不成立，
从而
与
中也至少有一个不成立.
故
与
也是
的不同元素.
可见，
中元素的个数不多于
中元素的个数，即
，
当
时，根据定义，
，
，
且
，从而
.
如果
与
是
的不同元素，
那么
与
中至少有一个不成立，
从而
与
中也至少有一个不成立，
故
与
也是
的不同元素.
可见，
中元素的个数不多于
中元素的个数，即
，
综上可知，
.（17 分）
