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1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 重难点专题03 勾股定理的应用 重难点一、勾股定理与网格问题 网格中利用横、竖网格线构造直角三角形，两点横向、纵向格子差作为直角 边长，借助勾股定理计算线段长度。可通过三边平方关系判断直角，求图形面积优先使用 割补法，计算时只需利用格子差值的平方，减少开方运算。 1．（25-26 七年级上·江苏常州·期末）如图．每个小方格均为正方形，A，B，C 均为格点(每个小方格的 顶点叫做格点)． (1)按要求画图： ①画线段BD (D 为格点)，使 BD AB ⊥ ； ②画线段BE(E 为格点)，使 BE BC ⊥ ； (2)在（1）的条件下，AC 与BD的位置关系是_______， 图中 ABC 的所有余角为_______． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 2．（24-25 八年级上·河南平顶山·期中）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以 在数轴上画出无理数、 2 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段， 2 2 2 3 2 1 1 13 2 3 = + = + ， ，请 在下面的方格纸中画出长度为 13 的线段AB 和长度为 20 的线段CD，已知每个小正方形的边长都是 1，要求点A，B，C，D 都是正方形的格点． 3．（20-21 七年级下·安徽·阶段检测）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称 为“勾股定理”．即在直角三角形ABC 中（如右图）， 90 ACB = ．两条直角边分别为AC ，BC ，斜边 为AB ．则 2 2 2 AC BC AB + = ．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形ABC 中， 90 ACB = ， 13 AB cm = ， 5 AC cm = ，求BC 的长． (2)如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的4 4 的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段AB 的长度． ②在图中，画一条格点线段CD，使 5 CD = ． 3 / 43 学科网（北京）股份有限公司 4．（25-26 八年级下·宁夏吴忠·期末）如图，请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1 中画一个三角形，使它的三边长分别为3，2 2 ，5 (2)如图2，找出边AB 、AC 的中点E、F，画出ABC 的中位线EF ． 5．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同 学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图 如图1，图2 均是6 6 的正方形网格，点A、B 、D 均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图1网格中作 出点C （也为格点），使得 45 ABC = ；在图2 网格中的线段AB 上取一点E ，使得 45 BED = ．（请 利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） 4 / 43 学科网（北京）股份有限公司 (2)任务二：尺规作图 如图3，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A在x 轴上，点B 在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内 作出一点C ，使得ABC 是以AB 为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图4 ，线段m ，n （m n ）．求作：Rt ABC △ （ 90 C = ，BC AC ），使得它的斜边长为 n ，两直角边的差为m ．小明在直线l 上截取了BD m = （如图5），请你在此基础上继续帮他完成剩下的 作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 6．（25-26 八年级上·四川成都·期中）综合探究：“在ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为 5 10 13 ，， ，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 ABC （即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1 所示，这样不用求ABC 的高，而借用网格 就能计算出它的面积．我们把上述求ABC 面积的方法叫做构图法． 5 / 43 学科网（北京）股份有限公司 (1)直接写出图1 中ABC 的面积是________； (2)若MNP 的边长分别为 2 2 2 2 2 2 16 , 9 4 , 4 4 m n m n m n + + + （ 0 m ， 0 n ，且m n ），试运用构图法 在图2 中画出相应的MNP ，并求出MNP 的面积． (3)拓展应用：求代数式 2 2 256 (27 ) 400 x x + + − + （0 27 x ）的最小值． 7．（24-25 八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广 泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于 2 2 2 1 1 由此得到在数轴上寻找2 所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2 正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的ABC ，其中 2, 2 2, 10 AC BC AB = = = ， ②直接写出ABC 的面积=___________，点C 到AB 边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3 中，设( ) ( ) 1 1 2 2 , , , , A x y B x y AC y 轴，BC x 轴，AC BC ⊥ 于点C，则 AC =___________ BC = ___________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 AB x x y y = − + − 6 / 43 学科网（北京）股份有限公司 ②图4 中，平面直角坐标系中有两点 ( ) ( ) 3,4 , 5,1 , M N P − − 为x 轴上任一点，则PM PN + 的最小值为 ___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式 2 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 6) ( 3) x y x y + + − − − + + 的最大值为： ___________． 重难点二、勾股定理与折叠问题 折叠核心：折叠前后对应边、对应角相等。先标出相等线段，设未知线段长 度为x，在图中找到包含x 的直角三角形，列出勾股方程求解。重点找准直角三角形，避 免错选边，理清重合线段之间的等量关系。 1．（2026·河南周口·一模）如图，在ABC 中， 90 ACB = ， 4 AC BC = = ，点D 在AC 上，点E 在AB 上，将ADE 沿直线DE 翻折，点A 的对称点A落在BC 上，若 1 CD = ，则A B 的长是（ ）． A．2 B．2 2 + C．2 2 − D．4 2 2 − 7 / 43 学科网（北京）股份有限公司 2．（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt ABC 中， 90 C = ， 8 AC BC = = ，将ABC 折叠， 使点B 与AC 的中点F 重合，折痕为DE ，则CE 的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2026 八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片， 90 ACB = ， 6 AC = ， 8 BC = ， 将斜边AB 翻折，使点A 落在直角边BC 延长线上的点D 处，折痕为BE，则CD的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26 八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形ABCD中， 4, 8 AB AD = = ，将此长方形沿EF 折 叠，使点D与点B 重合，则AE 的长度为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）如图，货车高 ( ) 4m 4m AC = ，卸货时后面支架AB 弯折落在地面 1A 处，经过测量 1 2 m AC = ，则弯折点B 与地面的距离为（ ） 8 / 43 学科网（北京）股份有限公司 A．2m B．3m C．3 m 2 D．( ) 4 3 m − 6．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在Rt ABC △ 中， 90 C = ， 6 AC = ， 8 BC = ，D，E 分别 是AB 和BC 边上的点，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B． （1）若B是AC 的中点，则CE 的长为__________． （2）若点B在线段AC 上（含端点），则CE 的取值范围为__________． 7．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，在ABC 中， 90 ACB = ， 6 AC = ， 9 BC = ，点D 为 BC 边上的中点，将ACD 沿AD对折，使点C 落在同一平面内的点C处，连接BC．则 （1）CC的长为______； （2）BC的长为______． 8．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，在ABC 中， 25 A = ， 20 C = ， 5 AC = ．将ABC 分别沿 DE ，FG 折叠，使点A，C 都与点B 重合，若 1 AD = ，则DF = ________． 9 / 43 学科网（北京）股份有限公司 9．（25-26 八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形ABCD中， 9 AB = ， 6 BC = ，点E 是BC 边上一动点． (1)连接AE ，若点E 是BC 边上的中点，求AE 的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作AE 的垂直平分线GH 分别交AB ，AE ，CD于点G ，F ，H ，求GH 的长； (3)如图2，点G 为AB 边上一点，连接GE ，将 GBE △ 沿GE 折叠得到 GB E △ ，点B 的对应点B恰好落在 边CD上，M 为GE 上一动点，连接BM ，过点M 作MN GB 交B E 于点N ，若 2 3 B C = ，是否存在 点M ，使得2B N BM + 的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 重难点三、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 梯子长度始终不变，为直角三角形斜边。先算出梯子初始靠墙高度；梯子下 滑后，梯子长度不变，结合底部水平距离求出新靠墙高度，高度差值即为下滑距离。解题 牢记斜边恒定，区分前后两组直角三角形数据。 1．（24-25 八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将2.6 米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此 时梯子底端离屋底1 米，则梯子顶端与地面的距离是（ ） A．1.5米 B．1.6米 C．2 米 D．2.4米 10 / 43 学科网（北京）股份有限公司 2．（25-26 八年级下·陕西安康·阶段检测）在实验室的测量实验中，有两个可移动的标记小球P、Q，它 们之间用一根不可伸缩的细杆连接，小球P 只能在竖直方向的轨道上移动，小球Q 只能在水平方向的轨 道上移动，两轨道的交点为O．如图，忽略小球的体积，将其抽象成几何图形．初始状态下，小球P 到 交点O 的距离为20cm ，小球Q 到交点O 的距离为15cm．当小球P 沿着竖直轨道向下移动13cm 至点P 处时，小球Q 随之移动到点Q的位置，求QQ的长． 3．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期中）某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关 于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块B 、木块C ，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意 图 说明：滑块B 、木块C 均在直转道上，它们用绳子连 接，且绳子经过定滑轮A．图1 为初始测量状态，图 2 为将木块C 竖直升高后的状态，此时滑块B 向左滑 至点B处．其中AC BC ⊥ ．实验过程中，绳子长度 不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大 小忽略不计． 测量数据 6dm BC = ， 8dm AC = ， dm 7 CC= (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块B 向左滑动的距离BB． 4．（25-26 八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中 一条道路的边缘点A 处， 24 OA = 米，小亮站在另一条道路的边缘点B 处，此时两人之间的直线距离为 25 米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． 11 / 43 学科网（北京）股份有限公司 (1)求此时OB 的长度； (2)当小明沿路边向北走了9 米到达点C 处（即 9 AC = 米），同时小亮沿路边向东走到了点D 处，若两人 之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25 米不变），求BD的长度． 5．（25-26 八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长2.5 m 的绝缘梯AC ，斜靠在路灯杆上．此 时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点A、B 、C 、D 在同一竖直平 面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端C 到灯杆底部B 的距离 0.7 m BC = ，梯子顶端A离地高度AB = 2.4m．请你 判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1 的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端A下移到A，底端C 则沿射线BC 方向移动到点 C，量得 0.8m CC= ，求AA的长． 6．（25-26 八年级上·江苏无锡·期中）2025年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中 学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活 动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 12 / 43 学科网（北京）股份有限公司 【活动过程】 活动1：测量宣传标语AB 的高度 该小组开展对宣传标语AB 悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语AB 的底端B 距离墙角 O的距离为3m ．该小组将标语AB 的底端B 松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分BO的长为 1m，如图2． （1）求宣传标语AB 的悬挂高度（即线段AO 的长）； 活动2：测量宣传标语CD的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语CD悬挂高度的测量活 动（如图3），测得此时绷直的宣传标语CD的底端D 距离墙角O的距离为8m ．该小组将标语CD的底端 D松开后移动到点E 处（此时CE 绷直），测得此时 3.2m OE ED = = ，如图4． （2）求宣传标语CD的悬挂高度（即线段CO的长）． 7．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）（1）如图，一条竹竿AB 长10 米，斜靠在竖直的墙AC 上，这时 竹竿的顶端到墙地面的距离为6 米（ 6 AC = 米），求BC 的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1 米（即 1 AD = 米），求杆子底部滑动的距 离（BE的长度）． （3）如图， 90 C = ，点D 在AC 边上，点E 在BC 边上，连结BD和AE ．求证： 13 / 43 学科网（北京）股份有限公司 2 2 2 2 AE BD DE AB + = + ． （4）如图，四边形ABCD中， 90 , 2, 4 ABC BCD AD BC + = = = ，求 2 2 AC BD + 的值． 重难点四、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 水杯内部底面直径、杯高构成直角三角形，杯内筷子最长长度为该三角形斜 边。筷子总长减去斜边长，得到露出杯口最短长度；露出最长长度等于总长减去杯高，分 清临界情况，结合勾股求出杯内最大容纳线段长度。 1．（19-20 八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为 8cm ，6cm和10 3cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（ ） A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm 2．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有 个小圆孔，则一根长20 的直吸管露在罐外部分的长度a 的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（ ） 14 / 43 学科网（北京）股份有限公司 A．1 3 a B．2 3 a C．3 5 a D．4 5 a 3．（21-22 八年级上·河南周口·期末）一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为2.5cm，高为 12cm，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出4.6cm ，为节省材料，吸管长cm a 的取值范围是 _______． 4．（25-26 八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1 尺．一阵强风吹 过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移 动了3 尺．由此可知水池的深度是______尺． 5．（25-26 八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为 16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______cm 6．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是： 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有 一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦 苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 15 / 43 学科网（北京）股份有限公司 7．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作 咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm ，高为16 cm ．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长 度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm 才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至 少需要 cm； (2)如图②，老师新买的一根长为25cm 的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为cm h ，你能求出h 的取 值范围吗？ 重难点五、解决航海问题(勾股定理的应用) 航海题常出现正东、正北等垂直方向，可直接构造直角三角形。根据航行路 程得到两条直角边长，运用勾股计算两点直线距离；遇到方位角先画图确定垂直关系，标 注航行距离，再代入公式进行计算。 1．（25-26 八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度沿 北偏东40方向航行，乙船沿南偏东50方向航行，1.5小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛．若C 、B 两岛相距30海里，则乙船的航速是（ ） 16 / 43 学科网（北京）股份有限公司 A．8海里/时 B．12海里/时 C．16海里/时 D．20 海里/时 2．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40 海里，乙船时 速30 海里，两个小时后两船相距100 海里，已知甲船的航向为北偏东46，则乙船的航向（ ） A．南偏西44 B．北偏西44 C．南偏东44或北偏西44 D．南偏西44或西偏北44 3．（21-22 八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，一轮船以6 海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航 行，另一轮船以8 海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距 ________海里． 4．（24-25 八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，小岛A 位于港口C 北偏西39方向上，小岛B 位于港口 C 的北偏东51方向上，且与港口C 相距200 海里，小岛B 与小岛A 相距250 海里． (1)求小岛A 与港口C 的距离； (2)在小岛B 处有一艘载满货物的货船，以每小时20 海里的速度从小岛B 出发沿B→A 方向航行，当货船 距离港口C 最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 17 / 43 学科网（北京）股份有限公司 5．（23-24 八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A 在同一直线上，点 A，B 在同一直线上，DA AB ⊥ ，测得 60m AC = ， 80m AB = ， 75m DC = ． (1)求入口B 到大摆锤C 的距离； (2)现要在距离大摆锤45m的E 处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E 在同一直线上，且使旋转木马E 到 过山车D 的距离最近． ①DE 与EC 的位置关系为______； ②求过山车D 到旋转木马E 的距离． 6．（25-26 八年级下·甘肃张掖·期中）如图，小明计划周末到离家A正东方向1500m的书店B 买书，买完 书后再去距离书店正北方向800m 的体育中心C 打篮球，求小明家和体育中心的距离AC ． 7．（25-26 八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港 口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12 海里和5 海里，2 小时后两船分别位于 点A，B 处，且相距26 海里，如果知道快船沿北偏西50方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 8．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港B 沿正东方向向海港C 行驶，点A处有一座 18 / 43 学科网（北京）股份有限公司 灯塔，轮船行驶了5km后到达点D 处（即 5km BD = ），此时轮船正好位于灯塔A的正南方，继续向东行 驶了9km到达海港C 处（即 9km DC = ），已知灯塔A到海港B 的距离AB 为13km ，求灯塔A到海港C 的 距离AC ． 9．（25-26 九年级下·全国·单元复习）一艘船由A 港沿北偏东60方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西 30方向航行10km 至C 港． (1)求A，C 两港之间的距离（结果精确到0.1km）； (2)确定C 港在A 港的什么方向． 10．（25-26 九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，A，B 分别是两个港口，C ，D 是海上两座小岛景 点，D在A正北方向20 千米处，C 在D 北偏东60方向， 30 CD = 千米，A在B 的南偏西60°方向，且 C 在B 北偏西75方向．（参考数据： 2 1.41 3 1.73 6 2.45 ， ， ） (1)求港口B 和小岛C 的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从A港口出发沿AB 前往B 港口，同时一艘观光船也从A港口出发，沿路线A D C − − 前往小岛 C ，货船的速度与观光船的速度之比为4:3，出发1.5小时后观光船在由D 到C 的途中且离A港口的直线 距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从A港口出发多少小时后到达B 港口（结果保留小数点后一 位）． 重难点六、求河宽(勾股定理的应用) 19 / 43 学科网（北京）股份有限公司 将河岸视作平行线，垂直河岸方向为河宽（一条直角边），岸边行走距离为 另一条直角边，观测斜线为斜边。设河宽为未知数，利用勾股定理建立方程求解，画图厘 清观测点、对岸点、岸边落脚点三者位置。 1．（25-26 八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨 日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田 的宽为x 步，则可列方程为（ ） A．30 50 x x + = − B． ( ) 2 2 2 30 50 x x + − = C． ( ) 2 2 2 30 50 x x + = − D． ( ) 2 2 2 50 30 x x + − = 2．（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石A上，消防救援人员利用 舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点B 比原设定地点C 偏移了140m （ 140m BC = ）．已知舟艇以100m/min 的速度，用时5min回到岸边点B 处，则礁石到河岸的距离AC 为 （ ） A．450m B．460m C．480m D．500m 3．（25-26 八年级上·全国·寒假作业）如图，为了测得湖两岸A 点和B 点之间的距离，嘉淇在C 点设桩， 使 =90 ABC ，并测得AC 长100米，BC 长80米，则A 点和B 点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 4．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸 A，B 两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意 20 / 43 学科网（北京）股份有限公司 图，根据图中数据可得A，B 两点间的距离为（ ） A．9m B．12m C．15m D．20m 5．（25-26 八年级上·河北张家口·期末）AI 机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A 处出发，计划 沿与河岸垂直的方向到达B 处，由于水流的影响，实际上岸地点C 与目的地B 处相距9 米，机械狗实际 行走的路程AC 为15 米，则AB 的长为_______ 米． 6．（25-26 八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸A，B 两点之间的距离，观测者小林在点C 设 桩，使ABC 恰好为直角三角形( ) 90 B = ，如图所示，通过测量得AC 长为10m，BC 长为8m ，求出图 中A、B 两点之间的距离． 7．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A、B 两 点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A、B 间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上 取一点C ，使点C 能直接到达点A和点B ，在AB 的延长线上取一点D ，使得 12 BD = 米．经测量 34 AC = 米， 16 CD = 米， 20 CB = 米，请你计算点A、B 之间的距离． 21 / 43 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘 两端A，B 之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB 延长线的方向，在池塘边的空地上选点C ，使 6 BC = 米；②在AC 的一侧选点D ，恰好使 8 BD = 米， 10 CD = 米；③测得 17 AD = 米．请根据他们的操 作过程，回答以下问题： (1)求 ABD 的度数； (2)求出A，B 两点间的距离． 9．（25-26 八年级上·河南·期末）勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的 地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形ABCD中， 90 B C AED = = = ，B 、E 、C 三点共线，Rt Rt ABE ECD ≌ ，请 利用图1 验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成， 5 AB AD m = = ，近期雨水多，水位上涨至EF ，水深 3.8 AE = 米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高2.5 米，宽为3米，请判断这艘货 船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 22 / 43 学科网（北京）股份有限公司 重难点七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 台阶问题无需直接用勾股求斜线，地毯总长等于所有水平线段总长加竖直线 段总长。可先利用勾股算出台阶水平总宽度与竖直总高度，两者相加即为地毯长度，避开 斜边长的干扰，简化运算步骤。 1．（25-26 八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在一个高为3m 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为 7m，则楼梯斜面AB 的长为_______m． 2．（15-16 八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm 和 1cm，A 和B 这个的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A 点出 发，沿着面爬到B 点，最短线路为______cm． 3．（20-21 七年级上·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm ，A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面 爬行到点B 的最短路程为______dm． 4．（25-26 八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形ABC ．已知 23 / 43 学科网（北京）股份有限公司 直角边BC 长5m ，斜边AB 的长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150 元，楼梯 宽为2m ．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 5．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长a 、b 、c 都是正整数，那么称a 、b 、c 为勾股数．设m 、n 是两个 正整数，且m n ，直角三角形三边长a 、b 、c 都是正整数．下表中的a ，b ，c （a 、b 均小于c ）可以 组成一些有规律的勾股数． m n a b c 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现， 2 2 a m n = − ，继续探究发现b 和c 也可以用含m 、n 的代数式表示．请你用 含m 、n 的代数式分别表示：b = ④，c = ⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为a 米、b 米、c 米， 且a 、b 、c 满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上 相邻两株花之间的距离均为1 米．如果最短边可种8 株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 24 / 43 学科网（北京）股份有限公司 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④b = __________；⑤c = __________； (3)⑥__________． 6．（25-26 八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m 的台阶上 铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为4m． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元 2 /m ，则购买地毯需花费多少元？ 重难点八、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 先构造直角三角形，用勾股求出汽车行驶的路程，结合行驶时间算出行驶速 度。将计算速度与限速对比，判断是否超速。注意统一路程、时间单位，单位换算极易出 错，列式前先统一计量单位。 1．（25-26 八年级上·四川宜宾·阶段检测）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道 行驶速度不得超过60km/ h ．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面 车速检测仪A处的正前方50m的C 处，过了6s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130m，这辆小汽车 超速了吗?（参考数据转换：1m/ s 3.6km/ h = ） 25 / 43 学科网（北京）股份有限公司 2．（25-26 八年级上·安徽宿州·阶段检测）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 19m/s．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m 处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？ 3．（22-23 八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速100km/h ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直 线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C 处的正前方50m的B 处，过了4s，大巴车到达A 处， 此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m． (1)求AB 的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 4．（23-24 八年级上·山东枣庄·阶段检测）规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60km/h ．一辆 小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A 的正前方C 处， 30 AC = 米．过了2 秒后到达B 处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离AB 为50 米．这辆小汽车超速 了吗？ 26 / 43 学科网（北京）股份有限公司 5．（24-25 八年级下·河南许昌·期中）某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80 千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前 方50 米处，过了4 秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130 米，这辆小汽车超速了吗？ 6．（25-26 八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速60km / h 的路段由A点向B 点行驶， 500 m AB = ，在该路段附近有一栋居民楼C ，与A、B 两点的距离分别为 400m AC = 、 300m BC = ，卡 车行驶过程中周围260m以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼C 到AB 的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为14.4s，请问卡车是否超速行驶？并说明理 由． 7．（25-26 八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心A 到公路的垂直距离为1200 米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测 距仪测得：此时车辆正在公路B 处，距A处2000 米；44 秒后，车辆行驶到公路上的D 处，距A处1300 米． 27 / 43 学科网（北京）股份有限公司 (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心A到景观公路只有一条长为1500 米的小路AC ．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人 员，当外来车辆到达D处时，安保人员同时开车从A出发，沿小路AC 进行拦截，若安保人员车速为 30m/ s，能否成功在C 处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 8．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海 沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h 调整为70km/h ，小型汽车限速值由 90km/h 调整为80km/h ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A 处的 正前方60m的C 处（即 60m AC = ），过了4s小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离 为100m． (1)求BC 的长； (2)这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s 3.6km/h = ） 9．（25-26 八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛 车从点C 出发，以4 米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B 出发，以3 米/秒的速度由南向 北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶， 40 AC = 米， 30 AB = 米． (1)经过4 秒，两赛车之间的距离是多少米？ 28 / 43 学科网（北京）股份有限公司 (2)已知赛车之间的距离小于或等于25 米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A 的距离之和为35 米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 10．（24-25 八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自 2024 年6 月17 日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h 调整 为80km/h 、大型汽车限速值由80km/h 调整为70km/h ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻 刚好行驶到车速检测仪A 处的正前方120m的C 处（即 120m AC = ），过了8s 小汽车到达B 处，此时测得 小汽车与车速检测仪间的距离为200m． (1)求BC 的长； (2)这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s 3.6km/h = ） 重难点九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 以台风中心移动路线为基准，计算目标地点到路线的垂直最短距离。若最短 距离小于台风影响半径，则会受影响；还可结合勾股算出受影响路段长度与持续时间，先 作图找到垂线段，再利用勾股定理辅助计算。 1．（25-26 八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形 区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B 与监测点A 所 在的直线由东向西移动，已知点C 为一处海港，且点C 与A、B 两点的距离分别为600km、800km， 90 ACB = ，过点C 作CE AB ⊥ 于点E，以台风中心为圆心，半径为460km的圆形区域内为受影响区 域． 29 / 43 学科网（北京）股份有限公司 (1)求监测点A 与监测点B 之间的距离． (2)请判断海港C 是否会受此次台风的影响，并说明理由． 2．（25-26 八年级下·河南开封·阶段检测）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如 图，有一辆货车沿东西方向AB 由点A向点B 移动，已知点C 为教学楼，点C 与直线AB 上两点A、B 的 距离分别为30m和40m ，且 50m AB = ，以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域． (1)求证： 90 ACB = (2)教学楼C 会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为2m / s ，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 3．（25-26 八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21 号台风“麦德姆”于2025 年10 月5 日在广东 徐闻第一次登陆．如图，海港C 接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB 的方向以20km h 的速度移 动，已知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量： 400km BC = ， 300km AC = ， 500km AB = ．问： (1)海港C 会不会受到台风的影响？ (2)若海港C 会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 4．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中 心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由 30 / 43 学科网（北京）股份有限公司 点A行驶向点B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上A，B 两点的距离分别为300km和400km，且 500km AB = ，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． (1)求证： 90 ACB = ； (2)海港C 受台风影响吗？为什么？ 5．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内 形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线AB 从左向右移动，已知点C 为某海港，点C 与直线AB 上A，B 两点的距离分别为300 km 和400 km ，且 500 km AB = ，以台风中心为圆心，周围 250 km以内为受影响区域． (1)求证： 90 ACB = ； (2)当地气象部门在通知中说海港C 会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为30km / h ，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 6．（25-26 八年级上·重庆·阶段检测）如图， 45 MON = ，在距离O点32 2 米的A处有一学校，一重型 卡车P 沿道路ON 方向行驶，在其周围40 米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校A是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8 米/秒，求卡车P 沿途给学校A带来噪声影响的时间． 7．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）2025 年9 月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大 31 / 43 学科网（北京）股份有限公司 风力达14 级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约250km（即以台风 中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段BC 表示台风中心在深圳附近从 C 地向西北方向移动到B 地的路径，A是深圳市某观测点，且AB AC ⊥ ．已知A C 、 之间相距 300km A B ，、之间相距400km． (1)判断观测点A是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为20km / h ，则观测点A受台风影响的时间有多长？ 重难点十、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 设选址位置的未知数，分别在两个直角三角形中，表示出该点到两地的线段 长度。根据距离相等列等式，借助勾股定理列出方程求解。关键找准两个直角三角形，准 确用未知数表示线段平方。 1．（25-26 八年级上·上海·期末）如图，一个长方体盒子的内部是30cm 40cm 120cm 的长方体，如果将 一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度a 的取值范围是__________． 2．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设 置防汛监控器．如左图所示，监控布设线l 距离河流300 m ，最大旋转角度90；村落位于河流南侧，与 河流邻接长度5000 m ；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，AB 为 监控器 1 M 监测范围，BC 为监控器 2 M 监测范围， 1 1 AM BM ⊥ ， 2 2 BM CM ⊥ ，此时 1 2 375 BM CM = = m ； 若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 32 / 43 学科网（北京）股份有限公司 3．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l 上有两个快递投放点B，C．快递投 放点C 的正北方向3km处有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为5km． (1)求快递投放点B，C 之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l 上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D 到小区A 与快递投放点B 的距离相等，求自提柜D 与快递投放点B 之间的距离． 4．（21-22 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上A、B 两站相距8km ，C 、D 为两个村庄， AC AB ⊥ ，BD AB ⊥ ，垂足分别为A、B ，已知 2km AC = ， 4km BD = ，现在要在铁路AB 上修建一个 中转站P ，使得P 到C 、D 两村的距离和最短．请在图中画出P 点的位置，并求出PC PD + 的最小值． 5．（25-26 八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km 的快递投放点B 、 C ，快递投放点C 的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B 的距离为13km ． (1)求小区A到快递投放点C 的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D ，新的投放点D 到小区A与快递投放点B 33 / 43 学科网（北京）股份有限公司 的距离相等，求快递投放点B 、D 之间的距离． 6．（25-26 八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为 “几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角 三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2 为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜 边为c）和直角边为c 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理 2 2 2 a b c + = ． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决 定在河边新建一个取水点H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，现测得 1 CA = 千米， 2.1 = AB 千米， 1.7 BC = 千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路CH 的长． 7．（25-26 八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为 2 400m 的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知 12m AB = ， 9m BC = ， 8 = CD m， 17m AD = ， 90 ABC = ． 34 / 43 学科网（北京）股份有限公司 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道AC ，则这条直道AC 的长度为 ________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要 求． 8．（25-26 八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画 出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上A、B 两点（看作直线上的两点）相距40 千米，C 、D 为两个村庄（看作两个点）， AD AB ⊥ ，BC AB ⊥ ，垂足分别为A、B ， 24 AD = 千米， 16 BC = 千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在AB 上建造一个供应站P ，使得PC PD = ，求AP 的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中 0 x ） ①代数式 ( ) 2 2 9 16 81 x x + + − + （0 16 x ）的最小值为_____． ②代数式( ) 2 2 4 16 1 x x + + − + 的最大值为_____． 重难点十一、求最短路径(勾股定理的应用) 35 / 43 学科网（北京）股份有限公司 立体图形最短路径使用展开法，将立体侧面展开为平面，两点之间线段最 短。在展开图中构造直角三角形，直角边长为立体的长、宽、高等数据，利用勾股算出线 段长度，多展开方案时对比选出最小值。 1．（25-26 八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB 为12cm，BC 是直径， 一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面爬行到点C 的最短路程为（ ） A．17cm B．13cm C．12cm D．2 61cm 2．（25-26 八年级下·广东惠州·期中）如图，一个圆柱的高是12cm，底面圆的周长是18cm，一只蚂蚁想 从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B 处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A．9cm B．15cm C．6 13 cm D．6 5 cm 3．（25-26 八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B，则 它走过的最短路程为（ ） A．3 B．1 2 + C．3 D．5 4．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为 36 / 43 学科网（北京）股份有限公司 12cm，点A 位于盒外底面的边缘，如果在A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B 处的食物，那 么蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ） A．13cm B．61cm C．8cm D．2 34cm 5．（25-26 八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以2cm/s的速度从点 A爬到点B ，最快需要多长时间（ ） A．57 s B．50 s C．47 s D．40 s 6．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示， 在底面周长为1.5m，高为6m的柱子上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D 点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（ ） A．4.5 米 B．7.5米 C．12.5米 D．15米 7．（22-23 八年级下·河南郑州·开学考试）如图，长方形操场ABCD的长AD为80m ，宽AB 为60m，小 37 / 43 学科网（北京）股份有限公司 明站在A 处，足球落在C 处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________． 8．（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A 处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B 处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 9．（25-26 八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长 4 AB = 米，宽 1 BC = 米，高 2 BB= 米．工作人员要从箱底的A点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的C点，用来输 送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 10．（25-26 八年级上·江西赣州·阶段检测）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a ，b ，c ． 90 A D = = ，点A，B ，D 在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B 两点（看作直线上的两点）相距30千米，C ，D 为两个村庄（看作两个 点），AD AB ⊥ ，BC AB ⊥ ，垂足分别为A，B ， 18 AD = 千米， 12 BC = 千米，要在AB 上建造一个供应 站P ，使得PC PD = ，求AP 的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 ( ) 2 2 4 12 9 x x + + − + 的最小值（0 12 x ）． 38 / 43 学科网（北京）股份有限公司 11．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，点A、B 是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河 道的距离AC 为6km，工厂B 到河道的距离BD为3km ，BF 是垂直于AC 的地下管道，且BF 交AC 的延 长线于点F ，经测量， 12km BF = ，现准备在河边某处修一个污水处理厂E ，为使点E 到工厂A、B 之间 的距离之和最小，点E 需在线段AB 上，求此时点E 到工厂A和工厂B 的距离之和AE BE + ．（污水处理 厂、工厂的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 12．（25-26 八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的π 取3） 素材1 如图1，圆柱形纸盒的高AC 为12 厘米，底面直径BC 为6 厘米，在圆柱下底圆周上的A 点有一 只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物． 素材2 如图3 所示的实践活动器材包括：底面直径为6 厘米，高为10 厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线 （借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两 种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 39 / 43 学科网（北京）股份有限公司 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x 与y 的大小 5 11 10.3 x y 4 10 9.85 x y 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1 中的折线A→C→B 爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12 6 18 + = 厘米．将圆 柱沿着AC 将侧面展开得到图2，请在图2 中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最 短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a 的值是________；表格中b 表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r 不变的情况下，当圆柱半径为r 与圆柱的高度h 存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 重难点十二、勾股定理逆定理的实际应用 先测量或计算三角形三边长度，分别求出三边平方。验证较小两边平方之和 是否等于最大边平方，满足则为直角三角形。常用于判断垂直结构，实操中先确定最长 边，再进行平方和验算。 1．（25-26 八年级上·广东佛山·期末）学校花园有一个不规则的池塘，A，B 两点分别位于池塘的两端， 利用现有皮尺无法直接测量A，B 间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如 下： 实践任务 测量池塘两端A，B 间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段 AB 延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使 9m BC = ； 第二步：在AC 的一侧选点D，使点D 能直接到达A，B，C 三 点，测得 12m BD = ， 15m CD = ， 20m AD = ． 40 / 43 学科网（北京）股份有限公司 问题解决： (1)试判断BCD 的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B 之间的距离． 2．（25-26 八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四 边形ABCD空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量， 6 AD = 米， 8 AB = 米， 24 BC = 米， 26 CD = 米， 90 A = ． (1)为方便分区管理，学校计划在B 、D 两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 3．（25-26 八年级下·广西南宁·期中）图1 是某品牌手推车，图2 为其简化结构示意图．现测得 8dm AB = ， 9dm BC = ， 12dm CD = ， 17dm AD = ，其中AB 与BD之间由一个固定为90的零件连接（即 90 ABD = ） (1)求线段BD的长度； (2)安全标准规定：需满足BC CD ⊥ ，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 4．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支 流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观 41 / 43 学科网（北京）股份有限公司 景打卡点B，C．已知BA BC = ，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D 三点在同一 直线上），并修建一条观光小路AD，测得 1.5 km AC = ， 0.9 km DC = ， 1.2 km AD = ． (1)判断ACD 的形状，并说明理由； (2)求原路线AB 的长． 5．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）图1 是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆AB 作为 支撑，在点A 处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2 所示，其中 12 5 AB = 米， 9 5 BC = 米， 3 AC = 米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时AB 是否与BC 垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A 处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D 在 BC 的延长线上）．若 4 AD = 米，求CD的长度． 6．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，A，B 两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B 间的 距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B 间的距离 测量工具 皮尺 测量方案 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段AB 延长线的方向，在池塘边 42 / 43 学科网（北京）股份有限公司 及测量数 据 的空地上选点C ，使 9 m BC = ；第二步：在AC 的一侧选点D ，使点D 能直接到达A， B ，C 三点，测得 12 m BD = ， 15m CD = ， 20m AD = ． 问题解决： (1)试判断BCD 的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B 之间的距离． 7．（25-26 八年级下·全国·期末）如图，某乡村有一块三角形空地ABC ，计划将这块三角形空地分割成 四边形ABDE 和 EDC △ ，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量， 90 EDC = ， 30 DC = 米， 50 CE = 米， 70 BD = 米， 80 AB = 米， 10 AE = 米，求四边形ABDE 的面积． 8．（25-26 八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征 集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图， 9m AB = ， 12m BC = ， 17m CD = ， 8m AD = ，在CD 上选取两点E，F 为浇灌点，从水源点G 处 铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G 处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G 作CD 的垂线，垂足为H，先从水源点G 处铺设管道到点H 处，再从点H 处分别向浇灌 点E，F 铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两 点之间的距离为15m，就可以快速确定 ABC 的度数． 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120 元，求建造绿化地的费用． (3)若 90 EGF = ， 10m EF = ， 8m EG = ，管道铺设费用为65 元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道 方案中，哪一种方案所需的费用最少．
